發刊日期 |
2017年9月
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標題 | 奇妙的平方數與四季數 |
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作者 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
關鍵字 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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全文 |
一、引言
著名的美國數學家李學數教授在《數學與數學家的故事》一書中 二、有趣的平方數在《數學與數學家的故事》第 5 冊的第 14 頁至 16 頁「奇妙的平方數」一文中, 介紹了兩個有趣的平方數問題。
問題(1):
問題(2): 以上結果是一個印度年輕人發現的, 你能找到類似的例子嗎? 對於上述兩個問題, 筆者得到如下結果: 對於問題(1), 不妨設 $H=A^2+B^2$ 的和, 設兩個不相同的 $A$ 分別為 $A1$ 與 $A2$, 由於兩組的 $B$ 相同, 統稱為 $B$。 $B$ 的位數為 $K$。 由表 1 可知: $A2=10^K-A1$。 也就是說, 知道一個 $A1$, 就可以計算出 $A2$, 從而得到兩組平方數, 一根藤上兩個瓜。 我們約定: 由
$A1^2+B^2=H1$ 組成的平方數組, 稱為「本原解數組」簡稱「本原解」,
平方數組的這一性質與卡布列克(KABULEK)數組的對偶解相同, 可說有「同工異曲之妙」 問題(1)得到的結果見表 1:
對於問題(2), 分別設 $X$、$A$、$B$ 為互不相同的自然數, $Q$ 為 $(A+B)$ 之和的平方根, 他們之間的關係如表 2 所示。 奇妙的特性:
當 $X$ 為 9 位數時, 可以得到 13099 組連續解。 能否得到更多的連續解呢? 回答是肯定的, 只要你有時間。 當然, 你可以命令電腦輕鬆完成! 結果見表 2.
三、奇妙的四季數四季數的發現蘇東坡曰:「舊書不厭百回讀, 熟讀深思子自知。」 在探討平方數的時候, 幻方的影子時常在腦子裡遊蕩, 每當遇到難題或有空隙時間, 總喜歡查看河圖、 洛書, 在河圖與洛書的構造上來尋找答案, 這是多年之「癖」。也許是老祖宗偏袒的緣故, 只要專心看幾次, 一般會有收穫。 看「洛書」(圖1)已不知多少次了 ! 突然間, 看到四角全部是偶數的洛書圖, 突發靈感, 發現: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$ (把洛書中的 1 與 6, 看作 16) $2^{16}=4^8=16^4$, $\ldots$, 於是, 產生了「冪次和」傳遞循環的思想: 設 $A,B,C,D$ 為互不相同的正整數。 若 \begin{equation} A^B=B^C=C^D=D^A (ABCD) \label{1} \end{equation} 則稱 $A^B$ 或 $B^C$ 或 $C^D$ 或 $D^A(ABCD)$ 為「四季數」。 「四季數」的最小解是 65536。 當 $A=2$, $B=16$, $C=4$, $D=8$ 時 \eqref{1} 式成立。 即: $2^{16}=16^4=4^8=8^2\times (2\times 16\times 4\times 8)=65536$ 在上式中, 把 $A$、$B$、$C$、$D$ 四個數巧妙的傳遞並連接起來, 每個數都使用三次, 不偏不倚, 奇妙無比。 「四季數」的命名是根據《莊子》「知北遊」:「天地有大美而不言, 四時有明法而不議, $\ldots\ldots$, 」衍生而來。 四季循環, 生生不息。並且洛書的發源地 --- 黃河流域, 是四季最明顯的地區。 「四季數」是從我國的三階幻方(圖1)裡得到的。 三階幻方不僅僅是行、 列及對角線上 3 個數之和等於 15, 還有很多鮮為人知神奇奧妙的性質, 待另敘。 古人把構造三階幻方的方法概括為「戴九履一, 左三右七, 二四為肩, 六八為足, 五居其中。」 為什麼稱「二四為肩, 六八為足」呢? 這是一般人認為特別膚淺與可笑的問題。 也難怪呀, 老子曰: 「上士聞道, 勤而行之; 中士聞道, 若存若亡; 下士聞道大笑, 不笑, 不足以為道。」 一個新思想、新事物的出現總會有人懷疑或恥笑, 以不屑的眼光看待之。 為什麼「二四為肩」呢?筆者認為:所謂「肩」, 就是要兩肩平衡、平等, 故而產生了「比肩」一詞。 那麼, 它與本文的數字有什麼關係呢?君請看: $$2^4 = 4^2.$$ 這是唯一一對, 底數與指數可以互換, 且其冪和相等的兩個數。 經過左肩與右肩的相互作用, $2^4$ 與 $4^2$ 可以劃等號, 就能理解「二四為肩」的意義了。 為什麼「六八為足」呢? 這要從「九」談起, 古人視「九」為最大、最神聖的數字, 故洛書有「戴九履一」, 「九」居其上。 下面的六、一、八之意義在於: $$9^3 = 8^3+1^3+6^3.$$ 也就是說, $9^3$ 囊括了 $6^3+1^3+8^3$ 的總和, 故 9 在上, 為首。 8、 1、 6 在下而為足。 並且 $9^2=81$, 9、 2 在上, 81 在下。 還有更加神奇的奧秘將在另篇敘述。 那麼, 它與 65536 有什麼聯繫呢? 四季數的淵源近幾百年來, 由於「哥德巴赫猜想」的影響力, 數學界對素數倍感興趣, 忽略了對偶數的探討。 筆者發現洛書的四隅角是四個偶數, 分別為 2, 4, 8, 16 (這裡同樣把 1 與 6 看作 16)。 我們對洛書(圖1)的偶數, 從上角向下垂直方向進行組合分析:
圖 1 把右上角的 2 與右下角的 16 組合得: $2^{16}=65536$. 把左上角的 4 與左下角的 8 組合得: $4^8=65536$. 再對洛書四角偶數進行交叉組合: 把右下角的 16 與左上角的 4 組合得 $16^4=65536$. 把左下角的 8 與右上角的 2 組合及四隅角的四個數之積, 得: $$8^2\times 2\times 4\times 8\times 16=65536.$$ 整理上述幾個等式, 得: $$2^{16}=16^4=4^8=8^2\times (2 \times 4\times 8\times 16)=65536.$$ 於是, 就誕生了這個「四季數」。 有趣的是, 在上述式子中, 這四個偶數既可作底數, 又可作指數, 又可作因數, 互相循環。 可說是「能上(作指數)、 能下(作底數)、能居中(作因數)」, 一個小小四季數竟然領悟了「中庸」之道: 上中下皆可適應, 左中右無所不能。 一個奇妙的「數字團體」, 竟然領略了人類的屬性:能大、能小、能曲、能伸。 可首尾易換 (百姓與總統平等, 萬眾歡呼稱讚), 能前後兼顧 (富裕周濟貧窮, 令貪官污吏汗顏)。 妙哉! 並且每個偶數都恰恰出現三次, 不多不少, 絕對平均。 從而, 完成了鮮為人知的歷史使命 --- 誕生了「這個奇妙的四季數」。 從洛書裡找到了這個「四季數」的答案, 並不是歪打正著, 這個事例再次說明, 起源於中國古代的「河圖、洛書」蘊藏了無窮無盡的珍寶, 等待著眼光窅茫之人的擷取與開發。 目前從河圖、洛書中所汲取的成果比比皆是, 但不足其蘊藏量之萬一也! 「莫怪棗不甜, 只因時未到。」到那橙黃橘綠山花爛漫時, 河圖、 洛書必將綻放出更加奇異的絢麗光彩, 登上數學宮殿的大雅之堂而為世人所景仰! 另外, 《道德經》的「精髓」名言與四季數中的 $A$, $B$, $C$, $D$ 之傳遞關係: 道德經云: 人法地, 地法天, 天法道, 道法自然。 又:道生一, 一生二, 二生三, 三生萬。 都是四傳遞關係。 「四季數」中的 $A$, $B$, $C$, $D$ 也是四傳遞關係: $A^B = B^C = C^D = D^A(ABCD)$. 是偶然的巧合呢? 還是另有玄機? 問題: 1、是否存在由「奇數」構成的這類數呢? 2、是否存在 $n\gt 4$ 元素的這類數呢? 從三階幻方裡發現了這個神奇的「四季」數, 使我國古老的洛書大放異彩。 可說是:中國洛書, 源遠流長, 偶數集合, 再放光芒! 四、不是結語最近發現, 四季數與費馬素數有蛛絲馬跡: 形如: ${\Bbb F}_n=2^{2^n}+1$ 得到的素數稱為費馬素數, 目前得到的費馬素數只有 5 個: \begin{eqnarray*} F_0 &=& 2^1 + 1 = 3\\ F_1 &=& 2^2 + 1 = 5\\ F_2 &=& 2^4 + 1 = 17\\ F_3 &=& 2^8 + 1 = 257\\ F_4 &=& 2^{16} + 1 = 65537 \end{eqnarray*} 65537 是目前所知的最大費馬素數, 亦即四季數 $65536+1$ 是目前最大的費馬素數。 而 65536 是最小的四季數, 至今尚未發現第二個四季數, 是偶然巧合? 還是有必然聯繫呢? 希望把這個資訊傳播出去, 以便儘快解決費馬素數難題與四季數問題。 數學傳播, 傳播數學, 人人熱愛數學, 個個爭相傳播! 參考文獻---本文作者任職中國河南省封丘縣科協--- |