最近我曾投寄期刊《數學傳播》一篇極短文
《$\displaystyle\frac{1}{n-1}$的聯想》，
談配對問題中關於開對鎖數與開錯鎖數兩者的期望值的比為 $\displaystyle\frac{1}{n-1}$ 的感想。
對於開對鎖數的期望值恆為 1 這一事實，或者說這一現象，
我存疑其背後是否有什麼結構性的道理？即使早在三十多年前我便為文證明此一事實，
但一直以來也僅止於承認此一事實，至於它可能隱含些什麼訊息便未曾思考過。
這些天天冷，呆望屋外，忽起了想要探究一番的興致。
在《配對問題》一文裡的證明過程中提到，在鎖的個數為$n$時，
開對其中 $r$ 把鎖的機率為
\begin{eqnarray*}
f(r)=\displaystyle\frac{1}{r!}[\displaystyle\frac{1}{2!}-\displaystyle\frac{1}{3!}+...+(-1)^{n-r}\displaystyle\frac{1}{(n-r)!}]，
\end{eqnarray*}
其中 $0\le r\le n$，且 $r\ne n-1$。
我覺得配對問題所隱含的一些訊息或說是祕密可能就在上面這一式子裡。
比如 $n=5$ 時，有：
$f(0)=\displaystyle\frac{44}{120}$、$f(1)=\displaystyle\frac{45}{120}$、
$f(2)=\displaystyle\frac{20}{120}$、$f(3)=\displaystyle\frac{10}{120}$、
$f(5)=\displaystyle\frac{1}{120}$；
而 $n=6$ 時，有：
$f(0)=\displaystyle\frac{265}{720}$、$f(1)=\displaystyle\frac{264}{720}$、
$f(2)=\displaystyle\frac{135}{720}$、$f(3)=\displaystyle\frac{40}{720}$、
$f(4)=\displaystyle\frac{15}{720}$、$f(6)=\displaystyle\frac{1}{720}$。
上面的數據中，呈現了兩則現象：
- 大多數的機會是落在完全開錯及恰好開對一把的事件上，而且兩者的機率幾乎相等，只差 $\displaystyle\frac{1}{n!}$。（當然，$n$ 要稍大些，這樣的說法才較能顯出意義。）
- 對於 $r\ne 0$，則有 $f(r)\gt f(r+1)$。
也就是開對鎖數的機率是隨著開對鎖數的遞增而遞減。
上述二則，對任何整數 $n$ 是否都是成立呢？沒錯！底下就要給予證明。在此，我認為這二則就是配對問題的秘密所在，經由對它們的發現與理解，我終於對開對鎖數的期望值為 1 此一事實不再存有直覺上的排斥，而有原來如此豁然開朗之悟。
證明，由$f(r)=\displaystyle\frac{1}{r!}[\displaystyle\frac{1}{2!}-
\displaystyle\frac{1}{3!}+...+(-1)^{n-r}\displaystyle\frac{1}{(n-r)!}]$
- 得
\begin{eqnarray*}
& f(0) &=\displaystyle\frac{1}{2!}-
\displaystyle\frac{1}{3!}+...+(-1)^n\displaystyle\frac{1}{n!} \\
& f(1) &=\displaystyle\frac{1}{2!}-
\displaystyle\frac{1}{3!}+...+(-1)^{n-1}\displaystyle\frac{1}{(n-1)!} \\
& \Rightarrow |f(0)&-f(1)|=
{\left\vert(-1)^n\displaystyle\frac{1}{n!} \right\vert}=\displaystyle\frac{1}{n!}
\end{eqnarray*}
-
- (i) 當 $n$ 與 $r$ 均為偶數或 $n$ 與 $r$ 均為奇數時，$n-r$ 為偶數，
\begin{eqnarray*}
& \mbox{因此，} & f(r) =\displaystyle\frac{1}{r!}[\displaystyle\frac{1}{2!}-
\displaystyle\frac{1}{3!}+...+\displaystyle\frac{1}{(n-r)!}] \\
& \mbox{而} & f(r+1) =\displaystyle\frac{1}{(r+1)!}[\displaystyle\frac{1}{2!}-
\displaystyle\frac{1}{3!}+...-\displaystyle\frac{1}{(n-r-1)!}] \\
& \mbox{顯然，有} & f(r)\gt f(r+1)\mbox{。}
\end{eqnarray*}
- (ii)
當 $n$ 為偶數且 $r$ 為奇數或 $n$ 為奇數且 $r$ 為偶數時，$n-r$ 為奇數，
因此，$$f(r)=\displaystyle\frac{1}{r!}[\displaystyle\frac{1}{2!}-
\displaystyle\frac{1}{3!}+...-\displaystyle\frac{1}{(n-r)!}]$$
而$$f(r+1)=\displaystyle\frac{1}{(r+1)!}[\displaystyle\frac{1}{2!}-
\displaystyle\frac{1}{3!}+...+\displaystyle\frac{1}{(n-r-1)!}]$$
把 $f(r)$ 與 $f(r+1)$ 作如下調整：
\begin{eqnarray*}
& \underbrace{f(r)=\displaystyle\frac{1}{r!}[\displaystyle\frac{1}{2!}-
\displaystyle\frac{1}{3!}+...-\displaystyle\frac{1}{(n-r-2)!}]}_{(A)} +
\underbrace{\displaystyle\frac{1}{r!}[\displaystyle\frac{1}{(n-r-1)!}-
\displaystyle\frac{1}{(n-r)!}]}_{(A')} \\
& \underbrace{f(r+1)=\displaystyle\frac{1}{r+1} \cdot
\displaystyle\frac{1}{r!}[\displaystyle\frac{1}{2!}-
\displaystyle\frac{1}{3!}+...-\displaystyle\frac{1}{(n-r-2)!}]}_{(B)}+
\underbrace{\displaystyle\frac{1}{(r+1)!} \cdot
\displaystyle\frac{1}{(n-r-1)!}}_{(B')}
\end{eqnarray*}
顯然，$f(r)$ 中的式 $(A)$ 大於 $f(r+1)$ 中的式 $(B)$，
因此，我們只須再證明式 $(A')$大於式$(B')$，便即證得 $f(r)\gt f(r+1)$。
由於：$(A')\gt (B')$
\begin{eqnarray*}
& \Longleftrightarrow & \displaystyle\frac{1}{r!}[\displaystyle\frac{1}{(n-r-1)!}-\displaystyle\frac{1}{(n-r)!}] \gt \displaystyle\frac{1}{(r+1)!} \cdot \displaystyle\frac{1}{(n-r-1)!} \\
& \Longleftrightarrow & \displaystyle\frac{1}{(n-r-1)!}-\displaystyle\frac{1}{(n-r)!} \gt \displaystyle\frac{1}{r+1} \cdot \displaystyle\frac{1}{(n-r-1)!} \\
& \Longleftrightarrow & \displaystyle\frac{r}{r+1} \cdot \displaystyle\frac{1}{(n-r-1)!} \gt \displaystyle\frac{1}{(n-r)!} \\
& \Longleftrightarrow & \displaystyle\frac{r}{r+1} \gt \displaystyle\frac{1}{n-r} \\
& \Longleftrightarrow & n-r \gt 1 + \displaystyle\frac{1}{r}
\end{eqnarray*}
因為 $n-r$ 為奇數且 $r \neq n-1$，所以 $n-r \gt 1$，隨之 $n-r \gt 1 + \displaystyle\frac{1}{r}$ 成立，也就是 $(A')\gt (B')$。
故有 $f(r) \gt f(r+1)$。
這樣的結語：極大的機會是落在完全沒有開對鎖或是恰只開對一把鎖的事件上，
兩者合之就是最多只開對一把鎖的機率相當地大，以$n=5$及$n=6$為例，
前者機率是 $\displaystyle\frac{89}{120}$，後者是 $\displaystyle\frac{529}{720}$，
都是七成以上。現代人外出隨身總攜帶多把鑰匙，若是形狀差別不大，
在照明不清之下開起鎖來就頗能體驗到 $f(0)$、$f(1)$ 這種高機會的感受了。
而我臨老還在思索配對問題，純然只是因為它的有趣，
而且在探索及證明過程中也著實獲得了樂趣。
延伸閱讀
- $\displaystyle\frac{1}{n-1}$的聯想 , 葉東進, 數播線上 2018.
- 配對問題 , 葉東進, 數學傳播六卷一期
編輯:林玉端
