西元前三世紀,阿基米德著手計算圓的周長與直徑的比值,估計其值約為22/7。《隋書$\cdot$律暦志》記載祖沖之(西元 429$\sim$501)計算了小數點下7位的圓周率,約為355/113,但多人質疑此敘述為後人所添加。而西元五世紀時已發展出現代算術技巧的印度,在十四世紀的 Kerala 邦, Madhava 應用 $\arctan(x)$ 的冪級數展開來估計圓周率,算出九位近似值。莫宗堅、黃蘋教授細說史料。

阿基米德以降,歐洲數學沉寂至牛頓的年代。牛頓在1665年計算了圓周率的前16位數。1706年,英國數學家 William Jones 將圓周率記為希臘字母$\pi$；歐拉(Leonhard Euler, 1707$\sim$1783)採用後,符號$\pi$才廣為人知。

歐拉出生於瑞士 Basel。1727年赴聖彼德堡科學院任職,1741年轉赴柏林科學院,1766年返回聖彼德堡科學院,他開創了圖論及拓撲學,在數論、複分析和無窮小計算都有劃時代的貢獻。他提出了數學函數的表示法$f(x)=y$,導出「$e$」的冪級數展開,證明 $\log(-1)=i\pi$。他也研究了三體問題、彈性問題、光的波動理論、液壓、音樂,並草創了分析力學。

張鎮華教授介紹歐拉的各項成就,並給出三角形外心與內心距離公式的純平面幾何證明。他藉此說明108課綱略微刪減國中平面幾何內容的箇中考量。

十八世紀的歐洲大陸, Jean Le Rond d'Alembert (1717$\sim$1783, 法國)、歐拉(1707$\sim$1783)及 Alexis Clairaut (1713$\sim$1765, 法國)為牛頓力學的主要傳承者。他們藉助微積分,力圖將力學轉化為數學。

牛頓第二定律最初記為$F = \Delta (mV)= m\Delta V$, 1750年才寫成微分形式$F= m dV/dt$；這是歐拉的成就。

d'Alembert 的工作不僅延伸了牛頓力學,也實質重組了力學的概念。他認為：關於運動,吾人可以理解的是其空間位移,而非產生運動的原因。「動力學」應直接探討運動的「效果」,而非間接藉由運動的原因：「力」。只有運動的變化量可被概念化；藉由描述運動的量,諸如：距離、時間、速度、加速度等,即可表達變化規律,大可避開質量的概念、動量 $mv$ 及其微小元素 $mdv$ 。

d'Alembert 將動力學視為一門關於物體變動的科學,認為這些變動只能藉由運動的內部變數來表達,而不需使用外部概念,例如力的概念。儘管如此,他還是指出：在原因與其效應之間存在著相互關係,可藉瞬間加速度的概念來表達。時間因果關係與微分分析之間的這種構造,使他能夠以原理的形式建立起運動變數之間的關聯,從而在概念上重組牛頓力學。對他來說,力學的基本定律不是牛頓定律,而是「動力學原理」。這是力學完全數學化的真正推動力。

林琦焜教授陳述 d'Alembert 的生平及貢獻,細說二階線性常微分方程的降階解法、Abel 的 Wronskian 公式,及 Jordan 標準型矩陣轉換的內涵。

梁惠禎
2022年6月