有朋自遠方來

專訪 Persi Diaconis 教授

PDF 2023年 6月(186)

策劃:劉太平
訪問:劉太平、黃啟瑞
時間:民國 112 年 3 月 6 日
地點:中央研究院數學研究所
整理:編輯室

Persi Diaconis 教授 1945 年 1 月 31 日出生於紐約, 1971 年獲紐約社區大學學士學位, 1972 年及 1974 年獲哈佛大學碩士及博士學位。他曾任教哈佛大學, 目前是史丹佛大學的數學系暨統計系教授。因他對擲硬幣和撲克牌洗牌等方面的機率論做出了傑出貢獻, 他曾獲頒諸多重大獎項, 包括 MacArthur 獎 (1982年), 並且是美國國家科學院院士 (1995 年)。訪談中, 讀者將一睹他傳奇的職業生涯和他獨特的數學見解。

劉太平 (以下簡稱「劉」): 歡迎來訪, Persi。你這麼熱誠, 充滿活力。很高興你來！

Persi Diaconis (以下簡稱「D」): 我仍然深愛數學。

劉: 這讓我想起了一個故事。有次我在 Palo Alto 和 Louis Nirenberg ¹ ¹ Louis Nirenberg (1925$\sim$2020), 加拿大出生的美籍數學家, 對線性及非線性偏微分方程理論, 及其在複分析、幾何中的應用, 做出重大貢獻。 2015 年獲頒 Abel 獎。共進午餐, 他說他想退休。但他其實不必退休, 所以我問他為什麼要退休。他說：「有這麼多經典好書, 但我從來沒時間讀它們」。幾年後, 他退休了, 我又問他：「你的好書讀得如何？」他說：「沒辦法, 我還在做數學」。就以這做為開場白, 我們可以開始了。

D: 有你們兩個好伙伴, 真好, 我很愉快。能見到啟瑞, 真是個驚喜；很高興見到你。

黃啟瑞 (以下簡稱「黃」): 謝謝。

D: 當然, 我們認識很久了。

黃: 是的, 我們認識很久, 40 年了。從 1980 年代, 應該是 1982 年至今。

劉: 我有時會說：某某事在你出生之前發生。 Persi, 你在這裡, 我就不能這麼說了。

D: 是的。我們同年齡, 都是老傢伙。但是有老的和老朽的 $\cdots$ 你知道的, Joe Keller ² ² Joseph Keller (1923$\sim$2016), 美國數學家, 提出幾何衍射理論來解決波傳播問題。 1997 年因他對電磁、光學、聲波傳播, 以及流體、固體、量子和統計力學的貢獻, 獲頒 Wolf 獎。 , 我的意思是, 他未曾老過。

劉: 真高興你能來, 我們會操勞你的。

D: 我會保護自己。

劉: 話說這個系列, 名為「許振榮講座」。許教授是臺灣首位做研究的數學家, 在東北大學 (Tohoku University) 獲得博士學位。他過世後, 夫人捐贈了一筆資金, 於是我們有了這個構想。中研院數學所非常樂意贊助, 與中華民國數學會共襄盛舉。中華民國數學會的會長應該會在你的第一個演講做介紹。這系列講座始自 2011 年, 一開始我們請了幾位日本學者, 因為許振榮先生是從日本獲得學位, 我們有某種感念。深谷 (Fukaya) ³ ³ Kenji Fukaya (深谷賢治, 1959$\sim$ ), 專訪 2009 年刊載於數學傳播 33 卷第 3 期。 Fukaya 近年來的工作重心是辛幾何, 特別是拉格朗日子流形, 以及與這些子流形的交集相關的 Floer homology。 Fukaya 發展了一種理論, 將給定的辛流形的拉格朗日子流形視為某種廣義範疇的對象, 現稱 Fukaya 範疇。是第一位演講者。

D: 深谷, 目前在石溪 (Stony Brook)？

劉: 是的, 石溪。

D: 他近來有點爭議性。我的意思是, 有些人說：「這是錯的」, 然後他說：「不, 不」。他的工作確實有爭議；非常抽象, 我一無所知, 但 Yasha Eliashberg ⁴ ⁴ Yakov Eliashberg (1946$\sim$ ) 俄國出生的美籍數學家, 專訪 2017 年刊載於數學傳播 41 卷第 2 期。他的研究興趣在辛幾何、 contact 幾何、多複變、奇點理論和低維拓撲。他是辛拓撲的創始人之一。 2020 年獲頒 Wolf 獎。認為他很傑出。現在 John Pardon ⁵ ⁵ John Pardon (1989$\sim$ ), 任教於普林斯頓大學, 解決了 Gromov 提出的結的形變問題。正試圖解決各個問題。

劉: 原來如此。我們繼續討論一下這個話題, 然後再回頭談談你自己。 Arnold ⁶ ⁶ Vladimir Arnold (1937$\sim$2010), 出生於烏克蘭的數學家, 與 Kolmogorov 及 Moser 提出 KAM 理論, 研究可積動力系統的穩定性。因他在動力系統、微分方程和奇點理論方面的工作, 於 2001 年獲頒 Wolf 獎。在史丹佛大學時, 確實提到了其中的一些, 然後他說：「另一方面, Gromov ⁷ ⁷ Mikhael Gromov (1943$\sim$), 俄國出生的法籍數學家。藉由創新思想及非傳統的數學方法, 獲致幾何分析及群論的重大突破, 解決了現代幾何中諸多複雜問題。 2009 年獲頒 Abel 獎。 , 我不知道為什麼, 他永遠是對的」。 Arnold 就是這麼說的。

D: 我曾在公共場合和 Arnold 鬥嘴。他做了3次演講。我的演講談的是洗牌。這大概是 30 年前的事。我說：「雖然我的洗牌是和排列群 (permutation group) 相關, 但它們適用於其他類型, 也就是 Lie 理論： A 型、 B 型、 C 型、 D 型」。所以, 我說：「所有這些公式在一般類型也是正確的」。一個聲音從這三百人的觀眾中傳來, 帶著濃重的俄羅斯口音：「你的理論怎麼看待 E8？」我說：「我不在乎 E8, 因為它沒有 $n$。我不會讓 $n$ 趨近於無限, 我不在乎」。那個聲音說：「沒有自己的 E8 定理的人, 不是數學家」。我說：「那人是誰？」。他是 Arnold。演講之後, 我走到他面前, 試圖與他結識, 因為他是一個傑出的人物。他甚至不和我說話。我的意思是, 我沒有自己的定理。現在, 我有一個關於 E8 的定理, 但那是 30 年後的事了。他是個硬漢, Arnold。

劉: 非常硬。是的。但是, 你知道, 他在不同的環境中成長。

D: 是的。但 Yasha 也出自那個環境。

劉: 是的, 是的。

D: Yasha, 他是那麼和善。

劉: 我知道。

D: 而且總是正面的。

劉: 我想談一件人們一直難以理解的事；它已經成為關於 Persi Diaconis 的民間傳說。那就是：你很小的時候就離開了家。

D: 14 歲。

劉: 14。這麼小的年紀。以我的成長經歷來說, 這非常奇妙：我出走了。然後怎麼辦？首先, 我需要吃飯, 需要睡覺等等, 對吧？是的。那麼, 怎麼辦到的？

D: 我是個認真的業餘魔術師。小時候, 你懷著我們現在無法重獲的熱情做事。那個時代, 最會耍戲法的魔術師名叫 Dave Vernon。他在我 13 歲時認識了我, 那時我常在魔術商店裡閒逛, 老是曠課。我喜歡魔術。魔術師們會在周六會面, 有一次他打電話給我說：「我要去 Delaware 州。你要來嗎？」我說：「要」。他說：「星期二兩點在西邊高速公路見」。就這樣, 我收拾好行李就走了, 再也沒有回家。我成為他的助手, 再也沒有回去。我們走遍了美國。他是一個表演者。實際上, 他的年齡是我的 4 倍多；我 14 歲, 他大概是 68 歲。一直以來, 有一個認真的業餘魔術師組成的世界, 你可以靠演講為生, 周遊各個城市給演講；他通常就做這事。但有時他會辦場表演, 或在電視演出, 而我是他的助手。我就是這樣過活的。
魔術師會互相照顧。這是一個非常和善的社群。沒有什麼壞事發生在我身上。有錢的傢伙提供你住宿。我有奇妙的冒險經歷。我絕不願和世界任何人換行業的。
而後他去了西岸, 在洛杉磯開始經營所謂的魔術城堡 (Magic Castle)；它至今仍在那裡。我 16 歲時回到紐約, 在下東區找了一套公寓, 月付約 18 美元, 盡我所能以魔術為生。我不是大明星, 但足以謀生。有時順利。我去了香港, 在希爾頓酒店表演, 也去了南美。但也經常沒事做。有時我去波士頓辦場表演, 之後住在劇場寄宿公寓, 那裡的人說：「喔, 我們那邊需要一位魔術師」。我就這樣過活, 直到 24 歲。
而後我開始上大學, 學校位在紐約。回首過往 10 年, 當魔術師來養活自己的路程, 真是美好。我在魔術界仍然有很好的朋友。某方面來說, 那是一個有意思的世界。譬如, 如果你去一個陌生的城市, 你會打電話給一個你不認識的數學家說：「嘿, 我是一個數學家。我在這個地區。我們能見面嗎？」你可能會, 但大多數人不會。但是魔術師會如此, 因為這是一個秘密社團, 他們何其高興能遇到可以交談的人。
有件事我尚未達成；然而在這趟臺灣之行, 也許我會解決問題。我對魔術史非常感興趣, 中國魔術史是很隱密的。例如, 中國著名的魔術技巧, 有一項是連環 (linking ring)。你有幾個很大的環, 原本它們是分開的, 而後其中的幾個連結在一起, 對吧？這首次出現在西方時, 正值中國軍隊、雜耍演員和一些東西在 1820 年左右來到西方。我也不知道它是從 1720 年, 還是從 20 年開始出現在中國。我們不知道。沒有人知道中國魔術的歷史。臺灣一定會有人知道, 因為這裡有認真的學者。此地, 諸如中國科學史和中國數學史, 都有非常謹慎的工作。譬如李約瑟。
但是魔術史；我非常努力地在臺灣搜索, 希望尋獲認真的魔術學者, 迄今都失敗, 至今如此。

劉: 說到魔術, 在四川, 有一種魔術叫「變臉」, 可以變換臉。只是個快速的動作, 然後他們就變臉了。

D: 我看過, 太讓人讚嘆了。

劉: 是的。而這是嚴格的職業機密, 不對外透露, 只傳承給兒子、女婿或特殊人物。

D: 我看過有人這樣做, 真是了不起。

劉: 我不懂魔術。魔術的本質是什麼？當然, 對外人來說, 這是魔術, 做了一些違反物理定律的事情等等。但要如何成為技藝精湛的魔術師呢？你必須有敏感的手, 或者你必須深入分析思考？

D: 這很重要。但是, 也有一些出色的表演者, 不太擅長變戲法, 但很會表演。他們可以一面伸手碰觸腳燈, 一面與人交談, 然後他們的助手就有了大箱子。我變戲法、花招 (sleight of hand)；這沒那麼容易。那麼, 魔術的定義是什麼？「看似違反自然法則？」我的意思是, 這是一種定義。
我和 Ron Graham ⁸ ⁸ Ronald Graham (1935$\sim$2020), 專訪 2019 年刊載於數學傳播 43 卷第 2 期。美國數學家, 對組合學有重要貢獻。他與 Paul Erdös 長期合作。合寫了一本關於數學和魔術的書, 裡面有很多關於魔術哲學的東西。一方面, 要有一種張力；因為當你表演時, 就像任何戲劇一樣, 有一種叫做劇院魅力的東西, 讓你忘記戲院裡有演員, 而你成為故事的一部分；它起了這種作用。不知怎地, 即使是看電影時, 我們也忘記了我們坐在電影院裡。所以, 魔術有這個面向, 讓人甘願暫停懷疑。但是, 你必須愚弄別人, 否則你就只是敘事劇裡的演員。但如果你一味愚弄別人, 說：「現在, 你看。注意我的手。我的袖子裡什麼都沒有」。如果你只專注於愚弄人們, 那麼你就失去了劇院魅力。所以說, 有一種張力。這就像一部好的推理小說；它必須是好的寫作並且吸引你；喔, 到底是誰幹的？你必須反覆思量, 因為如果只是「這是一個上鎖的房間」, 如此等等, 那麼就沒有故事, 你看了也毫不在乎, 對吧？如果只是故事, 那就不是一部好的推理小說。這與魔術非常相似。
優秀的表演者可以沿著山脊走動；讓你極想知道那是怎麼回事, 同時又讓你感到欣喜。你感到驚訝, 讓表演者帶著你走, 到讓你更加快樂的地方。沒有那麼多好的魔術師。卻有很多很多不好的。

劉: 這讓我想到了數學教學。有時你在演講中會說, 「誰在乎 (Who cares)？」對吧？對我來說, 這應該意味著, 聽起來很抽象的問題：數論, 組合數學, 概率論, 實際上有一個非常直觀的開始。

D: 我總是這樣認為的。

劉: 是的。在我看來, 你有這種神奇的能力, 讓人們覺得, 「是的, 這個數學問題, 它是相當抽象的。但實際上, 它可能和一些具體的, 甚至是直覺的日常事物相關」。

D: 嗯, 這在演算法中或許很重要, 或者在科學計算、打好牌或實際的東西中很重要。應用數學方面也有同樣的問題。我的意思是, 可以真正應用的東西, 不同於那些僅僅因為某人能力夠、或因為有人認為它很美, 而發展出理論的東西；你知道兩者之間的區別。後者沒錯, 非常好。有很多很多成功的人在做數學, 因為那些東西是美麗或有趣的； 50 年後, 那些正好是我所需要的。但另一方面, 也有很多胡扯抽象的東西。

劉: 是的。它會被遺忘, 但當人們需要它時, 又會重新發現它。

D: 是的。

劉: 你如何, 在過了一些年的魔術表演之後, 對自己說：我對數學有這種發自內心深處的熱愛？

D: 不, 不是這樣單純。是比這更有意思的故事。
魔術師對狡詐的賭徒非常感興趣, 他們玩紙牌和擲硬幣時小心翼翼地作弊。每當我的老導師到達一個新城市時, 我們都會嘗試結識那些狡詐的賭徒。你會認為這是不可能的。這完全不是不可能的。首先, 你得知一個來自其他城市的名字, 也知道狡詐的賭徒不能告訴任何人他們做了什麼。因此, 當有人對他們的作為感興趣, 並且不會洩露秘密時, 他們會很高興。我們總是尋找賭徒, 不僅是狡詐的, 有時還有那些變戲法之餘還巧妙下注, 藉此來取得優勢的人。
有各種詭譎的賭注。擲一對骰子, 你等到兩個 7 出來, 或者 6 和 8 出來。每個人都知道 7 是最可能的數位, 所以如果我必須等到兩個 7, 或者 6 和 8, 我會取兩個 7。這是不對的, 因為它可以是 6 和 8, 8 和 6, 實際上直覺不一定對。在各種遊戲中都有一些詭譎的賭注, 我對那些賭注很感興趣, 而且我非常擅長弄清楚它們。我不是真的理解自己在做什麼, 但我會與人討論並且學習。
我問一個朋友：「有沒有一本我可以讀的機率書？」他說, 「有的, Feller 的書《機率論導論及其應用, 第 1 卷 (An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1)》。這是最好的書」。所以我在 18 歲、 17 歲左右買了一本。但我看不懂, 因為我不會微積分。於是, 我開始上大學, 是為了學習怎麼閱讀 Feller ⁹ ⁹ William "Vilim" Feller (1906$\sim$1970), 克羅埃西亞出生的美國數學家, 對馬爾可夫鏈理論有重大貢獻, 並以兩卷專書聞名於世。。我會想學習, 因為你翻個幾頁就感覺到：「哇, 這很有趣」, 即使你讀不懂。 Feller 會講故事, 讓它變得有趣。書裡有各種各樣的應用及他的意見。他是一位非常優秀的作者。但是我不懂微積分, 所以我不得不學習微積分。
一個有趣的故事我可以告訴學生：我不知道上學意味著什麼。我前三年的微積分成績是 C、 C 和 D。而後我選修高等微積分, 老師說：「你自己知道, 你是個聰明人, 但你必須學習」。我以為自己要做的就是去聽課, 然後就會能說「知道了」。他說：「不。我要請你在考試中證明這些問題。你應該把它們寫下來多練習」。我說：「喔, 我從未如此」。我獨自一人, 沒有導師, 是這個人, Tony D'Aristotle ¹⁰ ¹⁰ Anthony D'Aristotle. , 告訴我的。所以, 我開始學習, 喜歡它。
我學了很多數學, 我仍然喜歡它。當時是在社區學院 (city college), 紐約最大的免費學校, 位於 Harlem 區中部的第 137 街。學數學的學生們坐在一張桌子旁。我沒有家人。我的意思是, 我離家出走。對我來說, 這是一個社群, 數學是一個社群。我們彼此喜歡, 我們互相支援。如果有人遇到麻煩, 你幫助他們。這是一個家庭, 自昔至今一直是一個家庭。那是很久以前的事了, 這是另一個我喜愛數學的理由。
但是, 我不得不考慮：再下去該怎麼辦？一開始我晚上去上課。在社區學院, 你可以只選課, 如果成績及格, 就可以換到白天上課。我沒有高中文憑或任何東西, 但他們讓你選課, 這還可行。
就這樣我喜歡上了數學。我選修實變, 非常有趣。然後問題來了, 我想去讀研究所。我想, 「好吧, 我試試」。我申請了幾所數學研究所, 但有一所 $\cdots$ 我想去哈佛, 因為我是個窮孩子, 而哈佛就是哈佛；就是：「哇, 哈佛」。我的老師們拒絕寫信去哈佛。他們說, 「社區學院從來沒有人進入過哈佛數學系」。那時他們的信都還是用手寫的, 「我們不會寫這信」。
我就這樣申請了哈佛大學統計系, 招生委員會裡有一位認真的業餘魔術師 Fred Mosteller ¹¹ ¹¹ Fred Mosteller (1916$\sim$2006), 美國統計學家, 著作甚豐, 對美國統計學的發展有重大影響。。有一位幫我寫信的人是 Martin Gardner ¹² ¹² Martin Gardner (1914$\sim$2010), 1956 至 1981 年在 Scientific American 雜誌撰寫數學遊戲專欄。。他寫的信說：「我對數學一無所知, 但在過去 10 年投注的 10 個最佳紙牌技巧中, 這個孩子發明了其中的兩個。你們應該給他一個機會」。 Fred Mosteller 說：「我們給他一個機會」。所以, 他們讓我進入哈佛統計系, 我想：「喔, 我會轉去數學, 但我喜歡統計學。可以的」。你可以自稱統計學家, 然後去做任何事情, 因為我就是個例子, 對吧？這就是我過渡的方式。
那段時間, 我一直以魔術為生, 因為我必須謀生。我還是個年輕小伙子。我不是大明星或什麼人物。有時你賺一百美元, 有時你賺 25 美元。我去了英格蘭, 擔綱男子俱樂部的開場表演。他們會有一個歌手、一個喜劇演員, 通常還會有一個脫衣舞孃, 這是最主要的：一個脫衣舞孃, 外加一個魔術師, 對吧？我們每晚做三場演出, 賺到 50 鎊。那些人是我的朋友, 他們仍然是我的朋友。我這樣做了六個月, 賺的錢不多, 但是我生活、我冒險, 非常的好。有一個非常活絡的魔術社群, 至今我仍和他們交流。

劉: 在我看來, 你善用了西方世界提供的自由。

D: 是的。

劉: 人們有正確的心態, 會說：「我們給這個人一個機會」。

D: 是的, 譬如說法國, 就不一樣了；離開 10 年後回來, 非常非常困難。這裡或許可能？如果你退出了體系？我不知道。可以嗎？在臺灣, 有人可以這樣起步嗎？當然可以。你可以去社區大學。你可以 $\cdots$, 但很難, 對吧？這更難。在美國？好吧, 它發生了。

劉: 對你來說, 它不僅僅是個地方。它是哈佛, 提供一流的教育, 對吧？但即使在社區學院, 在你拿了 C、 C、 D 的成績後, 也有人對你說：「是的, 你搞錯了。身為學生, 你需要做功課」, 然後還是容許你繼續求學。

D: 我做了功課。我可以解題, 但我不知道自己必須為考試而學習。就是如此。我從來沒有想過。我只是覺得我很笨, 沒有能夠看到這點。我以為只要坐在那裡看就行了。

劉: 我明白。事實上, 需要更用功些才能熟練。

D: 一旦我得知這個想法, 情況就好轉了。

劉: 不過, 仍然要有動機。你說, 「好, 我知道如何下注, 每次都能占一點優勢, 確實是機率理論在幫我。我需要學習機率論。在此之前, 我需要學習微積分」。這是一個非常合乎邏輯的推理。

D: 我有很好的老師。記得我第一次去上初等機率的課時, 頭一遭聽到中心極限定理。這是一個相當大的班級, 可能有 40 人。我打斷了授課。說：「什麼？真的？我的意思是, 任何分佈都歸結到鐘形曲線？」我只是想：這真是太好了。我說：「那太好了」。老師沒有修理我。他說：「是的, 這很了不起。這是一個偉大的定理。一種普遍性的體現」。他們很高興。社區學院的老師想教普羅大眾；我的意思是, 他們接納來自不同背景的人；如果有人閃現光點, 老師就會去照亮他們, 幫助他們。這非常好。

劉: 是的。這些年來社區大學是否有些改變？

D: 嗯, 我在那裡的期間, 它已經開始改變了。社區學院的設置, 曾經是為了那些想留在紐約的聰明年輕人。在我求學期間, 首先是 1968 年, 由於越戰, 街頭發生騷亂, 社區學院變了。有人說：「每個人都應該能夠進入社區學院。但是有些人沒有背景, 譬如少數民族和其他人。因此, 我們要改變結構」。他們曾經有各種各樣的大學部課程：實變、微分幾何、偏微分方程, 都刪掉了。他們製作了一個分數加法和讀比例尺的課程, 讓學生為就業做準備。這發生在我求學期間。呃, 這真的很可怕, 因為他們讓所有人去教補救課程。現在情況好多了。當然, 他們確實在教書, 讓任何想去的人有一個機會。
此外, 社區學院與城市大學 (city university) 不同。你知道, 城市大學聲譽卓著, 非常斯文高雅。它們有非常優秀的數學家, 做最好的抽象數學。那裡的數學沒有那麼多的應用性。我們認識城市大學的應用數學家嗎？我不認識任何在那裡做實際應用的人。

黃: 話說 Feller 的書, 你覺得它對學生的學習有幫助嗎？

D: 我認為這是一本很了不起的書。我開始在哈佛教書時, 想到了 Feller；這是一本很好的書。但是, 當然, 如果你想學機率, 除了離散機率之外, 還必須學習連續機率, 對吧？所以我也需要 $\cdots$

黃: 第 2 冊。

D: 第 2 冊。對。我教大學部課程, 指定第 1 冊和第 2 冊為教科書; 學生們來上課, 他們很震驚。這也許是 1985 的事。但為什麼 Wiley 從不降低價格, 或製作廉價版的 Feller $\cdots$ 所以, 每冊是 200 美元。學生們問：「我們必須買這些書嗎？」它們是很了不起的書。我教過 Feller。它們對學生來說很困難, 水準略高, 而且也充滿錯誤。我的意思是, 在段落層次來看, 它很精彩。但在句子層面上, 它經常是不對的。然後, 在章節層面, 他沒有講到 Martingale。他有自己的看法。他的出身是偏微分方程。 Feller 是一名分析學者。但關於什麼是機率, 什麼是機率的核心, 它有一種奇妙的風味。我不知道還有哪本書有這種風味。
現在每個人都在教 Ross 的書 ¹³ ¹³ Sheldon Ross,《A First Course in Probability》及《Stochastic Processes》. , 這沒關係, 還不錯。我上次在史丹佛大學教機率時, 也是教 Feller 的書。這是一種有趣的教學方式, 我的意思是, 人們不知道的是, 學生現在不懂分析。我意指的是什麼樣的分析？ $\log(1-x) =-\sum x^i / i$, 或者如何進行估計。學生們不再學習這些了。但也許在應用數學或者數論中, 他們會學到如何進行估計。但特別是美國研究生和大學生, 並沒有學會如何獲得有用的上限和下限, 從公式中得到數字。他們沒有學到。 Feller 的書到處有這些東西。這很重要。

黃: 這是一本很難的書。我讀了它, 但不是整本書。而且習題非常困難。

D: 是的, 這是真的。這是一本很難的書。真是難。但這是哈佛和史丹佛, 聰明的學生。這是一門成功的課程；我是說, 他們沒有半途離開。他們離開的時刻, 都是在我教了一些自己一無所知的東西時, 譬如抽象代數、建物或更不堪的, 這時班級很快就會縮減成 4 或 6 個學生。但 Feller 總是 $\cdots$ 因為這是一本很精彩的書。我能讓他們接觸到 Feller, 那就好。
我做過類似的事情。你知道 Knuth ¹⁴ ¹⁴ Donald Knuth (1938- ), 美國數學家暨電腦科學家, 對演算法有卓越研究, 並發明 TeX 排版語言。著作包括多卷《The Art of Computer Programming 》。1974年獲頒Turing獎。 , Don Knuth, 偉大的 Don Knuth。他也寫了很了不起的書, 我用它們教組合數學, 因為我想：或許我能讓學生們接觸 Knuth $\cdots$ 我無法涵蓋 700 頁, 但上次我教大學部組合學時, 使用了第 4A 冊, 有排列、組合、集合分區、圖形等等, 應有盡有。它又用它們做出東西, 真的用它們一起做出東西。它不只說, 「我們這樣做是因為它有趣, 或因為它很好玩」。重要的是, 如果我能教給學生們那些東西, 讓他們閱讀 Knuth 其他的書, 那就是給學生的一份禮物。雖然它們也是困難的書, 但他在書後有習題的解答。好書無價。應該要有人列出好書的清單。

黃: Stirling 公式的逼近公式通常很粗糙。

D: 是的。

黃: 但我需要一些進階的逼近公式。我在 Feller 的書中找到了。

D: 告訴我們！我在課堂上教那個, 兩節課才做出 Stirling 公式 $\cdots$ 嗯, 很好, 我以前每堂課都這樣做。對, 如果你想找到 Stirling 公式非常好的上限和下限, Louis Gordon ¹⁵ ¹⁵ Louis Gordon (1946$\sim$ ), 任教於南加大, 專精統計學。在《American Mathematical Monthly》上有一篇精彩的文章 ¹⁶ ¹⁶ Louis Gordon, A Stochastic Approach to the Gamma Function, the American Mathematical Society, Vol. 101, No. 9 (Nov., 1994), pp.858-865 , 有美麗、最佳的、有用的上限和下限。但是, 當然, 在 Abromowitz 和 Stegun 的書 ¹⁷ ¹⁷ Abramowitz 和 Stegun 是 1964 年數學參考書的非正式名稱, 由美國國家標準局 (現為美國國家標準和技術研究院 NIST) 的 Milton Abramowitz 和 Irene Stegun 編輯。中, 你也可以找到一些, 但 Louis 的更好, 使用了 Gamma 隨機變數的機率來證明。在組合數學中, 他們通常滿意於此：這裡有一些序列, 它們有一個生成函數, 然後, 瞧, 我們可以寫下右側的封閉解 (closed form), 然後停下來。它是沒用的！當 $n$ 為 52 時, 它說了些什麼？ $n$ 為 100 時, 它說了什麼？ Feller 解釋了如何從公式中獲得數字, 這很有價值。我仍然嘗試這樣做。

劉: 來換個話題。回頭看, 你曾在劇院做魔術師、紙牌等等, 但在職業生涯的後期, 你又回到了洗牌等等。這和你當魔術師的時候稍有不同, 對吧？

D: 沒有太大的不同。例如, 這就是我如何第一次學到二進制數。我會解釋的。魔術師和狡詐的賭徒可以完美地洗牌；完美意味著你將它們精確地切成兩半。你有 (洗牌的聲音)。 1, 1, 1, $\ldots$ 好。現在, 為什麼有趣呢？好吧, 假設我在上面有 4 張王牌。如果我完美地洗一次牌, 那麼每隔兩張它們會現身, 對吧？每隔一張會出現。如果我洗兩次牌, 它們就是每隔四張會現身。如果我發牌給 4 位玩家, 我就會拿到王牌, 對吧？

劉: 這是非常確定性的。

D: 嗯, 當然。這是完美的洗牌, 但仍然 $\cdots$ 我想我 13 歲時就學會了這個；我在魔術店裡閒逛, 一個傢伙從英國來訪 $\cdots$ 好的, 有兩種完美的洗牌。和我談論洗牌就像和加州人談論葡萄酒, 你知道嗎？你會聽到 $\cdots$

劉: 欲罷不能。

D: 哦, 不, 不, 我會停下來。所有兩種完美的洗牌： in-shuffle, 最上面的牌去到內部； out-shuffle, 最上面的牌留在外面。它們稍有不同。那麼, 你能用這些做什麼呢？假設我想將最上面的牌帶到位置 6；魔術師可能想把最上面的牌帶到一個已知的位置。我瞭解到, 如果你把最上面的牌帶到位置 $J$, 你取 $J$ 減去 1 並用二進位表示, 然後如果你運作洗牌序列, 其中 1 是 in-shuffle, 0 是 out-shuffle, I-O-I-I-O, 你會把最上面的牌帶到J的位置。這就是我對二進位數的瞭解。
當孩子們對棒球或足球感興趣時, 他們會著迷, 對吧？所以我癡迷於練習。例如, 一副紙牌要回復原狀需要 8 次完美的洗牌, 需要 8 次完美的 out-shuffle。我學會那條漫長的路途。你洗牌, 洗牌, 直到他們回復原狀。我意識到, 如果你做任何重複的事情, 卡片當然會回復原狀。嗯, 當你 13 歲, 14 歲的時候, 這是一個很大的發現, 對吧？所以, 即使它不是數學, 仍然是數學, 讓我對數學有些感覺。
我從研究所畢業時, 我想：「我只是要成為一名數學家, 統計學家, 我不會告訴任何人和魔術有關的東西, 因為他們只想談論魔術的那些東西。我現在做的是數學」。後來, 不知怎的, Ron Graham 和我想了解 in-shuffle 和 out-shuffle 能做出什麼排列。如果開始時最上面有四張王牌, 而你要發牌給五位玩家, 能否在洗牌後讓莊家拿到王牌？這是一個和對稱群相關的數學問題。
我無法回答很多這樣的問題。似乎是在 1975 年, Don Knuth 教了一門課, 聯繫教授們, 說：「如果你有任何你感興趣的非數值計算, 我有一個滿是年輕人的班級, 我們可以嘗試」。我說：「我想知道由 in-shuffle 和 out-shuffle 生成的群的階是多少」。怎麼做？好吧, 你從排好的順序開始, 從 1 到 $2n$, 然後你 in-shuffle 一次, 接著 out-shuffle 一次, 如此這般, 持續運作, 同時追蹤排的順序。假設它是 4 張牌或 10 張牌。他們開始這樣運作並生成數據, 而演算法跑得非常慢。他們終於做了 52 張牌, 在一台大機器上花費了一個小時的 CPU 時間。 52 張牌的洗牌群 (shuffle group) 是什麼？這在一台大型機器上, 耗費了一個小時的 CPU 時間。但後來, 我有了數據, 可以猜到模式。而後 Ron Graham、群論學家 Bill Kantor ¹⁸ ¹⁸ William Kantor (1944$\sim$ ), 美國數學家, 任教於 Oregon 大學, 研究有限幾何, 以及有限群在電腦科學 (群論演算法)、組合學、編碼理論和幾何學中的應用。和我合作, 證明了這件事 ¹⁹ ¹⁹ Persi Diaconis, Ronald Graham and William M. Kantor, The mathematics of perfect Shuffles, Advances in Applied Mathematics, Volume 4, Issue 2, June 1983, Pages 175-196. 。這是很難、很難的, 是非常困難的群論。它上了紐約時報。我的底細被洩漏了。如果你看了《紐約時報》的頭版 $\cdots$

劉: 是的, 我讀了這篇文章 ²⁰ ²⁰ Gina Kolata, In Shuffling Cards, Seven is Winning Number, New York Times, Jan. 9, 1990 。

D: 是的, 「教授洗牌」。我怎麼改變了志趣？我們這個領域的一位佼佼者是 Paul Lévy ²¹ ²¹ Paul Lévy (1886$\sim$1971), 法國數學家, 早年是泛函分析專家, 對機率論有重大貢獻, 特別是 Wiener 過程及 Lévy flight 方面的研究。。初到史丹佛大學任教時, 我經常去圖書館。當時 Lévy 的作品集已經出版, 是 6 冊法文。現在的我法文很差。當時更糟。我現在有法國妻子和法國小孩, 所以法文有進步, 但仍然一點也不好。當時我拿起一卷 Paul Lévy 的作品集, 隨機翻開, 頁面上出現完美洗牌的方程式。哎呀, Lévy 寫了 10 篇關於完美洗牌的論文。他因病臥床一年, 有興趣知道何種排列可能發生。他寫了 10 篇論文, 魔術界沒有人知道這件事, 數學界也沒有人知道。我知道這件事, 我說：「啊, 如果 Lévy 可以做, 我也可以」。

劉: 凡人都可以做。

D: 是的, 喔, 不是。 Lévy 是一位偉大的數學家。

劉: 是的, 有些人可以做。

D: 有些人可以做, 對。我想我來做應該也可以。這就是我何以會在史丹佛大學開始學習洗牌。這就是我何以回應了 Don Knuth 的徵詢。 Don 還在做研究。他已經 85 歲了, 仍然 $\cdots$ 他讓人讚嘆。 Don Knuth 是一位偉大的作家, 偉大的科學家, 偉大的數學家, 事實上, 如果他願意, 他可以做出偉大的數學。他拿的是數學的博士。

劉: 有一次, Don Knuth 在史丹佛給了一個演講, 你在聽眾席中, 做了一些評論。我記得他在演講開始時說：「今天的演講會很短, 因為我要講的是拉馬努金 (Ramanujan) ²² ²² Srinivasa Ramanujan (1887$\sim$1920), 對解析數論做出了重大貢獻, 致力於橢圓函數、連分數和無窮級數的研究。的一篇很短的文章, 只有 3 頁」。但是, 四十分鐘後, 他只講了前半頁。

D: 每年耶誕節, 他都會給「聖誕樹講座」, 只給一個演講。他的演講何其好, 人們至今仍記得 Don Knuth 是誰。聽眾有 150 人。老實說, 他不是一個傑出的演講者； 30 年來他都沒再教書。但他仍然喜歡那些題材。上一次講的是組合的東西： Baxter 排列 ²³ ²³ https://www.youtube.com/watch?v=zg6YRqT4Duo. 。

劉: 我們來談通俗演講。你在萬聖節給演講, 是關於不可測集。

D: 不可測集, 是的。

劉: 不可測集。你似乎把它和鬼魂聯繫起來, 因為萬聖節是關於鬼魂的, 對吧？

D: 還有怪物。那是怪物出沒的時候。我教研究生機率時, 不曾教到不可測集。這並不難, 但也並非標準的題材, 所以, 在萬聖節, 我給了通俗演講, 談不可測集, 因為這是怪物出沒的時候。人們來聽。在倒數第 2 次, 不是我最後一次, 有個 12 歲的女孩和父親要去聽我的講座。我站在門口, 說：「妳知道, 這是數學課」。她看著我的眼睛說：「我想知道什麼是不可測集」。上帝保佑妳, 好姐妹。真是太好了。

劉: 這讓我覺得你有辦法讀懂人類的情感。因為怪物是鬼或者其他什麼的, 對吧？不可測集是其中一員。

D: 它是其中一員。如果沒有選擇公設 (axiom of choice), 就無法構建一個不可測集。我的意思是, 你不能寫下一個不可測集。你可以用英文描述解析集合, 但不能用英文描述非 Borel 的集合, 或是確實不可測的集合。

劉: 但對理解可測集來說, 這些東西不可或缺, 因為我們被教育, 覺得一切都是可測的。如果一切都是可測的, 那麼就沒有必要提到「可測」這個詞。

D: 數學家大都不會對此深思熟慮, 但史丹佛大學的 Grigori Mints ²⁴ ²⁴ Grigori Mints (1939$\sim$2014), 生前任教於史丹佛大學哲學系。他的研究重心是證明論、數學推理分析及其在電腦科學等領域的應用。不同。他在哲學系, 但他是數學家, 是像 Brouwer 和 Bishop 那樣的俄羅斯建構數學家。你可以和他談談, 他對數學很感興趣。有一次看他走來, 我說：「嗨」, 他也說：「嗨」。接著我說：「你還好吧？」他說：「不」。我問：「怎麼了？」他說：「你怎麼可能做數學？基礎這麼糟糕, 怎麼可能做數學？」這是發自內心的。我想, 「哎呀」。你知道的？因為我們不關心基礎, 對吧？對我來說, 一切都是有限的。
但我曾和一些邏輯學家一起做研究, 他們的思考擴及無窮大, 但也只是第一個不可數基數 (uncountable cardinal)。你可以假設單位區間中的每個集合都是可測的；這與一些可測基數的存在相矛盾, 但不牴觸任何人類可以思考的東西。邏輯學家的研究擴及那裡, 那也是數學。如果你假設了這件事, 那麼它來自公設, 但它無關乎任何你可以觸及的東西。不, 但如果有人要解決 P-NP, 那就是邏輯學家。那關乎數學語言的一些結構性的東西。每個人都對 Poincaré 猜想有意見, 然後 Perelman ²⁵ ²⁵ Grigori Yakovlevich Perelman (1966$\sim$ ), 俄羅斯數學家, 證明了 Poincaré 猜想, 而後拒絕接受菲爾茲獎及 100 萬美元的 Clay 獎。解決了。在有人解決 P-NP 之前, 大家都只是信口說空話。

劉: 你離開哈佛, 搬到史丹佛。這是兩個不同的社會。

D: 是的。

劉: 可以評論一下嗎？

D: 當然。首先, 我為什麼離開史丹佛, 搬到哈佛？起初我在史丹佛大學統計系, 經常去數學系參加研討會。我 1974 年開始在史丹佛大學工作, 大約在 1980 年離開。當時數學系對應用數學非常敵視。他們把電腦科學扔出去, 又和統計學切割。你們可能認識的鍾開萊 ²⁶ ²⁶ 鍾開萊 (1917$\sim$2009), 華裔美籍數學家, 對布朗運動、隨機過程及其在幾何、分析的應用有卓越貢獻, 並有十多本專書著作。。他曾經在研討會上大喊：「哦, Persi, 你又來假扮數學家了」。少量的點點滴滴就會產生宏大的效應, 對吧？還有些老傢伙, 分析學者, 十分多疑。他們對應用數學很不友善, 對我尤其如此。我在做數學, 我有機會去哈佛數學系, 他們真的很想要我去, 所以我去了哈佛。該死, 史丹佛數學系。他們不想和機率學者交談。好的。 Sam Karlin ²⁷ ²⁷ Samuel Karlin (1924$\sim$2007), 波蘭裔美國數學家, 生前任教於史丹佛大學數學系, 研究賽局理論及其在經濟學、人口統計的應用。 1989 年, 提出一種估計一個生物體的已知 DNA 序列與另一個生物體的已知 DNA 序列之間相似性的方法, 協助研發方法來對具有統計顯著性的 DNA 匹配進行排序。對我很好, 這有點出乎意料。他很有趣 $\cdots$ 你認識 Sam 嗎？

劉: 是的。生物學界的人把他當成自己人。他做生物, 而不僅僅是生物學中的某種數學模型。

D: 他們何其愛用他的演算法去搜索 DNA 序列。他非常受人尊敬。他是個好數學家。他在我背後對我很好, 而不像大多數人, 只在你面前對你很好。 Sam 在我背後對我很好。但我何時才可藉由某個問題打動他？他寫了一本關於全正值 (total positivity) 的書, 難以閱讀。我有一些問題。我知道它在書中的某個地方。所以, 我說：「Sam, 看。你能不能, 你知道, 我有這個問題」。 Sam 說：「喔, 這太微不足道了。而且, 我已經做出來了。你為什麼對此感興趣？」我從來沒有從他那裡得到過有用的答案。但我真的很尊敬他, 但他不會坐下來聽我講, 和我進行科學對話。但那只是 20 年時光。
所以我真的離開了史丹佛, 因為數學系很封閉。現在這是一個完全不同的系所。他們真的非常友善, 好人。有一些非常好的人。

劉: 史丹佛早年在古典分析方面很強, 對吧？

D: 是的, 有 Schiffer ²⁸ ²⁸ Menahem Max Schiffer (1911$\sim$1997), 德裔美國數學家, 從事複分析、偏微分方程和數學物理研究。 , Paul Cohen ²⁹ ²⁹ Paul Cohen (1934$\sim$2007), 美國數學家, 使用 forcing 的技巧, 證明選擇公理和廣義連續統假設在集合論中的獨立性, 從而獲費爾茲獎。他對調和分析也有卓越貢獻, 曾提出 idempotent theorem。 , Szego ³⁰ ³⁰ Gábor Szego (1895$\sim$1985), 匈牙利裔美國數學家, 研究極值問題及 Toeplitz 矩陣。等。我剛到史丹佛時, 去聽了 Pólya ³¹ ³¹ George Pólya (1887$\sim$1985), 匈牙利裔美國數學家, 研究機率、分析、數論、幾何、組合數學和數學物理。講課。這是一個精彩的故事, 所以我要講一下。 Pólya 當時 81 歲, 有人勸他開個組合數學的課。課堂有 100 人。 Pólya 是個迷人的老傢伙。他 81 歲了。第一堂課時, 他在一個 $3\times 3$ 的正方形上, 寫了「Abracadabra ³² ³² 是一個著名的咒文, 作為「magic word」在進行魔術表演時使用。」這個字。他說：「這裡有一個問題要問你」。他說：「在這個正方形上有多少種方法可以寫出『Abracadabra』？」他說：「有多少人認為方法數介於 50 到 500 之間？」有些人舉起了手。然後, 他說：「有多少人認為介於 500 到 5000 之間？」更多的人。「有多少人認為大於 5000？」然後, 他看著觀眾說：「你認為所有問題最好都用選票多寡來回答嗎？」這真是太精彩了。他的課堂充滿這樣的事情；有一些很好的故事是他之前講過的, 但很精彩。當然他早就從數學系退休了。
我不會指名道姓, 但有人非常非常討厭我。
我在哈佛時, 是在數學系, 統計系不想和我說話。好吧, 我去了。我在那裡待了將近 15 年後, 遇到了我的妻子, 她是法國統計學家。我們必須找到兩份工作。哈佛不感興趣。我們試了一下麻省理工學院, 也試過康乃爾。接著我打電話給史丹佛大學, Iain Johnstone ³³ ³³ Iain Johnstone (1956$\sim$ ), 澳洲出生的統計學家, 任教於史丹佛大學統計系。說：「我們會解決這個問題」。他們為我們打造了 2 份工作。這就是我搬回來的原因。我一半在統計系、一半在數學系, 我非常滿意。她也喜歡她的工作。這就是我搬家的真實故事。我不得不找 2 份工作。我有一個我在乎的妻子。

劉: 當時在哈佛是誰要你去的？

D: David Mumford ³⁴ ³⁴ David Mumford (1937$\sim$ ), 出生於英國的美國數學家, 因代數幾何方面的工作而獲頒 1974 年菲爾茲獎。而後對電腦視覺及模式理論貢獻卓著。目前是布朗大學應用數學系名譽教授。和 Barry Mazur ³⁵ ³⁵ Barry Mazur (1937$\sim$ ), 美國數學家, 對數論、算術幾何、幾何拓撲、微分拓樸、代數幾何有重大貢獻。 2022 年獲頒 Chern Medal。。

劉: Mumford 當時在做應用數學？

D: 是的, 沒錯。 Mumford 想學機率, 希望有人和他交談, Barry 是我的朋友兼粉絲。我在哈佛大學統計系獲得了博士學位, 但我選修過很多數學。對我來說, 最溫暖的一個時刻, 是我畢業時, 兩位數學家 Barry Mazur 和 Lynn Loomis ³⁶ ³⁶ Lynn Harold Loomis (1915$\sim$1994), 美國數學家, 研究分析、應用數學及統計。帶我出去吃午飯, 他們說：「看, 你可以做數學, 我們不想失去你。你應該申請博士後」。我去了史丹佛, 但我在哈佛有數學界的朋友： David Mumford 和 Barry Mazur。當時組合數學已經是大家認可實在的領域。他們還想要一些機率。這是一個很小的系所, 哈佛系所。只有 13 名終身職教授。

黃: David 告訴我, 他從你那裡學會了機率。

D: 是的。

黃: 我問他：你怎麼學的 $\cdots$ 他明白地說, 是向你學的。

D: 他的做法是正確的。他旁聽大學部課程, 接著旁聽研究所課程。而後他教大學部課程。真正以我們的方式學習機率的數學家, David Mumford 是我認識的唯一一位。一般人學習機率, 就說：這是一個可測量的函數。但他確實學會了真正的機率。
我嘗試過； 50 年來, 我一直試圖教數學家機率, 但機率太難學了。這就像自學, 或者教數學家物理。如果你在大學時沒有用心學過, 就難了。我們知道 Hilbert 空間是什麼, 但對量子力學有感覺嗎？它完全是另一回事。如果你以那種方式開始, 那就太好了。但是, 你知道, 很少有數學家真正在談論物理學或機率。我猜想, 俄羅斯人在大學時就學會了機率, 他們真的學會了。

劉: 他們在高中時就已經被拔尖出來了, 對吧？

D: 對。還有 Kolmogorov ³⁷ ³⁷ Andrey Kolmogorov (1903$\sim$1987), 俄國數學家, 發展了機率論的公理基礎。他利用機率理論研究了行星的運動和噴射發動機的湍流氣體。他也是演算法複雜性理論的奠基者。。機率融入了文化、數學文化。但是美國人$\cdots$.

劉: 要為美國教育體系辯護, 我知道可能不是那麼容易。有一次, Arnold 一如往常行事, 我說：「既然你和我此刻都在美國, 美國一定有什麼東西是正確的」。美國的人才比較分散, 對吧？在俄羅斯, 有如此密集的優秀人才。但在美國, 你最終進入了數學學術圈, 是一個好例子。

D: 你可以來自美國的任何地方, 但比較困難。
1986 年, 當我開始在哈佛大學任教時, 偉大的 David Kazhdan ³⁸ ³⁸ David Kazhdan (1946$\sim$ ) 前蘇聯及以色列數學家, 對表示理論有重大貢獻, 在 Kazhdan - Lusztig 猜想及 Langlands 綱領方面成就斐然。說：「你能給一個演講, 談談什麼是隨機變數嗎？」我說：「David, 你知道, 隨機變數是一個可測函數」。他看著我說, 「對你來說不止如此, 應該另有意涵」。他是對的。所以, 我做了這樣一個演講, 試圖解釋 $\cdots$ 但是唯一曾學會的人是 David Mumford。他很特別。他依舊很特別。

劉: 機率很難。

D: 是的, 但你學會了。

劉: 我在史丹佛大學教了幾個學季的機率, 因為我下定決心, 雖然不想成為一個機率學家, 但我想了解機率。

D: 你教得很好。大家都這麼說, 我們有去探聽。這是一個很好的課程。

劉: 我花了很長時間, 才了解一個非常困難的東西： Bayesian。對我來說它非常深奧。你對這個領域有些感覺。

D: 是的, 謝謝。我想知道, 臺灣有 Bayesian 嗎？我想沒有那麼多。

黃: 我不知道。

D: 如果有的話, 你應該會知道。我想為數甚少。

黃: 是的, 你或許知道, 我有兩篇統計學的論文, 可算是眾所周知的長篇論文, 但我仍要說我不了解統計學。統計學非常不同, 就像自然科學。雖然我寫了兩篇統計學的好論文, 但是我對統計學並沒有感覺。

D: 但 Grenander ³⁹ ³⁹ Ulf Grenander (1923$\sim$2016), 瑞典數學家, 生前任教布朗大學。他的早期研究涉及機率論, 隨機過程, 時間序列分析和統計理論。近幾十年來, 他為計算統計, 圖像處理, 模式識別和人工智能做出貢獻。是 Bayesian。 Gehman ⁴⁰ ⁴⁰ Andrew Gehman (1965$\sim$ ), 美國統計學家, 哥倫比亞大學的統計兼政治學教授。是 Bayesian。你知道, 布朗大學數學系相當 Bayesian。你逃跑了。

劉: 我在 2000 年回到台灣時, 開始了這系列專訪, 標題名為「有朋自遠方來」, 引用了孔子的話。在他的《論語》的開頭, 他說：「有朋自遠方來, 不亦樂乎？」現在你說你不了解統計學。有一句著名的孔子名言說：「知之為知之, 不知為不知, 是知也。」, 但很多人甚至不知道自己並不知道。

D: 對。那是非常 $\cdots$ 我不知道那是孔子說的。

劉: 知之為知之, 不知為不知, 是知也。

D: 你在學校和那些諺語一起長大。

劉: 是的。孔子其實尚可。只是因為要讀這些才能通過入學考試, 所以我們不喜歡它。但平心而論, 他很不錯。

D: 他很好。你知道我寫了一篇關於《易經》的論文嗎？你怎麼發音？

黃: 易經。

D: 孔子寫過評論。早期對《易經》的註解有些可以追溯到孔子。我想簡短說明一下我做了什麼；我的意思是, 我如何寫成那篇關於《易經》的論文。部分的《易經》需要你生成隨機模式。傳統上, 你有 49 根蓍草, 把它們分成2組, 而後拿掉 4 根, 於是蓍草有了相當複雜的隨機分布。現今人們改用硬幣來做, 我證明兩者產生的分布是不同的, 確實相異。現代人入門的分布與古人不同。
要證明它們不同, 我需要製作一個模型, 用它來隨機分割一堆棒子。假設你有 49 根蓍草, 像這樣把它們分成兩組。我想對此做一個數學模型。Laplace說, 「嗯, 均勻分布」。但這是不對的。我的意思是, 它較常接近 1/2, 不是均勻的。好吧, 二項式分布不是那麼糟, 因為每根棒子都有一半時間往左或往右移動。我證明的是, 你所做的分布假設並不重要, 它會被抵銷掉。實際上, 這是一個 Tauberian 定理, 是一個很好的定理。
而我之所以會研究《易經》, 是因為要了解機率的歷史；它確實是1650年從Pascal和費馬 (Fermat) 開始的嗎？人們賭博 $\cdots$ 你知道, 羅馬士兵用骰子賭基督的衣服。但是沒有關於《易經》的定量思考記錄。《易經》是誰設計出來的？它早就知道一些組合學了。這是一個非常複雜的儀式, 但一切是平衡的, 實線和虛線出現的可能性相同。有人曾知道一些事情。這很有趣, 所以我寫了關於《易經》的論文。
我在嬉皮的年代長大, 當年很多人習慣用易經來決定是否出門喝咖啡。現在我想人們在電腦上做決定, 對吧？你必須看看電腦用了什麼演算法, 用它生成了隨機模式。我還沒有這樣看。無論如何, 你可以從任何事情中得出機率。這是我的感覺。
但有趣的是, 人們使用這本書的方式, 與傳統方式之間的差異, 不在小數點後三位。它位於小數點後第一位。這確實很不同, 這是有趣的部分。
我看到你有一個問題清單。

黃: 太嚴肅的問題。不管它。

劉: 不。給我們一些問題。我們需要嚴肅的事情。請說。

黃: 話說現在的線上教學, 您如何看待它對數學的影響？

D: 有什麼影響？這和我們一起在房間裡不一樣, 也和在 Zoom 上見面不同。我不知道原因。它比電話好多了。疫情開始時, 我在葡萄牙, 在 Zoom 上授課 $\cdots$ 它不是很好, 但它現成可用。
現在, 大班級, 任何大班級, 有時一個 500 人的班級, 他們都被錄影了, 學生可以在他們想看的時候觀看。但它肯定效果是不同的。在現場課堂上, 我呼喚學生。你可以看到他們是否在微笑、閱讀報紙、使用手機。你可以查看自己的講課效果如何。這就像一個演員, 在劇院現場演出。你參與其中, 你付出了你的精力和注意力, 這讓教授與眾不同, 對吧？
這不同於看電視。這有點微妙, 並不太糟, 也許我們會更加善用它。在疫情肆虐期間, 這像是天賜之物。我不知道此地是否如此, 但我們在所有系所都看到了這情況, 尤其是數學系：大一新生不懂高中數學, 因為疫情而損失了一兩年。他們自學, 在 Zoom 上學習。那是不一樣的, 真的不一樣, 你可以涵蓋的教材料減少了 20%。在聰明學生的課堂, 他們不認識二項式公式。我們的 Math 63, 是要開給超級聰明的學生, 但即使是超級聰明的學生, 也不會藉由二項式展開 $(a + b)^n$ 的係數, 也不知道各種基本的東西。這證明了一些事情：線上教學的成效是不一樣的。
但我不是教育專家。總之我不喜歡它。而且, 我幾乎不發送電子郵件。我的妻子是專家；她被困在葡萄牙, 而我在家, 我必須弄清楚 Zoom。我有一個 iPad、電腦和一部手機。我給她看那些按鈕；她對我尖叫, 「不要那樣做, 不要」。所以或許我不是回答這個問題的最佳人選。

劉: 我有一個研討會, 每週四上午 10 點至下午 1 點, 進行 3 小時。我人在史丹佛時也照常如此；那裡是晚上。每周大約 15 到 20 人參加。實際情況是, 有些人會進行少許互動, 但為數甚少。其他人只是被動地坐在那裡聽。

D: 他們甚至不露面, 很多人根本見不到臉。

劉: 對, 對。事實上, 大多數人如此。因此你幾乎可以得出一個結論：它的成效不是最為理想。

D: 不是。但總比沒有好。聊勝於無。我要求他們露面。我說, 「沒有人能讓你這樣做, 但我們在一起。你露個臉, 讓我們知道有其他人在場。你願意現身嗎？」

劉: 可以這麼說, 你在天上人間往返。現在你談到了《易經》。你似乎一直在學習。你如何學到這麼多東西。

D: 我能夠如此, 是因為我喜歡學習新事物。我能夠解決問題的原因在此。我總會先問：「怎麼可以讓你著手解決問題？」對我來說, 如果這意味著我必須學習一些新的數學, 那幾乎保證了我會希望去學它們。接著我會努力以赴。
對我來說, 數學也很有社交性。你問我一個問題, 與我在網路等等地方閱讀問題, 是非常不同的。而後我們可以互相交談, 這也許會讓你更快樂, 也許會讓你對我有好的評價。對我來說, 在數學的互動中, 人的角色非常重要。而且, 如果我和某些人一起工作, 他們知道某個東西, 我就可以從他們那裡學到它, 或是學會其它的。這就是我如何學會了幾乎所有東西；不是從書本上, 而是從某某人那裡。這是我們真正學習事物的方式, 對吧？
David Freedman ⁴¹ ⁴¹ David Freedman (1938$\sim$2008), 加州大學柏克萊分校統計教授, 研究 martingale 不等式, Markov 過程等。教過我。我去哈佛讀統計學研究所, 當時沒有研究所的機率課程。我從來沒有上過研究所的機率課。我寫了博士論文。我到史丹佛時, David Freedman 在柏克萊, 我們開始一起研究一個問題, 他說：「不, 不, 做這個」。他就地教我機率, 喝了超過 500 杯咖啡。這是很好的學習方式, 對吧？對我來說, 這也許是唯一的學習方式。我試過了 $\cdots$ 我在史丹佛大學有 3 個辦公室：一個在數學系, 一個在統計學系, 一個在 Bytes 咖啡店。我大半時間待在 Bytes 咖啡店, 和我的學生一起喝咖啡和塗鴉。
很高興你仍在舉辦研討會。

黃: 關於統計, 我有幾個問題：現今, 高維數據盛行, 大數據是另一個議題, 它們是很不同的 $\cdots$

D: 是啊！但是它們已經發展出來, 而且佔據優勢。

黃: 這就是問題所在, 有些東西儘管佔據優勢, 但很難總結成觀點或歸納成理論。

D: 對, 我同意。首先, 機器學習和大數據已經佔據優勢, 無所不在了, 最好的圍棋程式 AlphaZero 和最好的西洋棋程式 MuZero 就是例子。機器學習和大數據的理論產生出許多具挑戰性的數學問題。我認為有新的數學問題很好, 但有些已經超越我的經驗範疇, 這是下個世代所面臨的挑戰。
如果我的統計學生想要研究機器學習和大數據, 我會嘗試安排他們和從事相關研究的人合作。這要非常密集地使用電腦, 但我不是這類型的人。我還是研究生時, 如果不學習如何寫程式, 就無法獲得統計博士的學位, 但那是很久以前的事了。機器學習和大數據已經佔據優勢, 雖然我和新時代有點距離, 我還是有以下幾點要說。
生活中還是有很多資料分析涉及小數據, 除了常識, 還需要古典統計, 這些小數據不是從網路上收集的。譬如一個醫生要比較兩個病人, 或者比較某十個病人和另外十個病人, 所涉及的統計數據就不是所謂的大數據了。
有些人正在進行有趣的工作, 我也正在嘗試和研究, 並且與編寫 AlphaZero 和 MuZero 的團隊 DeepMind 討論。 DeepMind 編寫了最好的圍棋程式和最好的西洋棋遊戲程式, 之後被 Google 購併。我每週一次和那裡的人討論, 如何讓電腦學習玩接龍。你知道七堆紙牌的接龍遊戲嗎？我們這行有個笑話：我們不知道接龍遊戲的獲勝機率。在拉斯維加斯, 你可以花 52 美元買一副牌, 你從打出去的牌每張得到 5 美元。這是一場公平的遊戲嗎？這取決於規則。微軟的規則是, 你可以分拆遊戲, 一次發三張牌。改變規則會改變賠率嗎？當然, 這也關乎「誰在玩紙牌」。它並非定義嚴謹。那麼電腦玩接龍能表現得多好？我正在研究這個問題。我學到的一件事是, 毫無疑問地, 如果他們真的感興趣, 如果他們讓一個由 30 名工程師組成團隊來解決這個問題, 在 6 個月內, 他們會有些可以展示的成果, 但是你看看他們推銷成果的方式。你可以把你的問題輸入到 MuZero 中, 這個程式甚至不需要知道規則, 立即就開始與自己對玩。荒唐, 它根本不行。我有三名工程師, 他們試圖將紙牌放入 MuZero。沒用的, 它沒有給出任何明智的東西。
有了大數據, 或許可以從中得到一些合理東西。當然, 我做的研究不是這個, 我也不懂大數據, 大數據已發展出了自己的語言。如果你是一個只受過古典訓練的統計學家, 試圖閱讀現今的機器學習文獻, 這會是十分困難的。我的意思是, 這一切都在它自己的形像中 $\cdots$ 如果你試圖挑選一些問題並試圖證明它, 可能六個月後, 它已經完全過時了, 沒有人在關注這個議題了, 何苦？機器學習正以非常非常快的速度蓬勃發展, 它是一個健康的領域, 就此存在, 我的很多同事都試圖把它和數學結合起來。
在機器學習, 難以理解的一件事是大數據的過度擬合 (overfitting)。也就是說, 在古典統計學中我們知道：如果你有 100 個參數和 50 個資料點, 那麼, 你可以擬合任何東西, 你可以找出一個通過所有資料點的多項式。但不知何故, 在機器學習或深度學習上情況不是那麼簡單。如果你極過度擬合, 它反而會變得有用, 並做出很好的預測, 這是非常難以理解的。人們正試圖打造數學和玩具問題 (toy problem)去理解此現象。我想這就是我們在做的, 對吧？我們製作玩具問題, 然後試圖去證明某件事。應用者會嘲笑我們, 因為我們分析的模型, 與他們真正做的事情, 相去甚遠。
彼此之間是有緊張的關係。但我認為它們是很不錯的數學問題。在被解決、被定位前, 我都會質疑：是否存在它們的位置。讓我解釋一下。如果你找 30 個電腦科學博士或物理學博士, 給他們 3000 萬美元, 以及他們想要的所有計算和一個特定的問題, 我不會質疑他們會做出些成果, 而且會是有用、有趣的東西。但是, 如果你給另外 30 個人同樣的特定問題與資源, 他們會做一些完全不同的東西。那麼, 那裡有個主題嗎？還是都只是因時制宜 (ad hoc) 的？在我看來, 它非常非常善變, 欠缺定論。有一門學科叫做深度學習 (deep learning), 但我並不了解。我的意思是, 我可以把簡單的神經網路模型抽象成數學問題, 但他們實際做的, 是因時制宜的, 原創性很高, 勇氣十足；他們做的是很艱苦的工作, 我不想爭論這個, 只是到了下周, 一切又成了另一回事。那麼, 你如何能抓住它呢？我們如何證明它？而且, 這是非常糟糕的科學, 也就是說, 首先, 它有專利, 他們不讓你看到程式代碼。他們向你展示成功的故事, 但不透露失敗的故事。

劉: 他們就像算命的人。

D: 是的, 沒錯。但是, 另一方面, 也有成功的故事。他們有精彩的成功故事。算命的人當然有時也會這樣；特別是如果他們能看到你, 並且能對你的反應做出回應, 他們也可以做得很好。但這是一個棘手的領域。幸運的是, 我們仍然可以解決一些簡單的問題。
譬如說蒙地卡羅模擬 (Monte Carlo simulation), 你可以看看人們實際用它來做什麼。實際使用量最大的一大套程式是「Stan」, 在美國開發的, 來自紐約的 Flatiron Simons 研究所。這是 Hamiltonian 蒙地卡羅, 但有各種各樣的花裡胡哨。如果你看到它們針對問題實際做了什麼, 就不會用數學來捉摸它。即使你考慮 Metropolis 演算法的任何實際應用, 一個實際的東西, 不是玩具, 是實際的, 但要嘗試證明一些關於它的東西, 還是相當艱難。我不知道該怎麼做。我在研究。有希望。你對這做了一些研究, 我也是。但它仍然是在清理過的模型 (cleaned-up model) 。現在有了 Ising 模型, 很能詮釋；但它們在更複雜的情況下使用它, 數學難以捉摸。

劉: 我想到一件事。在經歷了這一切之後, 你的父母對你有什麼看法？

D: 首先, 我的父母早已辭世。我 14 歲離開家後, 一生中又見過他們兩次, 而且是在不太好的狀況。我認為他們不知道我在做什麼。他們有自己的問題。我在一個多事的家庭長大, 很多人住院, 而且精神有問題。我想我的父母從來沒有真正理解過我 $\cdots$ 首先, 他們在我成為教授之前就去世了, 所以 $\cdots$ 但他們確實知道我上了研究所而且拿到博士學位, 但我沒有和他們交談。我們沒有對話。這是一個非常不幸福的家庭。我不想與它有任何關係, 我也沒有。

劉: 從東方人的心態來看, 我會說, 他們的確沒有看到你的成功, 但你上研究所是 $\cdots$.

D: 是件真實的事。

劉: 是的, 這必定讓他們覺得很好。

D: 我希望如此。我的意思是, 我不知道。但我真的是一個非常不守紀律的孩子, 也許直到上大學, 也許快上研究所。有一次, 我在加州大學聖地牙哥分校做演講, 教務長是一位女士, 是我六年級的同學, 她必須介紹演講者和這個「某某」講座。她說：「不可能是 Persi Diaconis。他不可能完成學業, 不會是成功人士」。她介紹我時, 做了一個標準規格的演講, 而我講了那個故事。我說：「現在, 瑪莎, 妳知道, 我記得 $\cdots$」”

劉: 她說不出話。

D: 嗯, 我很爛, 嗯, 我不是一個爛孩子, 我只是 $\cdots$ 我變魔術, 在學校不專心, 不做作業。他們一直推著我往前走, 說：「你是個聰明的孩子。你在這裡很無聊。好吧, 我們跳級」。所以 $\cdots$ 無論如何, 它有成果。

劉: 是的, 這是一個美好的故事。對許多人來說, 也是非常令人鼓舞的故事。

D: 應該是。但是, 如果你有個孩子 14 歲時離家出走, 你恐怕不會開心。

劉: 是的。

D: 但未曾有壞事發生在我身上。你認為我是逃家的魔術師, 但是 $\cdots$.

劉: 是的, 我擔心你將如何吃飯和過活。

D: 我沒辦法, 但我有我的導師, 而且魔術師社群真的很會照顧人。但我沒有任何辦法賺錢。

劉: 是的。之後你來到這個數學社群, 也不錯。

D: 不錯, 不錯。它比許多其他社群溫和許多。我的意思是, 看看他們如何照顧 John Nash ⁴² ⁴² John Nash (1928$\sim$2015), 美國數學家, 因在賽局論方面的工作而於 1994 年獲頒諾貝爾經濟學獎。 2015 年, 因他對偏微分方程的貢獻而獲頒 Abel 獎。。你知道嗎？我們甚至容忍了 Finn ⁴³ ⁴³ Robert Finn (1923$\sim$ ), 專訪 2003 年刊載於數學傳播 27 卷第 2 期。他在 Navier-Stokes 方程式、最小曲面方程式及毛細面研究上貢獻卓著。 , 對吧？

劉: 大家很高興我願意和他共用辦公室。 Bob Finn 很有趣, 不是在通常的意義下, 但是很有趣。鍾開萊又是如何？

D: 他曾經告訴我：「需要被人喜歡的美國病, 我沒有染上」。

劉: 我明白。

黃: 他得罪了很多人, 即使在機率界。

D: 是的。他不遺餘力地冒犯人。他喜歡 $\cdots$ 他是, 他 $\cdots$ 太糟糕了, 因為他是一個認真的好人, 我的意思是, 我本來可以從他身上學到很多東西, 但他就是 $\cdots$.
我走在路上一眼看出他是誰, 然後就躲開了。如你所知, 他幾乎全盲。所以, 當我看到他走過來的時候, 我會走另一條路。但他並不是真的全盲, 所以他會說, 「Persi, 是你嗎？你在躲著我嗎？」我繼續往前走。
你認識他嗎？你見過鍾開萊嗎？

黃: 兩次, 他以前是我師祖 Cramér ⁴⁴ ⁴⁴ Harald Cramér (1893$\sim$1985), 瑞典數學家、精算師和統計學家, 專精數理統計及機率數論。的學生。

D: 我明白了。我不知道這件事。

黃: 實際上, Cramér 沒能在瑞典拿到駕駛執照。但 1940 年代, 他訪問普林斯頓時, 鍾開萊教他如何開車。這太瘋狂了, 因為鍾開萊的視力很差。

D: 很好, 非常好, 太瘋狂了。

黃: Grenander 告訴我那個故事。

D: 這是一個很好的故事。這是一個很好的故事。這太瘋狂了。鍾開萊這樣的人教他如何開車, 真是太瘋狂了, 因為開萊實質上是盲人。

黃: Cramér 用美國的駕照換到了瑞典的駕照。

D: 啊, 那很好。那很好。我有一個關於 Cramér 的精彩故事。當他大約 $\cdots$ 你見過 Cramér 嗎？

黃: 沒有。

D: 好。要知道, 瑞典人有兩種, 有些是很高的戰士。他身高 6 英尺 7 英尺。非常非常高大, 非常善良、聰明。和他共處時, 他會聽你說話, 會和你對談。他 80 歲左右時, 柏克萊有個研討室要命名, Neyman ⁴⁵ ⁴⁵ Jerzy Spława-Neyman (1894$\sim$1981), 俄羅斯出生的美國數學家, 對機率和統計有重要貢獻, 包括在氣象學和醫學中的應用。請 Cramér 飛來為研討室揭幕。
Cramér 曾擔任瑞典大學的校長。他是一位偉大的科學家。每個人都敬重他。他是個嚴肅的瑞典人, 但他是個好人。我被指派招待他, 陪他一小時。我是一名助理教授, 但他們說, 「你能和 Cramér 教授談談, 帶他去喝咖啡或做些什麼嗎？」於是我和 Cramér 共處一個小時。
他說：「你好」。我說：「我有一個真正的問題要問你」。他說：「是嗎？」我說：「你曾經做過數論, 你做出很好的數論結果, 然後你不做了。你為什麼不再做數論？」他說, 「這是一個有趣的問題, 我要告訴你」。他說：「我喜歡數論。別無其它我要研究的；我早上、中午和晚上都研究它, 那是我畢生的工作」。
Cramér 在瑞典時, 是 Mittag-Leffler ⁴⁶ ⁴⁶ Gösta Mittag-Leffler (1846$\sim$1927), 瑞典數學家, 研究函數的一般理論。他最著名的工作是單值函數的解析表示。的助理。有一天, Mittag-Leffler 把他叫進來, 說：「你把這個寫在我的論文上嗎？」他曾給 Cramér 他的論文草稿, 要 Cramér 閱讀和修正, 「你把這些評論寫在我的論文上嗎？」 Cramér 說：「是的, 先生」。他說：「你不會再在瑞典做數學了」。他再也不能做數學； Mittag-Leffler 權勢很大, 以至於他不得不停止做數學。他轉而學習精算科學。這是一個讓人驚嘆的故事。首先, 有人有這種權勢, 讓我很訝異。我說：「這是一個不比尋常的故事。你有寫下來？記錄下來？他說：「是的, 在我的自傳裡」。我說：「什麼自傳？」他說, 「我為我的孩子寫了一本自傳」。他說：「有4份。其中一份副本在瑞典圖書館, 你可以找到它, 故事就在那裡」。他寫下它和其他有趣的事情。 Mittag-Leffler 如此有權勢, 真是太離奇了。詭異。

黃: 是的。我從 Grenander 那裡聽聞此事。

D: 那個故事？所以我們兩個人都知道它。抱歉, 我的敘述正確嗎？大半是對的。因為他告訴了我。這很感人, 因為他是一個很好的數論學家, 提出質數的 Cramér 模型, 底數是 $x /\log x$ 的 Poisson 過程, 還有很多很多很好的定理。

黃: 我問我的老師：為什麼他們能夠做很多不同的事情。他告訴我, 因為瑞典是個小國, 所以他們的知識份子必須有能力去做不同的事情。我記得他曾告訴我, 他證明統計學的一些理論時, 因為 Cramér 很忙, 要求他接管保險的工作, 所以他不得不做 $\cdots$.

D: 生命科學, 是的。

黃: 像是生命表 (life table) 和汽車保險。

D: 我明白。

黃: 所以他證明出汽車保險的某些定理, 因為汽車保險和人壽保險非常不同。

D: 真有意思。他寫下來了嗎？我不知道那個故事。

黃: 他沒有寫下這樣的事情, 但他告訴過我們。

D: 太精彩了, 因為他喜歡抽象數學。我的意思是, 他是很精彩的人。 Granander 總是深富人性, 非常願意和人說話, 我去過布朗大學很多次, 因為它離哈佛很近；我在哈佛教書的時候去的。他建立了一個很好的系所。

黃: 他還告訴我們, 關於他設計的東西。他不知道他們真的用了那個東西。
海軍上將要求他設計大砲, 因為在瑞典, 他們做了很多砲彈。

D: 砲彈？他們想測試他們是否有戰力？

黃: 他們請他設計有適當大小的砲彈, 用在軍艦上。砲彈的尺寸, 要怎麼講呢？

D: 對, 對。砲彈的內部, 對吧？是的, 對。

黃: 對, 砲彈。我應該用「通用」這個字；一個尺寸適當的砲彈, 在軍事上很有用。 Grenander 實際計算了一下。他們真的採用了。

D: 很好。

黃: 另一件事是後勤動員。在戰爭期間, 你必須動員物資, 你必須把東西存放在不同的地方。實際上, 他為國防部寫了一篇關於這個問題的文章。

D: 如何以最佳方式儲存東西 $\cdots$.

黃: 是的, 他嘗試做這樣的事情。

D: 但是可以像 Monge–Ampère 一樣, 也就是說, 你想儲存東西, 以便它們可以 $\cdots$.

黃: 戰爭中, 從不同的地方, 他們可以 $\cdots$.

D: 是的, 他們必須最小化運送物資的時間, 對, 是的, 像 Monge–Ampère 一樣, 就像在給定的邊際條件下做度量。

黃: 運輸問題。

D: 就是這樣！你已經證明了你是這裡最年輕的。

黃: 運輸問題。

D: 對。

黃: 有些來自實際應用的數學問題。他們必須解決那些問題。

劉: 和你談話真是暢快。真好。我們可以繼續談到深夜, 但我認為我們應該去吃晚飯。但談到台灣人, 相對於你不可思議的人生經驗, 我擔心台灣學生；他們太專注於書籍和考試。

D: 考試之類的事情。是的。

劉: 而且, 你知道, 啟瑞這一代；啟瑞比我年輕一點, 但不是那麼多。

黃: 3 歲或 4 歲。

劉: 4 歲。對。但年歲的比例正在變成 1。我知道現在這是一個敏感問題。

D: 不, 在這個房間裡不敏感。

劉: 不在這個房間裡。但我們這一代, 對書本和考試, 並不那麼專心一意。但現在的年輕人, 有點過於關注單一焦點。 Persi 是不同的, 真好。

D: 真是太愉快了。我會在這裡是你的錯；沒有你, 我不會來的。

劉: 我們去吃晚飯吧。

D: 好, 因為和你一樣, 我現在還有時差。

---本文訪問者劉太平、黃啟瑞任職中央研究院數學研究所---