201801 $\frac{1}{n-1}$的聯想

在數學傳播六卷一期72頁, 有$\lt$配對問題$\gt$一文。所謂配對問題舉例說明是, 假定有10把鎖及相應的10支鑰匙, 規定每支鑰匙只能開一次鎖, 平均下來會開對多少把鎖?即是開對鎖數的數學期望值是多少?文中, 我證明：無論鎖及鑰匙的數量$n$是多少, 這個數學期望值恆為1。這個問題之所以有趣, 顯然是期望值為1這一結論與我們直覺上的落差太大。最近回顧此一問題我才驚覺：開對鎖的期望值是1, 那麼開錯鎖的期望值便是$n-1$, 兩者的比是$\frac{1}{n-1}$。比如$n=100$時, 平均只開對1把鎖, 卻開錯99把鎖, 而兩者的對比是$\frac{1}{99}\fallingdotseq 0.01$。 $\frac{1}{n-1}$趨於0這樣的結論像是一棍打在我這已邁入七十人生的老頭上, 好似一支點亮的蠟燭終將逐漸地趨於熄滅。於是, 我如此設想：設想我們的人生這一時間函數就像是一道配對問題, 被賦予了手握解決問題的鑰匙, 在時間的流變中, 在問題出現的境遇中, 我們選擇或是隨機(兩者有何不同?)地用一種方式去面對去解決一種境況, 然後是：做對了嗎?或是, 做錯了嗎?在時間愈長問題愈多的現實下, 做的愈多錯的也會愈多, 而做對的平均永遠只是1。是這樣子嗎?但是, 什麼才是對?什麼又是錯?二元價值的論斷又是根據為何?所以, 我又想：人生很複雜, 不能簡化為一個配對問題去看待；但是$\frac{1}{n-1}$像是一道光芒, 帶給了我深刻的啟示。