Felix Klein (1849$\sim$1925) 生逢科學盛世, 各種新思潮風起雲湧: 達爾文的進化論付梓, 相對論及量子力學湧現。 躬逢其盛的數學理論也共歷鉅變, 黎曼的直觀方法與 Weierstrass 毫不妥協的嚴謹性對比鮮明。 Klein 傳承了黎曼的精神。

1869 年, Klein 提出非歐幾何的 Klein 模型, 闡釋非歐幾何與歐氏幾何具等價的一致性, 從而確定了非歐幾何的合法性。 1872 年, 他在 Erlangen 提出了 Erlangen Program, 根據變換群對幾何進行分類。 以現今語言來說, Klein 提出了齊次流形的新概念, 其結構 [M,G] 由流形 M 及作用於 M 的群 G 所組成； 他以變換群下的「等價性」和「不變性」將幾何分類。

Klein 對「不連續」群的研究在某種意義上與 Sophus Lie 的「連續」群理論相輔相成。 Klein 著重大域幾何, 而 Lie 的理論純屬局部。

在慕尼黑, Klein 發展不連續群的理論, 據以闡明並擴展黎曼的幾何函數理論。 在萊比錫, 由於過度的工作量以及與 Poincaré 在自守函數理論的激烈競爭, 他在 1882 年精神崩潰, 爾後的研究開創性不復從前。

1886 年, Klein 轉赴 Göttingen 大學, 延攬 Hilbert 及 Minkowski。 他以深刻的洞察力和理解力創建了世界級的團隊, 如願讓 Göttingen 成為數學家的聖地。

一位才華橫溢、深富創造力的年輕幾何學家, 中年時籌設了頂尖的數學機構, 高瞻遠矚, 手腕精熟。 康明昌教授介紹了 Klein 的生平。

一元三次多項式可經平移轉化為 $x^3+px+q=0$ 的形式。 受 Sylvester 工作的啟發, 陳永川教授將方程式 $x^3+px+q=0$ 分解成兩個一次式的三次方的和, 從而得到一元三次方程的求根公式。 相較於經典的 Cardano 公式, 該方法易解好用。 廖信傑、 薛昭雄教授對該方法做了進一步的分析。 他們寫下方程式的統一形式, 藉以得到根的公式, 從而判斷一元三次方程具三實根的係數條件。

Noga Alon 於 1999 年引介名為組合零點定理 (Combinatorial Nullstellensatz) 的代數技巧, 藉由分析精心選擇的多項式的根, 獲得各種結果, (關鍵步驟是要證明該多項式的某個單項式係數非零)。 張鎮華教授介紹了組合零點定理的相關定理及其證明, 並討論了幾個現有的應用, 諸如： 加性數論中的 Cauchy-Davenport 定理、 正則子圖的存在性、 與 $d$-點團集相交的集合數目計算, 以及有向圖奇、 偶循環子圖數目與著色問題的關聯。

高斯證明： 給定數體 $k$, 若藉由主理想定義分數理想的等價關係, 則等價類的集合 $H^+ (k)$ 是理想乘法下的有限阿貝爾群, 稱為理想類群。 對二次體 $K={\Bbb Q}[\sqrt{m}]$, 高斯考慮了更粗略的等價概念, 將這些粗略的類稱為虧格, 它們是具相同判別式的等價類的集合, 而類的數量僅取決於判別式。 余家富教授及洪梵雲先生細說這些理論。

梁惠禎
2022年3月