專訪 有朋自遠方來─專訪Leon Simon 教授

策劃: 劉太平
訪問: 劉太平
時間: 民國 107 年 5 月 4 日
地點: 中央研究院數學研究所
整理: 編輯室

Leon Simon 教授 1945 年 7 月 6 日出生於澳洲阿德雷得(Adelaide)。 他在阿德雷得大學獲學士學位 (1967)及博士學位 (1971), 1968 至 1971 年任職該校, 其後曾授聘於 Flinders 大學、 澳洲國立大學、 墨爾本大學、 密里蘇達大學及 ETH, 自 1973 年起任教史丹佛大學。 Simon 教授榮膺多項殊榮, 為澳洲科學院院士, 並獲頒美國數學會 Bôcher Prize 和 Leroy P. Steele Prize, 表彰其在數學分析的貢獻。 Leon Simon 教授用志不分, 在幾何測度論最小曲面等領域, 深入探討。 在此篇中, 他分享多年數學生活、研究和教學的樂趣。

劉太平 (以下簡稱「劉」): 你十幾歲時何以對數學產生興趣?

Leon Simon (以下簡稱「S」): 其實年紀稍長後, 我才真的進入狀況。 高中時, 我忙著運動和社交活動, 對數學並沒有太大興趣, 所以課業表現乏善可陳, 高中成績剛好過阿德雷得大學 1 1 位於南澳大利亞州首府阿德雷得的著名高等學府, 為澳洲八大名校之一。 (University of Adelaide) 錄取門檻。 大一時我才開始對數學產生興趣。 甚至在這第一年, 我想我的成績在約一百人的班上大概只算中等。

劉: 但當時你主修的是數學?

S: 不是。 大一時期, 修一整年的數學和其他三門科學課程, 依慣例是物理、 化學和生物。

劉: 喔, 是一般的科學課程。

S: 沒錯, 是一般的科學課程。 一開始沒有特定的專門課程。 我想我的數學成績約為中等。 當時沒想過要專攻數學, 對我來說完全無此可能。 但在修課期間, 我意識到, 儘管高中時數學讀來吃力, 表現也差強人意, 但大一的課老師教得好, 我似乎突然能夠輕易理解。 在高中升大學之際, 我的腦子似乎起了某些變化; 至少我是這樣覺得。

劉: 這是種新的體驗嗎?

S: 是新的體驗。 突然間, 我可以理解大半的授課內容。 雖然不能說毫不費力, 但基本上不很吃力。 我能解決那些被留做作業的問題。 我想, 這樣很好, 我在班上應該是中等。 但讓我驚喜的是, 學年結束時, 我的成績排在前百分之五或十。 我們那時只在年底舉辦一次考試, 並沒有經常性的評估。

劉: 喔! 是英式 $\ldots$。

S: 是的, 英式系統。 阿德雷得大學位於南澳大利亞洲首都阿德雷得, 自十九世紀殖民時期, 承襲英國的影響。 總而言之, 只有年底的一次性考試。 可想而知, 這成績有多令我高興。 這也讓我自忖 : 也許之前我低估了自己的數學能力。 於是, 大二時我持不同的態度, 決定不只是把它做得夠好, 而是要試著做到很好。 這想法似乎見效, 不知怎地, 我對這學科, 越來越感興趣, 也越來越有熱情, 不斷進步。 到了第三年, 遇到日後的博士論文指導教授 Jim Michael2 2 James Henry Michael (1920$\sim$2001), 澳洲數學家, 早期工作多探討如何以平滑物逼近不平滑物, 1970 年代之後, 轉而研究橢圓偏微分方程及有障礙(obstacle)的變分問題。; 他當時是一位講師, 講授大三的兩門課 --- 實分析與複分析; 那是我的好機緣, 也是我決定從事數學的轉捩點。

劉: Jim Michael當時為什麼選擇待在那裡?

S: 我想是個人家庭的緣故。 畢竟他來自阿德雷得附近的鄉村農場。 當然, 他留在阿德雷得是我的天大幸運。 他是位十分謙虛的人, 毫不浮誇, 相反地, 嗯 $\ldots$。 我可以說他是 $\ldots$。 那種很慢熟悉新想法的人。 有時, 你會覺得必須很費勁才能傳達想法給他。 不過, 一旦某個想法進入他的腦子, 他就會用到得心應手, 勝過其他人。 這有點像 Constance Reid3 3 Constance Bowman Reid (1918$\sim$2010), 美國作家, 1970 年出版名著《Hilbert》, 撰述數學家 Hilbert 生平。對 Hilbert4 4 David Hilbert (1862$\sim$1943), 德國數學家, 大量理論的奠基者, 如 : 不變量理論、 公理化幾何、 Hilbert空間。的描述, 她聲稱 Hilbert 也是這樣的人。 這個案例可能有些誇大; 據她說 , 好幾次 Hilbert 在哥廷根 (Göttingen) 聽演講時, 在座的其他人都比他先了解內容, 還試著向他解釋。 舉 Hilbert 的例子或許有些誇張, 但 Jim Michael 就有點像這樣。

劉: 了解。這所大學的環境清幽, 很適合他。

S: 真的很適合他。 他深受學生和同事們敬重。 我們都知道他有多傑出; 雖然數學界外的人可能不很明白。 在澳洲數學界, 即使在家鄉之外, 他也因身為傑出分析學者而享有盛名。

劉: 談到澳洲的數學, 一般的印象是它源自英國, 對吧?

S: 沒錯。 1960 年代, 大學快速拓展。 當時政府制訂政策, 增加學位課程的就學名額, 因此向各地招募人才, 特別是有英國研究所學位的英國人和澳洲人。 這期間受聘的人, 有些只做出一般水準的研究成績。 直到 1970 年代後, 終身職的學術工作才變得更加難找。

劉: 那 19 世紀呢?

S: 19 世紀沒有學術。 就南澳而言, 殖民時期始於 19 世紀中葉, 20 世紀初才有大學創建, 亦即阿德雷得大學, 因此它是相對較新的大學, 而墨爾本和雪梨的大學較為古老。

劉: 但這些較為古老的大學, 仍不早於 19 世紀末。

S: 沒錯。 1770 年, 庫克船長5 5 Captain James Cook (1728$\sim$1779), 庫克船長, 為英國皇家海軍軍官暨航海探險家, 帶領船員成為首批登陸澳洲東岸和夏威夷群島的歐洲人。 (Captain Cook) 抵達澳洲並插上英國國旗, 但相當久之後才開始殖民行動。 順帶一提, 當時澳洲被當作罪犯的流放地, 所以我們都是罪犯的後裔, 但我不是, 因為我生於南澳, 而南澳不是流放地。

劉: 這樣說來, 到了 20 世紀下半葉, 學者才真正在澳洲受到注目。

S: 我想是這樣的。 當時有些很好的研究成果。 澳洲總是如此。 傑出成果及優秀學者如鳳毛麟角; 他們出類拔萃, 樹立卓越的標竿。 儘管平均研究水平相較之下低了許多, 但因為傑出的學者夠優秀, 眾人得以知道好的工作該是如何。

劉: 何已致此? 是因為環境夠舒適, 讓人過於鬆散?

S: 原因很多。 你或許在想 : 人夠鬆散, 就會自滿, 於是平庸之作都被視為好東西, 是吧? 但這些出類拔萃之士並非如此。 公眾賞識他們, 對他們毫無敵意。 既然他們確實傑出, 大家就任由他們鶴立雞群, 不加打壓, 至少一般情況下是如此。 有人說澳洲有高大罌粟花綜合症 6 6 澳洲和紐西蘭的流行用語, 出自古希臘哲學家亞里斯多德的著作《政治學》, 意指將優秀或最具勢力的人剷除。 澳洲和紐西蘭的移民, 普遍持「平等主義」, 任何成功的人都易引來社群的集體批評。 (Tall Poppy Syndrome), 任何出眾的人都會被砍頭(比喻)。 但我認為有時全然不是如此。 始終有些卓越之士確實受到眾人敬重。 我想 Jim Michael 就是個例子。

劉: 在理想的世界, 人們做自己能力或直覺允許的事。 像 Jim Michael 這樣的人, 回到家中思考問題, 而後再回辦公室時, 至少有一些如你一般的人認可他, 他就心滿意足了。

S: 我也這麼認為。 但他也喜愛教學, 喜歡傳授數學上的見解, 即使他 $\ldots$。 怎麼說呢 $\ldots$。 個性有點畏縮且害羞, 除非上台講課。 猶記他曾邀請一群人到家中, 那是你能想像到的最尷尬緊繃時刻。 他安置眾人在房間入座後, 嘗試開啓各種話題, 接著談話無以為繼, 很不自在。 他有點拙於社交。 就個人層面而言, 他令人讚嘆, 只是有點不善社交。 但他在課堂講課時, 就全然不同了。 他授課時凜然有威, 讓你當下確定這個人很具深度, 會傳授別處無法獲得的洞見。 我想他並未刻意要給人留下印象, 只是以自認為有效的方式傳授教材內容。

劉: 或許澳洲是個新社會, 所以在社交禮儀上, 可以接受這類的人?

S: 或許吧。 不過他的確是個有趣的案例, 我想我沒見過可相比擬的人。

劉: 了解, 所以他是個獨特的人。

S: 我想, 在那方面他堪稱獨特, 但每個人都知道這一點。 他過世後, 我們幾個人聚首, 為澳洲科學院7 7 1954年由一群澳洲學者創立, 效仿皇家學會依據皇家章程運作。 (Australian Academy of Science)撰寫有關他的生平及研究的訃聞。 我注意到有好幾位提到 Jim Michael 個性有點羞怯(diffident), 用的詞就是「羞怯」。 他與人互動時很羞怯, 但一旦站上講台, 言語具足威信。 很榮幸目睹這些。 我不是這樣的人, 但我認為他令人欽佩, 因為他能做到這一點。 他讓人耳目一新, 因為你可以看出 : 他未曾真的去嘗試給人留下好印象。 不知怎地, 他不耍這類手腕。 如果你懂我的意思;我們大都不想承認自己是愚蠢的白痴, 有時會隱藏自己的無知, 是吧? 但他不這麼做, 他直言不諱, 不只在這方面, 其他方面亦然。 幸運的是, 大家都知道他聰明機智, 所以我不認為他因此而有太大的損失。 但有次我和 Peter Lax 8 8 Peter David Lax (1926$\sim$), 匈牙利裔美籍數學家, 任教於紐約大學 Courant 學院, 1987 年及 2015 年獲頒 Wolf 獎及 Abel 獎。 他對可積系統、 雙曲守恆律、 流體動力學、 震波及孤立子等領域有重大貢獻。 參見本刊 2002 年第 26 卷第 4 期「有朋自遠方來」專訪。 聊到 Jim Michael, 他對我說 : 「沒錯, Jim 是個很精彩的人, 但他應該多耍些手腕。」 我希望自己正確引用了 Peter 的話, 我想我是的。

劉: 這些描述聽來毫不違和。既然我們在談 Jim Michael, 能講一下他確切的成就? .

S: 好的。 我或許沒做好萬全準備來講解, 但 $\ldots$。

劉: 沒關係, 只要講個大概。

S: 好的, 我概略講。 我頭一篇細讀的論文就是他寫的。 他沒有要我念, 是我自己決定要念它的。 那篇簡短的論文提出複分析裡柯西積分定理的證明。 他得到首個全然一般性的證明, 對曲線的平滑度不做任何假設, 也不限定曲線的度數(degree)是否無界 (曲線的度數是其環繞某點的次數, 在某些地方可能為無界)。 我記得文章某處有個極其巧妙的論證, 利用拓樸度數 (topological degree)得到一些估計; 整篇論文植基於此。猶記得, 這個想法如此巧妙, 讓我深受感動。 這是課堂上學到的古典數學想法之外, 我頭一遭見到的實質的數學見解。 它是我在研究論文裡讀到的頭一個實質的想法, 對我而言至關緊要。 它讓我體會到, 要寫一篇好論文, 不能只因為你知道如何著手, 就寫下一些廢話。 你著手的工作需要有你實質的想法, 你要以真知灼見來解題。 對我而言, 這是個絕妙的經驗。 第一篇論文, 很幸運地我選了它。 順帶提一下, 我細讀的第二篇論文是 Bob Finn 9 9 Robert Finn (1922$\sim$), 出生於美國, 任教於史丹佛大學, 對極小曲面方程、 毛細曲面及 Navier-Stokes 方程貢獻卓著。 參見本刊 2003 年第 27 卷第 2 期「有朋自遠方來」專訪。 寫的。 同樣的, 裡頭也有好些高妙的想法。 那篇論文關乎二維的梯度估計, 對二維極小曲面類型的方程推導梯度估計。

劉: 你有告訴 Jim Michael 這些?

S: 我不記得曾告訴他。 不過, 如果我對他説那篇論文有多精彩, 他可能會很尷尬。 但我想他知道我的感受, 我對那篇短文至感欽佩。

劉: 你和他大致上如何互動?

S: 我是他的博士生時, 當然得和他建立自在且愉快的關係, 每天上午茶和下午茶時間我們都會聊一下。 但在早期, 我還是個大學生時, 都到他的辦公室找他, 有時很緊張。 講完要談的東西時, 往往覺得侷促不安。 是時候你該緩慢移動到門邊了, 但他不知道該如何結束, 而我那當頭也有些害羞, 對吧? 所以我有著走出房門的困難。

劉: 我記得 Courant 10 10 Richard Courant (1888$\sim$1972), 德裔美籍數學家, 對 finite element 法有基礎性的貢獻, 也在古典 Plateau 問題獲致重要結果。 他創建的紐約大學數學系, 日後更名為 Courant 學院。 的傳記中提到, Courant 擅長這種事。 一旦他想要結束談話, 就會起身說道 : 「喔! 你想待在這, 不是嗎?」隨後他自己卻逐漸走向門邊。

S: 你看, 這就和 Jim Michael 截然不同。 Jim Michael 認為這樣做是不誠懇的, 所以從來不會這麼說。

劉: 但 Courant 擔綱的角色不同。

S: 是的, 當然, 但他們個性絕對大相徑庭, Jim Michael 不會考慮以這種方式處理那種情況。 不過我想他也覺得不對勁, 知道談話需要結束, 只是不知如何是好。 當時我還在大學階段, 處境尷尬; 我的意思是, 在那階段, 他高高在上, 而我地位低下。 還記得在那段時期, 有次我們討論一些事情, 他說 : 「嗯, 我想你現在比我更了解它。」 這讓我震驚, 我竟然可能知道的比他多。 我忘了論題是什麼, 可能是關於拓樸學或拓樸度數之類的應用, 但他是這方面公認的專家, 所以當他這麼說, 我深感訝異。 不經意地, 這也幫助我領會到自己可能企及的境地。

劉: 所以誠懇或可 $\ldots$。

S: 或可大有助益。 此後, 我也效法他, 設法如此與學生互動; 即使在我的主要研究領域, 也不讓他們感覺到我自認凡事精通、 勝過他們。

劉: 正因Jim Michael非常誠懇, 他的話可信且有效。

S: 沒錯, 正是如此。 你總相信他是直言不諱, 不會扭曲事實。 我也無法想像他發表的論文到頭來出錯; 我的意思是, 我之所以無法想像, 是因他是那般仔細謹慎地檢查。 他的產量不多, 可能每一兩年才一篇, 我想我們可以去 Mathematical Reviews 查。 雖然我不確定他發表過多少文章, 但我可以想像產量可能不會太多。

劉: 回頭聊聊你的高中歲月。從你先前所言, 可否推斷高中教育其實並不怎麼適合你?

S: 不, 適合的。 我想我正好無法套用那個教育體系的方程式。 我對學科不是真的感興趣。 在高中最後一年, 我有位隸屬某個宗教組織的老師, 是位修道士, 為人正派。 那個宗教組織出了些問題 --- 澳洲皇家委員會11 11 君主立憲國家中, 為調查某件案件而成立的臨時公共問訊機構, 權力甚至能高於法官。 (Royal Commission) 最近證實, 該組織中, 有相當比例的人合搞出駭人聽聞的虐待學生模式。 但我提及的這位老師, 確實是個好人。 他以獨特的方式看待數學並從事教學。 典型的一堂課大約一小時, 通常他不講課, 而是請某位學生將講義寫在黑板; 他有課程主要內容的標準講義。 我們抄下講義後, 當晚就得解決指定的問題。 上半年這麼過去。 雖然他很少教學, 但他會確認我們有做作業, 無可豁免。

劉: 他制定了一個標準。

S: 他制定了一個標準, 並確保我們晚上埋頭苦幹。 對我來說, 這至關緊要, 因為我的腦袋當時不知何故不很靈光。 我想我需要持續的努力及更多的結構, 每天再接再厲。 當然那時我未意識到這點, 但我認為那段時日及那些持續性的努力, 攸關我日後數學能力的發展。

劉: 如我們所知, Euler 12 12 Leonhard Euler (1707$\sim$1783), 瑞士數學家, 生前平均每年發表八百頁的學術論文。 1766年之後他幾乎雙眼失明, 仍平均每周完成一篇數學論文。 會見 Johann Bernoulli13 13 Johann Bernoulli (1667$\sim$1748), 瑞士數學家, 曾說服 Euler 的父親讓 Euler 捨神學而研讀數學, 且曾提出並解答變分學的最速降線(Brachistochrone)問題。 後, 總會有家庭作業。 他做一些閱讀和作業後, 再回去找 Bernoulli 討論。 我聽起來就像這樣。 幾何學家陳省身曾告訴我 : 他當年每兩星期和Élie Cartan14 14 Élie Joseph Cartan (1869$\sim$1951), 法國數學家, 發展微分流形上的分析理論, 對李群及微分幾何有巨大深遠的影響。 會面一次, 而 Cartan 總會給他一些問題。 容我引用他的話; 他說 : 「一切簡單的問題, 我都能解決。」 接著補充一句 : 「別給學生太難的問題。」

S: 他跟 Cartan 學的, 對吧? 他從 Cartan 身上學到這一點 : 與其給難題, 不如給簡單些的。

劉: 沒錯。

S: 確實有點道理。 只給困難的題目, 我不相信會有用。 長時間枉費心力, 即使那些有突出數學潛力的人, 信心和熱情也將消磨殆盡。 我認為多數問題應該是直截了當的, 間或有些較困難的問題, 會讓他們覺得更具挑戰性, 而一旦成功解題, 也會更覺振奮。

劉: 你畢業後到過很多地方。

S: 嗯, 我先到史丹佛大學。 喔! 不對, 拿到博士後, 我先到阿德雷得州的另一所大學 --- Flinders 大學 15 15 1966 年設立於阿德雷得的中小型公立綜合大學。 以 19 世紀初航海家 Matthew Flinders之名命名。 --- 待了一年。 在那年代, 一旦拿到教職, 除非你毫無作為, 或是真的無可救藥, 可以十分確定那將會是終身職, 對吧? 所以我幾乎認定這將是終身職, 預期自己會一輩子待在那裡。 但某日我收到一封寄自史丹佛大學的信; (當然, 當時尚無電子郵件和網路, 所以那是耗時約一週才寄達的航空郵件); 發信人是史丹佛大學的 David Gilbarg 16 16 David Gilbarg (1918$\sim$2001), 出生於美國, 主要研究領域為流體力學及橢圓型偏微分方程理論。 與 Neil Trudinger 合著的《Elliptic Partial Differential Equations of Second Order》被奉為該領域之經典。 教授, 他詢問我 : 是否有意願申請史丹佛大學聘期三年的助理教授?

劉: 那真是令人欽佩!

S: 我大吃一驚。 後來才發現, 我的論文口試委員 Neil Trudinger 17 17 Neil Sidney Trudinger (1942$\sim$), 澳洲數學家, 對Orlicz空間、極小曲面方程、 Yamabe 問題、 最佳運輸問題有重大貢獻, 並與 David Gilbarg 合著《Elliptic Partial Differential Equations of Second Order》。 參見本刊 2012 年第 36 卷第 2 期「有朋自遠方來」專訪。 將我的論文副本寄給 Gilbarg; 我猜他講了 : 「這個人看來很優秀」之類的話。

劉: 其實我要說的是, Gilbarg 能夠看出你的才華, 令人欽佩。

S: 嗯, 不知道是不是他搞錯了, 但他真的寫了這封信。 一封對我而言完全出乎意料的信, 我大為震驚。

劉: 他在澳洲那個角落找到你。

S: 是的, 如果沒發生這件事, 我或許還在 Flinders 大學證明極小曲面方程的梯度估計之類的東西。 因為我不會想到要申請國外的名校, 壓根兒沒想到有此可能。

劉: 我們跳到另一個話題, 談談幾何測度論(geometric measure theory)。 它是公認的硬分析, 艱深的行道。

S: 沒錯。

劉: 它也造就了許多一流的數學家。

S: 喔! 是的, 相當多, 特別是該理論的奠基者 : Federer 18 18 Herbert Federer (1920$\sim$2010), 奧地利裔美籍數學家, 1960 年與 Wendell Fleming 發表的論文 Normal and integral currents, 堪稱幾何測度論的濫觴。 1969年出版精典著作《Geometric Measure Theory》。 、 Almgren 19 19 Frederick Justin Almgren Jr. (1933$\sim$1997), 出生於美國, 推展 varifold 的概念, 研究有向 (oriented) Plateau 問題解的正則性。 、 Fleming 20 20 Wendell Helms Fleming (1928$\sim$), 出生於美國, 任教於布朗大學應用數學系。 1960 年與 Herbert Federer 發表論文 Normal and integral currents, 其後亦研究隨機分析、 隨機微分方程, 在賽局論、 隨機控制理論、 人口基因學成就斐然。 、 Reifenberg 21 21 Ernst Robert Reifenberg (1928$\sim$1964), 出生於德國的英國籍數學家, 1960 年的論文率先以測度論觀點處理廣義的 Plateau 問題, 涵蓋了無向 (nonoriented) 狀況。 、 De Giorgi 22 22 Ennio De Giorgi (1928$\sim$1996), 義大利數學家, 1990 年獲頒 Wolf 獎。 他於 1950 年代解出 Hilbert 第 19 問題, 1960 年代建構出極小曲面正則理論, 1969 年與 Bombieri 及 Giusti 提出極小曲面 Bernstein 問題在八維空間之反例, 1970 年代後致力推展 $\Gamma$-收斂的理論。 。 他們都是我的英雄。 C.B. Morrey 23 23 Charles Bradfield Morrey Jr. (1907$\sim$1984), 出生於美國, 重大貢獻包括黎曼流形的 Plateau 問題的解決, 以及用 quasiconvexity 的概念詮釋變分問題。 經典著作《Multiple integrals in the Calculus of Variations》出版於1966年。 雖非完全在做幾何測度論, 但他確實涉入頗深。 如果你讀他的書, 不只讀到偏微分方程, 後面章節也會看到許多幾何分析。 舉例來說, 他探討了 Reifenberg 在 Plateau 問題 24 24 研究邊界固定時極小曲面的存在性。 的工作, 還提到 $\bar\partial$-Neumann 問題。 那本書內容豐富。 事實上他兼容並蓄, 儘管大多數人和他本人都說他在做偏微分方程。

劉: 你見過Morrey?

S: 是的, 我見過他那麼一次。 我到柏克萊演講時見到了他; 他和藹可親, 演講後帶我去用餐, 真的, 他真的是個很好的人, 和藹可親, 風度翩翩, 而且非常明顯地想鼓勵我。 那可不是請你去給個演講, 然後說謝謝之後再會的狀況; 不是這樣的。 他帶我出去用餐; 我記得他帶夫人來赴會, 真好。

劉: 你提到了這些人名, 或許可以談一些他們的工作。

S: 好的。 1960 年, Federer 和 Fleming 在 Annals of Mathematics 發表了一篇令人驚嘆的文章, 名為 Normal and Integral Currents 25 25 Herbert Federer and Wendell H. Fleming, Normal and integral currents, Ann. of Math. 72(2), 458-520, 1960. ; 不得不說, 這個標題索然無味, 甚或有點掃興。但他們證明的東西真是讓人驚歎, 我不曾相信那些東西可以被實際考量, 遑論相信它們是對的; 我本以為那些東西不可能是對的。 他們寫說, 如果你取 $\ldots$。 嗯, 我來改述一下, 好吧? 舉他們證得的一個特例來說; 在歐氏空間取某序列緊緻流形, 譬如某不具邊界的二維曲面序列, 若不限制其拓樸, 這些曲面可能極其繁複, 但若其面積有界, 則它們坐落於固定的緊緻集內, 不會跑到無窮遠。 因其有向(oriented), 你可以在這些曲面上對 2-forms做積分。 Federer 及 Fleming 的結果是說 : 在弱的意義下, 該曲面序列會有一個子序列收斂到某極限曲面。 這聽來無稽, 我的意思是, 你會覺得這不可能是對的; 因為你或許會想到極細的截柱體 (truncated cylinders) 序列 : 截去柱面兩端, 增加柱面數量, 縮小其横截面直徑, 使該序列在歐氏空間的單位立方體中變得稠密; 而據 Federer-Fleming 所述, 唯一要遵守的限制是其總面積有界, 對吧? 但就這個例子而言, 若在恰當的測度論意義下取極限, 你會得到某多重三維 Lebesgue 測度, 對吧? 極限集合裡不存在曲面, 它們被舒展開, 填滿整個空間, 所以你會認為 Federer-Fleming 理論不可能是對的。

箇中關鍵, 在於他們是在 currents 的意義下取收斂, 換言之, 在積分 forms 的意義下取極限。 亦即, 在子序列中的各個流形上, 積分任意 (定義於周遭空間) 的平滑 form, 他們的結果聲稱 : 存在極限曲面 (非平滑, 但在適當意義下, 至少幾乎到處都有個切空間), 使得每個固定的 form 在此子序列的積分, 都收斂到這個 form 在極限曲面的積分。 極限曲面通常不平滑, 否則就好到不可置信。 但它是所謂的可求長集(rectifiable set), 是測度論版本的流形, 其上幾乎到處都有近似的(approximate)切空間。 它大致上像個曲面, 如果你稍微偏斜著看, 它會像是個曲面。 與你直覺相悖的原因是, 在我先前提到的細瘦的圓柱體, 有些部分的積分會相抵銷; 因為你是在一個定向曲面上積分 forms, 細瘦圓柱每一側面上的積分值, 漸近地都會與徑向對面上的積分值相抵銷。 因此, 在這情況, 我們得到的極限為零。 所以, 在上述細瘦圓柱的例子中, 你得到的極限是零。 但在一般情況下, 你會得到一些不尋常的極限曲面, 它們是可求長曲面(rectifiable surface); 可想而知, 在一般狀況下能夠這麼做, 是極端重要的。 據我所知, 他們發表那篇論文前, 沒有人意識到那可能會是對的。

劉: 了不起。

S: 妙透的結果!

劉: 接下來 $\ldots$。

S: Reifenberg 在模 2(mod 2)的情況證明了類似的結果, 涵蓋無向(nonoriented)的狀況。

劉: 這是很大的領域。 你提到 De Giorgi、 Morrery、 Almgren, 他們都致力研究。

S: 是的, 沒錯。 他們都做出基礎性的重要貢獻, 對這片大領域的各個次領域影響深遠。

劉: 幾何測度論涵蓋幾何學、測度論、偏微分方程, 所以算是幾何分析。

S: 是的, 對不同的人, 它有不同的含意。幾何測度論有個次領域, 偏重測度論的面向, 研究碎形的維度及這類東西的結構。 另一個方向是我喜歡的, 真的在做幾何分析, 用幾何測度論的技巧解決幾何問題。 它涵蓋寬廣的議題, 對不同的人意味著不同的東西。

劉: De Giorgi 也投身這領域 $\ldots$。

S: De Giorgi 的工作無疑歸屬於幾何分析。 他對高維的極小曲面很感興趣, 那是他的主要研究興趣, 至少在 1950 到 60 年代是如此。 他之後從事了 G-收斂和 $\Gamma$-收斂等諸多研究, 但當時主要的興趣是在極小曲面。 基本上他解決了餘維為一(co-dimensional one) 時的 Plateau 問題, 引領眾人獲致需求的正則性理論。 隨後他與 Bombieri 26 26 Enrico Bombieri (1940$\sim$), 義大利數學家, 任職於普林斯頓高等研究院, 1974 年獲頒菲爾茲獎, 研究解析數論及代數幾何。 1969 年與 De Giorgi 及 Giusti 提出極小曲面 Bernstein 問題在八維空間之反例。 和 Miranda 27 27 Mario Miranda (1937$\sim$), 義大利數學家, 研究變分問題解的正則性。 證明了極小曲面方程的梯度估計 28 28 Enrico Bombieri, Ennio di Giorgi, Mario Miranda, Una maggiorazione a priori relativa alle ipersuperfici minimali non parametriche, {Archive for Rational Mechanics and Analysis}, Band 32, 1969, S. 255-267. ; 這就是我的論文題目 --- 梯度估計, 是在準線性 (quasilinear) 和準橢圓 (quasi-elliptic) 的情況做估計。 我寫論文的時候, 他們正好發表那篇文章, 大概只早個一年左右。 所以我很幸運, 當這些人在進行他們的重要研究時, 我恰好在那當頭對這問題有興趣。 Federer 的書也差不多在同一年問世。 我記得我去逛圖書館時, 看到那本厚厚的書, 名為《Geometric Measure Theory29 29 Federer, H., Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 153, Spring-Verlag, 1969. 。 當時, 我還不清楚其意涵, 只覺得這本書看起來很有趣。

劉: 你有讀過嗎?

S: 對當時的我而言, 那本書太難了, 所以我並沒有整本讀完。但我確實借了書。 開始細讀後, 意識到它超乎想像, 是本令人難以置信的書。

劉: 很多我認識的人, 書架上都有這本書。

S: 都擺在書架上, 但沒勇氣翻開讀, 因為著實太困難。 我好像窺見你書架上也有一本嗎? 或許沒有 $\ldots$。

劉: 在史丹佛, 不在這裡。

S: 無論如何, 這很常見, 因為對大多數人來說, Federer 的寫作風格讓內文難以理解。 但如果你真的有耐心和毅力去讀它, 所有細節都在裡頭, 只不過呈現的方式很怪異。 讀那本書像在學另一種語言。 Bob Hardt 30 30 Robert Miller Hardt (1945$\sim$), 出生於美國, 任教於 Rice 大學, 研究幾何測度論和偏微分方程。 稱這種語言為「Federese」。

劉: 他有自己獨特的寫作方式。

S: 沒錯, 他對自己試圖達成的目標, 極少指出關鍵結果, 也不說明下一個引理的目的, 反而寫了一系列引理, 為數可能十或十五。 當你終於弄清楚它們在表達什麼時, 發現有些其實是淺顯的一般常識, 似乎不需要另外寫成引理, 但其他的東西就至關緊要了, 是真材實料, 可是他沒能寫清楚, 區分淺顯和艱深的素材, 因此沒能幫你太多。 如果有某位執行編輯仔細審查一下(他可能始終不同意這麼做), 就會有很大的不同; 而如果這個人有權細讀, 而且可在各個階段添加評論和解釋, 那麼讀起來會容易許多, 不可以道里計。 我可以這麼說 : 他惜墨如金, 精簡過了頭。

劉: 容我問一個問題 : 讓你真正感到快樂是什麼?哪項研究成果讓你真正欣喜?

S: 不知道。 最艱辛的搏鬥當屬切錐面 (tangent cone) 唯一性的論文 31 31 Simon, L., Asymptotics for a class of non-linear evolution equations, with applications to geometric problems, Ann. of Math., 118(1983), 525-571. , 起初看似無從入手。我辛苦了數月, 可能實際上將近一年。 日復一日, 夜復一夜。 那些日子, 我大部分都在晚上工作, 早上九點起床, 十點左右到系上, 每晚又再次著手探究。 不知怎地, 我有一種感覺, 覺得自己或許可以做些什麼, 但卻無法完全著力。 我記得一個特別的夜晚, 我了解到 : 基本上, 當你剝離開幾個簡易的情況後, 會真正觸及核心情況, 而在核心情況, 東西變動得十分緩慢。 在簡單的情況, 東西快速變動, 那是你可以處理的情況。 而若東西變動得實在很慢, 則是困難的情況。 令我感到沮喪的是, 我隨即了解到 : 在小的誤差項範圍內, 這問題總遵循一個拋物線方程, 而這似乎就提示了 : 我正在找的漸近極限可能是錯的。 就好比「山羊從山腰下山」, 沿著無限螺旋盤旋向外, 足跡往一個圓漸進, 沒有唯一的極限, 就那麼一直打轉。 夜深了, 我太太問 : 「怎麼樣了?」, 我回應 : 「我想, 它可能錯了!」。

劉: 經過好幾個月 $\ldots$。

S: 經過這些努力。 數學就是這樣。 當我精神墜入最低潮, 隔天或數天後, 我發現, 啊哈! 稍等! 這裡還另有其他因素。 所有反例都牽涉到物件的梯度流(gradient flow), 但僅知它為平滑而已。 而這問題涉及實解析函數, 或許有一些 $\ldots$, 於是我又努力了幾個月或幾個星期 (我不確定多久)。 我知道它所需要的不等式, 涉及那些在原點取值為零且梯度也為零的實解析函數。 我需要的就是這種不等式。 對於那些函數, 你需要審視函數絕對值的微小次方的梯度長度, 並檢查該長度在原點附近是否為有下界。 我當時能做的只是猜想這或許屬實。 我問了周遭許多人, 雖然沒人能斷定這是否正確, 倒也沒人提出反例。 因此我讓幾位學生思考這個問題, 終於在幾個星期後的某一天, 某位學生帶著一篇論文來找我, 裡面寫著我需要的不等式, 分毫不差。 那是 Łojasiewicz 32 32 Stanisław Łojasiewicz (1926$\sim$2002), 波蘭數學家, 研究實解析函數的零點集合分佈, 成果被應用於偏微分方程及實代數幾何。 的文章, 證明 : 對那些在原點取值及梯度都為零的實解析函數, 存在某個介於 0 和 1 之間的常數 $\theta$;若取這些函數的絕對值的 $\theta$ 次方, 其梯度長度在原點附近會有下界。 固然我需要的是無限維度的版本, 但我非常有自信下一步是例行公事。 的確, 它確實可行, 這讓我非常開心!

劉: 這是什麼時候的事?

S: 我想是在 1982 年左右。 那是付出努力後獲致的極度狂喜感, 持續了一兩週。

劉: 只有一兩週?

S: 只有一兩週。 月復一月徒勞無功之後, 獲致一兩個星期的狂喜。 我記得那個結果讓我欣喜若狂, 整個人意氣風發。 奮力拚搏之後, 自知箇中妙處, 真的很喜歡那個結果。 真的!

劉: 感覺上它很艱深。因為眾人總認這個領域越來越難。 我想在你對它感興趣前, 它就已是如此, 是吧? 或許 Jim Michael 曾說 : 這領域變得太難了。

S: 對, 至少我的情況是如此。 剛起步時, 我有這種感覺, 因為我自認不懂幾何測度論, 而 Federer 的書太艱難, 讀不下去。 我自忖 : 好吧, 至少我可以做偏微分方程, 我知道那些東西。 這想法讓我繼續前進。 我先著手一些問題, 它們比之後要做的東西容易。 重要的是, 你發現自己熱衷的東西, 覺得自己可以對它做些什麼, 不會覺得 : 喔! 這太難了, 我無從下手。一般來說, 我認為這是成功數學家的特質。 大半時間, 他們都處於一種模式, 在處理一些自己心裡感覺舒服、 合理的事, 好像他們可以對問題做些什麼。 而當無法推進時, 你必須承認 : 不! 這不管用了, 我必須做些別的。 但總而言之, 我認為重要的是, 你要了解自己能做什麼、 不能做什麼, 熱情才能維持下去。

劉: 我來說個瑞典傑出調和分析學家 Lennart Carleson 33 33 Lennart Carleson (1928$\sim$), 瑞典數學家, 在調和分析和動力系統領域, 解決諸多懸宕多年的難題, 做出開創性的深刻貢獻, 1992 年獲 Wolf 獎, 2006 年獲 Abel 獎。 訪談中提及的工作, 是他在 1950 及 60 年代證明 $L^2$ 函數的傅氏級數幾乎到處逐點收歛 (Lusin's conjecture)。 的故事 $\ldots$。

S: Carleson! 喔, 他是位神奇的數學家。 我的意思是, 他可以經年研究棘手的問題, 不只是幾個月如此。

劉: 他講過與你方才所言類似的話; 他說 : 一個真正優秀的數學家, 對猜想是否屬實, 必然有某種預感。 還有個故事, 是 80 年代他來台灣時對我說的; 他說他曾在九年之間持續嘗試找到某個反例。

S: 沒錯, 大家都認為那是錯的, 頂尖人物各個如是想, Kolomogrov 34 34 Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903$\sim$1987), 俄國數學家, 研究領域涵蓋機率論、 算法信息論、 拓樸學、 直覺主義邏輯、 紊流、 古典力學和計算複雜性理論。 也是如此。 他們都認為那是錯的, Carleson 自己也這麼想。 我聽到的故事可能和你聽到的一樣; 確實如此, 他覺得那是錯的, 努力了好長一段時間, 試圖去建構反例, 因而功力達到某個境界。

劉: 九年 $\ldots$。

S: 沒錯。 好在那九年他不只做這件事, 但那是他主要想要做的。 很幸運地, 他功力提升到某個境界後, 有了驚人的洞察力, 讓他能證明基本上反例並無存在的可能。 對他而言, 那是個大轉捩點, 讓他之後了解到 : 天啊 ! 我應該要試著證明它, 而非反證它。

劉: 據他說, 這花了一年的時間。

S: 是的, 相對較短的時間, 但仍花上一年。

劉: 仍花了一年。

S: 是的, 這故事讓人驚嘆。 他非常有深度。 你是否有注意到, 他十分謙虛。 他真是獨一無二。

劉: 我覺得很有意思的是, 我帶他到故宮博物院時, 想到他工作的深刻艱難。 但當他去故宮時, 喜歡的竟是一幅畫著簡單竹枝的畫。

S: 這其實符合我對 Lennart Carleson 的印象。 沒錯, 他會從中看到一些東西, 它們讓他全然著迷或感受深刻。 這件事不讓我訝異。 .

劉: 我懂, 那竹子 $\ldots$。

S: 我看著它, 看到一根竹子, 是吧, 沒什麼大不了! 但他看到更多東西。

劉: 是的, 是的。

S: 我想他的數學也是如此, 他看到更多東西。

劉: 是的。當時還有中國山水畫, 但他偏好這竹子!

S: 是的, 聽來沒錯。

劉: 好極了。你是否有些其他人的故事?我想聽你分享。

S: 好的, 嗯, 數學家的品類繁多。 他們有天差地別的自我意識。 毫無疑問, 我們各有某種程度的自負, 是吧? 這無庸置疑。 但如果你拿 Lennart Carleson 和一些較自負的數學家相比, 就真判若雲泥。

劉: 你之後想進行什麼工作?

S: 嗯, 我的研究慢了下來, 但仍勉力推進。 我不希望它逐漸止息, 所以持續不懈; 這很重要, 繼續做, 持續嘗試。 我正在做的東西看似會有成果; 這是罕見的狀況, 值得開心。

劉: 什麼工作?

S: 是要建構一些奇異點(singularity)的例子。 30 多年前, Bob Hardt、 Luis Caffarelli 35 35 Luis Angel Caffarelli (1948$\sim$), 阿根廷數學家, 2012 年獲 Wolf 獎, 對自由邊界問題及非線性偏微分方程有重大貢獻。 參見本刊 2008 年第 32 卷第 3 期「有朋自遠方來」專訪。 與我證明了一個結果 36 36 Caffarelli, L., Hardt, R. and Simon, L. Minimal surfaces with isolated singularities, Manuscripta Math, 48 (1984), 1-18. , 對給定的極小子流形, 建構出一整族極小子流形(minimal submanifolds); 在原給定的子流形的孤立奇異點, 這族子流形會漸進至此給定的子流形。 那個結果或許不怎麼有趣, 但擾動 current 來得到其他漸近解, 是個重要的問題。 你想要推廣此結果到更高維度的奇異點集合, 而不僅考慮一個孤立的奇異點。 但這困難許多, 且完全不清楚什麼猜測屬實。在奇異點集是直線的情況, 我已經有一部分結果。 我很喜歡這結果, 但它過於特殊, 不像之前 Bob、 Luis 和我的結果具一般性, 所以還有許多東西要了解, 我正嘗試著做。

劉: 聽來令人興奮!最後問一個問題 : 大家都說你是很傑出的老師, 可以提供一些秘訣嗎?

S: 備課顯然極其重要, 我認為或許是最重要的, 比其他事都重要。 但光是備課並不足夠, 有時還需要一些天分。我認為就這點而言, 人腦十分有趣; 有些人不管怎麼準備, 都無法教出像樣的課, 只因他們腦袋無法那麼運作。 不知怎地, 他們無法把事情用簡單易懂的方式解釋, 因此無法引起聽眾關注, 也不能使他們參與其中。 不過我認為, 還是有些規則, 是在你備課和授課時應該依循的。備課方面, 應該花些時間做哲學性的思考, 不只思考應該說什麼, 還要思考如何表達。 例如準備在課堂簡單討論 : 主要概念怎麼出現?動機又如何產生?通常會有某個想法直接又實在, 而如果你可以告訴他們那個想法到底是什麼, 他們會非常感激你。 但很多人往往只呈現教材上的東西。當然, 如果你每週講授五堂大學部的課, 可能有時不得不如此。 可是, 只要情況允許, 你應該試著提出簡明扼要的見解, 避免在複雜迂迴的解說中打轉, 因為講課時, 在多半的節點上, 你只有十秒鐘吸引他們注意, 是吧? 之後他們會自言自語, 問說 : 台上的人在說什麼?他想要表達什麼?我認為講課前先思考這些問題是很重要的, 而且要試著把這些見解穿插於正式教材。 這確實會對你的大學部課程有重大影響, 研究所課程亦然。另外, 在思考「說什麼」和「如何說」時, 或許同樣重要的問題是「不說什麼」。 有時太多的討論恐適得其反, 增加製造困惑的機會。因此, 我們應力求簡明清晰, 不要做多餘的解說。

也別忘了 : 你是人, 不是機器人, 你的聽眾也是人, 所以你要和他們互動, 不能只和黑板說話。 我見多了這情況 : 講者一心一意講課, 最後只和黑板說話, 好像背後空無一人; 即如觀眾早都跑光, 講者也可以渾然不覺。 我總是盡量避免這種極端狀況, 盡自己所能, 儘量與觀眾有合理互動。 也永遠切記 : 要努力組織課程和授課, 使自己至少大半時間樂在其中; 如果你無法樂在其中, 你的觀眾肯定也難以享用。

劉: 我們就以這個樂觀的話語結束。

S: 好!

---本文訪問者劉太平任職中央研究院數學研究所---