發刊日期 |
2017年6月
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標題 | 回文數定理與回文數幻方 |
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作者 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
關鍵字 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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全文 |
引言 : 尋找「196」的回文數, 是迄今為止沒有解決的難題。 數學家用傳統的「顛倒相加法」算到3億多位也沒有找到196的回文數, 計算機的速算功能, 在這裏黯然失色。 既然此路不通, 何不另闢蹊徑。本文給出一種方法可以得到任意數的回文數, 解決了「196」的回文數問題, 同時也解決了 196 的一連串顛倒數 (887, 1675, 7436$\cdots$) 得不到的回文數問題。 並給出由回文數組成的幻方及平方幻方等。
著名數學家美籍華裔李學數教授在他撰寫的《數學與數學家的故事》第4冊 一、回文數與回文對聯「回文數」是數論中一個有趣的問題。 它的定義是: 如果2位 (或2位以上) 數, 從左向右 (從前向後) 讀與從右向左 (從後向前) 讀, 完全一樣, 我們稱這種數為「回文數」。 例如: 11, 161, 8778等, 都是回文數。 對聯是我國特有的一種文學形式, 它短小精粹, 妙趣橫生。 在茫茫「聯海」中有一種倒讀、順讀其文字或音調都一樣的對聯, 稱為「回文對聯」。 例如 : 鬥雞山上山雞鬥, 龍隱岩裏岩隱龍。 還有:上河老和尚, 有心交新友; 之前, 這幅聯是「孤聯」, 沒人對出。 我們給出:「原莊小狀元, 聞有會友文。」與之匹配。 並附上四句以紀念之 : 老和尚以文會友, 小狀元對答如流, 忘年交情投意合, 傳佳話萬古千秋。 人們不禁要問, 先有回文對聯呢? 還是先有回文數? 二、賈憲三角形與回文數
對於上面的問題有無答案, 我們姑且不論。在數學方面記載「回文數」最早的書籍是宋代楊輝著的《注解九章演算法》 (1261年) , 並有自注:
「出《解鎖》算術, 賈憲用此術。」如圖1
圖 1 圖 1 的其他功能和在數學方面的巨大貢獻, 本文暫且不提。 僅從「回文數」方面進行分析, 我們發現從第 2 行至第 5 行的 11, 121, 1331, 14641 都是回文數。 它們分別是 11 的 1、 2、 3、 4 次方之積。 還有, \begin{eqnarray*} 111^2 &=& 12321\\ 1111^2 &=& 1234321\\ \vdots\quad &&\quad \vdots\\ 111111111^2&=&12345678987654321\\ {\hbox{及}} 22^2 &=& 484\\ 202^2 &=& 40804\\ 307^2 &=& 94249 \end{eqnarray*} 上面的回文數都是完全平方數, 不妨稱為「平方回文數」。 當人們發現 11 的 1、 2、 3、 4 次方之積都是回文數時, 希望用「類推法」尋找 $11^k$ ($k\gt 4$) 次冪構成的回文數, 又請電腦來助陣, 不幸的是, 至今未果。 但是也沒法證明不存在 $11^k$ ($k\gt 4$) 次冪構成回文數。 另外還有, 用一個數, 乘以該數的顛倒數, 而得到回文數。如: \begin{eqnarray*} 12\times 21&=&252\\ 112\times 211&=&23632\\ \vdots\quad&&\quad \vdots\\ 111112\times 211111&=&23456965432 \end{eqnarray*} 這類回文數稱為「顛倒乘積型回文數」。 然而, 並不是任意數與它的顛倒數的乘積都能構成回文數。 還有在素數裏尋找回文數, 例如: 101, 373, 11411, $\ldots$, 19891 都是回文數。 在素數家族裏, 既是素數又是回文數的「數」, 如鳳毛麟角。 那麼, 怎樣得到更多的回文數呢? 三、回文數的一般構造方法目前, 人們採用「首尾顛倒相加法」來得到回文數。 這個方法是, 把給定的2位 (或 2 位以上) 數, 進行首尾顛倒之後, 與原來的數相加, 得到一個新數。 如果這個新數不是回文數, 再把這個新數首尾顛倒過來, 與新數相加, $\ldots$, 經過多次「首尾顛倒相加」, 直到得到回文數為止。 例如: \begin{eqnarray*} 125\\ +\ 521\\\hline 646 \end{eqnarray*} 一個顛倒就得到了回文數。 再如: \begin{eqnarray*} 437\\ +\ 734\\\hline 1171\\ +\ 1711\\\hline 2882 \end{eqnarray*} 經過兩次顛倒得到了回文數。
讀者不妨試驗一下, 很多數字經過有限次「首尾顛倒相加」, 都能任其擺佈得到回文數。
但是「196」這個數, 個性十足, 非常特殊, 經過很多次顛倒相加也不肯成為回文數, 用高級電腦經過數億萬次的「顛倒」 在這裏, 我們把回文數分為「奇數位回文數」和「偶數位回文數」兩種類型。 例如 161 是 3 位數, 3 是奇數, 所以稱為「奇數位回文數」, 8778 是「偶數位回文數」。 其實, 把偶數位回文數中間兩個相同的數去掉一個, 就成為奇數位回文數。 四、「偶數位回文數」的構作方法定義: 設 $A$、$B$ 為不相等的兩個整數, 用 $AB$ 表示 $10A+B$, 這裏的 $AB$ 不是乘法關係的 $A\times B$, 下同。 若 $1000\times A+100\times B+10\times B+A$, 得到的 $ABBA$, 稱為 4 位回文數 $H_4$, 一個 $n$ 位的回文數記作 $H_n$。 由 2 位數 $AB$, 生成 4 位數 $ABBA$ 的 $H_4$ 回文數的方法。 定理1: 設 \begin{equation} H_4=[101\times AB+9\times (B-A)]\label{1} \end{equation} 則 $H_4$ 為回文數。 證明: 由定義知, 兩個不相等的數 $AB$ 得到的 4 位 $ABBA$ 回文數 $H_4$ 為: \begin{eqnarray} &&\hskip -20pt 1000A+100B+10B+A\label{2}\\ {\hbox{把 \eqref{1} 式展開}} H_4&=&101(10A+B)+9(B-A)\nonumber\\ &=&1010A+101B+9B-9A\nonumber\\ &=&1001A+110B\label{3} \end{eqnarray} \eqref{2}$-$\eqref{3} 得 $$1000A+100B+10B+A- (1001A+110B)=0$$ 定理 1 證畢。$\Box$ 兩個例子: 當 $A=1$, $B=2$ 時, 及 $A=5$, $B=2$ 時, 代入 \eqref{1} 得 \begin{eqnarray*} 101\times 12+9\times (2-1)&=&1212+9=1221.\\ 101\times 52+9\times (2-5)&=&5252+ (-27) =5225. \end{eqnarray*} 以上是由 2 位數 $AB$ 經過計算得到的 4 位數回文數 $H_4$。 下面介紹由 3 位數 $ABC$ 得到的回文數 $H_6$。 定義2: 設 $A$、 $B$、 $C$ 為不相等的 3 個整數, 用 $ABC$ 表示 $100A+10B+C$。 若 $100000A+10000B+1000C+100C+10B+A$ 得到的 $ABCCBA$ 稱為 6 位回文數 $H_6$。 由 3 位數 $ABC$, 生成 6 位數 $ABCCBA$ 的回文數 $H_6$ 的方法: 定理2: 令: \begin{equation} H_6=1001(ABC)+99(C-A)\label{4} \end{equation} 則 $H_6$ 為回文數。 證明: 由定義知, 3 個數構成的 $H_6$ 回文數為 \begin{equation} 100000A+10000B+1000C+100C+10B+A\label{5} \end{equation} 把 \eqref{4} 展開: \begin{eqnarray} H_6&=&1001(100A+10B+C)+99(C-A)\nonumber\\ &=&100100A+10010B+1001C+99C-99A\nonumber\\ &=&100001A+10010B+1100C\label{6} \end{eqnarray} \eqref{5}$-$\eqref{6} 得: $$100000A+10000B+1000C+100C+10B+A - (100001A+10010B+1100C) =0$$ 定理2證畢。$\Box$ 下面, 我們給出 $ABC=729$ 及 $ABC=196$ 的例子 當 $ABC=729$ 時, 把 $ABC$ 代入 \eqref{4} 得 $$H_6=1001\times 729+99\times (9-7)=729729+198=729927.$$ 當 $ABC=196$ 時, $$1001\times 196+99\times (6-1)=196196+495=196691.$$ 當 $ABC=887$ (196 的顛倒數之和), 把 $ABC$ 代入 \eqref{4} 得 $$1001\times 887+99\times (7-8)=887887+ (-99) =887788.$$ 五、高位回文數的構作世界上的各種事物都存在著「分」與「合」的現象。 三國演義說得好: 「分久必合, 合久必分。」 在構作高位回文數時, 我們把「分」與「合」派上了用場。 在這裏, 我們介紹「分拆插入法」。 例如, 要得到 4 位數 $ABCD$ 生成的 8 位數回文數 $H_8$ 的方法: 設 $ABCD$ 為 1639為例, 按如下步驟進行
利用上述方法可以得到由 $2k$ ($k=2, 3, \ldots$) 個數生成 $2\times 2k$ 的回文數 設 $k=3$ 的 6 位數 $ABCDEF=246889$, 生成 12 位數的回文數 $H_{12}$, 的例子, 把 246889 分為 24 與 68 及 89 三部分, 分別代入 \eqref{1} 式, 得 \begin{eqnarray*} 101\times 24+9\times (4-2) &=&2424+18=2442,\\ 101\times 68+9\times (8-6) &=&6868+18=6886;\\ 101\times 89+9\times (9-8) &=&8989+9=8998. \end{eqnarray*} 把 3 個 4 位數的回文數按照分拆插入法的順序, 對號入座, 得 $H_{12}=246889988642$。 也可以按照 3 位數生成 6 位回文數 $H_6$ 的方法如下: 把 246889, 分拆為 246 與 889 兩部分, 將其分別代入 \eqref{4} 式, 得 \begin{eqnarray*} 1001\times 246+99\times (6-2) &=&246246+396=246642,\\ 1001\times 889+99\times (9-8) &=&889889+99=889988. \end{eqnarray*} 分拆插入得: $H_{12}=246889988642$。 結果相同, 殊途而同歸。 我們知道, 任意正整數 $n$ ($n\gt 1$), 可表為 $$n=2k,\ n=2k+1, \quad (k=1, 2, \ldots)$$ 當 $n=2k$ 時, 我們利用構作 $k$ 組 2 位數回文數的方法, 得到任意 $n$ 位數的 $2n$ 位的回文數 $H_{2n}$。 當 $n=2k+1$ 時, 我們構作 $k-1$ 組 2 位數回文數的與一個 3 位數的方法得到 $2 (2k+1)$ 位的回文數。 196 是一個奇怪的數, 利用傳統的「顛倒相加法」, 得不到回文數, 它的一連串顛倒數也得不到回文數。 我們用新的方法把 196 及其「一連串顛倒數也得不到回文數」的數代入 \eqref{1} 式或者 \eqref{4} 式, 使之得到它們各自的回文數: 當 $ABCD=1675$ (196 的第 3 輪顛倒數之和)。 令: $H_8=10001\times 1675+999\times (5-1) +90\times (7-6) =16751675+3996+90=16755761$. 當 $ABCD=7436$ 時 (196 的第 4 輪顛倒數之和)。 令: $H_8=10001\times 7436+999\times (6-7) +90\times (3-4) =74367436+ (-999) + (-90) =74366347$. 當 $ABCDE=13783$ 時 (196 的第 5 輪顛倒數之和), 可以構造一個 2 位數「13」代入 \eqref{1} 式, 再構造 3 位數「783」代入 \eqref{4} 式的回文數, 利用「分拆插入法」得到 $4+6=10$ 位數的回文數:
同樣的方法, 可以得到 52524 與 95049 (196 的第 6、 7 輪顛倒數之和) 各自的 10 位回文數, 請讀者自己完成。 當 $ABCDEF=189108$ 時 (196 的第 8 輪顛倒數之和) , 可以分為 189 與 108 兩部分, 把 189 與 108 分別代入 \eqref{4} 式得 \begin{eqnarray*} 1001\times 189+99\times (9-1)&=&189189+792=189981;\\ 1001\times 108+99\times (8-1)&=&108108+693=108801. \end{eqnarray*} 按照分拆插入法把 189981 分拆為 189 與 981, 之後在 189 與 981 之間插入 108801, 就可以得到 12 位數的 $H_{12}=189108801981$。 同樣的方法可以得到 991089 (196 的第 9 輪顛倒數之和) 的 12 位回文數, 從略。 至此, 解決了「196」及其一連串顛倒數的回文數問題。 應驗了蘇東坡的名言:
蘇東坡曰:「天下無語不成對」 (指對聯) ; 六、回文數幻方
回文數的問世為數字家族增添了迷人的斑斕色彩, 回文數奇妙的性質 定義: 回文數幻方, 回文素數幻方。 由回文數排列成的幻方, 叫「回文數幻方」。 如果一個幻方的元素既是回文數, 又是素數, 稱為「回文素數幻方」。
圖2. $S_3=439666923$. 圖 2 是由回文素數構成的3階幻方, 它不僅滿足幻方的性質, 而且有如下奇妙的性質; 把這個幻方同時去掉各個元素的首位數和末位數, 稱為「剪頭去尾」。 經過「剪頭去尾」之後, 剩下的方陣仍然是「回文數幻方」。 這樣再次繼續「剪頭去尾」, 剩下的方陣仍然滿足「回文數幻方」的性質。 直到剩下一兵一卒「一位數時」, 仍然保留著幻方的「氣節」, 雖然元素相同。 圖3是依次「剪頭去尾」之後剩下的 4 個 3 階回文數幻方 (雙粗線為界) :
圖3
圖 4: $S_4= 139282$.
圖 5: $S_5=585111365$. 如果對於圖 4 的 4 階「回文素數幻方」, 進行「剪頭去尾」之後, 每個元素剩下的 3 位數的回文數, 它們仍然滿足「回文數幻方」的性質。 圖 5 亦然。 請讀者自己驗證。 七、回文數平方幻方的構造
筆者構造出平方幻方
圖 6: $S_8=3916$, $S^2_8= 2349524$.
圖 9: $S_8=39116$, $S^2_8=233849924$. 看到圖 6, 圖 7, 圖 8 的 3 個幻方, 勾起了語文老師呂振洲先生猜字謎的回憶: 一車在前, 兩車隨後, 三車飛奔轟轟響; 一口在上, 兩口在下, 三口嘖嘖品瓊漿。 (猜二字, 轟, 品) 看到圖7與圖8, 是由圖9所包含的幻方。亦即圖9是圖7與圖8的「母幻方」, 想起古人一副對聯: 「稻草捆秧父抱子, 竹籃提筍母懷兒。」 讀者朋友, 在這裏是「父抱子」呢?還是「母懷兒」?雖然寫這段文章的時間是父親節。 看到圖6$\sim$圖9 四個幻方的圖形, 想起少年時期數學教師周太順老師的一道趣味算題: 問牧童幾隻羊? 答曰: 前邊 3 隻羊, 後邊 3 隻羊, 左邊 3 隻羊, 右邊 3 隻羊。 (至少幾隻羊?) 。 我們還可以作如下變換, 使得改變後的方陣仍然成為平方幻方: 我們發現, 從圖 6 到圖 15, 由一個平方幻方, 衍生出一系列的平方幻方, 而生生不息。 應驗了老子的至理名言「道生一, 一生二, 二生三, 三生萬, $\ldots$」
圖10.把圖9的第4位數移到第1位, 其元素變成 $AABB$ 型平方幻方。
圖11.把圖10的中間兩數對換。 其元素變成 $ABAB$ 型平方幻方。
圖12.對圖11的每個元素乘以2, 得到的平方幻方。
圖13.對圖11的各個元素都+1, 得到的平方幻方。
圖14.對於圖 11 各個元素減去 9, 得到的平方幻方。
圖15.對於圖 14, 各元素減去 1000, 得到的平方幻方。 八、五位回文數 8 階平方幻方圖 16 是一個 8 階回文數平方幻方, 它的 1 次幻和具有全對稱幻方性質。 圖 16 中的各個子陣 $H$、 $Z$、 $A$、 $B$ 分別代表幻方、 自然數方陣、 $A$ 方陣、 $B$ 方陣。 它們的關係 (構造方法) 是: $$H=(h_{ij}) = Z [ (a_{ij}), (b_{ij}) ]\qquad (i,j=1,2,\ldots,8)$$ 即:幻方的元素取自 $Z$ 陣的第 ($a_{ij}$) 行, 第 ($b_{ij}$) 列所對應的元素。
例如: $h_{(1,1)}$ 的元素, 應該取 $Z$ 陣的 第 $(a_{1,1})$ 行, 第 $(b_{1,1})$ 列所對應的元素。
我們發現 $(a_{1,1})$ 位置上的數是 2, $(b_{1,1})$ 位置上的數是 5, 即應該取 $Z$ 陣第 2 行、
第 5 列上的元素 35653, 然後把 35653 填寫在 $h_{(1,1)}$ 的位置上。
餘類推。
我們稱這個方法為「方陣定位法」
圖16.五位回文數 8 階平方幻方。
構造圖 16 的自然數方陣。 我們可以改變圖 16 各個元素的位置, 或者「剪頭」, 「去尾」; 或者挑選其中的元素搭配: 前 (後) 2 位、 3 位、 4 位数使之滿足平方幻方的性質。 圖17$\sim$圖24是變換後的平方幻方。
圖17.用圖 16 各元素的前 3 位數構成的平方幻方。
圖18.用圖 16 各元素的後 3 位數構成的平方幻方。
圖19.用圖16各元素中間的3位數構成的回文數平方幻方。
圖20.用圖16各元素兩邊各2位數構成的回文數平方幻方。
圖21.用圖16各元素前4位數構成的平方幻方。
圖22.用圖16各元素後4位數構成的平方幻方。
圖23.用圖16各元素的前2位數構成的平方幻方。
圖24.用圖16各元素的後2位數構成的平方幻方。 九、 9 階回文數平方幻方圖 25 是一個 9 階回文數平方幻方, $S_9=4950$, $S^2_9=3291285$。 各個子陣 $H$、 $Z$、 $A$、 $B$ 分別代表: 幻方、 自然數方陣、 $A$ 方陣、 $B$ 方陣。 它們的關係 (構造方法) 是: $$H= (h_{ij})=Z[(a_{ij}), (b_{ij})]\qquad (i,j=1,2,\ldots,9)$$ 即: 幻方的元素取自 $Z$ 陣的第 ($a_{ij}$) 行, 第 ($b_{ij}$) 列所對應的元素。
例如: $h_{(1,1)}$的元素, 應該取 $Z$ 陣的第 $(a_{1,1})$ 行, 第 ($b_{1,1}$) 列所對應的元素。
我們發現 ($a_{1,1}$) 位置上的數是 8, ($b_{1,1}$) 位置上的數是 7, 即應該取 $Z$ 陣第 8 行、
第 7 列上的元素 777, 然後把 777 填寫在 $h_{(1,1)}$ 的位置上。
餘類推。
我們稱這個方法為「方陣定位法」
圖25.$S_9=4950$, $S^2_9=3291285$.
$A$ 陣 $B$ 陣 十、結語回文數是個新問題, 196 回文數的難題, 不知難壞了多少「數學頭腦」。 回文數幻方更是一個新問題, 由此可以繁衍出類似的: 回文數幻圓、回文數幻星, 等等, 希望有興趣的朋友進一步鑽研開發, 得到更加優秀的結果。 還是古人那句話:嚶其鳴矣, 求其友聲。 誠摯感謝: 審稿老師的認真審核與修改, 並提出寶貴的意見和建議。 再感謝 50 多年前教語文的呂振洲老師, 認真審核文章發現其中一個重要的疏漏。 為激勵幻友開發研究多出新成果, 呂老師語重心長的寫道:「 研讀回文, 拍案喜驚。回文數字, 變換無窮。令人激盪, 妙趣橫生。待研開發, 繁衍新生。」 附錄: 8 階回文數雙重幻方淺探「回文數雙重幻方」是一塊未開發的處女地, 筆者嘗試造出一個回文數雙重幻方以饗幻友, 由於數術低微, 心餘力竭, 未能如願, 今將「半成品」 奉獻給大家, 期待著幻方愛好者把這點瑕疵修正過來, 當然, 我要重書修改者一筆。
上面是一個「積幻方」--- 每行、每列及兩條對角線之積: $\Pi_8=$6.1578252597,6582307873,7263039017,3732771407,5601656783,9322613120 (61位數) 並且,它們的每行、每列 8 元素之和都等於 380000016, 但是兩條對角線之和不相等, 故權且稱為「積幻方」。 左對角線上 8 元素之和等於 379843816, 右對角線上 8 元素之和等於 380156216。 各行之和: 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 各列之和: 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 距離完整的雙重幻方, 僅僅差對角線之和不相等。 參考資料---本文作者任職中國河南省封丘縣科協--- |