發刊日期 |
2020年3月
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標題 | 少年吉拉計算面積之旅 |
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如果答案不漂亮, 我知道一定是錯的。
國語老師的挑戰吉拉小時候是在鄉下長大的, 那時候臺灣剛剛光復不久, 大家都過著節儉的生活。 上小學時, 最早是光著腳走路上學, 後來校長規定, 大家都要穿鞋子, 媽媽才同意幫他買了一雙球鞋。 但是一開始穿得很不習慣, 每天都是提著鞋子到校門口再穿上, 放學一出校門就脫了鞋提回家, 感覺十分涼快。 小學的日子很輕鬆, 一二年級的老師是一位老先生, 連注音符號都念不清楚, 大家也就意思意思學一學。 吉拉最感痛苦的是國語的家庭作業, 感覺每次用鉛筆寫字時, 食指都很痛, 特別討厭一個生字寫一行的作業。 對於數學作業, 倒是感覺很容易, 好像不費心就完成了。 這可能遺傳自母親。 吉拉的父親開了一家小型彈珠汽水工廠, 每天工人用鐵馬載汽水出門, 收回一些空瓶, 情況有點雜亂。 但是父親常常出門不在, 母親又不會寫字, 所以工人就把進出的數量告訴她, 等到父親回來, 她一條不漏地口訴, 讓父親記帳, 而且都算好了總結。 吉拉覺得, 他對數字的一點感覺, 應該來自母親。
那時小學畢業還要考初中 (初級中等學校, 不是現在流行的國民中學), 鄉下沒有補習班, 吉拉的五六年級導師是一位熱心負責的老師, 自己花錢買燈具佈置教室, 利用放學後加一堂免費複習課。 有一次他請來一位在師大中文系上博士班的朋友幫忙上國語。 有一天, 這位老師拿他的一題期末數學考題挑戰大家, 並且宣稱, 會的人得 東南亞戲院電影票一張、 外加牛肉麵一碗, 誘惑真的很大。 題目是這樣的「以單位正方形中四個頂點為圓心, 各畫一個四分之一的單位圓, 交出來中間那一塊如右圖所示的面積為何?」 大部分人聽一聽就算了, 只有吉拉和阿德一定想要贏得那誘人的獎品, 兩個人經常在校園內大榕樹下的泥土地上, 用樹枝畫圖計算, 他們認為機會很大, 因為他們有另外一道類似問題的解法, 那問題是 : 「以單位正方形中相對兩個頂點為圓心, 各畫一個四分之一的單位圓, 交出來中間那一塊如右圖所示的面積為何?」
這個問題相對容易, 因為他們都會算四分之一圓的面積, 把右上和左下兩個四分之一圓加起來, 就是半個圓, 這兩個四分之一圓同時也蓋滿了正方形, 只是中間那個眼睛形的部分被蓋了兩次, 所以它的面積就是半圓面積減去正方形面積, 也就是 $3.14/2-1=0.57$。 對於國語老師的問題, 他們始終得不出答案, 算了各種能想到的形狀的面積 : 正方形、 四分之一圓、 眼睛形圖形、 眼睛形右上方圖形 $\cdots$, 他們日以繼夜的算, 但是都無濟於事。 而且常常算出各種不同的答案。 美來自新概念幫忙解題那一剎那畢業後, 在導師對父母遊說下, 吉拉放棄鄉下初中保送名額, 那是全校唯一的一個名額, 還是導師推薦出來的。 他到城裡考上初中, 過著通車求學的日子。 他的一口台灣國語被同學取笑了一年才漸有改善, 而數學學習還是一樣得心應手。 他始終沒有忘記小時候國文老師之約, 不時就會把問題拿出來再想一想。 一直等到學正三角形之後, 他終於恍然大悟, 把整個問題串起來。 用後來他對數學的了解, 那是因為, 問題中有三個不同形狀, 把它們的面積當作三個變數, 正方形可以寫下一個等式, 四分之一圓有第二個等式, 正三角形、 60度角的扇形、 配合得到的相鄰兩個四分之一圓相交的部分得到第三個式子, 這三個互相獨立的式子就解出答案來了。 他們之前所以解不出來, 是因為寫出來的式子只有兩組是獨立的。 在解出來的那一剎那間, 他體會出數學的美, 他真的興奮到了極點。 高興之餘, 第一個想到的是要告訴阿德這個好消息, 可是打聽之下才知道, 阿德決定和父親學修機車, 他們家的機車行是鎮上最大最賺錢的一家。 他也想和隔壁的同學分享快樂, 但是同學卻無心聽講, 只是說, 問過補習班老師, 說是將來就會教到, 而且「很簡單」, 現在不必煩惱。 還好, 這些都沒有澆熄他熱愛數學的初衷, 他一直都記得「不會的事就要記起來, 有一天一定會弄懂的。」
後記故事到此本該告一段落, 不過後來吉拉給了朋友一個新的挑戰 : 「以單位邊長正五形中五個頂點為圓心, 各畫一個跨過旁邊兩頂點的扇型, 請問交出來中間那一塊如右圖所示的面積為何?」 獎品則是 : 「數學之美。」 ---本文作者為台灣大學數學系名譽教授--- |