本期訪談Maria Chudnovsky教授。她研究結構圖論,探討各種特殊性質所對應的圖形結構。2002年,她與合作者證明強完美圖猜想屬實,之後繼續探討完美圖的一般性結構,並設計演算法以測試圖形是否完美。近年來她也致力為完美圖的著色提出具體方案。
組合學者與其他領域的數學家有不同的工作方式。在一般數學領域,學者從理論出發,之後或可找到問題來應用理論。組合學者反其道而行;他們從具體的問題起步,而後試圖找到解決問題的方法,有時或可因此而創建出理論。
Timothy Gowers教授寫過一篇文章討論數學中的兩種文化:有解決問題者,有理論建設者。他的論點是:我們需要兩者。如他所言,組合學的組織原則不及核心數學的明確。組合學的重要想法出現的形式,通常不是精確陳述的定理,而更常是具有廣泛適用性的一般原則。
組合學的一大困擾,在於它難以融入現有的數學理論。組合學者普遍希望獲得主流數學的助力,好讓解題工具不局限於組合方法。儘管助力極少出現,但整體情勢正在改變。一方面,組合學者總盡可能地借用其他數學分支的工具。另一方面,現今電腦當道,組合學的重要性已無庸置疑;要讓程式有效運行,必須事先設計演算法,而其本質正是組合學。如今組合學的地位大幅提升,不時獲其他領域的數學家關注,重大結果的根基也往往是組合學的想法。Gowers教授所謂的兩種文化,正在交相作用,可望改變全景。
周長相同的平面封閉曲線中,圓圍出的面積最大。等周界不等式的諸多證明途徑,提供審視此事實的各種觀點。林琦焜教授回顧等周界不等式的歷史緣起,藉由變分法、傅氏級數、複分析等工具提出五種證明,各自精采漂亮。
在二維,等周界問題成為:圍出相同體積的封閉曲面中,何者的面積最大?由變分法得知解曲面的均曲率為常數。那麼,什麼情況下它會是球?什麼情況下它不會是球?解是否唯一?「常均曲率曲面」一文討論了這些問題。
柱面試管內,液體與空氣以毛細曲面為界面,以特定的接觸角與管壁相交。無重力時,毛細曲面的均曲率為常數;有重力時,其均曲率是曲面高度的仿射函數。視毛細曲面為底面上函數$f$的圖形;若管壁為楔形,函數$f$在尖角是否有界?是否連續?沿各方向趨近尖角時,函數$f$會取得怎樣的極限?它們如何取決於接觸角及尖角的大小?Kirk Lancaster教授講述相關研究成果。
1872年,Weierstrass宣告處處連續但處處不可微的函數存在,日後這種函數被用來描述布朗運動。降低正則性來看,是否存在處處有極限但處處不連續的函數?張海潮教授的文章討論這個問題。
本期封面改版,由王姵鈞小姐構思設計。
梁惠禎 2019年3月