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2014年9月
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標題 | 有朋自遠方來─專訪 Frans Oort 教授(下) |
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策 劃 : 劉太平
這是Frans Oort教授訪談的第三部分, 第一部分刊載於數學傳播第38卷第1期(149號), 包括早期, Aldo Andreotti和比薩, Jean-Pierre Serre、
巴黎及其它, 教學, 哈佛 。 第二部分刊載於數學傳播第38卷第2期(150號), 包括中年, 如何做數學, 同儕與合作, 想法、猜測和期許。
數學家 : 一個大家庭Frans Oort (以下簡稱「O」): 我想回頭來講「大家庭」, 世界各地的數學家關係密切, 想法自由流通, 每週至少一次我會收到年輕人寄來的 Email, 他們來信極為有禮, 表示自己正在做某方面的問題, 是否可以請我告訴他哪裡可以找到資料, 以及如何做研究。 我撥出時間回答這些問題, 上個月(2012年11月)就有一位日本學者, 一位伊朗博士生, 帶著他們的問題和想法到我這來, 數學界這樣的結構和氛圍是難以言喻的美好。 數學家彼此就如家人般, 熟悉而且可以無話不談。 我記得數學傳播訪問過森重文教授(Mori)1 1 有朋自遠方來 --- 專訪森重文教授, 數學傳播季刊, 132, 頁3-18。, 讓我來講兩個關於森教授2 2 Shigefumi Mori (1951) 日本數學家, 以代數幾何的工作, 尤其是 three-folds 的分類聞名。 1990年在國際數學家大會 (International Congress of Mathematicians) 獲頒費爾茲獎 (Fields Medal)。 的故事, 1983 年我和 Mori 一起從東京搭子彈列車 --- 新幹線 (Shinkansen), 他回名古屋 (Nagoya), 我去京都 (Kyoto), 我們相談甚歡, 我告訴他我看過 Faltings3 3 Gerd Faltings (1954) 德國數學家, 以算數代數幾何的著作聞名, 1986 年因證明 Mordell 猜測獲頒費爾茲獎 (Fields Medal)。 證明三個有名猜測的初稿4 4 G. Faltings -- Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Invent. Math. 73 (1983), 349--366., Mori說:「這很有意思, 你可以告訴我他的證明嗎?」 當時我告訴他一個相當複雜的證明, 一個半小時後火車靠站, 第一站就是名古屋, 他對我說:「Frans, 真是太謝謝你了, 我全都懂了!」(太厲害了!) 翟敬立 (以下簡稱「翟」): 那是 1983 年的事。
O:
是1983。
彼此認識的兩個人, 在火車上不期而遇, 其中一人向另一人解釋某些數學問題, 而對方全都了解, 這真的很不簡單。
另一則也很有趣, 我受邀到名古屋演講, 我和 Johan 在一篇關於阿貝爾解形中超橢圓曲線
(hyperelliptic curves in abelian varieties)5
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F. Oort & J. de Jong -- Hyperelliptic curves in abelian varieties.
Published in: "Manin's Festschrift", Journ. Math. Sciences 82 (1996), 141--166.的文章中用到
Mori 的一個招數6
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S. Mori -- Projective manifolds with ample tangent bundles. Ann. Math. 110 (1979), 593--606.
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Serre曾寫信告訴我: 『 有關用一般的方法或特別的招數來證明定理, 「招數」這個詞帶有貶義, 但有一點需謹記在心: $N$ 年的招數到了 $N+2$ 年常會變為定理。』
我想這也適用於「Mori的招數」。
。演講前我去找Mori, 告訴他:「在我演講的某一個階段, 你將會很不高興, 但請你不要出聲抗議。」
他回答:「沒問題!沒問題!」他是個有趣的傢伙。我在演講中解釋Mori的招數, 在座諸人皆點頭如搗蒜。
但我遺漏了其中最重要的細節之一 --- 其中的一個條件, 我在台上看著Mori, 他知道這個時候他不該出聲, 只是會心地笑笑。
我用 Mori 招數的錯誤版本繼續我的演講, 從錯誤的版本中, 歸結出零特徵阿貝爾解形的 moduli scheme 包含了有理曲線。
一眾人等都緊張起來, 因為很明顯這是錯的, 他們看著我:「你真的在證明這個?」不錯, 我用了
Mori的招數得到這樣的結論, 但結論是錯的, 因為在某一個地方我遺漏了什麼, 我承認自己忘了, 故意忘記
Mori招數中最重要的條件之一, 也就是有理曲線的集合必須是有界的。
我加上這個條件之後, 錯誤的結論完全不可能發生, 大家又開心起來。
然後我給了這個招數一個證明, 並且用在演講中。有趣的是 Mori 一語不發, 就只是坐在那和我套招。
在座的聽眾看到這個要緊的細節不能省略, 也了解了它在我的演講證明中的重要性。
翟: 有, 在 1995 年的時候。
O:
的確, Hirzebruch 進行議程的討論非常高明, 面對人數眾多的聽眾, 要如何排定議程, Hirzebruch 可說是箇中高手。
首先他對數學有高遠的看法, 再者他有很好的管道, 知道數學界當前的現況, 哪些是熱門的主題;
另一方面, 如果有任何他所不知道的新知, 他會傾聽而後列入建議案中。
這些在極為友好和諧的氣氛中順利地進行, 除了某天 $\cdots$ Hirzebruch 有一位非常難纏的同事, 讓他的日子不得安寧。
我知道 Hirzebruch 因為這位同事的關係, 曾經要辭職, 在前往郵局寄出辭呈的途中, 有人叫住他問他要做什麼, 他說要辭職, 所幸, 在勸說下他打消辭意。
不過這位同事依然如故, 在一次討論議程的集會中, 他大吼:「應該要讓 OOO 和 XXX 演講!」
Hirzebruch 宅心仁厚地將這些名字記下來, 從中選出一或兩位來演講。在兩天後的議程討論過程中, 這位仁兄又大吼大叫, 爭論不休, 提出很多人名, 讓接下來的討論很難理性地進行。
他說:「我們應該要有在地的講者!」
Hirzebruch 回答:「但這位就是在地人士。」不過這是位經常來 Bonn 訪問的人, Hirzebruch 開了個玩笑, 但那人不肯罷休, 情況越演越烈, 大夥都很不高興, 但你能怎麼辦?
Hirzebruch這時一如往常, 溫文地搓著手說: 「我有個辦法, 我認為我們應該透過民主程序來決定。」
我自忖:「喔! 不! 九十位聽眾、民主決定? 你要怎麼做?」
他接著說:「我們來投票決定, 但是只有參加過之前每場工作會議的人才有投票權。」除了 Hirzebruch 自己以外, 就只有 Atiyah 有資格, 幾乎所有人都大笑起來, 結束了這場鬧劇。
後來就由 Atiyah 和 Hirzebruch 坐下來擬定議程。
翟: 「失敗」? 怎麼說? O: 嗯, 我常看到有人做博士研究, 開始後半途而廢, 沒有完成研究計畫, 這從未發生在我任何一位學生身上。 翟: 真了不起! O: 其中的一個要素是我從不收我不熟知的學生, 我的學生應該要具備創造力, 以及好好表現的能力。曾經有位大學生想當我的研究生, 我問他你對代數幾何有任何了解嗎? 「喔, 我想學它。」我說好, 有個代數幾何的定理, 請試著了解它的架構和想法, 如果你能了解其中的細節, 我們才能更進一步。 我給他 Hurwitz 定理15 15 或稱作Riemann-Hurwitz定理; 是關於黎曼曲面的覆蓋上, 兩個相關曲線的虧格與分支指標的定理。的三個不同的證明, 分別是解析上、代數上和拓樸學上的證明, 但是他完全沒輒, 覺得很難, 我認為這不過是代數幾何基本的東西, 並不難。我很確定收他當博士生不是個好的決定, 會毀了他的人生。 有另一位碩士生, 現在是我的好朋友, 他想成為我的博士生, 我出了一個我知道解答的問題給他, 他擅於理解和複製數學, 成績優異, 然而一旦要用到創造力就束手無策, 他到辦公室找我, 告訴我不知道從何開始, 不知道如何進行。 他有豐富的數學知識, 卻缺乏洞察力, 最後他接受自己不適合做數學研究, 轉換跑道, 現在擁有快樂人生, 攻讀截然不同領域的博士學位, 他很高興先前就發現自己不適合從事數學領域的研究。 我身邊有好幾個這樣的案例, 學生往往預想自己的方向, 後來發現並不適合而轉換跑道。對此我是開心的, 許多轉換跑道的學生和我至今仍有緊密的聯繫, 就如家人一般。 我想我該結束這個主題, 謝謝敬立和我過去多年愉快的相處, 也期待未來更多美好的時光。 翟: 我知道你想就此結束, 不過有很多人和我提起, 希望我問你下面這個問題, 這個問題可能無法闡述得很有條理, 希望你不會覺得突如其來。 O: 不會, 一點也不會。 翟: 首先, 台灣和荷蘭在歷史上有些淵源, 此外兩國在地理上和人口稠密度上類似, 地理上都臨海, 儘管一國多山另一國則否, 但是兩國人口都很多。 不同的人問過我, 其中有些是數學家有些則不是, 兩個不同的國家, 某種程度上來說資源都不算豐富, 在科學和文化發展方面, 我們都知道荷蘭有身為歐洲大陸一員的傳統, 有黃金年代等等; 而單從科學發展來看, 儘管我對歷史的認識不多, 但就代數幾何這個領域而言, 是在戰後某段時期開始發展, 而你是其中的關鍵, 一手建立起代數幾何以及數論的荷蘭學派, 真的很不簡單。 很多人都想知道你是怎麼辦到的, 我知道這個問題問得不是很好, 但人們想問的是, 台灣還未達到接近這樣子的水準, 而台灣不缺乏人才, 我的意思是台灣有才智出眾的人。 O: 當然, 當然! 很高興你問這個問題, 但這是我先前完全沒有準備的, 我了解你的問題, 你想知道代數幾何在荷蘭是如何發展的, 以及台灣是否可以從中學到什麼。 翟: 是的, 或者是數論或其它領域。 O: 至少包含兩個層面, 一方面, 擁有不會讓人喘不過氣的傳統, 對發展幫助很大;在瑞典要做微分方程幾乎是不可能的事, 因為有大師主導整個領域, 其他人相形渺小。 在荷蘭我們有幾何學的傳統, 像是Van der Waerden16 16 Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996), 荷蘭數學家, 以抽象代數和代數幾何的著作傳世。, 但在 1945年之後沒有代數幾何方面的大老, 起步時沒有人引領, 所以我們必須出國取經。 起初我覺得這是個缺點, 當我到阿姆斯特丹時, 沒有任何一位幾何或代數的專家。 當時的群論課程是由Delft(一所科技大學)的講師每週來一次授課, 代數方面的課程由他講授, 沒有代數幾何、交換代數或任何其它的課, 我孤軍奮戰, 覺得情況很糟, 但也許這樣反而更好, 因為我能發展自己的觀點, 擁有自己的學派以及非常優秀、想要立即加入學習的學生, 他們有個人的想法, 願意捲起袖子開始工作, 跟著我從頭學起。我們有一些傳統, 不過不是威權的傳統, 那是發展的理想基地。 幾年後 Nico Kuiper17 17 Nicolaas Hendrik 'Nico' Kuiper (1920-1994), 荷蘭數學家, 從事微分幾何和拓樸學的研究。來到阿姆斯特丹, 打造出一個能夠激發想法的數學環境, 你知道Nico Kuiper嗎? 翟: 我知道一位姓 Kuiper 的人, 但不確定是否是同一個人。 O: 他研究微分幾何和拓樸學, 後來成為法國高等科學研究所(Institut des Hautes Études Scientifiques, IHÉS) (在 Bures, 近巴黎)的所長。他心胸非常開闊, 能尊重不同的意見, 營造出良好的氛圍, 我們常互相調侃, 他問我:「Frans, 這在特徵 p中對嗎?」我回答:「嗯, Nico, 特徵零只有一個, 但特徵p有無限多個。」在Barry Mazur紀念 Raoul Bott的文章18 18 http://www.math.harvard.edu/~mazur/remembrances/raoul_bott.pdf; Raoul Bott as we knew him. A celebration of the mathematical legacy of Raoul Bott, pp. 43--49, CRM Proc. Lecture Notes, 50, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010.}中, 記述 Bott 說:「我想不出任何數學是我不喜歡的。」Nico Kuiper也是如此。他開創一種嶄新形式的研討會 --- de schoven club, 參與者來自全國各地, 在荷蘭文中「schoof」代表「sheaf(層)」, 而「club」則有年輕人聚在一塊做有趣的事的意涵, 目標是了解sheaf。注意一下這是在1950年代, 比 FAC19 19 J-P. Serre -- Faisceaux algÉbriques cohÉrents. \textit{Ann. of Math.} 61 (1955), 197--278.發表時間還早。 當時的動機是要了解新的發展, 這是全國性的研討會(如你所知, 荷蘭不大, 與會者搭火車當天來回不是難事), 從1950年代一直持續至今, 我主持了很多年 (現在有從比利時的大學來的數學家)。我們探討新事物;在研討會上我常報告經由閱讀預印本或聽到傳言得知的新進展。當然這都還只是初步的結果, 但我們嘗試引進新思維。 有時我個人的瞭解不完善, 有時我會為研討會準備講義, 經常在學生的桌上看到講義上面有許多手寫的註記與疑問。這個研討會讓我們能在一開始便掌握新的發展。 舉例來說, 在很早期的時候, 我們就有關於模曲線(modular curves)的研討會, 那時參加的數論家、幾何學家對模曲線就很感興趣, 遠比 Wiles證明的有名結果和 Mazur在他的長論文中描述的還早。 翟: The Eisenstein ideal。20 20 B. Mazur -- "Modular curves and the Eisenstein ideal." Publications MathÉmatiques de l'IHÉS 47 (1977), 33--186. . O: 沒錯, 正是 Eisenstein ideal。 翟: 所以這個研討會是在1970年代初了。 O: 研討會成果豐碩, 營造出的氣氛鼓勵人跨越自身研究領域, 培養多元興趣, 創造了各式的跨界發想。 從1950年到現在, 我們有好幾個長計畫, 其中一個關於模(moduli), 一個關於奇異點(singularities), 一個關於算術代數幾何。 這些活動要讓年輕輩了解新的發展, 同時也讓資深研究人員受益。 數學家如Johan de Jong也參加這些活動。 一旦建立起一個認識新知的氛圍, 自然就有優秀的人才和大量的知識隨之出現。 此外我在阿姆斯特丹辦了好幾年的 「wiskunde in wording (意為試著創造數學新點子或建構中的數學)」, 讓博士生談論他們的研究、問題和未完成的發想等。 有系統地闡述和討論通常很有幫助, 其他人會給予建議和提問。 翟: Utrecht 的學術演講 (colloquium) 體制真的很不錯, 我不知道這是 Utrecht 所獨有, 還是一個普遍的傳統。 O: 不是, 荷蘭的氛圍普遍如此。 翟: Utrecht 學術演講本身的風格不同凡響, 要做到並不容易, 我暗自希望能夠從中移植一部分。
O:
我們的做法是堅持學術演講的對象是每一個人。
當然不可能和完全沒有基礎先備概念的人, 討論艱深的細節。
我們有一種方式是將學術演講分為兩部分, 第一部份針對一般聽眾介紹主題, 內容是基本的;
第二部份則很專業, 你聽了前一小時之後離開, 沒有人會介意, 這完全是許可的, 對講者也不會不尊重。
如果你對某個題目一點概念也沒有, 但想知道一個梗概, 就去聽第一個小時的演講。講者在第二個小時可以有較多自由討論艱深的問題。
翟: 那真的很不簡單, 期待這樣的方式能夠播下一些種子。 O: 我回答了你的問題嗎? 翟: 某種程度來說是, 教書的確很重要, 雖然我們在中研院不需要教書, 我仍衷心希望能夠播下一些種子, 待來日開花結果。 O: 但是我回答了你的問題嗎? 翟: 有, 你回答了我的問題。我想也許問的人想要的是關於大方向的答覆, 但你的回答很務實、很有幫助。 O: 我很幸運常連續幾年教到很好的學生, 我通常將年紀不同的學生, 年長的和年輕的安排在同一間研究室, 他們彼此學習, 也許比從我身上學到的還多, 那是很不錯的方式。 翟: 在台灣我們也這麼做。 O: 此外, 這也和氣氛有關。我來舉個不同的例子, 你可以反駁我。 很久以前我在哈佛的時候, 那裡普遍的態度是, 演講的內容要難才能顯示出自己的厲害。 如果你講的東西非常高深, 不管旁人能否了解, 大家會肯定你, 認為你是優秀的數學家。 翟: 那是哪一年的事? O: 1980年代的事, 後來我又到哈佛, 帶著我的博士生Moonen22 22 Ben Moonen, 荷蘭數學家, 從事代數幾何與算術代數幾何的研究。。 他給了一場完全顛覆哈佛作風的演講, 演講中他解釋所有的細節, 符號也都前後一致, 也許你會說這不是哈佛的風格。 翟: 嗯, 與我個人的經驗不大一樣。 O: 不大一樣? 怎麼說? 翟: 我當研究生的時候, 參加代數幾何研討會, 前兩年我完全聽不懂, 我覺得幾乎我在哈佛的整個時期都是這樣。 第三年過後有一位了解這些事的同學告訴我:「這不是你的錯, 每個來這裡的講者都只把一位聽眾放在心上, 想得到他的肯定。」我這才恍然大悟。 O: 但是這與我的故事相當吻合。 翟: 我不清楚是否哈佛整體都是如此, 但至少在我那個年代的代數幾何研討會是這樣的。~ 在哈佛代數幾何研討會演講的唯一目的和重點, 就是要得到某一個人的認可。 O: 沒錯, 跟我在Utrecht的研討會不同。 翟: 這是個重點。 O: 在我的研討會裡, 學生都知道演講後我會和他們針對演講的內容和方式進行討論。 翟: 這是我們應該效法的。然後你會用尺敲學生的腦袋? O: 嗯, 不是真的敲頭。 有學生講完後來辦公室找我, 知道有些地方不太妥當, 說:「好吧! Frans, 你說吧。」我說:「嗯, 這是很好的演講, 有好的想法!」「嗯, 但是?」他說。 於是我向他解釋另一種安排和呈現相同素材的方式, 可以讓聽眾更了解結果的美。我們可以在這個層次上教導學生, 為什麼不? 翟: 我擔心我這樣做是否能達到同樣效果, 有時說不定是反效果, 麻煩就來了。 O: 我來講個笑話給你聽。我在哈佛演講你的文章, 有個問題顯而易見: 能否經由化約模 p (reduction of mod $p$) 得到結果? 我說: 「接下來有個問題, 我要給大家做個小練習。」 這個小練習是關於化約模p以及取 Zariski 閉包 (closure), 這兩個運算能否交換? 剛開始有些聽眾沒看出答案, 如果答案是肯定的, 敬立的定理就很簡單, 因為我們都知道特徵零的結果, 因此可以推導出敬立在特徵p的結果。 不過這些運算不能交換, 如此一來無法得出一個「廉價」的證明。 此外, 我的提問也點出了問題的本質。 翟: 但這是在 1990 年代, 有某個人不在場, 不然這個小練習一定迎刃而解。
O:
當然囉!
我告訴過你 David Mumford 的故事嗎? 那時 Johan de Jong、 Ben Moonen 和我一起在哈佛, 休假到外地訪問時我通常會帶著研究生同行。
我坐在電腦室, 玻璃窗映入走廊部分景色, 可以看到人們在走廊的空間討論數學。
Johan 和 Ben 正在討論由 Mumford 建構的 ${\mathcal A}_4$ 裡的曲線。
我們稱之為 Mumford 曲線, 每一個都是維數為一的 Shimura 解形, 但是「Shimura 曲線」已經另有所指, 那時對於是否有任何
Mumford 曲線包含在 Torelli 軌跡中並不清楚 (直到現在仍然未知)。
我看到他們正討論這個問題, 忽然有個人經過, 聽到「Mumford曲線」, 有一刻他凝神瞪著黑板, 會過意來就走開了。
之後我告訴學生:
「知道剛剛走過來的是誰嗎?」他們壓根兒不知道, 那人就是轉換領域不再討論代數幾何的
David Mumford。
「Mumford曲線」這個詞通常指的是不一樣的東西, 有一秒 Mumford 很困惑, 但懂了之後就繼續走他的路。
翟: 這場訪談實在太豐富了, 我甚至都忘了看時間。 O: 我也忘了。 翟: 非常感謝, 這場訪談很精采。 O: 很感謝有機會接受訪問。 ---本文訪問者翟敬立訪問時任職中央研究院數學研究所, 整理者陳麗伍當時為中央研究院數學研究所助理, 黃馨霈現為數學所助理--- |