發刊日期 |
2016年9月
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標題 | 黃金比與黑洞數 |
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一、黑洞數的概念一個整數的數位的最大排序與它的最小排序之差, 重複操作, 最後是一個數迴圈或者一個數鏈迴圈, 我們把最後是一個數或者一個迴圈數鏈稱為黑洞圈 (cycle), 也叫陷阱數或者黑洞數。
印度數學家首先證明四位數的單黑洞圈是 6174 (1-cycle), 楊之老師在文 有沒有尋找構造黑洞數的簡易方法, 即使找不到構造黑洞數直接的方法, 能不能找到一個最接近黑洞圈的數, 它的下一個數就是黑洞數或者是黑洞圈, 我們把這個數定義為准黑洞數, 或者能不能找到一個很接近黑洞數的數, 這個數下一個運算結果是凖黑洞數, 我們定義為黑洞友好數。 二、主要結果究竟如何發現這樣構造的, 我們看四位數的單圈黑洞圈是6174; 五位數的黑洞數是黑洞圈 $53955 \to 59994$, $74943 \to 62964 \to 71973 \to 83952$, $63954 \to 61974 \to 82962 \to 75933$; 六位數的黑洞圈是 631764, 549945; 七位數是黑洞圈 $7419753 \to 8429652 \to 7619733 \to 8439552 \to 7509843 \to 9529641 \to 8719722 \\ \to 8649432 \to 7519752 \to 8629632 \to 7629633 \to 7429653 \to 7419753$, 是十三圈; 八位數是 97508421, 63317664; 九位數是 864197532, 十位數是 6333176664; 十一位數是 86431976532 單圈黑洞圈、 還有 "$76320987633 \to 96442965531 \to 87320987622 \to 96653954331 \to 86330986632 \\ \to 96532966431 \to 87331976622 \to 86542965432 \to 76320987633$" 黑洞圈是一個 8-cycle; 十二位數是 $975550844421 \to 975110888421 \to 977750842221 \to 975550844421$; 十三位數是 8643319766532, 十四位數是 63333317666664; 十五位數是 864333197666532 思考: 從上面的 6174, 61974, 631764, 63317664, 633317664, 是兩位數黑洞數中取得 "63"、"9" 與 "6174" 進行搭配, 於是定理 1 就發現了。 於是我們想到用 6174 與"36"、 "9"搭配, 發現了定理 1。 定理1: $n$ 為大於等於 2 的整數, 則: 6174$\underbrace{3636\cdots 36}_{n 個36}$ 為 $2n+4$位凖黑洞數; 6$\underbrace{33\cdots3}_{n 個3}$17$\underbrace{66\cdots 6}_{n 個6}$ 為 $2n+4$ 位的一個單圈黑洞圈; 61749$\underbrace{3636\cdots 36}_{n 個36}$ 為 $2n+5$ 位的一個黑洞友好數; 864$\underbrace{33\cdots 3}_{n-2 個3}$197$\underbrace{66\cdots 6}_{n 個6}$532 為 $2n+5$ 位的一個單圈黑洞圈。 證明: $2n+4(n\ge 2)$ 位數, 6174$\underbrace{3636\cdots 36}_{n個36}$ $$7\underbrace{66\cdots 6}_{n+1 個6}4\underbrace{33\cdots 3}_{n 個3}1-1\underbrace{33\cdots 3}_{n個3}4\underbrace{66\cdots 6}_{n+1 個6}7 =6\underbrace{33\cdots 3}_{n個3}17\underbrace{66\cdots 6}_{n個6}4$$ 對於 $2n+5(n\ge 2)$ 位數, \begin{eqnarray*} &&\hskip -20pt 61749\underbrace{3636\cdots 36}_{n個36},97\underbrace{66\cdots 6}_{n+1 個6}4\underbrace{33\cdots 3}_{n 個3}1-1\underbrace{33\cdots 3}_{n個3}4\underbrace{66\cdots 6}_{n+1 個6}79\\ &=&84\underbrace{33\cdots 3}_{n-1個3}197\underbrace{66\cdots 6}_{n-1個6}52,987\underbrace{66\cdots 6}_{n-1個6}54\underbrace{33\cdots 3}_{n-1個3}21-12\underbrace{33\cdots 3}_{n-1個3}45\underbrace{66\cdots 6}_{n-1個6}789\\ &=&864\underbrace{33\cdots 3}_{n-2個3}197\underbrace{66\cdots 6}_{n-2個6}532\\ &&\hskip -20pt 987\underbrace{66\cdots 6}_{n-1 個6}54\underbrace{33\cdots 3}_{n-1個3}21-12\underbrace{33\cdots 3}_{n-1個3}45\underbrace{66\cdots 6}_{n-1 個6}789\\ &=&864\underbrace{33\cdots 3}_{n-2個3}197\underbrace{66\cdots 6}_{n-2個6}532 \end{eqnarray*} 例如: 五十位數的單圈黑洞圈: $6\underbrace{33\cdots 3}_{23個3}17\underbrace{66\cdots 6}_{23個6}4$ 一百零五位數的單圈黑洞圈:$864\underbrace{33\cdots 3}_{48個3}197\underbrace{66\cdots 6}_{48個6}532$ 一億零四位數的單圈黑洞圈:$6\underbrace{33\cdots 3}_{五千萬個3}17\underbrace{66\cdots 6}_{五千萬個6}4$ 一億零九位數的單圈黑洞圈:$864\underbrace{33\cdots 3}_{五千萬個3}197\underbrace{66\cdots 6}_{五千萬個6}532$ 構造產生的根源, 我們尋找母數, 從低位數的黑洞數進行拼湊, "$27 \to 45 \to 9 \to 81 \to 63 \to 27$" 例如, $3n$ 位數, $\underbrace{44\cdots 4}_{n個4}\underbrace{55\cdots 5}_{n個5}\underbrace{99\cdots 9}_{n個9}$ 凖黑洞數。 證明: $\underbrace{99\cdots 9}_{n個9}\underbrace{55\cdots 5}_{n個5}\underbrace{44\cdots 4}_{n個4}-\underbrace{44\cdots 4}_{n個4}\underbrace{55\cdots 5}_{n個5}\underbrace{99\cdots 9}_{n個9}$ $\underbrace{55\cdots 5}_{n-1個5}4\underbrace{99\cdots 9}_{n個9}\underbrace{44\cdots 4}_{n-1個4}5$ 定理 2, $3n$ 位數, $\underbrace{55\cdots 5}_{n-1個5}4\underbrace{99\cdots 9}_{n個9}\underbrace{44\cdots 4}_{n-1個4}5$ 是黑洞數。 三、黃金比與黑洞圈我們在尋找黑洞圈中, 考慮長度問題發現與黃金分割中的黃金比有聯繫, 我們從一些資料中看到了規律。 四位數中總共有 9999 個, 一般來說, 若把 0看作 "0000", 0000 明顯是黑洞圈, 而且是單圈黑洞圈 (1-cycle), 而 "1111、 2222、 $\ldots$、 9999" 這九個數皆是准黑洞數。 而 6174 也是單圈黑洞圈。 五位數中, 有三個黑洞圈, 其中 00000 是單圈, 53955 是雙圈 (2-cycle), 74943是四圈 (4-cycle), 61974 也是四圈。 我們觀察上面的結果, 考慮 9990 個四位數, 我們發現 $$9990\times \frac{\sqrt 5-1}2=9990\times 0.618033988\cdots=6174.159548\cdots\approx 6174$$ 這是巧合還是隱含著某種規律; 於是我們進行研究, 經過大量工作, 我們找到了規律。
於是, 我們提出猜想: $(10^{3n}-10)\Big(\frac{\sqrt 5-1}{2}\Big)^n$ 四捨五入得到的整數或者過剩近似值整數中有 $3n$ 位的一個凖黑洞數; $(10^{3n+1}-10)\Big(\frac{\sqrt 5-1}{2}\Big)^n$ 四捨五入得到的整數或者過剩近似值整數中有 $3n+1$ 位的單黑洞圈或者黑洞友好數; $(10^{3n+2}-10)\Big(\frac{\sqrt 5-1}{2}\Big)^n$ 四捨五入得到的整數或者過剩近似值整數中有 $3n+2$ 位的准黑洞數或者不超過 7 步進入黑洞圈。 我們知道位數比較大的話, 通過有限次運算就能夠進入黑洞圈, 這也是比較有意思的工作, 因此, 我們通過乘以黃金比前後的數位前後找, 為黑洞圈研究提供一種想法, 有興趣的同行可以進一步研究。 參考文獻---本文作者任教江蘇省無錫市碩放中學--- |