201802 數學有趣問題二則

一位鄰居託我幫他繳信用卡帳款,我看了上面金額1236,說:哇!很有意思!這四位數恰有$1+2+3=1*2*3=6$,這帳單值得收藏。他很驚訝:真的,那麼還會有什麼其它的三個數的和恰好也等於乘積呢?我說,直覺上我認為是沒有了。隔了幾天又見到他,他跟我說後來他又試了一些數都不行,感覺是不太可能有。我問他憑什麼會有此感覺? 他說,三個相異數的乘積比起它們的和應該是要大得多,接著又說,我很好奇,你們學數學的總喜歡講求證明, 那麼對於我這樣的感覺,你能否給個肯定或否定呢?這位鄰居是教高中歷史退休的,平常聊話中,對數學有著一份莫名的敬畏, 曾經問我何以是負負得正?以及一些遊戲裡的數學道理。隔天,我去找他,並且花了相當的時間為他說明我的數學處理方式:

問題:設有三個不同的正整數$x、y、z$滿足$x+y+z=xyz$。試找出這個方程式的解。
解:由式子的對稱性,可以假定$x\lt y\lt z$。現假定$x$是某一個正整數$n$,所以 \begin{eqnarray*} && n+y+z=nyz\\ &\Rightarrow　& (y-\frac{1}{n})(z-\frac{1}{n})=1+\frac{1}{n^2}\\ &\Rightarrow　& (ny-1)(nz-1)=n^2+1\\ &由　&x\lt y\lt z,且x=n,所以ny\gt n^2且nz\gt n^2\\ &\Rightarrow　& (ny-1)(nz-1)\gt (n^2-1)(n^2-1)=n^4-2n^2+1\\ &隨之& n^2+1\gt n^4-2n^2+1\\ &\Rightarrow　& n^4-3n^2\lt 0\\ &\Rightarrow　& n^2\lt 3\\ &故　& n=1,所以x=1,而有\\ &&1+y+z=yz\\ &&(y-1)(z-1)=2\\ &得　& y-1=1 而 z-1=2\\ &故　& y=2,z=3\\ &因此& x=1、y=2、z=3是唯一的解。 \end{eqnarray*}

聽完我的解說後他大為驚歎,並且讚賞:數學真的很厲害 !

十二月上旬的一個周末我上台北辦事,隔日去參加老同學組隊的健行。在山下等候未久,便見吳隆盛從公車下來, 見到我興奮的沒寒暄幾句便直問我一道問題:如何以尺規作圖在三條相互平行的直線上各取一點以形成一個正三角形? 又說這一問題讓他想了許久,昨夜躺在床上時突然有了靈感,還提了一個我沒聽清楚的式子。當時我只有沉默沒有回應他的問題。一路上大伙說笑之間就再也沒有提及此一問題。當天下午我回埔里,在高鐵車上,攤開紙我開始想要解這一道問題, 不久便有了如下的解析方法:
把其中的一條直線定為$x$軸,而欲找的三角形的其中一個頂點定為坐標系的原點O;另兩點$P$與$Q$則分別在另兩條直線: $y=a$與$y=b$上。($a$與$b$視為已知長度)

取$P$的坐標為$(x_1,a)$;$Q$的坐標為$(x_2,b)$

現在,解題的目標為:找出如何以$a、b$來表達$x_1$與$x_2$。由$\triangle OPQ$為正三角形,向量$\overrightarrow{OQ}$可看作是向量$\overrightarrow{OP}$經旋轉$60^\circ$而得, 符合複數乘積的幾何意義,因此有: \begin{eqnarray*} && x_2+b_i=(x_1+a_i)(cos60^\circ +isin60^\circ)\\ &\Rightarrow& x_2+b_i=(\frac{1}{2}x_1-\frac{\sqrt 3}{2}a)+(\frac{\sqrt 3}{2}x_1+\frac{1}{2}a)i\\ &\Rightarrow& \left\{\begin{array}{l} x_2=\frac{1}{2}x_1-\frac{\sqrt 3}{2}a\\ b=\frac{\sqrt 3}{2}x_1+\frac{1}{2}a \end{array}\right.\\ &得& x_1=\frac{2b-a}{\sqrt 3} \end{eqnarray*} 由於$a$與$b$為已知長,所以$\frac{2b-a}{\sqrt 3}$可經由尺規作圖而得其長,亦即$P$與$Q$點可尺規作圖而得。(註)

以上二則,當然都不是什麼複雜困難問題,但都很有趣地顯示:數學的思維常能提供有創造性的解決方法。數學很厲害!

註:當然,取$\triangle OPQ$關於$y$軸的對稱圖形亦可得到另一個解$\triangle OP'Q'$。