發刊日期 |
2007年12月
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標題 | 假幣問題及其解法 |
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作者 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
關鍵字 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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全文 |
1. 引言所謂「假幣問題」(又稱「12錢幣問題」), 是指有12枚錢幣, 其中有一枚是假幣, 它與真幣的形狀相同, 但重量不相同。如果容許以天平稱量3次, 但不可使用砝碼, 怎樣可判別出哪一枚才是假幣? 並確定它比真幣較重還是較輕? 這是一個經典的數學謎題, 曾在Beasley(1990)及趙文敏(1995)所著的趣味數學書中介紹過, 其本質與Bundy(1996)所討論的Odd Ball Problem屬同類問題, 但三人的解法不一樣。 本文將介紹另一種簡單的解法, 讀者只須對3進制有基本的認識便可以理解。 2. 解法及其原理要找出那一枚是假幣, 可採用以下的步驟進行:
由於在每次秤量中, 天平的狀態只有三種, 分別是「左重」(L)、「右重」(R)或「平衡」(#), 而秤量的結果一定不會出現「三次皆平衡」、「三次皆左重」或「三次皆右重」 2 2 由於存在有一假幣, 故不可能出現「三次平衡」。 另外, 由於沒有任何一個錢幣在每次秤量中都置於同一邊(參看錢幣的擺放位置), 所以亦不會出現「三次左重」或「三次右重」的情況。 的情況, 所以不同秤量結果的數目是: $3\times 3\times 3-3=24$。 如果我們把L、R與 # 分別跟1, $-1$ 與 0 作「一一對應」的話, 那麼透過3進制的表示, 我們便可以知道何者是假幣, 以及知道它比真幣較輕還是較重。 為甚麼呢? 我們不妨用一個簡單的例子加以說明: 假設錢幣6是一個假幣, 而且它比真幣較重。 由於它在秤量時的罷放位置是以 $(1, -1, 0)$ 來表示, 故其稱量結果將會是(L, R, #)。 反過來說, 如果稱量的結果是(L, R, #), 它的3進制表示 $(1, -1, 0)$ 會唯一地 3 3 因為每個錢幣的擺放位置之3進制表示各不相同, 故此種對應唯一的。 確定了假幣的編號是6, 而且由於天秤下墜的方向與它在天秤出現的位置是一致的, 所以知道它比真幣較重。 另外, 如果錢幣6是一個假幣, 而它比真幣較輕。 因為它在秤量時的罷放位置是以 $(1, -1, 0)$ 來表示, 故其稱量結果將會是(R, L, #)。 反過來說, 如果稱量的結果是(R, L, #), 它的3進制表示 $(-1, 1, 0)$ 4 4 注意: $(-1, 1, 0)=-(1, -1, 0)$。 會唯一地確定了假幣的編號是6, 而且由於天秤下墜的方向與它在天秤出現的位置是相反的, 所以知道它比真幣較輕。 應用類似上述的分析, 我們可以對所有可能出現的結果作以下的結論:
由這個表可見, 如果把秤量結果的3進制表示化成10進之後, 它的絕對值便是假幣的編號。 另外, 如果所得的10進數是 1, 2, 3, 4, 5, 6, $-7$, 8, $-9$, 10, $-11$ 或 $-12$ 的話, 是代表假幣比真幣較重。 反之, 如果所得出的10進數是 $-1$, $-2$, $-3$, $-4$, $-5$, $-6$, 7, $-8$, 9, $-10$, 11 或 12 的話, 是代表假幣比真幣較輕。換言之, 秤量結果的10進制表示, 除了是 $\pm 7$, $\pm 9$, $\pm 11$ 及 $\pm 12$ 是例外, 其他所得數值的正、負號正好對應著假幣是「較重」或「較輕」的情況。 有了這種認知, 會有助於我們快速和正確地判斷出何者是假幣, 以及知道它比真幣較輕還是較重, 而不需要利用上表去查看結果。以下是一些具體的示例: 例一: 假設秤量所得的結果是: 第一次是左重、第二次是右重, 而第三次是平衡。 它對應的3進數是 $(0, -1, 1)_3=0\times 9+(-1)\times 3+1=-2$。 由此可知錢幣2是假幣, 它比真幣較輕。 例二: 假設秤量所得的結果是: 第一次是右重、第二次是平衡, 而第三次是左重。 它對應的3進數是 $(1, 0, -1)_3=1\times 9+0\times 3-1=8$。 由此可知錢幣8是假幣, 它比真幣較重。 例三: 假設秤量所得的結果是: 第一次是左重、第二次是右重, 而第三次是左重。 它對應的3進數是 $(1, -1, 1)_3=1\times 9+(-1)\times 3+1=7$。 由此可知錢幣7是假幣, 它比真幣較輕。 3. 結語及其他問題總括而言, 本文所介紹的方法, 是運用了整數的3進制表示的唯一性。 解法簡單, 而且其思維方式可以應用到其他類似的數學問題上去。 譬如, 以下的兩個問題, 都可以運用3進制的方法求解 5 5 兩題的答案如下: 問題一: 1磅, 3磅, 9磅, 27磅。 問題二: 將1克與81克的砝碼置於右邊, 其餘的置於左邊。 , 讀者不妨動手一試:
問題一: 如果只可以用4塊不同重量的砝碼, 去秤出由1至40磅中各不同的整數重量, 問該4塊砝碼的重量應分別是多少? 問題二: 有1克, 3克, 9克, 27克, 81克和243克的砝碼各一個。 如果把一件重200克的物件放置於一個天平的右邊, 如何把上述砝碼置於天平之上, 才可以令天平的左、右平衡? 參考文獻---本文作者現任教於香港教育學院數社科技學系--- |