發刊日期 |
2015年12月
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標題 | 三國漢中 |
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平 斯
上個世紀布勞威爾 (Brouwer) 設計了映射度, 成為一個強而有力的獨門秘技, 證明了許多當時被認為遙不可及的定理, 其中包括維數是個拓樸量。
在此之前, 用直觀的判斷一條纖細的線段與一個寬實的方盤是完全不同的, 因為維數分別是一與二。
但是偏偏康托爾 (Cantor) 的集合論裡證明, 兩者有相同的基數 (1877)。
且皮亞諾 (Peano) 更進一步, 建立了一個連續滿射, 把前者映成後者 (1890)。在這些病態的諸多現象步步衝擊之下, 直觀正確判斷的可靠性節節潰敗,
布勞威爾總算是扳回一城, 守住了最後防線。
後來更挾其餘威, 高舉直觀主義的大纛, 造成與希爾伯特 (Hilbert) 的衝突, 被愛因斯坦 (Einstein) 戲稱之為「蛙鼠之爭」
布勞威爾又再使出秘技的時候, 證明了固定點定理 :
圓體上的連續自映射必有固定點。
這個定理是存在性的, 有違布勞威爾自己堅持的直觀主義 :
只接受建構證明的信念。幸得後來有施伯納(Sperner)等人接力而得建構的證明 眼下計算固定點的方法, 是衍生自上述的建構解又叫同倫法。 假設 $G$ 是個圓體上的連續自映射, 固定點問題在求 $X$ 使得 $G(X) = X$。 其法始於引進一個顯然有個已知解的固定點問題 $G_0(X) = (X + X_0) /2$。 於是與原問題兩者之間, 作成一個同倫問題 $H_t (X) = (1-t)G_0(X)+t G(X)$ 每個參數 $t$ 都有一個固定點 $X_t$, 形成一條曲線姑且名之為{固定脈}。 希望沿著這條脈, 順藤摸瓜的可以從 $X_0$ 帶到 $X_1$(圖1)。 ![]()
實際作法上, 又分類成解析法與組合法兩種。
解析法基本上是解數值微分方程式, 這個著名方法的來龍去脈與箇中奧妙, 應讀發現當事人李天岩自己寫的文章 組合法的基礎比較接近同調論, 因此本質是積分而不是微分。 三維單體 (simplex) (四面體) 的表面是由四個平面單體 (三角形) 所構成的複體 (complex), 每個頂點隨意用 $\{0,1,2\}$ 來標號, 平面單體若每個頂點的標號都不同時叫 「施伯納單體」, 重要的是有這樣一條原理說 : 任何複體總有兩個或根本沒有施伯納單體 (圖2)。 ![]()
因此已經有一個施伯納單體的複體, 必定有另外一個施伯納單體。
從新的施伯納單體可以建構另一個新的複體, 而且保證它也有個施伯納單體, 這樣就完成一個操作過程, 不斷迭代可得一條逶迤而出的角龍(圖3)。
當初若用巧妙的設計來標號而問題本身又不是太離奇, 這條角龍是個裹住固定脈的複體 ![]()
上述這一條原理, Door in Door out 口語說成「進得來出得去」是華人數學家樊 1975 他六十歲生日時, 研究生 Barbara Lesanti 帶頭糾團做 T 恤, 上面印了大頭照與上述 銘言以為紀念(圖4)。 ![]()
這是學生自發, 沒有任何官方色彩的慶祝活動。
因為樊
樊
樊
每年過生日樊 初識夏宗匯時他正在作博士後, 叼個煙斗, 帶著不確定是否應等對方先開口的狐疑和靦腆, 熟悉之後方知其古道熱腸, 經常與我分享他的廚藝以慰鄉愁。 當他離開聖巴巴拉時, 把帶不走的家當如單車、音響和書籍都留了下來, 其中包括逐年的 AMS Bulletin, 而後我也養成固定看這雜誌的習慣, 補充了許多新知 和一些數學家的八卦, 這是我最受惠之處。
1985 年東吳畢業生高文德, 報考清華數研所, 當時拓樸學還是一門考科。
我關切他「考得如何」? 他回答說 :「好像在考期中考」, 意思是題型與平常考試一樣, 我猜測出題的若非夏宗匯就是全任重,
其實肯定是樊
目前不變測度定理的證明, 不再用殆週期函數而是透過群的表現, 馮諾依曼的方法被比較文雅的角谷靜夫(Kakutani)固定點定理取代 參考文獻---本文作者為東吳大學數學系退休教授--- |