發刊日期 |
2016年6月
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標題 | 何謂廣義相對論? |
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David Tong為劍橋大學理論物理學家, 研究量子理論及廣義相對論。
本文「What is general relativity?」原載 +Plus Magazine
(https://plus.maths.org/content/what-general-relativity),
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物理學家談到愛因斯坦的方程時, 通常指的不是有名的 $E=mc^2$, 而是另一個概括著名廣義相對論的公式。 愛因斯坦在一百年前 --- 1915 年發表廣義相對論, 為了慶祝廣義相對論一百週年, 我們邀請劍橋大學物理學家 David Tong, 講解何謂廣義相對論以及愛因斯坦的方程是如何傳達概念的。 您可以觀看以下影片或繼續讀下去。 1.從牛頓講起廣義相對論描述重力, 然而愛因斯坦並不是第一個想出這樣理論的人 --- 早在 1686 年, 艾薩克$\cdot$牛頓 (Isaac Newton) 就想出著名的重力平方反比定律 (inverse square law of gravitation)。 牛頓定律在涉及的尺度不是很大的時候運作得極好: 我們可以用它計算物體從高樓掉落撞擊到地面的速度, 甚至還能用它將人類送上月球。 不過當距離和速度非常大, 或涉及的物體質量龐大時, 牛頓的定律就變得不精確。 但是從牛頓講起是好的開始, 因為比起愛因斯坦的理論, 牛頓的定律更容易描述。 假設有兩個物體, 譬如太陽和地球, 質量分別是 $m_1$ 及 $m_2$, 兩者距離以 $r$ 表示, 根據牛頓定律, 兩者間的重力 $F$ 為 $$F=G_N\frac{m_1m_2}{r^2},$$ 其中 $G_N$ 是一個固定的數, 即一般所知的牛頓常數(萬有引力常數)。 這個方程的直觀意義是: 它告訴我們, 兩者距離越遠, 重力越弱 ($r$ 越大, $F$ 越小); 物體質量越大, 重力越強 ($m_1$ 或 $m_2$ 越大, $F$ 越強)。 2.不同的力, 同樣的方程另一個方程長得很類似, 但描述不同的力。 1785年, 法國物理學家夏爾$\cdot$奧古斯丁$\cdot$庫侖 (Charles-Augustin de Coulomb)導出一個方程, 描述兩個帶電粒子 $Q_1$ 及 $Q_2$ 間的靜電力 $F$。 $$F=\frac 1{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{r^2},$$ 這裡 $r$ 代表粒子間的距離, $\epsilon_0$ 是決定電磁場強度的一個常數。 (它有個花俏的名字 --- 自由空間電容率 (permittivity of free space)。) 3.牛頓方程的問題牛頓和庫侖的方程簡潔明瞭, 卻有個問題。 回到牛頓定律, 假設將地球及太陽快速分離, 如此一來會讓兩者間的重力減弱, 但是根據牛頓的方程, 兩個天體分開的那一刻重力就會立即減弱, 庫侖定律也是如此: 將帶電粒子迅速分開, 會導致兩者間的靜電力瞬間減弱。 但這不可能是對的, 愛因斯坦在 1905年, 比廣義相對論早十年, 提出的狹義相對論, 談到宇宙沒有任何東西能超越光速, 即便是兩個物體分離時, 重力變弱產生的「信號」, 都理當如是。 4.為何需要場(fields)?這告訴我們古典力學中的力在近代物理必須被置換。 我們需要以新的概念, 來思考傳遞兩物體間的力。 這是英國科學家麥可$\cdot$法拉第 (Michael Faraday) 在理論物理的重大貢獻。 他領悟到有種今日我們稱作「場(fields)」的東西遍及整個宇宙, 涉及力的傳遞。 你們在學校可能已經很熟悉的電場和磁場都是例子。
科學家花了很長一段時間, 才完全發展出對電磁場的描述, 主要歸功於蘇格蘭科學家詹姆斯$\cdot$克拉克$\cdot$馬克士威 (James Clerk Maxwell)。 他不僅瞭解到電力和磁力是電磁學統一的力中的兩個面向, 還用四道方程取代庫倫的單一靜電定律, 來描述電場及磁場如何回應移動的帶電粒子。 馬克士威的四道方程是物理學中最令人讚嘆的幾道方程, 因為它刻畫了電力及磁力的所有知識。 5.重力與時空那重力呢? 如同電磁學中, 需要由場產生兩個天體間觀測到的重力, 愛因斯坦的偉大洞見在於, 這個場是由我們已知的東西 --- 時間和空間形成。 想像空間中有個很重的天體, 比如太陽, 愛因斯坦了解空間不只是被動的旁觀者, 而能藉由彎曲對重物做出反應。 另一個天體, 好比地球, 移動至較重天體所產生的凹陷中, 受凹陷影響而轉向, 不會繼續沿直線前進, 而是開始繞著較重的天體旋轉。 或者, 如果速度夠慢, 還會撞上去。(愛因斯坦奮鬥多年才得出這個理論, 更多內容請參閱 「愛因斯坦與相對論(上)(下)」。) 愛因斯坦理論的另一個啟示是, 時間和空間可以相互扭曲變形, 複雜緊密地連結在一起, 時間同樣也能因大型天體而扭曲。 這就是為何我們談的不只是空間的曲率, 而是「時空」的曲率。 6.方程式廣義相對論以一個乍看之下很簡單的方程表示: $$R_{\mu\nu}-\frac 12Rg_{\mu\nu}=\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{\mu\nu}.$$ 基本上這個方程告訴我們, 給定的質量和能量如何讓時空彎曲, 方程的左邊 $$R_{\mu\nu}-\frac 12Rg_{\mu\nu},$$ 描述時空的彎曲, 其作用就是我們觀察到的重力, 相當於牛頓方程左邊的 $F$。
出現在下標中的希臘字母 $\mu$ 和 $\nu$ 又是什麼呢? 要了解它們的意思, 首先要注意時空有四個維度, 空間有三維(對應到空間裡上下、左右及前後的方向), 時間有一維(只有一個方向)。 如果你想知道一個小小天體的移動如何影響時空, 就必須 了解它是如何影響四維中的各個維度以及這些維度的不同組合。 (以此類推, 想想在牛頓的古典力學裡, 你會如何描述一個沿直線等速移動的物體。 你需要兩則資訊: 方向和移動的速度。 方向由三個數字表示, 每個數字皆代表物體在三度空間中每個維度移動的量。 因此, 物體的移動由四個數字描述, 其中三個與空間相關, 另一個與速度有關。 由於速度是每單位時間移動的距離, 為了描述物體的移動, 我們需要三則與空間相關、一則與時間相關的資訊。) 7.不只是一道方程在愛因斯坦的方程裡, 希臘字母 $\mu$ 和 $\nu$ 是標號, 每個都可以取 0、 1、 2 或 3 的值。 因此實際上, 上面的方程蘊含一整組, 對應於 $\mu$ 和 $\nu$ 所有可能組合的方程: \begin{eqnarray*} R_{00}-\frac 12Rg_{00}&=&\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{00} R_{01}-\frac 12Rg_{01}&=&\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{01} R_{11}-\frac 12Rg_{11}&=&\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{11} \end{eqnarray*} 等等。 0 的值對應到時間, 1、 2 和 3 的值則與空間的三維對應。 方程式 $$R_{01}-\frac 12Rg_{01}=\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{01}$$ 因而與時間和第一維空間有關。 右手邊的 $T$ 描述第一維空間裡物質的動量(速度及質量)。 移動使得時間和第一維空間混合並相互彎曲, 這個現象由方程式的左手邊表示。 (其它等於 2 或 3 的方程式都可以類推。) 若方程式僅涉及空間中的某一維度, 譬如 $$R_{11}-\frac 12Rg_{11}=\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{11},$$ 這個方程便只和空間有關。右手邊的 $T$ 項量測物質在此空間方向所引起的壓力, 左手邊則告訴你該物質如何造成空間在此方向的延展。 若 $\mu$ 和 $\nu$ 的值皆為 0, 那麼方程式 $$R_{00}-\frac 12Rg_{00}=\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{00}$$ 只和時間有關。 $T_{00}$ 代表能量, 使時間加快或減慢。方程的左手邊描述時間流中的改變。 由於每個 $\mu$ 和 $\nu$ 能有4個值(因為 $\mu$ 和 $\nu$ 可以是 0、 1、 2 或 3 四個值的任一個), 總共會有 $4\times 4 =16$ 個方程式。 然而, $\mu=i$ 和 $\nu=j$ 時的方程式, 跟 $\mu=j$ 和 $\nu=i$ 時的方程式相同, 所以方程式的總數減為 10 個。
我們怎麼知道愛因斯坦的理論是正確的? 這個理論發表至今一百年, 通過每個考驗。 雖然它有點深奧, 卻在大多數人日常仰賴的事物中扮演關鍵角色, 像是智慧型手機裡的 GPS 功能、 車上的衛星導航裝置。 相對論確實引發了一些新問題, 這就是為何一些物理學家認為它需要被修改的原因 (參閱 Problems of gravity, Marianne Freiberger 著 https://plus.maths.org/content/problems-gravity)。 不過, 姑且不論修改是否真的必要, 廣義相對論無疑是科學史上最令人讚嘆的成就之一。 ---本文翻譯者黃馨霈為中央研究院數學研究所助理--- |