發刊日期 |
2019年6月
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標題 | 有朋自遠方來-專訪Ronald Graham 教授 |
關鍵字 |
Ronald Graham, 專訪, 電腦與數學, computer-aided proof, 量子電腦, 圖論, 數論, 質數, 孿生質數, 張益堂, Goldbach猜想, 著色問題, 四色定理, 有限單群的分類, Kepler球堆積猜想, 金芳蓉, Paul Erdös
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策劃: 劉太平
Ronald Lewis "Ron"Graham 教授 1935 年 10 月 31 日出生於 Taft, California。
1962 年在 UC Berkeley 獲 Ph.D.學位。
先後任職 Bell Labs 和 AT&T Labs, 並曾在 AT&T 擔任資訊科學所所長。
1999 離開 AT&T, 現任教 UCSD, 同時也是 Cal-(IT$)^2$ 首席科學家。
他在 1993$\sim$1994 年擔任美國數學會會長。
劉太平 (以下簡稱「劉」): 你常提到 Erdős1 1 Paul Erdős (1913$\sim$1996), 匈牙利籍數學家, 研究領域涵蓋組合數學、 圖論、 數論、 古典分析、 逼近理論、 集合論和機率論。, 我想請問一下: 什麼原因讓他選擇過那種獨特的生活方式?
Graham (以下簡稱「G」):
嗯 $\cdots$ 這可難說了。
有一位匈牙利數學家名叫 László Babai
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László Babai (1950$\sim$),
匈牙利籍數學家, 芝加哥大學計算機科學暨數學系教授, 研究演算法、
計算複雜性理論、
組合數學和有限群, 並強調這些領域之間的相互作用。他於2017年提出圖同構問題的準多項式 (quasipolynomial) 時間演算法。
, 目前在芝加哥大學。
我第一次遇見他時, 他年方 19, 現在已年約 62。
他曾寫過上百頁的 Erdős 傳記。
在 Erdős 求學時期, 匈牙利嚴格限制猶太大學生的人數。
這個限制極為嚴格, 而數學是一個容許你實際去學習的領域。
Erdős 的兩個姊姊都在他出生前後過世, 因此母親對他百般呵護。
他母親其實是一位數學老師, 因此 Erdős 大半時間在家自學。
舉例來說, 他不知道如何把奶油塗在麵包上, 因為他從來不需要做這種事, 媽媽總是為他打點好。
他在英國時, 才發現「原來我做得到!」。
有一本很好的童書, 題為「The Boy Who Loved Math」
(「一個熱愛數學的男孩」), 述說 Erdős 的少年時期及成長歷程。
這是本很迷人的小書, 而我的工作就是確認 Erdős 黑板上和其他地方隨興寫的數學是正確的。
劉: 你把他當家人一般地照顧。 G: 是的。 當時我們的房子特別留有 Erdős 的房間。 他需要有自己的浴室、 電話, 也要會用冰箱, 半夜才有食物吃。 關於這些, 還真是有許多好故事。 劉: 這是出自你對他由衷的敬意。 你喜歡他, 也尊敬他的數學, 對吧? G: 是的。 他心腸很好, 有顆好大的心。 葉永南 (以下簡稱「葉」): 他真的很好。 G: 有這樣一個好故事: 有次他和某人住在一起。清晨四點時, 浴室傳出巨大聲響。 他一早去用早餐時, 隻字未提, 最後才說: 「你知道的, 早上你的浴室裡沒有發生什麼意外, 只是有一大瓶碘酒破了, 灑了一地。 但別擔心, 我找到足夠的毛巾, 把它們都吸了起來。」你可能知道, 碘漬是幾乎不可能清除的。 Erdős 用意良善, 但他的用心並不是都能奏效。 劉: 但你了解他, 你說他「好心 (good heart)」。 G: 他最珍貴的一項財產, 是他每天寫的數學日誌, 裡頭記錄他當時在思考些什麼。 他過世時, 這些日記都放在他的鄰居兼親密數學同事 Vera T. Sós4 4 Vera T. Sós (1930$\sim$), 匈牙利數學家, 研究數論和組合數學。 那裡。 她持有這些日記, 卻不讓其他人過目。我們問: 「為什麼呢?」而她說: 「喔, 我就是不想要。」 很多人都想了解 Erdős 過去思考些什麼。 Erdős 會把數學筆記寫在右邊, 而後經常性地回顧, 並在左邊加上其他註記, 像是: 「喔!我知道了, 這是我之前想過的其他問題的一個特例。」 我很想了解: 他在從事質數定理 (prime number theorem) 的初等證明5 5 意指只用到基本技巧的證明。 特別是在數論中, 意指沒有用到複分析的證明。 (elementary proof) 時, 想了些什麽。 劉: 所以日記仍然存在, 但沒有人可以過目。 G: 對, 她擁有這些日記。 共約 20 冊, 我複印了其中兩冊, 但它們都是用匈牙利語寫的, 我看不懂。 幾年前, 他百歲誕辰, 舉辦了 800 人的大型會議。 我想他不曾到過台灣。 劉: 說到這個, 今天早上我跟同事劉豐哲提到這次訪談時, 他告訴我: 你很久以前來過台灣, 1971 年吧。 G: 沒錯, 我來過。我在香港待了一個夏天, 適逢當地首條隧道開通。 我記得, 時值李小龍6 6 李小龍 (1940$\sim$1973), 出生於香港, 武術家暨國際武打巨星。亡故。 我去台大給了一場排定的演講, 我還保存著報導這場演講的報紙。 我四處旅行, 金芳蓉7 7 金芳蓉 (1949$\sim$), Graham 教授的夫人, 加州大學聖地牙哥分校教授, 研究譜圖學 (Spectral Graph Theory)。在此地, 1970$\sim$74年間。 葉: 對, 她是張聖容8 8 張聖容 (1948$\sim$), 研究幾何分析, 普林斯頓大學數學系教授; 參見本刊 153、 154 期 (2015 年第 36 卷第 1 及第 2 期)專訪。、 李文卿9 9 李文卿 (1948$\sim$), 賓州州立大學數學系教授, 研究數論。和吳徵眉10 10 吳徵眉, 伊利諾大學厄巴納-香檳分校數學系教授, 研究複分析、 機率論及偏微分方程。的同學。 G: 陳省身為她們那班的四朵「金花」寫了一篇文章 11 11 陳省身, 記幾位中國的女數學家, 傳記文學, 66 卷第 5 期 (1995)。 。 某份數學雜誌的編輯聲稱要把它翻譯成英文, 但應該還沒動工。 其實班上有五位才華洋溢的女性, 但其中一位早逝, 所以實際上有五朵金花。 劉: 雜誌名稱是「傳記文學」。 你和很多人交往, 在多方向做研究。 可否問個問題: 什麼研究帶給你最大的快樂? 或是說什麼工作對你來說最難完成?
G:
嗯, 我想數學是很特殊的。
小時候, 我喜歡的其實是天文學, 覺得星星很有意思, 但之後發現天文學家不光是看星星;
他們不是看望遠鏡, 而是用電腦去分析從望遠鏡得到的數據。
不過這仍令人驚嘆!
劉: 我記得有位名叫 Bannister 12 12 Roger Gilbert Bannister (1929$\sim$2018), 英國著名賽跑運動員和神經學專家, 是第一位於 4 分鐘內跑完 1 英里的人。 之類的人物, 相當晚近, 似乎在 70 年代 $\cdots$ G: 我認為 Roger Bannister 是第一個做到的, 目前紀錄大概是 3:45 左右。 現在普遍認為會有人可以在兩小時內跑完馬拉松, 但幾年前這聽來似乎不可能。 葉: 你也曾是專業的彈翻床 13 13 彈翻床為體操項目, 2000 年雪梨奧運正式列入比賽項目之一。 選手? G: 是的, 彈翻床也是一種的雜耍形式, 以你自己為拋彈的主體, 所以不可拋丟! 我父母在造船廠造船, 因此我小時候經常搬家, 每年念不同的學校, 從來沒真的好好念高中或國中。 我跳過級, 沒念過 12 年級, 15 歲就去上芝加哥大學, Carl Sagan 14 14 Carl Edward Sagan (1934$\sim$1996), 美國天文學家、 宇宙學家、 科普作家。 小行星 2709 及火星上的一個撞擊坑以他的名字命名。 他因撰寫多部科普著作及電視影集而享譽全球, 曾獲普利茲獎。 是我的同學。 我在那裡接觸到體操和雜耍。 芝加哥大學有個社團, 每週聚會數次, 學習各種不同的馬戲技巧, 像是雜耍、 單輪車、 體操 $\cdots$ 等。 到高中巡迴表演, 展示芝加哥大學是個多麼有趣的地方, 成了一個招生的手法。 彈翻床是其中一部分。 我到現在還保有一個彈翻床。 如今世界水準急劇上升。 彈翻床在澳洲奧運會上被引介, 成為奧運項目。 中國眼見彈翻床成為奧運項目, 企圖成為世界第一。 中國有了最好的教練、 最好的設備、 及最好的運動員, 如今舉世無匹。 毫無疑問地, 他們是世界第一。 劉: 而且他們很小就開始訓練。
G:
是的, 但要有好的訓練。
他們有大量人口可供挑選, 再加上精良的訓練技巧, 有些表演技藝真令人嘆為觀止。
表演者經常彈跳 10 公尺高。
以往, 彈翻床上有人時, 你站到床附近, 在他飛過時, 試著從下方抓住他。
現在如果有人從 10 公尺高墜落, 你再也不用這樣做了;
取而代之的是, 你扔一個防護墊, 然後說: 「祝你好運!」另外, 彈翻床上還有框架墊, 落到上面安全無虞;
即使有些閃失, 也無妨, 大命可保。
葉: 這是 $9 \times 9 \times 9$ 的?
G:
不是, 是 $7 \times 7\times 7$ 的。
如今已製作出各種不同的尺寸。
四十年前魔術方塊初問世時, 是 $3 \times 3\times 3$。
之後希臘有位人士, 習得製作技術, 做出更大的魔術方塊, 最大可達 7 階左右, 但轉起來不很順暢。
中國大陸有更好的建構技術, 目前尺寸可達 17 階。
這些立方體的每個面, 都有很多像素 (pixels)。
去年夏天, MAA (Mathematical Association of America) 百週年紀念會議上, 我將
「MAA」和「100」的字樣印在 $13 \times 13 \times 13$ 立方體的面上, 致贈他們。
葉: 還記得四十年前, 我玩魔術方塊, 玩到有點瘋狂, 無法停止思考, 就是停不下來。 我年紀很小時就試著自己搞定它, 而後就著迷了。 我無法停止也無法入睡, 一心一意只想著這些。 我真是太瘋狂了, 兄弟姐妹都叫我停下, 但我就是無法停下。 最後, 我到郊外山區某處, 大吼大叫地跑著, 最後覺得非常、 非常地累, 昏昏睡去, 才終於停下來。
G:
嗯!
我無時無刻不在想它。
如果你勇於挑戰, 會發現這裡有個方格。
這是第二層的第 3、 5 和 6 號方格。
嗯, 你看這面, 3、 5、 6, 第二層的, 這三個可以換到這裡。
有個步驟可以同時把這三個移到那裡, 3、5 和 6 $\cdots$ 回到上方, 轉個面, 然後 $\cdots$ 3、 5、 6, 現在我把它們換到那裡了。
所以我簡單地說, 一旦你完成了面和邊的部分, 還有一些事 $\cdots$ 可能發生的是, 雖然有一個群結構在, 因此你可以任意移位, 但有時還是會陷入棘手的狀況:
一切都完美, 就差了個亂糟糟的邊!
這就是所謂的宇稱性問題(parity problem), 只會發生在偶數階的魔術方塊上。
有些複雜的步驟可以解決這樣的狀況。
正如跳彈翻床, 當你持續注視立方體, 一切了然於心;
當我看著它, 我凝視著我打算移動的方格, 不看其它方格。
葉: 50 秒嗎?
G:
不是, 50 個!戴上眼罩時, 你只知道目前在解第 37 個、 第 38 個、 第 39 個等等, 由其他人總計你解決了幾個。
YouTube 影片上的某玩家, 解了 50 個魔術方塊中的 49 個, 不過我認為他其實是可以搞定全部 50 個。
你必須記得每個魔術方塊。
葉: 你對拉姆齊數 (Ramsey number) $R(5,5)$ 的值有何看法? 15 年前, 有人聲稱這個問題會在幾年內被解出來。 G: 我認識的人都沒說這個問題會被解決。 Erdős 有個好故事: 一些外星人要求我們算出拉姆齊數 $R(5,5)$, 否則要摧毀我們。 好吧, 世人通力合作個幾年, 可能算得出它。 但如果他們要的是 $R(6, 6)$, 那就只好攻擊他們, 因為我們無法計算它。 葉: 那是個廣為流傳的故事, 沒錯!
G:
譬如, 這個立方體有超過 $10^{160}$ 種布局, 你無法確實列出每一種,來找出最少步驟的解。
$10^{160}$ 已超出我們所能計算的範圍了。
劉: 你曾在貝爾實驗室 (Bell Labs)多年, 那是你數學生涯的一段重要章節。
G:
當時貝爾實驗室有個很強的團隊。貝爾實驗室曾是 AT& T 的一部分, 而 AT& T 執掌美國電話網絡。
貝爾實驗室比較像是一所大學, 但你不用授課, 又有實際問題可以探討。
電晶體在那裡被發明, 資訊理論的奠基者 Claude Shannon
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Claude Elwood Shannon (1916$\sim$2001), 出生於美國。
1948 年發表的論文「通訊的數學原理」, 以機率論為重要工具,
並提出資訊熵的概念, 奠定了現代資訊理論。
二戰期間, 他為密碼破譯和保密通訊做出巨大貢獻。
也在那裡任職。
此外, 舉例來說, Unix 作業系統是在那裡創建的。
我們有個非常強大的數學團隊, 金芳蓉隸屬其中;
我和她的指導老師 Herb Wilf
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Herbert Saul Wilf (1931$\sim$2012), 美國數學家, 專精圖論, 生前任教於賓州大學。
初結識時, 是在貝爾實驗室, 而不是在 Wilf 執教的費城。
葉: 他們說最新的版本是 iPhone 6s, 很快就要出 iphone 7 了!
G:
下一代的產品通常較優質, 但不會比較便宜, 而且總會在不久之後問世;
何必現在購入呢?
我們通常用 Apple 的產品, 決定試試看 Android 手機, 買了 Galaxy 6, 很不錯;
它和 iPhone 稍有不同 , 但有些很好的特性。
這些公司必須競爭, 精益求精。
這有點像在學習;
做符號計算
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意指用電腦推導數學公式。
(Symbolic Computation)時, 我通常使用 Maple, 儘管大家都用 Mathematica、 Matlab 和 Sage。
最麻煩的是轉換軟體, 要經歷一番學習過程, 譬如: 用什麼方式宣告列表 (list)、 字串或向量?
要把小括號、 中括號、 大括號放在那裡?
什麼時候應該要用分號終止指令?
不變不換較為省事 (Apple 產品又是另一回事)。
但世界很大, 你應該多體驗。我在貝爾實驗室的工作, 容許我四處旅行, 因此有時我整學期到外地授課。
我也到實驗室附近的西東大學 (Seton Hall University) 學中文。
劉: 數學有許多面向。 你認為來日的數學研究本質上會是如何?
G:
這問題很有意思。
菲爾茲獎得主 Timothy Gowers
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Sir William Timothy Gowers (1963$\sim$), 英國數學家, 研究領域涵蓋泛函分析及組合學, 1998 年獲頒菲爾茲獎。
他發起網上 Polymath Project, 集結眾人之才智解決數學難題。
近日在一篇文章
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W.T.Gowers, Rough Structure and Classification, Geom. Func. Anal., Special Vol.2000, 79-117.
中談到: 2099
年之前, 電腦或可完成所有重要的數學。
電腦會提出猜想、 找到證明。
而數學家的工作, 是試著去理解和運用其中的一些結果。
葉: 南京大學的孫智偉是計算數論(Computational number theory)學家, 提出了很多很多組合數論方面的猜想。 對第 $n$ 個質數的性質, 他總能提出出人意表的猜想。 G: 他做了許多電腦實驗。 幾年前, 他實地走訪加州一學期。 當年六月在溫哥華有個會議, 他和姚期智等多人與會, Don Knuth 34 34 Donald Ervin Knuth (1938$\sim$), 出生於美國, 史丹福大學電腦系榮譽退休教授, 對演算法的複雜度理論有重要貢獻, 且曾發明排版軟體 TEX。 1974 年獲頒圖靈獎。 也在那裡待了五天, 十分難得! 葉: 正如你所言, 許多人在用電腦。
G:
沒錯。
質數看似隨機出現, 很多很多的猜想植基於此。
但事實上質數不是隨機的。
正因為它們不隨機, 所以有諸多讓人驚嘆的性質。
它們實際上是確定的(deterministic), 但有些性質讓它們看似隨機。
如果它們確為隨機, 許多猜想就會有明顯的答案。
舉例來說, 有個我懸賞一千元的猜想, 是關於二項式係數的中間項 $\binom{2n}{n}$, $2n$ 取 $n$;
在巴斯卡三角形, 它是每一行的中央項。
這一項始終是偶數(這很容易證明)。
有個問題是: 二項式係數的中間項 $\binom{2n}{n}$ 是否和 3 互質?
例如當 $n=3$ 時, 也就是 6 取 3, 結果為 20。
嗯, 它會和 5 為互質嗎?
再舉個例, 當 $n=7$, 也就是 14 取 7, 等於 3432, 與 5、 7 互質。
這個值 $\$$1000 元的問題是: 對於 $2n$ 取 $n$, 是否有無限多個 $n$, 使得 $\binom{2n}{n}$ 和 3、 5、 7 都互質?
換句話說, 它和 105 互質。
我想答案是肯定的。
劉: 這就像幾乎所有數都是超越 數, 卻很難證明特定一個是如此。 葉: 隨機的事物廣受關注。 我聽說你正在研究準隨機性(quasi-randomness); 那是什麼?
G:
對於行為類同隨機事物的對象, 你樂於找到它們的明確構造, 但如果你可以建構出它們, 就會更了解它們的性質。
若以 1/2 的機率決定各對頂點是否以邊相連, 會形成一個圖, 而後你幾乎可確定某些事情。
舉例來說, 如果你著眼於一半的頂點, 那麼你預期多少邊會形成呢?
沒錯, 你會預期半數的邊出現。
或者, 你考慮其鄰接矩陣 (adjacency matrix), $i$ 頂點和 $j$ 頂點有邊相連時 $(i,j)$ 為 1, 否則 $(i,j)$ 為 0。
接著你觀察其特徵值;
對稱矩陣特徵值為實數, 所以最大的特徵值大約是 $n/2$, 而其他特徵值為 $o(n)$。
劉: 在何地? G: 柏克萊。 劉: 嗯嗯, MSRI 37 37 全名是 Mathematical Sciences Reasearch Institute, 位於美國加州柏克萊。 ? G: MSRI 在山上, 而這是校園內的新大樓。 很高興去年能待在那裡幾個月! James Simons 38 38 James Harries Simons (1938$\sim$), 曾與陳省身提出三維流形的 Chern-Simons 特徵類, 1982 年轉行成立 Rennaisance Technology, 運作對沖基金, 身家財產達數十億美元。 是我在柏克萊的同學。 他賺了大錢, 大量回饋給數學。 有個很好的線上雜誌 Quanta, 你們讀過嗎? 那是 Simons 基金會發行的, 刊登數學、 物理、 生物等學科的好文章和人物訪談。 劉: 看得出來你從數學中得到許多樂趣, 非常好!
G:
如果它無趣, 何必做它?
是吧?
我告訴學生, 無論你選擇什麼為職業, 最好確實喜歡它;
因為不論你選擇了什麼, 都將長時間從事它。
劉: 有些猜想, 在直觀上很容易掌握, 感受上又令人興奮, 譬如孿生質數猜想, 你可以講給任何懂乘法表的人聽。 基本上, 還有其他需要花時間解釋的猜想。 你提到未來的數學研究, 其中一項或可倖存的, 我想是易於解釋又讓人興奮的猜想, 它們顯然會讓人振奮。 譬如孿生質數, 或是 Goldbach 猜想: 任意大於 2 的偶數都是兩個質數的總和。 葉: 沒錯, 兩個質數的總和。
G:
每個大於 2 的數。
最近的結果才剛證明, 每個大於 5 的數都是三個質數的總和。
眾人持續推動進展, 不過要搞定孿生質數, 我認為需要更多東西。
劉: 我想我們可能要就此打住, 我們聊了一個半小時, 很有意思, 非常感謝你。 希望不久的將來在台北見到你。 ---本文訪問者劉太平任職中央研究院數學研究所, 葉永南任職中央研究院數學研究所--- |