發刊日期 |
2023年6月
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標題 | 有朋自遠方來─專訪Persi Diaconis教授 |
關鍵字 |
專訪, Persi Diaconis, Ronald Graham, Donald Knuth, George Polya, 機率論, 群論, 對稱群, 電腦與數學, 人工智慧, 資料科學, 數學教育
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策劃:劉太平 Persi Diaconis 教授 1945 年 1 月 31 日出生於紐約, 1971 年獲紐約社區大學學士學位, 1972 年及 1974 年獲哈佛大學碩士及博士學位。 他曾任教哈佛大學, 目前是史丹佛大學的數學系暨統計系教授。 因他對擲硬幣和撲克牌洗牌等方面的機率論做出了傑出貢獻, 他曾獲頒諸多重大獎項, 包括 MacArthur 獎 (1982年), 並且是美國國家科學院院士 (1995 年)。 訪談中, 讀者將一睹他傳奇的職業生涯和他獨特的數學見解。 劉太平 (以下簡稱「劉」): 歡迎來訪, Persi。 你這麼熱誠, 充滿活力。 很高興你來! Persi Diaconis (以下簡稱「D」): 我仍然深愛數學。 劉: 這讓我想起了一個故事。 有次我在 Palo Alto 和 Louis Nirenberg 1 1 Louis Nirenberg (1925$\sim$2020), 加拿大出生的美籍數學家, 對線性及非線性偏微分方程理論, 及其在複分析、 幾何中的應用, 做出重大貢獻。 2015 年獲頒 Abel 獎。 共進午餐, 他說他想退休。 但他其實不必退休, 所以我問他為什麼要退休。 他說: 「有這麼多經典好書, 但我從來沒時間讀它們」。 幾年後, 他退休了, 我又問他: 「你的好書讀得如何?」 他說: 「沒辦法, 我還在做數學」。 就以這做為開場白, 我們可以開始了。 D: 有你們兩個好伙伴, 真好, 我很愉快。 能見到啟瑞, 真是個驚喜; 很高興見到你。 黃啟瑞 (以下簡稱「黃」): 謝謝。 D: 當然, 我們認識很久了。 黃: 是的, 我們認識很久, 40 年了。 從 1980 年代, 應該是 1982 年至今。 劉: 我有時會說: 某某事在你出生之前發生。 Persi, 你在這裡, 我就不能這麼說了。 D: 是的。 我們同年齡, 都是老傢伙。 但是有老的和老朽的 $\cdots$ 你知道的, Joe Keller 2 2 Joseph Keller (1923$\sim$2016), 美國數學家, 提出幾何衍射理論來解決波傳播問題。 1997 年因他對電磁、 光學、 聲波傳播, 以及流體、 固體、 量子和統計力學的貢獻, 獲頒 Wolf 獎。 , 我的意思是, 他未曾老過。 劉: 真高興你能來, 我們會操勞你的。 D: 我會保護自己。 劉: 話說這個系列, 名為「許振榮講座」。 許教授是臺灣首位做研究的數學家, 在東北大學 (Tohoku University) 獲得博士學位。 他過世後, 夫人捐贈了一筆資金, 於是我們有了這個構想。 中研院數學所非常樂意贊助, 與中華民國數學會共襄盛舉。 中華民國數學會的會長應該會在你的第一個演講做介紹。 這系列講座始自 2011 年, 一開始我們請了幾位日本學者, 因為許振榮先生是從日本獲得學位, 我們有某種感念。 深谷 (Fukaya) 3 3 Kenji Fukaya (深谷賢治, 1959$\sim$ ), 專訪 2009 年刊載於數學傳播 33 卷第 3 期。 Fukaya 近年來的工作重心是辛幾何, 特別是拉格朗日子流形, 以及與這些子流形的交集相關的 Floer homology。 Fukaya 發展了一種理論, 將給定的辛流形的拉格朗日子流形視為某種廣義範疇的對象, 現稱 Fukaya 範疇。 是第一位演講者。 D: 深谷, 目前在石溪 (Stony Brook)? 劉: 是的, 石溪。 D: 他近來有點爭議性。我的意思是, 有些人說: 「這是錯的」, 然後他說: 「不, 不」。 他的工作確實有爭議; 非常抽象, 我一無所知, 但 Yasha Eliashberg 4 4 Yakov Eliashberg (1946$\sim$ ) 俄國出生的美籍數學家, 專訪 2017 年刊載於數學傳播 41 卷第 2 期。 他的研究興趣在辛幾何、 contact 幾何、 多複變、 奇點理論和低維拓撲。 他是辛拓撲的創始人之一。 2020 年獲頒 Wolf 獎。 認為他很傑出。 現在 John Pardon 5 5 John Pardon (1989$\sim$ ), 任教於普林斯頓大學, 解決了 Gromov 提出的結的形變問題。 正試圖解決各個問題。 劉: 原來如此。 我們繼續討論一下這個話題, 然後再回頭談談你自己。 Arnold 6 6 Vladimir Arnold (1937$\sim$2010), 出生於烏克蘭的數學家, 與 Kolmogorov 及 Moser 提出 KAM 理論, 研究可積動力系統的穩定性。 因他在動力系統、 微分方程和奇點理論方面的工作, 於 2001 年獲頒 Wolf 獎。 在史丹佛大學時, 確實提到了其中的一些, 然後他說:「另一方面, Gromov 7 7 Mikhael Gromov (1943$\sim$), 俄國出生的法籍數學家。 藉由創新思想及非傳統的數學方法, 獲致幾何分析及群論的重大突破, 解決了現代幾何中諸多複雜問題。 2009 年獲頒 Abel 獎。 , 我不知道為什麼, 他永遠是對的」。 Arnold 就是這麼說的。 D: 我曾在公共場合和 Arnold 鬥嘴。 他做了3次演講。 我的演講談的是洗牌。 這大概是 30 年前的事。 我說: 「雖然我的洗牌是和排列群 (permutation group) 相關, 但它們適用於其他類型, 也就是 Lie 理論: A 型、 B 型、 C 型、 D 型」。 所以, 我說: 「所有這些公式在一般類型也是正確的」。 一個聲音從這三百人的觀眾中傳來, 帶著濃重的俄羅斯口音: 「你的理論怎麼看待 E8?」 我說: 「我不在乎 E8, 因為它沒有 $n$。 我不會讓 $n$ 趨近於無限, 我不在乎」。 那個聲音說: 「沒有自己的 E8 定理的人, 不是數學家」。 我說: 「那人是誰?」。 他是 Arnold。 演講之後, 我走到他面前, 試圖與他結識, 因為他是一個傑出的人物。 他甚至不和我說話。 我的意思是, 我沒有自己的定理。 現在, 我有一個關於 E8 的定理, 但那是 30 年後的事了。 他是個硬漢, Arnold。 劉: 非常硬。 是的。 但是, 你知道, 他在不同的環境中成長。 D: 是的。 但 Yasha 也出自那個環境。 劉: 是的, 是的。 D: Yasha, 他是那麼和善。 劉: 我知道。 D: 而且總是正面的。 劉: 我想談一件人們一直難以理解的事; 它已經成為關於 Persi Diaconis 的民間傳說。 那就是:你很小的時候就離開了家。 D: 14 歲。 劉: 14。 這麼小的年紀。 以我的成長經歷來說, 這非常奇妙: 我出走了。 然後怎麼辦? 首先, 我需要吃飯, 需要睡覺等等, 對吧? 是的。 那麼, 怎麼辦到的? D: 我是個認真的業餘魔術師。 小時候, 你懷著我們現在無法重獲的熱情做事。 那個時代, 最會耍戲法的魔術師名叫 Dave Vernon。 他在我 13 歲時認識了我, 那時我常在魔術商店裡閒逛, 老是曠課。 我喜歡魔術。 魔術師們會在周六會面, 有一次他打電話給我說: 「我要去 Delaware 州。 你要來嗎?」我說: 「要」。 他說: 「星期二兩點在西邊高速公路見」。 就這樣, 我收拾好行李就走了, 再也沒有回家。 我成為他的助手, 再也沒有回去。 我們走遍了美國。他是一個表演者。 實際上, 他的年齡是我的 4 倍多; 我 14 歲, 他大概是 68 歲。 一直以來, 有一個認真的業餘魔術師組成的世界, 你可以靠演講為生, 周遊各個城市給演講; 他通常就做這事。 但有時他會辦場表演, 或在電視演出, 而我是他的助手。 我就是這樣過活的。 劉: 說到魔術, 在四川, 有一種魔術叫「變臉」, 可以變換臉。 只是個快速的動作, 然後他們就變臉了。 D: 我看過, 太讓人讚嘆了。 劉: 是的。 而這是嚴格的職業機密, 不對外透露, 只傳承給兒子、女婿或特殊人物。 D: 我看過有人這樣做, 真是了不起。 劉: 我不懂魔術。 魔術的本質是什麼? 當然, 對外人來說, 這是魔術, 做了一些違反物理定律的事情等等。 但要如何成為技藝精湛的魔術師呢? 你必須有敏感的手, 或者你必須深入分析思考? D: 這很重要。 但是, 也有一些出色的表演者, 不太擅長變戲法, 但很會表演。 他們可以一面伸手碰觸腳燈, 一面與人交談, 然後他們的助手就有了大箱子。 我變戲法、花招 (sleight of hand); 這沒那麼容易。 那麼, 魔術的定義是什麼? 「看似違反自然法則?」我的意思是, 這是一種定義。 劉: 這讓我想到了數學教學。 有時你在演講中會說, 「誰在乎 (Who cares)?」對吧? 對我來說, 這應該意味著, 聽起來很抽象的問題: 數論, 組合數學, 概率論, 實際上有一個非常直觀的開始。 D: 我總是這樣認為的。 劉: 是的。 在我看來, 你有這種神奇的能力, 讓人們覺得, 「是的, 這個數學問題, 它是相當抽象的。 但實際上, 它可能和一些具體的, 甚至是直覺的日常事物相關」。 D: 嗯, 這在演算法中或許很重要, 或者在科學計算、 打好牌或實際的東西中很重要。 應用數學方面也有同樣的問題。 我的意思是, 可以真正應用的東西, 不同於那些僅僅因為某人能力夠、 或因為有人認為它很美, 而發展出理論的東西; 你知道兩者之間的區別。 後者沒錯, 非常好。 有很多很多成功的人在做數學, 因為那些東西是美麗或有趣的; 50 年後, 那些正好是我所需要的。 但另一方面, 也有很多胡扯抽象的東西。 劉: 是的。 它會被遺忘, 但當人們需要它時, 又會重新發現它。 D: 是的。 劉: 你如何, 在過了一些年的魔術表演之後, 對自己說: 我對數學有這種發自內心深處的熱愛? D: 不, 不是這樣單純。 是比這更有意思的故事。 劉: 在我看來, 你善用了西方世界提供的自由。 D: 是的。 劉: 人們有正確的心態, 會說: 「我們給這個人一個機會」。 D: 是的, 譬如說法國, 就不一樣了; 離開 10 年後回來, 非常非常困難。 這裡或許可能? 如果你退出了體系? 我不知道。 可以嗎? 在臺灣, 有人可以這樣起步嗎? 當然可以。你可以去社區大學。 你可以 $\cdots$, 但很難, 對吧?這更難。 在美國? 好吧, 它發生了。 劉: 對你來說, 它不僅僅是個地方。 它是哈佛, 提供一流的教育, 對吧? 但即使在社區學院, 在你拿了 C、 C、 D 的成績後, 也有人對你說: 「是的, 你搞錯了。 身為學生, 你需要做功課」, 然後還是容許你繼續求學。 D: 我做了功課。 我可以解題, 但我不知道自己必須為考試而學習。 就是如此。 我從來沒有想過。 我只是覺得我很笨, 沒有能夠看到這點。 我以為只要坐在那裡看就行了。 劉: 我明白。 事實上, 需要更用功些才能熟練。 D: 一旦我得知這個想法, 情況就好轉了。 劉: 不過, 仍然要有動機。 你說, 「好, 我知道如何下注, 每次都能占一點優勢, 確實是機率理論在幫我。 我需要學習機率論。 在此之前, 我需要學習微積分」。 這是一個非常合乎邏輯的推理。 D: 我有很好的老師。記得我第一次去上初等機率的課時, 頭一遭聽到中心極限定理。 這是一個相當大的班級, 可能有 40 人。 我打斷了授課。 說:「什麼? 真的? 我的意思是, 任何分佈都歸結到鐘形曲線?」 我只是想: 這真是太好了。 我說: 「那太好了」。 老師沒有修理我。 他說: 「是的, 這很了不起。這是一個偉大的定理。 一種普遍性的體現」。 他們很高興。 社區學院的老師想教普羅大眾; 我的意思是, 他們接納來自不同背景的人; 如果有人閃現光點, 老師就會去照亮他們, 幫助他們。 這非常好。 劉: 是的。 這些年來社區大學是否有些改變? D: 嗯, 我在那裡的期間, 它已經開始改變了。 社區學院的設置, 曾經是為了那些想留在紐約的聰明年輕人。 在我求學期間, 首先是 1968 年, 由於越戰, 街頭發生騷亂, 社區學院變了。 有人說: 「每個人都應該能夠進入社區學院。 但是有些人沒有背景, 譬如少數民族和其他人。 因此, 我們要改變結構」。 他們曾經有各種各樣的大學部課程: 實變、 微分幾何、 偏微分方程, 都刪掉了。 他們製作了一個分數加法和讀比例尺的課程, 讓學生為就業做準備。 這發生在我求學期間。 呃, 這真的很可怕, 因為他們讓所有人去教補救課程。 現在情況好多了。 當然, 他們確實在教書, 讓任何想去的人有一個機會。 黃: 話說 Feller 的書, 你覺得它對學生的學習有幫助嗎? D: 我認為這是一本很了不起的書。 我開始在哈佛教書時, 想到了 Feller; 這是一本很好的書。 但是, 當然, 如果你想學機率, 除了離散機率之外, 還必須學習連續機率, 對吧? 所以我也需要 $\cdots$ 黃: 第 2 冊。 D: 第 2 冊。 對。 我教大學部課程, 指定第 1 冊和第 2 冊為教科書; 學生們來上課, 他們很震驚。 這也許是 1985 的事。 但為什麼 Wiley 從不降低價格, 或製作廉價版的 Feller $\cdots$ 所以, 每冊是 200 美元。 學生們問: 「我們必須買這些書嗎?」 它們是很了不起的書。 我教過 Feller。 它們對學生來說很困難, 水準略高, 而且也充滿錯誤。 我的意思是, 在段落層次來看, 它很精彩。 但在句子層面上, 它經常是不對的。 然後, 在章節層面, 他沒有講到 Martingale。 他有自己的看法。 他的出身是偏微分方程。 Feller 是一名分析學者。 但關於什麼是機率, 什麼是機率的核心, 它有一種奇妙的風味。 我不知道還有哪本書有這種風味。 黃: 這是一本很難的書。 我讀了它, 但不是整本書。 而且習題非常困難。 D: 是的, 這是真的。 這是一本很難的書。 真是難。 但這是哈佛和史丹佛, 聰明的學生。 這是一門成功的課程; 我是說, 他們沒有半途離開。 他們離開的時刻, 都是在我教了一些自己一無所知的東西時, 譬如抽象代數、 建物或更不堪的, 這時班級很快就會縮減成 4 或 6 個學生。 但 Feller 總是 $\cdots$ 因為這是一本很精彩的書。 我能讓他們接觸到 Feller, 那就好。 黃: Stirling 公式的逼近公式通常很粗糙。 D: 是的。 黃: 但我需要一些進階的逼近公式。 我在 Feller 的書中找到了。 D: 告訴我們! 我在課堂上教那個, 兩節課才做出 Stirling 公式 $\cdots$ 嗯, 很好, 我以前每堂課都這樣做。 對, 如果你想找到 Stirling 公式非常好的上限和下限, Louis Gordon 15 15 Louis Gordon (1946$\sim$ ), 任教於南加大, 專精統計學。 在《American Mathematical Monthly》 上有一篇精彩的文章 16 16 Louis Gordon, A Stochastic Approach to the Gamma Function, the American Mathematical Society, Vol. 101, No. 9 (Nov., 1994), pp.858-865 , 有美麗、 最佳的、 有用的上限和下限。 但是, 當然, 在 Abromowitz 和 Stegun 的書 17 17 Abramowitz 和 Stegun 是 1964 年數學參考書的非正式名稱, 由美國國家標準局 (現為美國國家標準和技術研究院 NIST) 的 Milton Abramowitz 和 Irene Stegun 編輯。 中, 你也可以找到一些, 但 Louis 的更好, 使用了 Gamma 隨機變數的機率來證明。 在組合數學中, 他們通常滿意於此: 這裡有一些序列, 它們有一個生成函數, 然後, 瞧, 我們可以寫下右側的封閉解 (closed form), 然後停下來。 它是沒用的! 當 $n$ 為 52 時, 它說了些什麼? $n$ 為 100 時, 它說了什麼? Feller 解釋了如何從公式中獲得數字, 這很有價值。 我仍然嘗試這樣做。 劉: 來換個話題。 回頭看, 你曾在劇院做魔術師、 紙牌等等, 但在職業生涯的後期, 你又回到了洗牌等等。 這和你當魔術師的時候稍有不同, 對吧? D: 沒有太大的不同。 例如, 這就是我如何第一次學到二進制數。 我會解釋的。 魔術師和狡詐的賭徒可以完美地洗牌; 完美意味著你將它們精確地切成兩半。 你有 (洗牌的聲音)。 1, 1, 1, $\ldots$ 好。 現在, 為什麼有趣呢? 好吧, 假設我在上面有 4 張王牌。 如果我完美地洗一次牌, 那麼每隔兩張它們會現身, 對吧? 每隔一張會出現。 如果我洗兩次牌, 它們就是每隔四張會現身。 如果我發牌給 4 位玩家, 我就會拿到王牌, 對吧? 劉: 這是非常確定性的。 D: 嗯, 當然。 這是完美的洗牌, 但仍然 $\cdots$ 我想我 13 歲時就學會了這個; 我在魔術店裡閒逛, 一個傢伙從英國來訪 $\cdots$ 好的, 有兩種完美的洗牌。 和我談論洗牌就像和加州人談論葡萄酒, 你知道嗎? 你會聽到 $\cdots$ 劉: 欲罷不能。 D: 哦, 不, 不, 我會停下來。 所有兩種完美的洗牌: in-shuffle, 最上面的牌去到內部; out-shuffle, 最上面的牌留在外面。 它們稍有不同。 那麼, 你能用這些做什麼呢? 假設我想將最上面的牌帶到位置 6; 魔術師可能想把最上面的牌帶到一個已知的位置。 我瞭解到, 如果你把最上面的牌帶到位置 $J$, 你取 $J$ 減去 1 並用二進位表示, 然後如果你運作洗牌序列, 其中 1 是 in-shuffle, 0 是 out-shuffle, I-O-I-I-O, 你會把最上面的牌帶到J的位置。 這就是我對二進位數的瞭解。 劉: 是的, 我讀了這篇文章 20 20 Gina Kolata, In Shuffling Cards, Seven is Winning Number, New York Times, Jan. 9, 1990 。 D: 是的, 「教授洗牌」。 我怎麼改變了志趣?我們這個領域的一位佼佼者是 Paul Lévy 21 21 Paul Lévy (1886$\sim$1971), 法國數學家, 早年是泛函分析專家, 對機率論有重大貢獻, 特別是 Wiener 過程及 Lévy flight 方面的研究。 。 初到史丹佛大學任教時, 我經常去圖書館。 當時 Lévy 的作品集已經出版, 是 6 冊法文。 現在的我法文很差。 當時更糟。 我現在有法國妻子和法國小孩, 所以法文有進步, 但仍然一點也不好。 當時我拿起一卷 Paul Lévy 的作品集, 隨機翻開, 頁面上出現完美洗牌的方程式。 哎呀, Lévy 寫了 10 篇關於完美洗牌的論文。 他因病臥床一年, 有興趣知道何種排列可能發生。 他寫了 10 篇論文, 魔術界沒有人知道這件事, 數學界也沒有人知道。 我知道這件事, 我說: 「啊, 如果 Lévy 可以做, 我也可以」。 劉: 凡人都可以做。 D: 是的, 喔, 不是。 Lévy 是一位偉大的數學家。 劉: 是的, 有些人可以做。 D: 有些人可以做, 對。 我想我來做應該也可以。 這就是我何以會在史丹佛大學開始學習洗牌。 這就是我何以回應了 Don Knuth 的徵詢。 Don 還在做研究。 他已經 85 歲了, 仍然 $\cdots$ 他讓人讚嘆。 Don Knuth 是一位偉大的作家, 偉大的科學家, 偉大的數學家, 事實上, 如果他願意, 他可以做出偉大的數學。 他拿的是數學的博士。 劉: 有一次, Don Knuth 在史丹佛給了一個演講, 你在聽眾席中, 做了一些評論。 我記得他在演講開始時說: 「今天的演講會很短, 因為我要講的是拉馬努金 (Ramanujan) 22 22 Srinivasa Ramanujan (1887$\sim$1920), 對解析數論做出了重大貢獻, 致力於橢圓函數、 連分數和無窮級數的研究。 的一篇很短的文章, 只有 3 頁」。 但是, 四十分鐘後, 他只講了前半頁。 D: 每年耶誕節, 他都會給「聖誕樹講座」, 只給一個演講。 他的演講何其好, 人們至今仍記得 Don Knuth 是誰。 聽眾有 150 人。 老實說, 他不是一個傑出的演講者; 30 年來他都沒再教書。 但他仍然喜歡那些題材。 上一次講的是組合的東西: Baxter 排列 23 23 https://www.youtube.com/watch?v=zg6YRqT4Duo. 。 劉: 我們來談通俗演講。 你在萬聖節給演講, 是關於不可測集。 D: 不可測集, 是的。 劉: 不可測集。 你似乎把它和鬼魂聯繫起來, 因為萬聖節是關於鬼魂的, 對吧? D: 還有怪物。 那是怪物出沒的時候。 我教研究生機率時, 不曾教到不可測集。 這並不難, 但也並非標準的題材, 所以, 在萬聖節, 我給了通俗演講, 談不可測集, 因為這是怪物出沒的時候。 人們來聽。在倒數第 2 次, 不是我最後一次, 有個 12 歲的女孩和父親要去聽我的講座。 我站在門口, 說: 「妳知道, 這是數學課」。 她看著我的眼睛說: 「我想知道什麼是不可測集」。 上帝保佑妳, 好姐妹。 真是太好了。 劉: 這讓我覺得你有辦法讀懂人類的情感。 因為怪物是鬼或者其他什麼的, 對吧? 不可測集是其中一員。 D: 它是其中一員。 如果沒有選擇公設 (axiom of choice), 就無法構建一個不可測集。 我的意思是, 你不能寫下一個不可測集。你可以用英文描述解析集合, 但不能用英文描述非 Borel 的集合, 或是確實不可測的集合。 劉: 但對理解可測集來說, 這些東西不可或缺, 因為我們被教育, 覺得一切都是可測的。 如果一切都是可測的, 那麼就沒有必要提到「可測」這個詞。 D: 數學家大都不會對此深思熟慮, 但史丹佛大學的 Grigori Mints 24 24 Grigori Mints (1939$\sim$2014), 生前任教於史丹佛大學哲學系。 他的研究重心是證明論、 數學推理分析及其在電腦科學等領域的應用。 不同。 他在哲學系, 但他是數學家, 是像 Brouwer 和 Bishop 那樣的俄羅斯建構數學家。 你可以和他談談, 他對數學很感興趣。 有一次看他走來, 我說: 「嗨」, 他也說: 「嗨」。接著我說: 「你還好吧?」他說:「不」。 我問:「怎麼了?」他說: 「你怎麼可能做數學? 基礎這麼糟糕, 怎麼可能做數學?」 這是發自內心的。 我想, 「哎呀」。 你知道的?因為我們不關心基礎, 對吧? 對我來說, 一切都是有限的。 劉: 你離開哈佛, 搬到史丹佛。 這是兩個不同的社會。 D: 是的。 劉: 可以評論一下嗎? D: 當然。 首先, 我為什麼離開史丹佛, 搬到哈佛? 起初我在史丹佛大學統計系, 經常去數學系參加研討會。 我 1974 年開始在史丹佛大學工作, 大約在 1980 年離開。 當時數學系對應用數學非常敵視。 他們把電腦科學扔出去, 又和統計學切割。 你們可能認識的鍾開萊 26 26 鍾開萊 (1917$\sim$2009), 華裔美籍數學家, 對布朗運動、 隨機過程及其在幾何、 分析的應用有卓越貢獻, 並有十多本專書著作。 。 他曾經在研討會上大喊: 「哦, Persi, 你又來假扮數學家了」。 少量的點點滴滴就會產生宏大的效應, 對吧? 還有些老傢伙, 分析學者, 十分多疑。他們對應用數學很不友善, 對我尤其如此。 我在做數學, 我有機會去哈佛數學系, 他們真的很想要我去, 所以我去了哈佛。 該死, 史丹佛數學系。他們不想和機率學者交談。 好的。 Sam Karlin 27 27 Samuel Karlin (1924$\sim$2007), 波蘭裔美國數學家, 生前任教於史丹佛大學數學系, 研究賽局理論及其在經濟學、 人口統計的應用。 1989 年, 提出一種估計一個生物體的已知 DNA 序列與另一個生物體的已知 DNA 序列之間相似性的方法, 協助研發方法來對具有統計顯著性的 DNA 匹配進行排序。 對我很好, 這有點出乎意料。 他很有趣 $\cdots$ 你認識 Sam 嗎? 劉: 是的。 生物學界的人把他當成自己人。 他做生物, 而不僅僅是生物學中的某種數學模型。 D: 他們何其愛用他的演算法去搜索 DNA 序列。 他非常受人尊敬。 他是個好數學家。 他在我背後對我很好, 而不像大多數人, 只在你面前對你很好。 Sam 在我背後對我很好。 但我何時才可藉由某個問題打動他? 他寫了一本關於全正值 (total positivity) 的書, 難以閱讀。 我有一些問題。 我知道它在書中的某個地方。 所以, 我說: 「Sam, 看。 你能不能, 你知道, 我有這個問題」。 Sam 說: 「喔, 這太微不足道了。 而且, 我已經做出來了。 你為什麼對此感興趣?」 我從來沒有從他那裡得到過有用的答案。 但我真的很尊敬他, 但他不會坐下來聽我講, 和我進行科學對話。 但那只是 20 年時光。 劉: 史丹佛早年在古典分析方面很強, 對吧? D: 是的, 有 Schiffer 28 28 Menahem Max Schiffer (1911$\sim$1997), 德裔美國數學家, 從事複分析、 偏微分方程和數學物理研究。 , Paul Cohen 29 29 Paul Cohen (1934$\sim$2007), 美國數學家, 使用 forcing 的技巧, 證明選擇公理和廣義連續統假設在集合論中的獨立性, 從而獲費爾茲獎。 他對調和分析也有卓越貢獻, 曾提出 idempotent theorem。 , Szego 30 30 Gábor Szego (1895$\sim$1985), 匈牙利裔美國數學家, 研究極值問題及 Toeplitz 矩陣。 等。 我剛到史丹佛時, 去聽了 Pólya 31 31 George Pólya (1887$\sim$1985), 匈牙利裔美國數學家, 研究機率、 分析、 數論、 幾何、 組合數學和數學物理。 講課。 這是一個精彩的故事, 所以我要講一下。 Pólya 當時 81 歲, 有人勸他開個組合數學的課。 課堂有 100 人。 Pólya 是個迷人的老傢伙。 他 81 歲了。 第一堂課時, 他在一個 $3\times 3$ 的正方形上, 寫了「Abracadabra 32 32 是一個著名的咒文, 作為「magic word」在進行魔術表演時使用。 」這個字。 他說: 「這裡有一個問題要問你」。 他說: 「在這個正方形上有多少種方法可以寫出『Abracadabra』?」 他說: 「有多少人認為方法數介於 50 到 500 之間?」 有些人舉起了手。 然後, 他說: 「有多少人認為介於 500 到 5000 之間?」更多的人。 「有多少人認為大於 5000?」 然後, 他看著觀眾說: 「你認為所有問題最好都用選票多寡來回答嗎?」 這真是太精彩了。 他的課堂充滿這樣的事情; 有一些很好的故事是他之前講過的, 但很精彩。 當然他早就從數學系退休了。 劉: 當時在哈佛是誰要你去的? D: David Mumford 34 34 David Mumford (1937$\sim$ ), 出生於英國的美國數學家, 因代數幾何方面的工作而獲頒 1974 年菲爾茲獎。 而後對電腦視覺及模式理論貢獻卓著。 目前是布朗大學應用數學系名譽教授。 和 Barry Mazur 35 35 Barry Mazur (1937$\sim$ ), 美國數學家, 對數論、 算術幾何、 幾何拓撲、 微分拓樸、 代數幾何有重大貢獻。 2022 年獲頒 Chern Medal。 。 劉: Mumford 當時在做應用數學? D: 是的, 沒錯。 Mumford 想學機率, 希望有人和他交談, Barry 是我的朋友兼粉絲。 我在哈佛大學統計系獲得了博士學位, 但我選修過很多數學。 對我來說, 最溫暖的一個時刻, 是我畢業時, 兩位數學家 Barry Mazur 和 Lynn Loomis 36 36 Lynn Harold Loomis (1915$\sim$1994), 美國數學家, 研究分析、 應用數學及統計。 帶我出去吃午飯, 他們說: 「看, 你可以做數學, 我們不想失去你。你應該申請博士後」。 我去了史丹佛, 但我在哈佛有數學界的朋友: David Mumford 和 Barry Mazur。 當時組合數學已經是大家認可實在的領域。 他們還想要一些機率。 這是一個很小的系所, 哈佛系所。 只有 13 名終身職教授。 黃: David 告訴我, 他從你那裡學會了機率。 D: 是的。 黃: 我問他: 你怎麼學的 $\cdots$ 他明白地說, 是向你學的。 D: 他的做法是正確的。 他旁聽大學部課程, 接著旁聽研究所課程。 而後他教大學部課程。 真正以我們的方式學習機率的數學家, David Mumford 是我認識的唯一一位。 一般人學習機率, 就說: 這是一個可測量的函數。 但他確實學會了真正的機率。 劉: 他們在高中時就已經被拔尖出來了, 對吧? D: 對。 還有 Kolmogorov 37 37 Andrey Kolmogorov (1903$\sim$1987), 俄國數學家, 發展了機率論的公理基礎。 他利用機率理論研究了行星的運動和噴射發動機的湍流氣體。 他也是演算法複雜性理論的奠基者。 。 機率融入了文化、 數學文化。 但是美國人$\cdots$. 劉: 要為美國教育體系辯護, 我知道可能不是那麼容易。 有一次, Arnold 一如往常行事, 我說: 「既然你和我此刻都在美國, 美國一定有什麼東西是正確的」。 美國的人才比較分散, 對吧? 在俄羅斯, 有如此密集的優秀人才。 但在美國, 你最終進入了數學學術圈, 是一個好例子。 D: 你可以來自美國的任何地方, 但比較困難。 劉: 機率很難。 D: 是的, 但你學會了。 劉: 我在史丹佛大學教了幾個學季的機率, 因為我下定決心, 雖然不想成為一個機率學家, 但我想了解機率。 D: 你教得很好。 大家都這麼說, 我們有去探聽。 這是一個很好的課程。 劉: 我花了很長時間, 才了解一個非常困難的東西: Bayesian。 對我來說它非常深奧。 你對這個領域有些感覺。 D: 是的, 謝謝。 我想知道, 臺灣有 Bayesian 嗎? 我想沒有那麼多。 黃: 我不知道。 D: 如果有的話, 你應該會知道。 我想為數甚少。 黃: 是的, 你或許知道, 我有兩篇統計學的論文, 可算是眾所周知的長篇論文, 但我仍要說我不了解統計學。 統計學非常不同, 就像自然科學。 雖然我寫了兩篇統計學的好論文, 但是我對統計學並沒有感覺。 D: 但 Grenander 39 39 Ulf Grenander (1923$\sim$2016), 瑞典數學家, 生前任教布朗大學。 他的早期研究涉及機率論, 隨機過程, 時間序列分析和統計理論。近幾十年來, 他為計算統計, 圖像處理, 模式識別和人工智能做出貢獻。 是 Bayesian。 Gehman 40 40 Andrew Gehman (1965$\sim$ ), 美國統計學家, 哥倫比亞大學的統計兼政治學教授。 是 Bayesian。 你知道, 布朗大學數學系相當 Bayesian。 你逃跑了。 劉: 我在 2000 年回到台灣時, 開始了這系列專訪, 標題名為「有朋自遠方來」, 引用了孔子的話。 在他的《論語》的開頭, 他說: 「有朋自遠方來, 不亦樂乎?」現在你說你不了解統計學。 有一句著名的孔子名言說: 「知之為知之, 不知為不知, 是知也。」, 但很多人甚至不知道自己並不知道。 D: 對。 那是非常 $\cdots$ 我不知道那是孔子說的。 劉: 知之為知之, 不知為不知, 是知也。 D: 你在學校和那些諺語一起長大。 劉: 是的。 孔子其實尚可。 只是因為要讀這些才能通過入學考試, 所以我們不喜歡它。 但平心而論, 他很不錯。 D: 他很好。 你知道我寫了一篇關於《易經》的論文嗎? 你怎麼發音? 黃: 易經。 D: 孔子寫過評論。 早期對《易經》的註解有些可以追溯到孔子。 我想簡短說明一下我做了什麼; 我的意思是, 我如何寫成那篇關於《易經》的論文。 部分的《易經》需要你生成隨機模式。傳統上, 你有 49 根蓍草, 把它們分成2組, 而後拿掉 4 根, 於是蓍草有了相當複雜的隨機分布。 現今人們改用硬幣來做, 我證明兩者產生的分布是不同的, 確實相異。 現代人入門的分布與古人不同。 黃: 太嚴肅的問題。 不管它。 劉: 不。 給我們一些問題。 我們需要嚴肅的事情。請說。 黃: 話說現在的線上教學, 您如何看待它對數學的影響? D: 有什麼影響? 這和我們一起在房間裡不一樣, 也和在 Zoom 上見面不同。 我不知道原因。 它比電話好多了。 疫情開始時, 我在葡萄牙, 在 Zoom 上授課 $\cdots$ 它不是很好, 但它現成可用。 劉: 我有一個研討會, 每週四上午 10 點至下午 1 點, 進行 3 小時。 我人在史丹佛時也照常如此; 那裡是晚上。 每周大約 15 到 20 人參加。 實際情況是, 有些人會進行少許互動, 但為數甚少。 其他人只是被動地坐在那裡聽。 D: 他們甚至不露面, 很多人根本見不到臉。 劉: 對, 對。 事實上, 大多數人如此。 因此你幾乎可以得出一個結論: 它的成效不是最為理想。 D: 不是。 但總比沒有好。 聊勝於無。 我要求他們露面。 我說, 「沒有人能讓你這樣做, 但我們在一起。 你露個臉, 讓我們知道有其他人在場。 你願意現身嗎?」 劉: 可以這麼說, 你在天上人間往返。 現在你談到了《易經》。 你似乎一直在學習。 你如何學到這麼多東西。 D: 我能夠如此, 是因為我喜歡學習新事物。 我能夠解決問題的原因在此。 我總會先問: 「怎麼可以讓你著手解決問題?」 對我來說, 如果這意味著我必須學習一些新的數學, 那幾乎保證了我會希望去學它們。 接著我會努力以赴。 黃: 關於統計, 我有幾個問題: 現今, 高維數據盛行, 大數據是另一個議題, 它們是很不同的 $\cdots$ D: 是啊! 但是它們已經發展出來, 而且佔據優勢。 黃: 這就是問題所在, 有些東西儘管佔據優勢, 但很難總結成觀點或歸納成理論。 D: 對, 我同意。 首先, 機器學習和大數據已經佔據優勢, 無所不在了, 最好的圍棋程式 AlphaZero 和最好的西洋棋程式 MuZero 就是例子。 機器學習和大數據的理論產生出許多具挑戰性的數學問題。 我認為有新的數學問題很好, 但有些已經超越我的經驗範疇, 這是下個世代所面臨的挑戰。 劉: 他們就像算命的人。 D: 是的, 沒錯。 但是, 另一方面, 也有成功的故事。 他們有精彩的成功故事。 算命的人當然有時也會這樣; 特別是如果他們能看到你, 並且能對你的反應做出回應, 他們也可以做得很好。 但這是一個棘手的領域。 幸運的是, 我們仍然可以解決一些簡單的問題。 劉: 我想到一件事。在經歷了這一切之後, 你的父母對你有什麼看法? D: 首先, 我的父母早已辭世。 我 14 歲離開家後, 一生中又見過他們兩次, 而且是在不太好的狀況。 我認為他們不知道我在做什麼。 他們有自己的問題。 我在一個多事的家庭長大, 很多人住院, 而且精神有問題。 我想我的父母從來沒有真正理解過我 $\cdots$ 首先, 他們在我成為教授之前就去世了, 所以 $\cdots$ 但他們確實知道我上了研究所而且拿到博士學位, 但我沒有和他們交談。 我們沒有對話。 這是一個非常不幸福的家庭。 我不想與它有任何關係, 我也沒有。 劉: 從東方人的心態來看, 我會說, 他們的確沒有看到你的成功, 但你上研究所是 $\cdots$. D: 是件真實的事。 劉: 是的, 這必定讓他們覺得很好。 D: 我希望如此。 我的意思是, 我不知道。 但我真的是一個非常不守紀律的孩子, 也許直到上大學, 也許快上研究所。 有一次, 我在加州大學聖地牙哥分校做演講, 教務長是一位女士, 是我六年級的同學, 她必須介紹演講者和這個「某某」講座。 她說: 「不可能是 Persi Diaconis。 他不可能完成學業, 不會是成功人士」。 她介紹我時, 做了一個標準規格的演講, 而我講了那個故事。 我說:「現在, 瑪莎, 妳知道, 我記得 $\cdots$」” 劉: 她說不出話。 D: 嗯, 我很爛, 嗯, 我不是一個爛孩子, 我只是 $\cdots$ 我變魔術, 在學校不專心, 不做作業。 他們一直推著我往前走, 說: 「你是個聰明的孩子。 你在這裡很無聊。 好吧, 我們跳級」。 所以 $\cdots$ 無論如何, 它有成果。 劉: 是的, 這是一個美好的故事。 對許多人來說, 也是非常令人鼓舞的故事。 D: 應該是。 但是, 如果你有個孩子 14 歲時離家出走, 你恐怕不會開心。 劉: 是的。 D: 但未曾有壞事發生在我身上。 你認為我是逃家的魔術師, 但是 $\cdots$. 劉: 是的, 我擔心你將如何吃飯和過活。 D: 我沒辦法, 但我有我的導師, 而且魔術師社群真的很會照顧人。 但我沒有任何辦法賺錢。 劉: 是的。 之後你來到這個數學社群, 也不錯。 D: 不錯, 不錯。 它比許多其他社群溫和許多。 我的意思是, 看看他們如何照顧 John Nash 42 42 John Nash (1928$\sim$2015), 美國數學家, 因在賽局論方面的工作而於 1994 年獲頒諾貝爾經濟學獎。 2015 年, 因他對偏微分方程的貢獻而獲頒 Abel 獎。 。 你知道嗎? 我們甚至容忍了 Finn 43 43 Robert Finn (1923$\sim$ ), 專訪 2003 年刊載於數學傳播 27 卷第 2 期。 他在 Navier-Stokes 方程式、 最小曲面方程式及毛細面研究上貢獻卓著。 , 對吧? 劉: 大家很高興我願意和他共用辦公室。 Bob Finn 很有趣, 不是在通常的意義下, 但是很有趣。 鍾開萊又是如何? D: 他曾經告訴我: 「需要被人喜歡的美國病, 我沒有染上」。 劉: 我明白。 黃: 他得罪了很多人, 即使在機率界。 D: 是的。 他不遺餘力地冒犯人。 他喜歡 $\cdots$ 他是, 他 $\cdots$ 太糟糕了, 因為他是一個認真的好人, 我的意思是, 我本來可以從他身上學到很多東西, 但他就是 $\cdots$. 黃: 兩次, 他以前是我師祖 Cramér 44 44 Harald Cramér (1893$\sim$1985), 瑞典數學家、 精算師和統計學家, 專精數理統計及機率數論。 的學生。 D: 我明白了。 我不知道這件事。 黃: 實際上, Cramér 沒能在瑞典拿到駕駛執照。 但 1940 年代, 他訪問普林斯頓時, 鍾開萊教他如何開車。 這太瘋狂了, 因為鍾開萊的視力很差。 D: 很好, 非常好, 太瘋狂了。 黃: Grenander 告訴我那個故事。 D: 這是一個很好的故事。 這是一個很好的故事。 這太瘋狂了。 鍾開萊這樣的人教他如何開車, 真是太瘋狂了, 因為開萊實質上是盲人。 黃: Cramér 用美國的駕照換到了瑞典的駕照。 D: 啊, 那很好。 那很好。 我有一個關於 Cramér 的精彩故事。 當他大約 $\cdots$ 你見過 Cramér 嗎? 黃: 沒有。 D: 好。 要知道, 瑞典人有兩種, 有些是很高的戰士。 他身高 6 英尺 7 英尺。非常非常高大, 非常善良、 聰明。 和他共處時, 他會聽你說話, 會和你對談。 他 80 歲左右時, 柏克萊有個研討室要命名, Neyman 45 45 Jerzy Spława-Neyman (1894$\sim$1981), 俄羅斯出生的美國數學家, 對機率和統計有重要貢獻, 包括在氣象學和醫學中的應用。 請 Cramér 飛來為研討室揭幕。 黃: 是的。 我從 Grenander 那裡聽聞此事。 D: 那個故事? 所以我們兩個人都知道它。 抱歉, 我的敘述正確嗎? 大半是對的。 因為他告訴了我。 這很感人, 因為他是一個很好的數論學家, 提出質數的 Cramér 模型, 底數是 $x /\log x$ 的 Poisson 過程, 還有很多很多很好的定理。 黃: 我問我的老師: 為什麼他們能夠做很多不同的事情。 他告訴我, 因為瑞典是個小國, 所以他們的知識份子必須有能力去做不同的事情。 我記得他曾告訴我, 他證明統計學的一些理論時, 因為 Cramér 很忙, 要求他接管保險的工作, 所以他不得不做 $\cdots$. D: 生命科學, 是的。 黃: 像是生命表 (life table) 和汽車保險。 D: 我明白。 黃: 所以他證明出汽車保險的某些定理, 因為汽車保險和人壽保險非常不同。 D: 真有意思。 他寫下來了嗎? 我不知道那個故事。 黃: 他沒有寫下這樣的事情, 但他告訴過我們。 D: 太精彩了, 因為他喜歡抽象數學。 我的意思是, 他是很精彩的人。 Granander 總是深富人性, 非常願意和人說話, 我去過布朗大學很多次, 因為它離哈佛很近; 我在哈佛教書的時候去的。 他建立了一個很好的系所。 黃: 他還告訴我們, 關於他設計的東西。他不知道他們真的用了那個東西。 D: 砲彈? 他們想測試他們是否有戰力? 黃: 他們請他設計有適當大小的砲彈, 用在軍艦上。 砲彈的尺寸, 要怎麼講呢? D: 對, 對。 砲彈的內部, 對吧? 是的, 對。 黃: 對, 砲彈。 我應該用「通用」這個字; 一個尺寸適當的砲彈, 在軍事上很有用。 Grenander 實際計算了一下。 他們真的採用了。 D: 很好。 黃: 另一件事是後勤動員。 在戰爭期間, 你必須動員物資, 你必須把東西存放在不同的地方。 實際上, 他為國防部寫了一篇關於這個問題的文章。 D: 如何以最佳方式儲存東西 $\cdots$. 黃: 是的, 他嘗試做這樣的事情。 D: 但是可以像 Monge–Ampère 一樣, 也就是說, 你想儲存東西, 以便它們可以 $\cdots$. 黃: 戰爭中, 從不同的地方, 他們可以 $\cdots$. D: 是的, 他們必須最小化運送物資的時間, 對, 是的, 像 Monge–Ampère 一樣, 就像在給定的邊際條件下做度量。 黃: 運輸問題。 D: 就是這樣! 你已經證明了你是這裡最年輕的。 黃: 運輸問題。 D: 對。 黃: 有些來自實際應用的數學問題。 他們必須解決那些問題。 劉: 和你談話真是暢快。 真好。 我們可以繼續談到深夜, 但我認為我們應該去吃晚飯。 但談到台灣人, 相對於你不可思議的人生經驗, 我擔心台灣學生; 他們太專注於書籍和考試。 D: 考試之類的事情。 是的。 劉: 而且, 你知道, 啟瑞這一代; 啟瑞比我年輕一點, 但不是那麼多。 黃: 3 歲或 4 歲。 劉: 4 歲。 對。 但年歲的比例正在變成 1。 我知道現在這是一個敏感問題。 D: 不, 在這個房間裡不敏感。 劉: 不在這個房間裡。 但我們這一代, 對書本和考試, 並不那麼專心一意。 但現在的年輕人, 有點過於關注單一焦點。 Persi 是不同的, 真好。 D: 真是太愉快了。 我會在這裡是你的錯; 沒有你, 我不會來的。 劉: 我們去吃晚飯吧。 D: 好, 因為和你一樣, 我現在還有時差。 ---本文訪問者劉太平、黃啟瑞任職中央研究院數學研究所--- |