發刊日期 |
1996年6月
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標題 | 高中生應該知道的積分與應用 |
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作者 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
關鍵字 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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八十三年十一月十九日聯合報報導 「一位國中學生數學考試三十八分竟然是全班第二高分, 老師考倒了學生,卻可能因而扼殺了一位數學天才」該校另一位化學老師也誇口說 「我出的試題,全校學生成績一定不會超過四十分,這樣的試題才有水準」 實在是匪夷所思,這位老師太有「水準」了。 本次月考筆者命題,範圍是高三理科數學第三章全部「積分與應用」, 高中生學積分的層次與大學生是有差距的, 一想到有一千三、四百人要使用這份試題心頭就感沉重, 考完馬上看考卷總算完成使命,把建中學生程度作適度表現,我不能說 「佳評如潮」、「一片叫好」只能說「幸未辱命」, 中等學校不論月考、期考、模擬考的命題人只要不挨罵就很滿意了, 要求大家叫好是很難的。我命題的原則是就課本的範圍命題,大家都講過的我才出, 我沒有講過的要出一些,要用「妙招」、「令人厭惡的技巧」才能作的絕對不出, 我講過別人沒講過的也不出,所以我教的班表現仍然是恰如其份, 不會因為自己班的老師命題就表現的特別突出。 考完我問學生有沒有看出是我命題,學生都很驚訝一致答以不知道。 填空出了二十二格每格四分,共八十八分,計算題十二分。 筆者所教二班共99名學生,各題答對人數如下
雖然只統計了兩個班,卻很可以看出來那些題目學生會作的多,那些題目學生會作的少。 各班成績單都是交由導師發給學生,一考完我就有了自己兩個班的平均成績(低標準) 69.48、68.82與高標準82.47,我又向各班導師要成績單,有了八、九班算一次, 收集到十七、八班又算一次,一直到二十七個班全部收齊, 高標準、低標準與自己班的都是十分接近, 所以兩個班各題答對率與全年級不會有太大差距。 三年級參加考試人數是1372,不及格人數佔 ${353\over 1372}=26\%$, 接近四分之一好像是多了一點,道理簡單,建中很有些「不到最後關頭決不輕言讀書」 的學生,再看低於50分的只佔 ${164\over 1372}=12\%$ 就很容易理解了。 在 $60-79$ 區間的佔 ${615\over 1372}=45\%$ 比率是很大的,滿分資優生佔 ${17\over 1372}=1\%$。 低標準 ${94125\over 1372}=68.60$ 高標準 ${54737\over 666}=82.19$ 資深有經驗的老師都知道68.6的低標準是相當高的, 與高標準82.19一對照可以看出來建中學生的成績是很不錯的。 高三自然組有二十七班,我把二十七個平均數由小而大排列寫在下面, 成績統計分佈表列在本文之末。
最高的82.20是資優班,二年半前高中聯考數學成績得120分的編進資優班,所以成績突出。 少數班級的平均數遠低於全年級低標準, 因為那些班級在高二升高三分組時多人轉往第三類組,第三類組考大學時要多考一科生物, 不太有把握的不敢轉,所以分數就低了。有一年筆者教的兩個班在結算學期成績時, 一個班成績在80分以上的有十幾個,另一班一個都沒有,建中沒有作能力分班, 原因是一樣的。從各項統計數據可以看出來,這份試題把建中學生程度作了適度表現, 有兩位老師對我說「命題成功」,另有幾位說改起來很愉快,高分不多, 不及格的也不多,所以我把它寄給數播,願與同行共享。下面是各題出處與說明。
$$\lim_{n\to \infty}(n\sqrt{n\!-\!3\over n\!+\!3}-n)\!=\! \lim_{n\to \infty} n\cdot(\sqrt{n\!-\!3\over n\!+\!3}\!-\!1)$$ $$=\lim_{n\to \infty} n\cdot(\sqrt{1-{3\over n}\over 1+{3\over n}}-1)=\infty\cdot 0=0$$ 可是 $\infty$ (無限大)是個符號不是個數,如果它是個數就會得到不可思議的結果,級數 $$1+2+4+8+16+32+\cdots$$ 之和要多麼大就有多麼大, 也就是無限大,設它的和是 $a$, 令 $$1+2+4+8+16+32+\cdots=a$$ 故得 $$1+2(1+2+4+8+16+32+\cdots)=a$$ 所以 $$1+2a=a$$ 故得 $a=-1$ 真是匪夷所思,正確的作法見略解。 用這種方式解釋「無限大不是一個數」,學生很容易接受。
計算題的(1)是送分題仍然有四分之一學生不會作,(2)與(3)是要花些時間的, 尤其是(3)一不小心就把拋物線與圓的二切點誤作拋物線與 $x$ 軸的交點, 既浪費了時間又沒有拿到分數。 試題設計時就考慮到考試時間70分鐘,(15)、(16)沒有講過,計算題的(2)與(3)較費時間, 四題共16分, 其它84分都是「平淡無奇、乏善可陳」, 也有老師說再多十分鐘計算題的(3) 會有更多人作出來,當然80分以上的與100分的也就多得多了。 試題送往教務處之前我曾請陳麗如老師演算一遍,她給予肯定評估。 監考時沒有人提前交卷,考到六十五分鐘時,看看走廊只有兩個學生, 收考卷時沒聽到一迭聲的``完了!完了''這才放心,看了自己兩班考卷頓覺輕鬆, 出這種全年級的試題壓力很大,謝天謝地很可以輕鬆一陣子不會輪到我命題了, 謝謝陳老師演算本試題。大專教師出題不會這麼緊張,自己命題自己改卷, 考卷不發給學生看, 出了錯學生不敢講沒有人知道,命題高明也只有自己欣賞,如人飲水冷暖自知, 是幸也是不幸。 這次考題與參考答案都是使用 WORD 5.0 製作,我對它一見鍾情,希望大家多多愛用, 它一定是咱們學數學的設計的,真是「善體我意深得我心」,如果不信一試便知, 聽說 Latex 與 AMI PRO 更好,不過我已經很滿意了。 我在打考卷時積分符號、極限、 直線段旁標以上下限有些困難,以往在 PC-XT 上使用的慧星一號 (CWI) , 吳隆盛老師造了些符號給大家用很是享受,這部 PC-XT 自民國76年使用到82年, 去年五月實在不勘使用所以又有了新的486,可 是 PC-XT 上 CWI 的吳氏造字拷到486硬碟上不能用,多方求助知道了 WORD 5.0 的大名, 可是用起來不太靈光,使用手用 (USER MANUAL) 總是語焉不詳, 張系國作過一首打油詩「使用手冊就和房事一樣,好的手冊令你仙仙欲死;壞的手冊, 總算聊勝於無」原來使用手冊都是一樣的, 在打電話騷擾過賴敦生與王元坤兩位老師數次之後,「插入$\rightarrow$ 物件 $\rightarrow$ equation 」 的要領弄清楚了,完成了這次考題謹此致謝。
作個總結,第(1)與(2)題約有一半的學生不會,並不是學生不知道 ``上和'' 與 ``下和'' 的定義,而是課本例題、習題裡求 ``上和'' 與 ``下和'' 的函數都是二次式與三次式, 考題是一次式沒有見過,所以就手忙腳亂了。 第(3)題就全體答對是因為直接從三角形區域求面積, 沒有從``上和''與``下和''用極限來逼近。 學生希望數學考題都是``見過的''或``作過的'' 就得心應手,碰到沒見過的就拿不到分數了。所以(1)與(2)題的表現很是正常。 第(5)題不宜過度補充,如何使用泰勒展開式(以及1'Hospital's Rule)來求不定型的極限, 前者是高三下的教材,後者未列入中等教材。 第(7)題計算繁度較高,大部份學生都會,當然是學生絕對多數都記得 $${1^3}+{2^3}+{3^3}+\ldots+{n^3}={n^2(n+1)^2\over 4}(1)$$ 所以作對學生高達92/99=93%, 提到這類公式筆者就陣陣暖流湧遍全身, 筆者讀高二時,課本有(1)與 $$1+2+3+\ldots+n={n(n+1)\over 2}(2)$$ $${1^2}\!+\!{2^2}\!+\!{3^2}\!+\!\ldots\!+\!{n^2} \!=\!{n(n+1)(2n+1)\over 6}(3)$$ 其中(2)在初中已學過,可是沒有列出 ${1^4}+{2^4}+{3^4}+\ldots+{n^4}$, 我就用分項抵消法得到 ${n(n+1)(2n+1)({3n^2}+{3n-1})}\over 30$, 其中 ${3n^2}+{3n}-1$ 裡的-1我不能接受以為作錯了, 因為(1)、(2)、(3)裡的係數都是正整數,我驗算又一算再算, 一直把 $n$ 算到七十或八十已經不記得了,只記得沒有算到一百, 愈算愈高興愈算愈有信心,後來在一 本參考書裡找到這個公式和我的一樣, 這才不往下作了。 一位太太自殺,一步步走向淡水河中央,河水太臭她又回來了,為甚麼呢? 因為她先生有了外遇,那不是很平常的事兒嗎? 她不能接受這個事實, 因為她先生表現正常,按時回家吃飯也從不外宿,沒想到他居然在外面有個女人, 絕對守規矩的模範學生居然逃課,天哪天哪實在活不下去了, 嘻嘻!這種事兒心理上早就應該有準備, 我在三十八、九年前接受了 ${3n^2}+{3n}-1$ 裡的 $-1$, 後來在數學上又接受了很多大異常理的事實。 有的老師說第(10)題要根據 $x\ge 0$ 與 $x\lt 0$ 討論,四分之三以上的學生都會作, 可見現在的學生對於 $y=|x|$ 的理解大都能掌握。 可是本題如果改成 $$\int_{-1}^2{(x+{|x-1|}+{|2x+3|})}^2 dx$$ 當然很多學生都不會作了,這一點數播讀者要能理解, 這次考試的時間是七十分鐘,這題要分成幾個二次函數的定積分,要用多少時間, 請大家試試。民國五十年大專聯考出了些絕對值的題目,三萬考生一萬零分, 那時高中不教絕對值,打破歷年聯考記錄。 作函數 $y={|x-1|}+{|x-2|}$ 的圖形, 這種題目初一不能教、初二不能教、初三不能教、高一不能教、高二不必教、 高三應該教,是數學老師應有的理念。為甚麼高二不必教? 因為高二教每班五十名學生裡大約有二十五名可以立即接受, 高三教理組學生可以全體接受, 或至少四十五名左右接受沒有問題,那又何必在高二教呢。 學生對於求繞 $y$ 軸旋轉的旋轉體體積不太會求, 是因為課本裡只有繞 $x$ 軸旋轉的旋轉體體積公式, 沒有公式可代又沒有想到可以把 $x$ 看作 $y$ 的函數對 $y$ 積分,所以不會的就很多了。
對於求封閉區域繞某直線旋轉所得旋轉體的體積,
在形式較為簡單時都表現不錯,例如
如果形式較不規則或較複雜就不會作,例如
好像是學生沒有畫圖或不會畫圖道理也很簡單,自從民國五十四年數學教材歷經三次改革, 現行的這一套是民國七十三年升高一的學生開始啟用,其中圓錐曲線作了很大的修正, 需要用到旋轉平移來化簡方程式的都刪去了,也沒有含 $xy$ 項的, 所以學生畫圖能力差是很正常現象。 七十六年筆者就感受到高三學生的三角很差,不但基本運算不熟, 三角函數的圖形更是一團糟。數學本來就是學子夢魘,三角更是夢魘裡的夢魘, 有太多的公式,有些連背都背不下來。數學公式是不用背的,只要會證明就記住了, 可是每班五十多名學生有一名去把公式證證就很高興了,有二名就是豐收; 再看看高一課本,以往三角在高一下學期要教一學期,被修訂成只教一個月, 高中教師應該感受強烈,有些事可以速成,學問可不能速成。 數學老師的共同理念是要「教得少教得正常」,那麼國文呢? 他們不一樣他們是要「教得多教得好」。 第(14)、(15)、(16)是微積分基本定理相當機械化的應用,高中生對它是相當感冒的, 出上三題當然是聊備一格,看看答對人數也是恰如其份。 有人說建中沒有以前好了,更有人說建中沒落了,都不是事實。 民國四十七年台灣人口一千萬,那時建中高三有七個班; 民國八十四年台灣人口二千萬,建中高三有三十三個班。 教育普及當然是好現象,從高三全體1372名學生的成績分佈來看, 是個中間偏右的分配,不是大家熟悉的常態分配, 對三年前以第一志願考進來的學生來說是很正常的。
附錄 1:
附錄 2:
--- 本文作者任教於台北市立建國中學 --- |