十六世紀的義大利已解出三次及四次方程。 十九世紀初, Abel (1802$\sim$1829) 才證明出五次方程式未必有根式解, 其後 Galois (1811$\sim$1832) 提出五次方程式有根式解的充要條件: 方程式對應的群的結構要夠好。 從方程式的「表象」提煉出「規則」的抽象化歷程, 耗時兩百多年。 之後 Frobenius (1849$\sim$1917) 奠定了表現理論的基礎, 同時研究表象 (模) 及規則 (代數)。 賴俊儒教授鋪陳這整個歷史。
而人工智慧的一個重大缺陷, 恰就是無法從具體資訊中提煉出抽象概念。 人工智慧或許能夠證明定理, 但仍無法提出有趣的數學抽象概念來產生定理。
John Wallis (1616$\sim$1703) 生於牛頓 (1643$\sim$1727) 的上一個世代, 博學多識。 他是無窮小微積分的先驅, 啟發了牛頓的工作。 他並引進「無限大」的數學符號 $\infty $, 也擅長密碼破解。 當時大多數數學家認為代數缺乏歐幾里德證明的堅實基礎, 因此代數比不上幾何。 然而 Wallis 認同將代數作為產生新想法和新結果的手段。 不同於牛頓, 他樂於以代數形式發表結果。
1656 年, Wallis 發表了圓錐曲線的代數公式, 從圓錐體中釋出圓錐曲線, 用以計算曲線所包圍的面積。 在同年出版的《Arithmetica Infinitorum》 中, 他討論了這種計算面積的方法, 對無窮小量求和。 他致力於冪序列的求和, 獲知這些總和與已知量的比率。 他進而探討 $\int_0^\pi \sin^n x dx$, 將 $\pi$ 寫成無窮乘積。 林琦焜教授藉由 Beta 函數及 Gamma 函數, 講述 Wallis 積分與球體積、 球表面積的關聯。
光速恆定原理是狹義相對論的基礎公設, 意指: 在任何慣性參照系中, 觀察光在真空中的傳播速度, 則相對於該觀測者, 光速都是常數, 不隨光源或觀測者在參考系的相對運動而改變。 因此, 在靜止的觀察者看來, 運動中的系統長度會縮短、 時間會膨脹 (亦即, 尺的刻度會擴張、 時鐘會走慢)。 愛因斯坦在 1905 年, 基於光速恆定原理, 推導出勞侖茲變換。 1916 年, 重新推導, 簡化計算, 引進勞侖茲收縮。 張海潮教授介紹愛因斯坦 1916 年的推導。
對所有 $\theta\in(0, \frac\pi 2)$, 不等式 $ \theta \lt\frac{\sin \theta +\tan \theta}2$ 恆成立; 這可由不等式 $\sin\theta \lt\theta \lt\tan\theta$ 得證。 藉由泰勒展式, 張鎮華教授得到更強的不等式 $\frac{2 \sin \theta +\tan \theta }3\gt\theta $. 張教授徵求不用微積分的證明方法。 他也邀請讀者用各種方法證明 $\frac{2 \theta\cos \theta +3\tan \theta }5\gt\theta $.
梁惠禎
2023年3月