170期編者的話
170期編者的話

本期專訪Graham教授。他對Ramsey理論、計算幾何、準隨機性理論都有基礎性重大貢獻,數學修養豐富多元。他以無窮的好奇心,多方探索,觸類旁通,故而博學多聞,視野寬廣。訪談涵蓋寬廣的議題,他各有獨到的見解,含藏歲月淬煉出的深刻智慧。

訪談的核心議題是電腦與數學的互動。如同徑賽記錄,計算的極限不斷提升。於今電腦輔助證明蔚然成風,但那些證明是否可信賴?是否如黑箱作業?而到了2099年,電腦是否真能寫出幾乎所有數學證明?屆時數學家有何存在價值?我們或該思索:在人工智慧的自動化發展過程中,是否有可能迸現出意識、品味、洞察力?若然,其品味是否會與人類殊異?

丘成桐教授講述幾何學的發展:畢達哥拉斯開啟先河,歐幾理得、笛卡兒為牛頓奠基,高斯、黎曼引領出張量分析及愛因斯坦的廣義相對論,其後有規範場論、Yang-Mills理論、弦論、Calabi-Yau空間,而今幾何在圖論及電腦科學廣被應用。丘教授觀照全局,精準評析,並概述他與合作者近年來在電腦圖像方面的豐碩成果。

衡諸歷史,幾何與物理相輔相成,密不可分。而今,電腦科學與數學相互滋養,我們不免好奇:資料科學是否會激發出新的數學?人工智慧是否會幫我們解決懸宕至今的數學難題?

本期轉載甫辭世的Atiyah教授2014年的訪談錄。他善於敘事,言語引人入勝,訪談中大篇幅討論數學與物理的互動,細緻深刻。

Yang-Mills理論於1954年提出。1963年Atiyah-Singer指標定理被提出,可用以計算出自對偶Yang-Mills方程解的模空間維數。其後多年Yang-Mills理論進展停滯,直到1977年Atiyah- Hitchin-Singer 探討瞬子(instantons)的形變,及1978年Atiyah- Drinfield- Hitchin- Manin建構瞬子來探討Yang-Mills方程的解,才開啓數學家與物理學家之間的對話。藉Witten等物理學家之助,Atiyah-Singer指標理論與量子場論、弦論建立起重要聯繫。其後,物理洞察力不時引導出重大數學定理,諸如:1982年Witten連結了超對稱與無窮維Morse理論,1983年Donaldson以Yang-Mills探討四維流形的拓樸。訪談錄回顧了這段歷史。

考慮映射 $f_c$: z → z 2 + c, 其中變數 z和參數 c 為複數。固定c,經 $f_c$ 迭代而不會跑到複數平面上無限遠處的點z,形成 $f_c$ 的填充(filled ) 朱利亞集, 其邊界為朱利亞集 $J_c$。而那些讓原點 0 經 $f_c$ 迭代而不會跑到無限遠的參數c,則形成 Mandelbrot集M。參數 c 位於 M 之上,若且唯若 $f_c$ 的朱利亞集為連通。當參數 c 從M的外部移動到 M 之上時, 不連通的朱利亞集 $J_c$ 如何變為連通?陳怡全教授探討此問題,並陳述他的最新研究成果



梁惠禎 2019年6月