177期編者的話
177期編者的話

Jean Leray (1906-1998) 與André Weil同年出生、同年辭世,先後受教於巴黎高師,但對數學的品味大相逕庭。Weil是Bourbaki的創始成員,注重結構嚴謹,不事應用。Leray則視數學為建模的工具,從力學和物理問題汲取靈感。在1934年的論文中,Leray建構了Navier-Stokes方程的大域弱解,證明平滑的初始值致使弱解在有限時間內平滑且唯一。他深富原創力,結合了偏微分方程的能量估計與代數拓撲(譬如Banach空間的固定點定理)的想法。在線性偏微分方程組的求解工具尚待研發之時,他竟然率先處理了非線性方程組。

1940年至1945年,Leray被關押在戰俘營。他深恐流體力學的專長會致使德國人迫他效力,因此專心研究「無用的」代數拓樸,提出層 (sheaf,由局部性質推導大域結果的一般工具)的概念,並介紹譜序列 (spectral sequence) 的方法,對上同調群取上同調群,逐步逼近層的上同調群,用以研究連續映射的定義域、對應域及纖維之上同調群之間的關係。日後,譜序列在球的同倫群(將球映射為低維球的不同方法)的計算至為關鍵,Weil也藉譜序列提出de Rham定理的新證明;層上同調則成為多複變函數理論的基礎,對Cartan – Serre定理A、B的證明不可或缺。康明昌教授闡述相關數學與歷史。 。

戰後Leray回到分析的工作。50年代之後,致力於複數域的偏微分方程,將留數定理及積分表示推廣至多複變分析,成就斐然。他始終是一位應用數學家,但因機緣巧合,對幾何和拓樸做出了無與倫比的貢獻。

同步化現象見諸有情人的靈犀相通;這是情意所致,或是力學因素使然?夏俊雄教授介紹振子 (oscillator) 同步化的Kuramoto數學模型,概要證明:若振子之間的角速度差異及起始值差異夠小,則可達頻率同步化;若它們的角速度一致,則可進而達成相位同步化。

Kummer曾證明:若$p$是正則質數,則費馬方程式$X^p+Y^p=Z^p$無正整數解;而$p$是正則質數,若且唯若$p$未整除類數 (理想類群的元素個數)。謝銘倫教授概述類數與zeta函數、Dirichlet L-函數的關聯,並介紹$E/Q$的zeta函數及Birc &Swinnerton-Dyer猜想。 眾所周知,一顆三維單位球可以與十二顆互不重疊的單位球同時碰觸。那麼一顆三維球可否與同樣大小的13顆球同時碰觸?Oleg R. Musin在2006年藉由Delsarte線性規劃衍生的方法來解決這個問題:置單位球於點$O$,將其它彼此相切的單位球球心記為$O_1,O_2,…,O_N$,令 $\phi_{ij} = ∠O_iOO_j$,並設計一個特殊的多項式函數 $f$,考慮 $S=∑_(i=1)^N∑_(j=1)^N f(cosϕ_ij)$。利用線性規劃函數工具可得知$f$的下界,而利用 $f$ 的特性及球面幾何可逐步得到 $S$ 的上界,比較上下界得知$N<13$,手法高妙。俞韋亘教授及林育愷、李家妤同學細說分明。


梁惠禎 2021年3月