發刊日期 |
2016年12月
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標題 | 超級正交拉丁方與超級雙重幻方系 |
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關鍵字 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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全文 |
一、前言
在 我們首先定義了超級雙重幻方和超級拉丁方。 並說明如何由兩個正交的超級拉丁方構造出一個超級雙重幻方, 以及如何由一個超級雙重幻方構造一個超級雙重幻方系。 並指出由兩個階次分別為 $m$ 和 $n$ 的超級雙重幻方有可能構造出階次為 $m^kn^e$ 階的超級雙重幻方。 並且給出兩個 8 階超級雙重幻方的例子及一個 32 階超級雙重幻方的例子。 還證明了不存在 4 階超級雙重幻方, 最後並提出了一些遺留的問題。 二、基本定義如果一個 $n$ 階方陣 $A=(a_{ij})$ 的元素是由 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 這 $n$ 個元素組成, 而且此方陣的每一行 (列) 的元素都互不相同, 我們稱此方陣為一 $n$ 階拉丁方。 對一個 $2n$ 階的方陣 $A=(a_{ij})$, 我們稱它的元素 $a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}$ 為 $A$ 的主對角線元素; $a_{1,2n}, a_{2,2n-1},\ldots, a_{2n,1}$ 為 $A$ 的副對角線元素。 而元素: $a_{n,1}, a_{n-1,2}, a_{n-2,3},\ldots,a_{1,n}$ 及 $a_{n+1,2n}, a_{2n+2,2n-1}, a_{n+3,2n-2},\ldots,a_{2n,n+2}$ 為 $A$ 的第二副對角線。 而元素: $a_{1,n+1}, a_{2,n+2}, a_{3,n+3},\ldots, a_{n,2n}$ 及 $a_{n+1,1}, a_{n+2,2}, a_{n+3,3},\ldots,a_{2n,n}$ 為 $A$ 的第二主對角線。 以 $n=4$ 為例 $2n$ 階的各個對角線如下: 如果一個 $2n$ 階的拉丁方, 它的主對角線上的各元素, 副對角線上的各元素, 第二主對角線上的各元素及第二副對角線上的各元素都互不相同, 則稱此拉丁方為超級拉丁方。 而兩個拉丁方 $A=(a_{ij})$ 與 $B = (b_{ij})$ 的階次相同時則稱它們為正交的, 如果每一個有序二元集 $(a_{ij}\ b_{ij} )$ 在此 $n^2$ 個有序二元集 $(a_{ij} b_{ij} )$, $i=1,2,\ldots,n$, $j=1 ,2,\ldots,n$ 中恰出現一次。 兩個矩陣 $A=(a_{ij})$ 與 $B= (b_{ij})$ 的階次相同時, 它們的點積 $C= (c_{ij})$ 是指 $$ (c_{ij} )=C=A\cdot B=(a_{ij})\cdot (b_{ij})=(a_{ij}\ b_{ij} ).$$ 一個 $2n$ 階方陣 $C= (c_{ij})$ 叫做超級和 (積) 幻方, 如果 $C$ 的各個元素互不相等, 而且 $C$ 的每行上元素的和 (積), 每列上元素的和 (積), 主對角線上元素的和 (積) , 副對角線上元素的和 (積) , 第二主對角線上元素的和 (積) 及第二副對角線上元素的和 (積), 都相等, 若 $C$ 的各個元素有相等的, 則稱為亞超級和幻方。 如果 $C$ 既是超級和幻方, 又是超級積幻方, $C$ 叫做超級雙重幻方。 三、基本定理定理1: 若 $A=(a_{ij})$ 與 $B= (b_{ij})$ 是兩個正交超級拉丁方。 當它們的點積 $C=A\cdot B= (a_{ij}\ b_{ij} )$ 是超級和幻方時, 則 $C$ 必是超級雙重幻方。 證: 已知 $C$ 是超級和幻方, 又因 $A$ 與 $B$ 都是超級拉丁方, 故 $C$ 也是超級積幻方。 故 $C$ 是超級雙重幻方。 定理2: 若正交拉丁方 $A$ 與 $B$ 的點積 $C=A\cdot B$ 是超級雙重幻方, 則 \begin{eqnarray*} A_1&=& (a+ga_{ij} )\\ B_1&=& (b+hb_{ij} ) \end{eqnarray*} 也是兩個正交超級拉丁方, 而且它們的點積 $$C_1=[ (a+ga_{ij} ) (b+hb_{ij} ) ]$$ 可以有無限多種 $a$、 $b$、 $g$ 和 $h$ 的値使得 $C_1$ 是超級雙重幻方。 證: $A_1$ 與 $B_1$ 也是兩個正交超級拉丁方是很顯然的。 因 $C=A$ 與 $B= (a_{ij}\ b_{ij} )$ 是超級雙重幻方。 所以 $C$ 的所有元素都互不相等。 又因 $C_1$ 可表為 $$C_1=\Big[gh\Big(\frac ag+a_{ij}\Big)\Big(\frac bh+ b_{ij} \Big) \Big]$$ 對於任意給定的 $a$ 與 $b$, 必可使 $g$ 和 $h$ 取的足夠大, 使得 $C_1$ 的所有元素都互不相等。 這是因為當 $a$、 $b$ 給定後, 可使 $g$, $h$ 趨向無窮大, 使得 $$gh\Big(\frac ag+a_{ij}\Big)\Big(\frac bh+ b_{ij} \Big) \to gha_{ij}b_{ij}$$ 由 $C$ 的元素都互不相等, 可知 $C_1$ 的元素也都可以互不相等。 當 $C_1$ 的元素都互不相等時, 我們說 $C_1$ 是超級積幻方是很容易的, 因為這是明顯的事實。 我們現在來證明 $C_1$ 也是超級和幻方。 由 $$(a+ga_{ij} ) (b+hb_{ij} ) =ab+ahb_{ij} +bga_{ij} +gha_{ij} b_{ij}$$ 可知 $C_1$ 的第 $i$ 行各元素的和為 $$2nab+ah\sum_{j=1}^{2n}b_{ij} +bg\sum_{j=1}^{2n}a_{ij} +gh\sum_{j=1}^{2n}a_{ij} b_{ij}=2nab+ahb_o +bga_o +ghc_o$$ 這裏 $a_o$, $b_o$, $c_o$ 分別是 $A$, $B$, $C$ 的各行, 各列各對角線的元素之和。 所以 $C_1$ 各行, 各列的元素之和是相等的。 同理可以說明 $C_1$ 的主對角線上的元素之和, 副對角線, 第二主對角線及第二副對角線上各元素之和也是相等的。 所以 $C_1$ 既是超級積幻方, 也是超級和幻方, 即 $C_1$ 是超級雙重幻方。 如果我們用 $j$ 表每個元素都是 1 的方陣, 則可把定理 2 中的 $C$ 表為 $$C_1=(a_j+ga)\cdot (b_j+hb)$$ 當 $C=A\cdot B$ 是超級雙重幻方時, 存在無限多組 $a$、 $b$、 $g$ 及 $h$ 的値使 $C_1$ 為超級雙重幻方, 因而我們稱這樣的 $C_1$ 為超級雙重幻方系。 下面我們來談如何由兩個已知的超級雙重幻方構造出一個階次更大的超級幻方。 定理3: 若 $A=(a_{ij} )$ 及 $B=(b_{ij})$ 是兩個階次相同的超級拉丁方, $E=(e_{ij})$ 及 $F= (f_{ij})$ 是兩個階次相同的超級拉丁方。 且 $A\cdot B$ 及 $E\cdot F$ 都是超級雙重幻方, 假設存在常數 $g$、 $h$、 $e$ 和 $m$ 使 $$D=[(e_{ij}e_j+gA)\cdot (f_{ij}m_j+hB)]$$ 的各個元素都互不相等, 則 $D$ 為一個階次更大的超級雙重幻方。 證: 我們假設已取了一組 $g$、 $h$、 $e$、 和 $m$ 的値使 $D$ 的所有的元素都互不相等。 那麼很顯然, $D$ 是一個超級積幻方。 這是因為 $D$ 是一個分塊矩陣, 每一個子塊都是一個超級雙重幻方。 它的超級積幻方的性質是非常明顯的。 由 $$D=[(me_{ij}\ f_{ij}+he_{ij}\ B+mgf_{ij}\ A+ghA\cdot B]$$ 令 $a_o$, $b_o$, $c_o$ 分別表 $A$, $B$, $C$ 的各行 (各列) 元素之和, 且 $A$ 與 $B$ 的階次為 $h$, 則 $D$ 的第 $ij$ 個分塊的各行 (各列及各種對角線) 上元素之和為 $$mne_{ij}f_{ij} + hb_o\ e_{ij}+mga_of_{ij}+ghc_o$$ 又由 $E$、 $F$ 是超級拉丁方及 $E$、 $F$ 是超級雙重幻方可知: 上式無論對 $i$ 求和或對 $j$ 求和其値都相等。 類似的也可以得出 $D$ 的各種對角線上各元素之和也相等。 所以在這種情況下, $D$ 是一個超級雙重幻方。 四、兩個 8 階超級雙重幻方的例定理4: 存在 8 階超級雙重幻方系。 證: 只要我們能把它們構造出來就行了。 先構造兩個超級拉丁方為: $$A=\left[\begin{array}{cc} ~A_{11}~&~A_{12}~\\ A_{21}&A_{22} \end{array}\right]\hskip 3cm B=\left[\begin{array}{cc} ~B_{11}~&~B_{12}~\\ B_{21}&B_{22} \end{array}\right]$$ $$A_{11}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} a_1\!-\!3a_2&~a_1\!-\!3a_2&~a_1\!+\!4a_2&~a_1\!+\!a_2\\ a_1\!-\!4a_2&~a_1\!-\!a_2&~a_1\!+\!3a_2&~a_1\!+\!2a_2\\ a_1\!+\!3a_2&~a_1\!+\!2a_2&~a_1\!-\!4a_2&~a_1\!-\!a_2\\ a_1\!+\!4a_2&~a_1\!+\!a_2&~a_1\!-\!3a_2&~a_1\!-\!2a_2 \end{array}\right]\hskip .1cm A_{12}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} a_1\!-\!4a_2&~a_1\!-\!a_2&~a_1\!+\!3a_2&~a_1\!+\!2a_2\\ a_1\!-\!3a_2&~a_1\!-\!2a_2&~a_1\!+\!4a_2&~a_1\!+\!a_2\\ a_1\!+\!4a_2&~a_1\!+\!a_2&~a_1\!-\!3a_2&~a_1\!-\!2a_2\\ a_1\!+\!3a_2&~a_1\!+\!2a_2&~a_1\!-\!4a_2&~a_1\!-\!a_2 \end{array}\right]$$ $$A_{21}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} a_1\!+\!a_2&~a_1\!+\!4a_2&~a_1\!-\!2a_2&~a_1\!-\!3a_2\\ a_1\!+\!2a_2&~a_1\!+\!3a_2&~a_1\!-\!a_2&~a_1\!-\!4a_2\\ a_1\!-\!a_2&~a_1\!-\!4a_2&~a_1\!+\!2a_2&~a_1\!+3\!a_2\\ a_1\!-\!4a_2&~a_1\!-\!a_2&~a_1\!+\!a_2&~a_1\!+\!4a_2 \end{array}\right]\hskip .1cm A_{22}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} a_1\!+\!2a_2&~a_1\!+\!3a_2&~a_1\!-\!a_2&~a_1\!-\!4a_2\\ a_1\!+\!a_2&~a_1\!+\!4a_2&~a_1\!-\!2a_2&~a_1\!-\!3a_2\\ a_1\!-\!2a_2&~a_1\!-\!3a_2&~a_1\!+\!a_2&~a_1\!+\!4a_2\\ a_1\!-\!a_2&~a_1\!-\!4a_2&~a_1\!+\!2a_2&~a_1\!+\!3a_2 \end{array}\right]$$ $$B_{11}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!-\!4b_2&~b_1\!-\!b_2\\ b_1\!-\!b_2&~b_1\!-3\!b_2&~b_1\!+\!4b_2&~b_1\!+\!2b_2\\ b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!-\!2b_2&~b_1\!-\!4b_2\\ b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!+\!2b_2&~b_1\!+\!4b_2 \end{array}\right]\hskip .4cm B_{12}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!+\!2b_2&~b_1\!+\!4b_2\\ b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!-\!2b_2&~b_1\!-\!4b_2\\ b_1\!-\!b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!+\!4b_2&~b_1\!+\!2b_2\\ b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!-\!4b_2&~b_1\!-\!2b_2 \end{array}\right]$$ $$B_{21}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!+\!2b_2&~b_1\!+\!4b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!b_2\\ b_1\!-\!2b_2&~b_1\!-\!4b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!b_2\\ b_1\!+\!4b_2&~b_1\!+\!2b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!-3\!b_2\\ b_1\!-\!4b_2&~b_1\!-\!2b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!3b_2 \end{array}\right]\hskip .4cm B_{22}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!-\!4b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!3b_2\\ b_1\!+\!4b_2&~b_1\!+\!2b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!-\!3b_2\\ b_1\!-\!2b_2&~b_1\!-\!4b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!b_2\\ b_1\!+\!2b_2&~b_1\!+\!4b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!b_2 \end{array}\right]$$ 容易證明我們這樣所構造的方陣 $A$ 和 $B$ 都是超級拉丁方, 而且它們是正交的。 我們令 $C$ 為方陣 $A$ 與 $B$ 的點積, 而: $$C=A\cdot B=(a_{ij}\cdot b_{ij})$$ 由 $A$ 及 $B$ 的超級拉丁方的性質可知, 只要 $C$ 的各個元素互不相同, 那麼它就是一個超級積幻方。 由 $a_{ij} = a_1+a'_{ij}\cdot a_2b_{ij} = b_1+b_{ij}\cdot b_2$ 可得 $a_{ij}\cdot b_{ij} = a_1b_1+b'_{ij}\cdot a_1b_1+a'_{ij}a_2b_1+a'_{ij}\cdot b'_{ij}\cdot a_2b_2$ 又由 \begin{eqnarray*} &&\sum_{i=1}^8b'_{ij}=\sum_{i=1}^8a'_{ij}\sum_{j=1}^8b'_{ij}\sum_{j=1}^8a'_{ij}=0 \end{eqnarray*} 可知 \begin{eqnarray*} &&\sum_{i=1}^8a_{ij}\cdot b_{ij}=8a_1b_1+a_2b_2\sum_{i=1}^8a'_{ij}\cdot b'_{ij}\\ &&\sum_{j=1}^8a_{ij}\cdot b_{ij}=8a_1b_1+a_2b_2\sum_{j=1}^8a'_{ij}\cdot b'_{ij}\end{eqnarray*} 由兩條對角線及另外兩個和式所得的結果也是類似的。 因此 $C$ 是否超級和幻方完全取決於矩陣 $$D=(a'_{ij}\cdot b'_{ij})$$ 的各行各列的元素之和是否相等了。 我們把 $D$ 詳細的寫出為
容易證明: $D$ 的各行的元素之和, 各列的元素之和, 兩條對角線上各元素之和以及 $D_{12}$ 與 $D_{21}$ 的主對角線上的元素之和等等都是 0。 故只要C的各個元素互不相同, 它就是一個超級和幻方。 我們現在來證明: 對於任意給定的 $a_1$ 與 $a_2$, 必存在 $b_1$ 與 $b_2$, 使得 $C$ 的各個元素互不相同。 對於 $C$ 的任意一個元素 $a_{ij}\cdot b_{ij}\ $。 其他元素若與它相等的話, 必是形如 $(a_{ij} +k_1a_2) (b_{ij} -k_2b_2)$ 或 $(a_{ij} -k_1a_2) (b_{ij} +k_2b_2)$ 這裏 $1\le k_1\le 8$, $1\le k_2\le 8\ $。 第一式若與 $a_{ij} b_{ij}$ 相等, 必是 $k_1a_2b_{ij} =k_2b_2(a_{ij} +k_1a_2)\ $。 當 $a_1$、 $a_2$ 都取定以後, 再取定 $b_2$, 我們必可使 $b_1$ 取得足夠大, 使它不能成為等式。 對於後一式的討論也是類似的。 因 $a_1$ 與 $a_2$ 之値取法有無限多。 故使 $C$ 的値互不相等的取法也有無限多。 這就證明了我們的定理。 由此我們可得一個一般的定理 定理5: 若 $A=(a_1+a_2a'_{ij})$, $B=(b_1+b_2b'_{ij})$ 是兩個正交的超級拉丁方。 且 $C'= (a'_{ij} b'_{ij})$ 為一個亞超級和幻方, 則 $C=A\cdot B=[(a_1+a_2a_{ij}) (b_1+b_2b_{ij})]$ 是超級雙重幻方系。 下面我們再給出一個 8 階超級雙重幻方系的例。 在此例中 $$A=\left[\begin{array}{cc} ~A_{11}~&~A_{12}~\\ A_{21}&A_{22} \end{array}\right]\hskip 3cm B=\left[\begin{array}{cc} ~B_{11}~&~B_{12}~\\ B_{21}&B_{22} \end{array}\right]$$ 這裏A仍上述。 若令 $$B_{11}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!5b_2&~b_1\!-\!7b_2&~b_1\!-\!3b_2\\ b_1\!-\!b_2&~b_1\!-5\!b_2&~b_1\!+\!7b_2&~b_1\!+\!3b_2\\ b_1\!+\!5b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!7b_2\\ b_1\!-\!5b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!7b_2 \end{array}\right]\hskip .4cm B_{12}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!-\!5b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!7b_2\\ b_1\!+\!5b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!7b_2\\ b_1\!-\!b_2&~b_1\!-\!5b_2&~b_1\!+\!7b_2&~b_1\!+\!3b_2\\ b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!5b_2&~b_1\!-\!7b_2&~b_1\!-\!3b_2 \end{array}\right]$$ $$B_{21}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!7b_2&~b_1\!-\!5b_2&~b_1\!-\!b_2\\ b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!7b_2&~b_1\!+\!5b_2&~b_1\!+\!b_2\\ b_1\!+\!7b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!-5\!b_2\\ b_1\!-\!7b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!5b_2 \end{array}\right]\hskip .4cm B_{22}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!-\!7b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!5b_2\\ b_1\!+\!7b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!-\!5b_2\\ b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!7b_2&~b_1\!+\!5b_2&~b_1\!+\!b_2\\ b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!7b_2&~b_1\!-\!5b_2&~b_1\!-\!b_2 \end{array}\right]$$ 此時所得的 $D$ 為
這裏 $D$ 的各行元素, 各列元素, 各主副對角線上的元素之和都為 0。 所以由這一組 $A$、 $B$ 陣得到的也是一個超級雙重幻方系。 對後者來說, 當 $a_1\!=\!5$, $a_2\!=\!1$, $b_1\!=\!18$ 及 $b_2\!=\!1$ 時就可以得到一個 8 階超級雙重幻方。 五、一個 32 階超級雙重幻方的例定理6: 存在 32 階超級雙重幻方系。 證: 我們來把他構造出來: $A$ 陣, $B$ 陣(略) 32 階雙重幻方分為第 1 列至第 16 列與第 17 列至第 32 列兩部分, 如下: 32 階雙重幻方 (1) , 第 1 列至 16 列
32階雙重幻方 (2), 第 17 列至 32 列
六、不存在 4 階超級雙重幻方下面我們將說明階次為 4 的矩陣恰有一對正交拉丁方。 但它們卻不能構造出超級雙重幻方系。即 定理7: 階次為 4 的矩陣一對正交超級拉丁方。 但用它們構造不出超級雙重幻方系。 證: 我們構造一對正交超級拉丁方
在上表中, 因為第一行我們可以任意填寫, 就令它們是 $a_1$、 $a_2$、 $a_3$、 $a_4$ 及 $b_1$、 $b_2$、 $b_3$、 $b_4$。 按超級拉丁方的要求第二行的第一個元素只能有兩種取法, 或取 $a_3(b_3)$, 或取 $a_4(b_4)$, 當這個元素取定後, 按超級拉丁方的要求, 以下的元素都是依次唯一確定的。 這樣我們就造出了這兩個超級拉丁方, 而它們恰是正交的。 因為我們只能造出這兩個, 所以 4 階的超級拉丁方就是只有這兩個 (同構者我們看作相同)。 我們現在來證明由這兩個正交超級拉丁方構造不出超級雙重幻方。 假設由它們能造出超級雙重幻方。那麼它們的點積
令第一行的各元素之和與其它各行、 各列及各對角線上元素之和分別相等可得到 11 個等式, 其中 8 個是: \begin{eqnarray*} (a_2-a_4)b_2+(a_3-a_2)b_3+(a_4-a_3)b_4&=&0\\ (a_2-a_3)b_2+(a_3-a_4)b_3+(a_4-a_1)b_4&=&0\\ (a_1-a_3)b_1+(a_3-a_4)b_3+(a_4-a_1)b_4&=&0\\ (a_1-a_4)b_1+(a_3-a_1)b_3+(a_4-a_3)b_4&=&0\\ (a_1-a_4)b_1+(a_2-a_1)b_2+(a_4-a_2)b_4&=&0\\ (a_1-a_2)b_1+(a_2-a_4)b_2+(a_4-a_1)b_4&=&0\\ (a_1-a_2)b_1+(a_2-a_3)b_2+(a_3-a_1)b_3&=&0\\ (a_1-a_3)b_1+(a_2-a_1)b_2+(a_3-a_2)b_3&=&0 \end{eqnarray*} 要使 $b_1$、 $b_2$、 $b_3$、 $b_4$ 有非 0 解, 由上列各式可得
由上面三個行列式分別可得 \begin{eqnarray*} (a_2-a_1)(a_2-a_3)(a_ 2 1+a_ 2 3+a_ 2 4-a_1a_3-a_1a_4-a_3a_4)&=&0\\ (a_3-a_1)(a_3-a_4)(a_ 2 1+a_ 2 2+a_ 2 4-a_1a_2-a_1a_4-a_2a_4)&=&0\\ (a_3-a_1)(a_4-a_2)(a_ 2 1+a_ 2 2+a_ 2 3-a_1a_2-a_1a_3-a_2a_3)&=&0 \end{eqnarray*} 因為不能有 $a_i=a_j$, $i\not=j\ $。 所以必有 \begin{eqnarray*} a_ 2 1+a_ 2 3+a_ 2 4-a_1a_3-a_1a_4-a_3a_4 &=&0\\ a_ 2 1+a_ 2 2+a_ 2 4-a_1a_2-a_1a_4-a_2a_4 &=&0\\ a_ 2 1+a_ 2 2+a_ 2 3-a_1a_2-a_1a_3-a_2a_3 &=&0 \end{eqnarray*} 由上列前兩式和後兩式分別可得 \begin{eqnarray*} (a_2-a_3)(a_2+a_3-a_1-a_4) &=&0\\ (a_3-a_4)(a_3+a_4-a_1-a_2) &=&0 \end{eqnarray*} 同前, 由上兩式只可能有 $$a_2+a_3-a_1-a_4 = 0 \qquad a_3+a_4-a_1-a_2 = 0$$ 由上列兩式只能有 $$a_2 = a_4$$ 這是不允許的。 所以由這兩個超級正交拉丁方不能構造出超級雙重幻方。 七、問題對於超級雙重幻方的研究只是一個開端, 需要研究的問題還很多, 我們現在想到的有以下幾點: (以下所說的 $n$ 都是矩陣的階次) 。
附: 寫這篇文章的時候心情非常沉痛, 當年對我關心、支持、幫助的老前輩、老數學家 -- 邱荷生研究員已經離開了這個世界, 雖然離開了我們, 但他在學術研究方面功不可沒, 特別是在雙重幻方與反幻方方面, 孜孜不倦地指導我從 "0" 開始起步、學習、進展、發表文章, 取得一些成果。 筆者忠懇的感謝幫助、 指導我進步的已故的老數學家、 老前輩: 梁宗巨教授, 張忠輔教授、邱荷生研究員。 他們高尚尊貴的人格、純潔無瑕的品格、樂於助人的風格。 為我們矗立了學習的豐碑! 老教授, 老前輩, 永垂不朽! 參考文獻---本文作者梁培基任職教河南省封丘縣科協, 邱荷生任職河南省數學會--- |