發刊日期 |
2009年3月
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標題 | 正 n 角星的內角和探討 |
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作者 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
關鍵字 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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在國中數學課程的「三角形的基本性質」這一單元中, 一般都會有關於正五角星 、 正六角星的內角和求和問題給學生練習, 學生不外乎是利用三角形的內角和定理、外角定理來求解 (見圖一 、 圖二), 又因為求出來的正五角星內角和是 $180^\circ$、 正六角星內角和是 $360^\circ$, 所以學生不免會好奇其他的正 $n$ 角星的內角和會有怎樣的規則性? 我試著從不同的角度來切入問題, 利用「圓周角的度數是所對的弧度數的一半」這個性質讓整個問題處理起來非常簡潔清楚, 而且結論也很漂亮。
一、正 $n$ 角星的內角和探討這裡所談論的正 $n$ 角星是可內椄於一圓內, 且每一內角的大小都相同。 先以正九角星為例, 將圓周九等分後, 將等分點編號為 1$\sim$9, 令兩頂點之間相隔弧的數目為 $d$, 且 $1\lt d\lt \Big [\displaystyle\frac{9}{2}\Big ]$, 討論: (1) 當 $d=4$ 時, 按 (1, 5, 9, 4, 8, 3, 7, 2, 6) 的順序將點連接起來, 得一正九角星 (見圖三), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 $\displaystyle\frac{1}{9}$ 等分, 所以九個內角總和是周角 $(360^\circ)$ 的 $\displaystyle\frac{1}{2}$, 也就是 $180^\circ$。 (2) 當 $d=3$ 時, 按 (1, 4, 7) 、 (2, 5, 8) 、 (3, 6, 9) 的順序將點連接起來, 得一正九角星 (見圖四), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 $\displaystyle\frac{3}{9}$ 等分, 所以九個內角總和是周角的 $\displaystyle\frac{3}{2}$, 也就是 $540^\circ$。 (3) 當 $d=2$ 時, 按 (1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8) 的順序將點連接起來, 得一正九角星 (見圖五), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 $\displaystyle\frac{5}{9}$ 等分, 所以九個內角總和是周角的 $\displaystyle\frac{5}{2}$, 也就是 $900^\circ$。
再以正十角星為例, 將圓周十等分後, 將等分點編號為 1$\sim$10, 令兩頂點之間相隔弧的數目為 $d$, 且 $1\lt d\lt \Big [\displaystyle\frac{10}{2}\Big ]$, 討論: (1)當 $d=4$ 時, 按 (1, 5, 9, 3, 7) 、 (2, 6, 10, 4, 8) 的順序將點連接起來, 得一正十角星 (見圖六), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 $\displaystyle\frac{2}{10}$ 等分, 所以十個內角總和恰為周角, 也就是 $360^\circ$。 (2) 當 $d=3$ 時, 按 (1, 4, 7, 10, 3, 6, 9, 2, 5, 8) 的順序將點連接起來, 得一正十角星 (見圖七), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 $\displaystyle\frac{4}{10}$ 等分, 所以十個內角總和是周角的 2 倍, 也就是 $720^\circ$。 (3) 當 $d=2$ 時, 按 (1, 3, 5, 7, 9) 、 (2, 4, 6, 8, 10) 的順序將點連接起來, 得一正十角星 (見圖八), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 $\displaystyle\frac{6}{10}$ 等分, 所以十個內角總和是周角的 3 倍, 也就是 $1080^\circ$。
利用這樣的想法, 我們可推知: 因為兩頂點之間相隔弧的數目為 $d$, 所以正 $n$ 角星的每一個內角度數為 $360^\circ\times\displaystyle\frac{n-2d}{n}\times\frac{1}{2}$, 所以可歸納整理出正 $n$ 角星的內角和公式為 $180^\circ\times(n-2d)$, 其中 $1\lt d\lt \Big [\displaystyle\frac{n}{2}\Big ]$; 可參考下面的附表 (單位: 度)。
二、延伸相關性的教學活動
參考文獻---本文作者任教台中市曉明女中國中部--- |