發刊日期 |
2008年9月
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標題 | 幾何計量的基本工具 |
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畢氏定理和相似形比例關係是處理幾何計量問題的兩大支柱。 從這兩大支柱又演化出正弦定律和餘弦定律, 應用起來更具威力。 然而眾所周知, 在利用正、餘弦定律解題的時候, 由於經常涉及三角恆等式, 因此代數的操作稍重。 本文嘗試只利用畢氏定理和相似形比例關係說明如何將三角形的高、中線、 分角線和外接圓半徑的長度一一表示成三角形邊長的函數, 藉以突顯這兩大支柱在幾何計量的核心地位。 為了方便解釋, 我們只談銳角三角形; 文末並附上以正、餘弦定律處理相同問題的簡要說明, 供讀者比較。 一. 求三角形高的長度如圖一
根據畢氏定理, 有 $b^2-x^2=c^2-(a-x)^2$, 因此解出 $x=a^2+b^2-c^2/2a$ $^{[ \hbox{註一}]}$。 又由 $h^2=b^2-x^2$, 得到 $$ h^2 = b^2 - \Big (\frac {a^2+b^2-c^2}{2a}\Big )^2 = \frac{1}{4a^2}(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(b+c-a) ^{[ \hbox{註二}]} $$ 二. 求三角形中線的長度如圖二
根據畢氏定理, \begin{eqnarray*} m^2 &=& h^2 + \Big (\frac{a}{2}-x \Big )^2 \\ &=& h^2 + x^2 - ax + \frac{a^2}{4} \\ &=& b^2 + \frac{a^2}{4} - a \cdot x \\ &=& b^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2+b^2-c^2}{2} \\ &=& \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} \end{eqnarray*} 三. 求三角形分角線的長度如圖三 $^{[ \hbox{註三}]}$
根據畢氏定理 \begin{eqnarray*} l^2 &=& h^2 + \Big (\frac{ab}{b+c}-x\Big )^2 \\ &=& h^2 + x^2 + \frac{a^2b^2}{(b+c)^2} - \frac{2ab}{b+c}x \\ &=& b^2 + \frac{a^2b^2}{(b+c)^2} - \frac{2ab}{b+c} \frac{a^2+b^2-c^2}{2a} \\ &=& b^2 + \frac{a^2b^2}{(b+c)^2} - \frac{b}{b+c}(a^2+b^2-c^2), \\ \end{eqnarray*} 化簡得 $$ l^2 = \frac{bc(b+c+a)(b+c-a)}{(b+c)^2} ~^{[ \hbox{註四}]} $$ 四. 求外接圓半徑如圖四
圖中, 點 $O$ 為外接圓圓心, $\overline {OB}=\overline {OA}=R$, 並且 $\angle BOE=\angle C$ $^{[ \hbox{註五}]}$, 所以 $\triangle BOE\sim \triangle ACD$。 由相似形比例關係: $$ R/b = \frac{c}{2} / h, \hbox { 得出 } R = bc / 2h \hbox{ 或者 } R = abc / 2ha $$ 亦即 $$ R = abc / 4\triangle ~^{[ \hbox{註六}]} $$ 五. 利用正、餘弦定律解題如圖五
圖中, $AD$ 是高, $AE$ 是中線, $AF$ 是分角線, $\overline{AO}=R$ 是外接圓半徑。
附註
---本文作者為台大數學系退休教授--- |