有朋自遠方來

專訪 Leon Simon 教授

PDF 2019年 9月(171) In English

策劃: 劉太平
訪問: 劉太平
時間: 民國 107 年 5 月 4 日
地點: 中央研究院數學研究所
整理: 編輯室

Leon Simon 教授 1945 年 7 月 6 日出生於澳洲阿德雷得(Adelaide)。他在阿德雷得大學獲學士學位 (1967)及博士學位 (1971), 1968 至 1971 年任職該校, 其後曾授聘於 Flinders 大學、澳洲國立大學、墨爾本大學、密里蘇達大學及 ETH, 自 1973 年起任教史丹佛大學。 Simon 教授榮膺多項殊榮, 為澳洲科學院院士, 並獲頒美國數學會 Bôcher Prize 和 Leroy P. Steele Prize, 表彰其在數學分析的貢獻。 Leon Simon 教授用志不分, 在幾何測度論最小曲面等領域, 深入探討。在此篇中, 他分享多年數學生活、研究和教學的樂趣。

劉太平 (以下簡稱「劉」): 你十幾歲時何以對數學產生興趣？

Leon Simon (以下簡稱「S」): 其實年紀稍長後, 我才真的進入狀況。高中時, 我忙著運動和社交活動, 對數學並沒有太大興趣, 所以課業表現乏善可陳, 高中成績剛好過阿德雷得大學 ¹ ¹ 位於南澳大利亞州首府阿德雷得的著名高等學府, 為澳洲八大名校之一。 (University of Adelaide) 錄取門檻。大一時我才開始對數學產生興趣。甚至在這第一年, 我想我的成績在約一百人的班上大概只算中等。

劉: 但當時你主修的是數學？

S: 不是。大一時期, 修一整年的數學和其他三門科學課程, 依慣例是物理、化學和生物。

劉: 喔, 是一般的科學課程。

S: 沒錯, 是一般的科學課程。一開始沒有特定的專門課程。我想我的數學成績約為中等。當時沒想過要專攻數學, 對我來說完全無此可能。但在修課期間, 我意識到, 儘管高中時數學讀來吃力, 表現也差強人意, 但大一的課老師教得好, 我似乎突然能夠輕易理解。在高中升大學之際, 我的腦子似乎起了某些變化；至少我是這樣覺得。

劉: 這是種新的體驗嗎？

S: 是新的體驗。突然間, 我可以理解大半的授課內容。雖然不能說毫不費力, 但基本上不很吃力。我能解決那些被留做作業的問題。我想, 這樣很好, 我在班上應該是中等。但讓我驚喜的是, 學年結束時, 我的成績排在前百分之五或十。我們那時只在年底舉辦一次考試, 並沒有經常性的評估。

劉: 喔！是英式 $\ldots$。

S: 是的, 英式系統。阿德雷得大學位於南澳大利亞洲首都阿德雷得, 自十九世紀殖民時期, 承襲英國的影響。總而言之, 只有年底的一次性考試。可想而知, 這成績有多令我高興。這也讓我自忖 : 也許之前我低估了自己的數學能力。於是, 大二時我持不同的態度, 決定不只是把它做得夠好, 而是要試著做到很好。這想法似乎見效, 不知怎地, 我對這學科, 越來越感興趣, 也越來越有熱情, 不斷進步。到了第三年, 遇到日後的博士論文指導教授 Jim Michael² ² James Henry Michael (1920$\sim$2001), 澳洲數學家, 早期工作多探討如何以平滑物逼近不平滑物, 1970 年代之後, 轉而研究橢圓偏微分方程及有障礙(obstacle)的變分問題。; 他當時是一位講師, 講授大三的兩門課 --- 實分析與複分析；那是我的好機緣, 也是我決定從事數學的轉捩點。

劉: Jim Michael當時為什麼選擇待在那裡？

S: 我想是個人家庭的緣故。畢竟他來自阿德雷得附近的鄉村農場。當然, 他留在阿德雷得是我的天大幸運。他是位十分謙虛的人, 毫不浮誇, 相反地, 嗯 $\ldots$。我可以說他是 $\ldots$。那種很慢熟悉新想法的人。有時, 你會覺得必須很費勁才能傳達想法給他。不過, 一旦某個想法進入他的腦子, 他就會用到得心應手, 勝過其他人。這有點像 Constance Reid³ ³ Constance Bowman Reid (1918$\sim$2010), 美國作家, 1970 年出版名著《Hilbert》, 撰述數學家 Hilbert 生平。對 Hilbert⁴ ⁴ David Hilbert (1862$\sim$1943), 德國數學家, 大量理論的奠基者, 如 : 不變量理論、公理化幾何、 Hilbert空間。的描述, 她聲稱 Hilbert 也是這樣的人。這個案例可能有些誇大；據她說 , 好幾次 Hilbert 在哥廷根 (Göttingen) 聽演講時, 在座的其他人都比他先了解內容, 還試著向他解釋。舉 Hilbert 的例子或許有些誇張, 但 Jim Michael 就有點像這樣。

劉: 了解。這所大學的環境清幽, 很適合他。

S: 真的很適合他。他深受學生和同事們敬重。我們都知道他有多傑出；雖然數學界外的人可能不很明白。在澳洲數學界, 即使在家鄉之外, 他也因身為傑出分析學者而享有盛名。

劉: 談到澳洲的數學, 一般的印象是它源自英國, 對吧？

S: 沒錯。 1960 年代, 大學快速拓展。當時政府制訂政策, 增加學位課程的就學名額, 因此向各地招募人才, 特別是有英國研究所學位的英國人和澳洲人。這期間受聘的人, 有些只做出一般水準的研究成績。直到 1970 年代後, 終身職的學術工作才變得更加難找。

劉: 那 19 世紀呢？

S: 19 世紀沒有學術。就南澳而言, 殖民時期始於 19 世紀中葉, 20 世紀初才有大學創建, 亦即阿德雷得大學, 因此它是相對較新的大學, 而墨爾本和雪梨的大學較為古老。

劉: 但這些較為古老的大學, 仍不早於 19 世紀末。

S: 沒錯。 1770 年, 庫克船長⁵ ⁵ Captain James Cook (1728$\sim$1779), 庫克船長, 為英國皇家海軍軍官暨航海探險家, 帶領船員成為首批登陸澳洲東岸和夏威夷群島的歐洲人。 (Captain Cook) 抵達澳洲並插上英國國旗, 但相當久之後才開始殖民行動。順帶一提, 當時澳洲被當作罪犯的流放地, 所以我們都是罪犯的後裔, 但我不是, 因為我生於南澳, 而南澳不是流放地。

劉: 這樣說來, 到了 20 世紀下半葉, 學者才真正在澳洲受到注目。

S: 我想是這樣的。當時有些很好的研究成果。澳洲總是如此。傑出成果及優秀學者如鳳毛麟角；他們出類拔萃, 樹立卓越的標竿。儘管平均研究水平相較之下低了許多, 但因為傑出的學者夠優秀, 眾人得以知道好的工作該是如何。

劉: 何已致此？是因為環境夠舒適, 讓人過於鬆散？

S: 原因很多。你或許在想 : 人夠鬆散, 就會自滿, 於是平庸之作都被視為好東西, 是吧？但這些出類拔萃之士並非如此。公眾賞識他們, 對他們毫無敵意。既然他們確實傑出, 大家就任由他們鶴立雞群, 不加打壓, 至少一般情況下是如此。有人說澳洲有高大罌粟花綜合症 ⁶ ⁶ 澳洲和紐西蘭的流行用語, 出自古希臘哲學家亞里斯多德的著作《政治學》, 意指將優秀或最具勢力的人剷除。澳洲和紐西蘭的移民, 普遍持「平等主義」, 任何成功的人都易引來社群的集體批評。 (Tall Poppy Syndrome), 任何出眾的人都會被砍頭(比喻)。但我認為有時全然不是如此。始終有些卓越之士確實受到眾人敬重。我想 Jim Michael 就是個例子。

劉: 在理想的世界, 人們做自己能力或直覺允許的事。像 Jim Michael 這樣的人, 回到家中思考問題, 而後再回辦公室時, 至少有一些如你一般的人認可他, 他就心滿意足了。

S: 我也這麼認為。但他也喜愛教學, 喜歡傳授數學上的見解, 即使他 $\ldots$。怎麼說呢 $\ldots$。個性有點畏縮且害羞, 除非上台講課。猶記他曾邀請一群人到家中, 那是你能想像到的最尷尬緊繃時刻。他安置眾人在房間入座後, 嘗試開啓各種話題, 接著談話無以為繼, 很不自在。他有點拙於社交。就個人層面而言, 他令人讚嘆, 只是有點不善社交。但他在課堂講課時, 就全然不同了。他授課時凜然有威, 讓你當下確定這個人很具深度, 會傳授別處無法獲得的洞見。我想他並未刻意要給人留下印象, 只是以自認為有效的方式傳授教材內容。

劉: 或許澳洲是個新社會, 所以在社交禮儀上, 可以接受這類的人？

S: 或許吧。不過他的確是個有趣的案例, 我想我沒見過可相比擬的人。

劉: 了解, 所以他是個獨特的人。

S: 我想, 在那方面他堪稱獨特, 但每個人都知道這一點。他過世後, 我們幾個人聚首, 為澳洲科學院⁷ ⁷ 1954年由一群澳洲學者創立, 效仿皇家學會依據皇家章程運作。 (Australian Academy of Science)撰寫有關他的生平及研究的訃聞。我注意到有好幾位提到 Jim Michael 個性有點羞怯(diffident), 用的詞就是「羞怯」。他與人互動時很羞怯, 但一旦站上講台, 言語具足威信。很榮幸目睹這些。我不是這樣的人, 但我認為他令人欽佩, 因為他能做到這一點。他讓人耳目一新, 因為你可以看出 : 他未曾真的去嘗試給人留下好印象。不知怎地, 他不耍這類手腕。如果你懂我的意思；我們大都不想承認自己是愚蠢的白痴, 有時會隱藏自己的無知, 是吧？但他不這麼做, 他直言不諱, 不只在這方面, 其他方面亦然。幸運的是, 大家都知道他聰明機智, 所以我不認為他因此而有太大的損失。但有次我和 Peter Lax ⁸ ⁸ Peter David Lax (1926$\sim$), 匈牙利裔美籍數學家, 任教於紐約大學 Courant 學院, 1987 年及 2015 年獲頒 Wolf 獎及 Abel 獎。他對可積系統、雙曲守恆律、流體動力學、震波及孤立子等領域有重大貢獻。參見本刊 2002 年第 26 卷第 4 期「有朋自遠方來」專訪。聊到 Jim Michael, 他對我說 : 「沒錯, Jim 是個很精彩的人, 但他應該多耍些手腕。」我希望自己正確引用了 Peter 的話, 我想我是的。

劉: 這些描述聽來毫不違和。既然我們在談 Jim Michael, 能講一下他確切的成就？ .

S: 好的。我或許沒做好萬全準備來講解, 但 $\ldots$。

劉: 沒關係, 只要講個大概。

S: 好的, 我概略講。我頭一篇細讀的論文就是他寫的。他沒有要我念, 是我自己決定要念它的。那篇簡短的論文提出複分析裡柯西積分定理的證明。他得到首個全然一般性的證明, 對曲線的平滑度不做任何假設, 也不限定曲線的度數(degree)是否無界 (曲線的度數是其環繞某點的次數, 在某些地方可能為無界)。我記得文章某處有個極其巧妙的論證, 利用拓樸度數 (topological degree)得到一些估計；整篇論文植基於此。猶記得, 這個想法如此巧妙, 讓我深受感動。這是課堂上學到的古典數學想法之外, 我頭一遭見到的實質的數學見解。它是我在研究論文裡讀到的頭一個實質的想法, 對我而言至關緊要。它讓我體會到, 要寫一篇好論文, 不能只因為你知道如何著手, 就寫下一些廢話。你著手的工作需要有你實質的想法, 你要以真知灼見來解題。對我而言, 這是個絕妙的經驗。第一篇論文, 很幸運地我選了它。順帶提一下, 我細讀的第二篇論文是 Bob Finn ⁹ ⁹ Robert Finn (1922$\sim$), 出生於美國, 任教於史丹佛大學, 對極小曲面方程、毛細曲面及 Navier-Stokes 方程貢獻卓著。參見本刊 2003 年第 27 卷第 2 期「有朋自遠方來」專訪。寫的。同樣的, 裡頭也有好些高妙的想法。那篇論文關乎二維的梯度估計, 對二維極小曲面類型的方程推導梯度估計。

劉: 你有告訴 Jim Michael 這些？

S: 我不記得曾告訴他。不過, 如果我對他説那篇論文有多精彩, 他可能會很尷尬。但我想他知道我的感受, 我對那篇短文至感欽佩。

劉: 你和他大致上如何互動？

S: 我是他的博士生時, 當然得和他建立自在且愉快的關係, 每天上午茶和下午茶時間我們都會聊一下。但在早期, 我還是個大學生時, 都到他的辦公室找他, 有時很緊張。講完要談的東西時, 往往覺得侷促不安。是時候你該緩慢移動到門邊了, 但他不知道該如何結束, 而我那當頭也有些害羞, 對吧？所以我有著走出房門的困難。

劉: 我記得 Courant ¹⁰ ¹⁰ Richard Courant (1888$\sim$1972), 德裔美籍數學家, 對 finite element 法有基礎性的貢獻, 也在古典 Plateau 問題獲致重要結果。他創建的紐約大學數學系, 日後更名為 Courant 學院。的傳記中提到, Courant 擅長這種事。一旦他想要結束談話, 就會起身說道 : 「喔！你想待在這, 不是嗎？」隨後他自己卻逐漸走向門邊。

S: 你看, 這就和 Jim Michael 截然不同。 Jim Michael 認為這樣做是不誠懇的, 所以從來不會這麼說。

劉: 但 Courant 擔綱的角色不同。

S: 是的, 當然, 但他們個性絕對大相徑庭, Jim Michael 不會考慮以這種方式處理那種情況。不過我想他也覺得不對勁, 知道談話需要結束, 只是不知如何是好。當時我還在大學階段, 處境尷尬；我的意思是, 在那階段, 他高高在上, 而我地位低下。還記得在那段時期, 有次我們討論一些事情, 他說 : 「嗯, 我想你現在比我更了解它。」這讓我震驚, 我竟然可能知道的比他多。我忘了論題是什麼, 可能是關於拓樸學或拓樸度數之類的應用, 但他是這方面公認的專家, 所以當他這麼說, 我深感訝異。不經意地, 這也幫助我領會到自己可能企及的境地。

劉: 所以誠懇或可 $\ldots$。

S: 或可大有助益。此後, 我也效法他, 設法如此與學生互動；即使在我的主要研究領域, 也不讓他們感覺到我自認凡事精通、勝過他們。

劉: 正因Jim Michael非常誠懇, 他的話可信且有效。

S: 沒錯, 正是如此。你總相信他是直言不諱, 不會扭曲事實。我也無法想像他發表的論文到頭來出錯；我的意思是, 我之所以無法想像, 是因他是那般仔細謹慎地檢查。他的產量不多, 可能每一兩年才一篇, 我想我們可以去 Mathematical Reviews 查。雖然我不確定他發表過多少文章, 但我可以想像產量可能不會太多。

劉: 回頭聊聊你的高中歲月。從你先前所言, 可否推斷高中教育其實並不怎麼適合你？

S: 不, 適合的。我想我正好無法套用那個教育體系的方程式。我對學科不是真的感興趣。在高中最後一年, 我有位隸屬某個宗教組織的老師, 是位修道士, 為人正派。那個宗教組織出了些問題 --- 澳洲皇家委員會¹¹ ¹¹ 君主立憲國家中, 為調查某件案件而成立的臨時公共問訊機構, 權力甚至能高於法官。 (Royal Commission) 最近證實, 該組織中, 有相當比例的人合搞出駭人聽聞的虐待學生模式。但我提及的這位老師, 確實是個好人。他以獨特的方式看待數學並從事教學。典型的一堂課大約一小時, 通常他不講課, 而是請某位學生將講義寫在黑板；他有課程主要內容的標準講義。我們抄下講義後, 當晚就得解決指定的問題。上半年這麼過去。雖然他很少教學, 但他會確認我們有做作業, 無可豁免。

劉: 他制定了一個標準。

S: 他制定了一個標準, 並確保我們晚上埋頭苦幹。對我來說, 這至關緊要, 因為我的腦袋當時不知何故不很靈光。我想我需要持續的努力及更多的結構, 每天再接再厲。當然那時我未意識到這點, 但我認為那段時日及那些持續性的努力, 攸關我日後數學能力的發展。

劉: 如我們所知, Euler ¹² ¹² Leonhard Euler (1707$\sim$1783), 瑞士數學家, 生前平均每年發表八百頁的學術論文。 1766年之後他幾乎雙眼失明, 仍平均每周完成一篇數學論文。會見 Johann Bernoulli¹³ ¹³ Johann Bernoulli (1667$\sim$1748), 瑞士數學家, 曾說服 Euler 的父親讓 Euler 捨神學而研讀數學, 且曾提出並解答變分學的最速降線(Brachistochrone)問題。後, 總會有家庭作業。他做一些閱讀和作業後, 再回去找 Bernoulli 討論。我聽起來就像這樣。幾何學家陳省身曾告訴我 : 他當年每兩星期和Élie Cartan¹⁴ ¹⁴ Élie Joseph Cartan (1869$\sim$1951), 法國數學家, 發展微分流形上的分析理論, 對李群及微分幾何有巨大深遠的影響。會面一次, 而 Cartan 總會給他一些問題。容我引用他的話；他說 : 「一切簡單的問題, 我都能解決。」接著補充一句 : 「別給學生太難的問題。」

S: 他跟 Cartan 學的, 對吧？他從 Cartan 身上學到這一點 : 與其給難題, 不如給簡單些的。

劉: 沒錯。

S: 確實有點道理。只給困難的題目, 我不相信會有用。長時間枉費心力, 即使那些有突出數學潛力的人, 信心和熱情也將消磨殆盡。我認為多數問題應該是直截了當的, 間或有些較困難的問題, 會讓他們覺得更具挑戰性, 而一旦成功解題, 也會更覺振奮。

劉: 你畢業後到過很多地方。

S: 嗯, 我先到史丹佛大學。喔！不對, 拿到博士後, 我先到阿德雷得州的另一所大學 --- Flinders 大學 ¹⁵ ¹⁵ 1966 年設立於阿德雷得的中小型公立綜合大學。以 19 世紀初航海家 Matthew Flinders之名命名。 --- 待了一年。在那年代, 一旦拿到教職, 除非你毫無作為, 或是真的無可救藥, 可以十分確定那將會是終身職, 對吧？所以我幾乎認定這將是終身職, 預期自己會一輩子待在那裡。但某日我收到一封寄自史丹佛大學的信； (當然, 當時尚無電子郵件和網路, 所以那是耗時約一週才寄達的航空郵件)；發信人是史丹佛大學的 David Gilbarg ¹⁶ ¹⁶ David Gilbarg (1918$\sim$2001), 出生於美國, 主要研究領域為流體力學及橢圓型偏微分方程理論。與 Neil Trudinger 合著的《Elliptic Partial Differential Equations of Second Order》被奉為該領域之經典。教授, 他詢問我 : 是否有意願申請史丹佛大學聘期三年的助理教授？

劉: 那真是令人欽佩！

S: 我大吃一驚。後來才發現, 我的論文口試委員 Neil Trudinger ¹⁷ ¹⁷ Neil Sidney Trudinger (1942$\sim$), 澳洲數學家, 對Orlicz空間、極小曲面方程、 Yamabe 問題、最佳運輸問題有重大貢獻, 並與 David Gilbarg 合著《Elliptic Partial Differential Equations of Second Order》。參見本刊 2012 年第 36 卷第 2 期「有朋自遠方來」專訪。將我的論文副本寄給 Gilbarg；我猜他講了 : 「這個人看來很優秀」之類的話。

劉: 其實我要說的是, Gilbarg 能夠看出你的才華, 令人欽佩。

S: 嗯, 不知道是不是他搞錯了, 但他真的寫了這封信。一封對我而言完全出乎意料的信, 我大為震驚。

劉: 他在澳洲那個角落找到你。

S: 是的, 如果沒發生這件事, 我或許還在 Flinders 大學證明極小曲面方程的梯度估計之類的東西。因為我不會想到要申請國外的名校, 壓根兒沒想到有此可能。

劉: 我們跳到另一個話題, 談談幾何測度論(geometric measure theory)。它是公認的硬分析, 艱深的行道。

S: 沒錯。

劉: 它也造就了許多一流的數學家。

S: 喔！是的, 相當多, 特別是該理論的奠基者 : Federer ¹⁸ ¹⁸ Herbert Federer (1920$\sim$2010), 奧地利裔美籍數學家, 1960 年與 Wendell Fleming 發表的論文 Normal and integral currents, 堪稱幾何測度論的濫觴。 1969年出版精典著作《Geometric Measure Theory》。、 Almgren ¹⁹ ¹⁹ Frederick Justin Almgren Jr. (1933$\sim$1997), 出生於美國, 推展 varifold 的概念, 研究有向 (oriented) Plateau 問題解的正則性。、 Fleming ²⁰ ²⁰ Wendell Helms Fleming (1928$\sim$), 出生於美國, 任教於布朗大學應用數學系。 1960 年與 Herbert Federer 發表論文 Normal and integral currents, 其後亦研究隨機分析、隨機微分方程, 在賽局論、隨機控制理論、人口基因學成就斐然。、 Reifenberg ²¹ ²¹ Ernst Robert Reifenberg (1928$\sim$1964), 出生於德國的英國籍數學家, 1960 年的論文率先以測度論觀點處理廣義的 Plateau 問題, 涵蓋了無向 (nonoriented) 狀況。、 De Giorgi ²² ²² Ennio De Giorgi (1928$\sim$1996), 義大利數學家, 1990 年獲頒 Wolf 獎。他於 1950 年代解出 Hilbert 第 19 問題, 1960 年代建構出極小曲面正則理論, 1969 年與 Bombieri 及 Giusti 提出極小曲面 Bernstein 問題在八維空間之反例, 1970 年代後致力推展 $\Gamma$-收斂的理論。。他們都是我的英雄。 C.B. Morrey ²³ ²³ Charles Bradfield Morrey Jr. (1907$\sim$1984), 出生於美國, 重大貢獻包括黎曼流形的 Plateau 問題的解決, 以及用 quasiconvexity 的概念詮釋變分問題。經典著作《Multiple integrals in the Calculus of Variations》出版於1966年。雖非完全在做幾何測度論, 但他確實涉入頗深。如果你讀他的書, 不只讀到偏微分方程, 後面章節也會看到許多幾何分析。舉例來說, 他探討了 Reifenberg 在 Plateau 問題 ²⁴ ²⁴ 研究邊界固定時極小曲面的存在性。的工作, 還提到 $\bar\partial$-Neumann 問題。那本書內容豐富。事實上他兼容並蓄, 儘管大多數人和他本人都說他在做偏微分方程。

劉: 你見過Morrey？

S: 是的, 我見過他那麼一次。我到柏克萊演講時見到了他；他和藹可親, 演講後帶我去用餐, 真的, 他真的是個很好的人, 和藹可親, 風度翩翩, 而且非常明顯地想鼓勵我。那可不是請你去給個演講, 然後說謝謝之後再會的狀況；不是這樣的。他帶我出去用餐；我記得他帶夫人來赴會, 真好。

劉: 你提到了這些人名, 或許可以談一些他們的工作。

S: 好的。 1960 年, Federer 和 Fleming 在 Annals of Mathematics 發表了一篇令人驚嘆的文章, 名為 Normal and Integral Currents ²⁵ ²⁵ Herbert Federer and Wendell H. Fleming, Normal and integral currents, Ann. of Math. 72(2), 458-520, 1960. ；不得不說, 這個標題索然無味, 甚或有點掃興。但他們證明的東西真是讓人驚歎, 我不曾相信那些東西可以被實際考量, 遑論相信它們是對的；我本以為那些東西不可能是對的。他們寫說, 如果你取 $\ldots$。嗯, 我來改述一下, 好吧？舉他們證得的一個特例來說；在歐氏空間取某序列緊緻流形, 譬如某不具邊界的二維曲面序列, 若不限制其拓樸, 這些曲面可能極其繁複, 但若其面積有界, 則它們坐落於固定的緊緻集內, 不會跑到無窮遠。因其有向(oriented), 你可以在這些曲面上對 2-forms做積分。 Federer 及 Fleming 的結果是說 : 在弱的意義下, 該曲面序列會有一個子序列收斂到某極限曲面。這聽來無稽, 我的意思是, 你會覺得這不可能是對的；因為你或許會想到極細的截柱體 (truncated cylinders) 序列 : 截去柱面兩端, 增加柱面數量, 縮小其横截面直徑, 使該序列在歐氏空間的單位立方體中變得稠密；而據 Federer-Fleming 所述, 唯一要遵守的限制是其總面積有界, 對吧？但就這個例子而言, 若在恰當的測度論意義下取極限, 你會得到某多重三維 Lebesgue 測度, 對吧？極限集合裡不存在曲面, 它們被舒展開, 填滿整個空間, 所以你會認為 Federer-Fleming 理論不可能是對的。

箇中關鍵, 在於他們是在 currents 的意義下取收斂, 換言之, 在積分 forms 的意義下取極限。亦即, 在子序列中的各個流形上, 積分任意 (定義於周遭空間) 的平滑 form, 他們的結果聲稱 : 存在極限曲面 (非平滑, 但在適當意義下, 至少幾乎到處都有個切空間), 使得每個固定的 form 在此子序列的積分, 都收斂到這個 form 在極限曲面的積分。極限曲面通常不平滑, 否則就好到不可置信。但它是所謂的可求長集(rectifiable set), 是測度論版本的流形, 其上幾乎到處都有近似的(approximate)切空間。它大致上像個曲面, 如果你稍微偏斜著看, 它會像是個曲面。與你直覺相悖的原因是, 在我先前提到的細瘦的圓柱體, 有些部分的積分會相抵銷；因為你是在一個定向曲面上積分 forms, 細瘦圓柱每一側面上的積分值, 漸近地都會與徑向對面上的積分值相抵銷。因此, 在這情況, 我們得到的極限為零。所以, 在上述細瘦圓柱的例子中, 你得到的極限是零。但在一般情況下, 你會得到一些不尋常的極限曲面, 它們是可求長曲面(rectifiable surface)；可想而知, 在一般狀況下能夠這麼做, 是極端重要的。據我所知, 他們發表那篇論文前, 沒有人意識到那可能會是對的。

劉: 了不起。

S: 妙透的結果！

劉: 接下來 $\ldots$。

S: Reifenberg 在模 2(mod 2)的情況證明了類似的結果, 涵蓋無向(nonoriented)的狀況。

劉: 這是很大的領域。你提到 De Giorgi、 Morrery、 Almgren, 他們都致力研究。

S: 是的, 沒錯。他們都做出基礎性的重要貢獻, 對這片大領域的各個次領域影響深遠。

劉: 幾何測度論涵蓋幾何學、測度論、偏微分方程, 所以算是幾何分析。

S: 是的, 對不同的人, 它有不同的含意。幾何測度論有個次領域, 偏重測度論的面向, 研究碎形的維度及這類東西的結構。另一個方向是我喜歡的, 真的在做幾何分析, 用幾何測度論的技巧解決幾何問題。它涵蓋寬廣的議題, 對不同的人意味著不同的東西。

劉: De Giorgi 也投身這領域 $\ldots$。

S: De Giorgi 的工作無疑歸屬於幾何分析。他對高維的極小曲面很感興趣, 那是他的主要研究興趣, 至少在 1950 到 60 年代是如此。他之後從事了 G-收斂和 $\Gamma$-收斂等諸多研究, 但當時主要的興趣是在極小曲面。基本上他解決了餘維為一(co-dimensional one) 時的 Plateau 問題, 引領眾人獲致需求的正則性理論。隨後他與 Bombieri ²⁶ ²⁶ Enrico Bombieri (1940$\sim$), 義大利數學家, 任職於普林斯頓高等研究院, 1974 年獲頒菲爾茲獎, 研究解析數論及代數幾何。 1969 年與 De Giorgi 及 Giusti 提出極小曲面 Bernstein 問題在八維空間之反例。和 Miranda ²⁷ ²⁷ Mario Miranda (1937$\sim$), 義大利數學家, 研究變分問題解的正則性。證明了極小曲面方程的梯度估計 ²⁸ ²⁸ Enrico Bombieri, Ennio di Giorgi, Mario Miranda, Una maggiorazione a priori relativa alle ipersuperfici minimali non parametriche, {Archive for Rational Mechanics and Analysis}, Band 32, 1969, S. 255-267. ；這就是我的論文題目 --- 梯度估計, 是在準線性 (quasilinear) 和準橢圓 (quasi-elliptic) 的情況做估計。我寫論文的時候, 他們正好發表那篇文章, 大概只早個一年左右。所以我很幸運, 當這些人在進行他們的重要研究時, 我恰好在那當頭對這問題有興趣。 Federer 的書也差不多在同一年問世。我記得我去逛圖書館時, 看到那本厚厚的書, 名為《Geometric Measure Theory》 ²⁹ ²⁹ Federer, H., Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 153, Spring-Verlag, 1969. 。當時, 我還不清楚其意涵, 只覺得這本書看起來很有趣。

劉: 你有讀過嗎？

S: 對當時的我而言, 那本書太難了, 所以我並沒有整本讀完。但我確實借了書。開始細讀後, 意識到它超乎想像, 是本令人難以置信的書。

劉: 很多我認識的人, 書架上都有這本書。

S: 都擺在書架上, 但沒勇氣翻開讀, 因為著實太困難。我好像窺見你書架上也有一本嗎？或許沒有 $\ldots$。

劉: 在史丹佛, 不在這裡。

S: 無論如何, 這很常見, 因為對大多數人來說, Federer 的寫作風格讓內文難以理解。但如果你真的有耐心和毅力去讀它, 所有細節都在裡頭, 只不過呈現的方式很怪異。讀那本書像在學另一種語言。 Bob Hardt ³⁰ ³⁰ Robert Miller Hardt (1945$\sim$), 出生於美國, 任教於 Rice 大學, 研究幾何測度論和偏微分方程。稱這種語言為「Federese」。

劉: 他有自己獨特的寫作方式。

S: 沒錯, 他對自己試圖達成的目標, 極少指出關鍵結果, 也不說明下一個引理的目的, 反而寫了一系列引理, 為數可能十或十五。當你終於弄清楚它們在表達什麼時, 發現有些其實是淺顯的一般常識, 似乎不需要另外寫成引理, 但其他的東西就至關緊要了, 是真材實料, 可是他沒能寫清楚, 區分淺顯和艱深的素材, 因此沒能幫你太多。如果有某位執行編輯仔細審查一下(他可能始終不同意這麼做), 就會有很大的不同；而如果這個人有權細讀, 而且可在各個階段添加評論和解釋, 那麼讀起來會容易許多, 不可以道里計。我可以這麼說 : 他惜墨如金, 精簡過了頭。

劉: 容我問一個問題 : 讓你真正感到快樂是什麼？哪項研究成果讓你真正欣喜？

S: 不知道。最艱辛的搏鬥當屬切錐面 (tangent cone) 唯一性的論文 ³¹ ³¹ Simon, L., Asymptotics for a class of non-linear evolution equations, with applications to geometric problems, Ann. of Math., 118(1983), 525-571. , 起初看似無從入手。我辛苦了數月, 可能實際上將近一年。日復一日, 夜復一夜。那些日子, 我大部分都在晚上工作, 早上九點起床, 十點左右到系上, 每晚又再次著手探究。不知怎地, 我有一種感覺, 覺得自己或許可以做些什麼, 但卻無法完全著力。我記得一個特別的夜晚, 我了解到 : 基本上, 當你剝離開幾個簡易的情況後, 會真正觸及核心情況, 而在核心情況, 東西變動得十分緩慢。在簡單的情況, 東西快速變動, 那是你可以處理的情況。而若東西變動得實在很慢, 則是困難的情況。令我感到沮喪的是, 我隨即了解到 : 在小的誤差項範圍內, 這問題總遵循一個拋物線方程, 而這似乎就提示了 : 我正在找的漸近極限可能是錯的。就好比「山羊從山腰下山」, 沿著無限螺旋盤旋向外, 足跡往一個圓漸進, 沒有唯一的極限, 就那麼一直打轉。夜深了, 我太太問 : 「怎麼樣了？」, 我回應 : 「我想, 它可能錯了！」。

劉: 經過好幾個月 $\ldots$。

S: 經過這些努力。數學就是這樣。當我精神墜入最低潮, 隔天或數天後, 我發現, 啊哈！稍等！這裡還另有其他因素。所有反例都牽涉到物件的梯度流(gradient flow), 但僅知它為平滑而已。而這問題涉及實解析函數, 或許有一些 $\ldots$, 於是我又努力了幾個月或幾個星期 (我不確定多久)。我知道它所需要的不等式, 涉及那些在原點取值為零且梯度也為零的實解析函數。我需要的就是這種不等式。對於那些函數, 你需要審視函數絕對值的微小次方的梯度長度, 並檢查該長度在原點附近是否為有下界。我當時能做的只是猜想這或許屬實。我問了周遭許多人, 雖然沒人能斷定這是否正確, 倒也沒人提出反例。因此我讓幾位學生思考這個問題, 終於在幾個星期後的某一天, 某位學生帶著一篇論文來找我, 裡面寫著我需要的不等式, 分毫不差。那是 Łojasiewicz ³² ³² Stanisław Łojasiewicz (1926$\sim$2002), 波蘭數學家, 研究實解析函數的零點集合分佈, 成果被應用於偏微分方程及實代數幾何。的文章, 證明 : 對那些在原點取值及梯度都為零的實解析函數, 存在某個介於 0 和 1 之間的常數 $\theta$；若取這些函數的絕對值的 $\theta$ 次方, 其梯度長度在原點附近會有下界。固然我需要的是無限維度的版本, 但我非常有自信下一步是例行公事。的確, 它確實可行, 這讓我非常開心！

劉: 這是什麼時候的事？

S: 我想是在 1982 年左右。那是付出努力後獲致的極度狂喜感, 持續了一兩週。

劉: 只有一兩週？

S: 只有一兩週。月復一月徒勞無功之後, 獲致一兩個星期的狂喜。我記得那個結果讓我欣喜若狂, 整個人意氣風發。奮力拚搏之後, 自知箇中妙處, 真的很喜歡那個結果。真的！

劉: 感覺上它很艱深。因為眾人總認這個領域越來越難。我想在你對它感興趣前, 它就已是如此, 是吧？或許 Jim Michael 曾說 : 這領域變得太難了。

S: 對, 至少我的情況是如此。剛起步時, 我有這種感覺, 因為我自認不懂幾何測度論, 而 Federer 的書太艱難, 讀不下去。我自忖 : 好吧, 至少我可以做偏微分方程, 我知道那些東西。這想法讓我繼續前進。我先著手一些問題, 它們比之後要做的東西容易。重要的是, 你發現自己熱衷的東西, 覺得自己可以對它做些什麼, 不會覺得 : 喔！這太難了, 我無從下手。一般來說, 我認為這是成功數學家的特質。大半時間, 他們都處於一種模式, 在處理一些自己心裡感覺舒服、合理的事, 好像他們可以對問題做些什麼。而當無法推進時, 你必須承認 : 不！這不管用了, 我必須做些別的。但總而言之, 我認為重要的是, 你要了解自己能做什麼、不能做什麼, 熱情才能維持下去。

劉: 我來說個瑞典傑出調和分析學家 Lennart Carleson ³³ ³³ Lennart Carleson (1928$\sim$), 瑞典數學家, 在調和分析和動力系統領域, 解決諸多懸宕多年的難題, 做出開創性的深刻貢獻, 1992 年獲 Wolf 獎, 2006 年獲 Abel 獎。訪談中提及的工作, 是他在 1950 及 60 年代證明 $L^2$ 函數的傅氏級數幾乎到處逐點收歛 (Lusin's conjecture)。的故事 $\ldots$。

S: Carleson! 喔, 他是位神奇的數學家。我的意思是, 他可以經年研究棘手的問題, 不只是幾個月如此。

劉: 他講過與你方才所言類似的話；他說 : 一個真正優秀的數學家, 對猜想是否屬實, 必然有某種預感。還有個故事, 是 80 年代他來台灣時對我說的；他說他曾在九年之間持續嘗試找到某個反例。

S: 沒錯, 大家都認為那是錯的, 頂尖人物各個如是想, Kolomogrov ³⁴ ³⁴ Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903$\sim$1987), 俄國數學家, 研究領域涵蓋機率論、算法信息論、拓樸學、直覺主義邏輯、紊流、古典力學和計算複雜性理論。也是如此。他們都認為那是錯的, Carleson 自己也這麼想。我聽到的故事可能和你聽到的一樣；確實如此, 他覺得那是錯的, 努力了好長一段時間, 試圖去建構反例, 因而功力達到某個境界。

劉: 九年 $\ldots$。

S: 沒錯。好在那九年他不只做這件事, 但那是他主要想要做的。很幸運地, 他功力提升到某個境界後, 有了驚人的洞察力, 讓他能證明基本上反例並無存在的可能。對他而言, 那是個大轉捩點, 讓他之後了解到 : 天啊！我應該要試著證明它, 而非反證它。

劉: 據他說, 這花了一年的時間。

S: 是的, 相對較短的時間, 但仍花上一年。

劉: 仍花了一年。

S: 是的, 這故事讓人驚嘆。他非常有深度。你是否有注意到, 他十分謙虛。他真是獨一無二。

劉: 我覺得很有意思的是, 我帶他到故宮博物院時, 想到他工作的深刻艱難。但當他去故宮時, 喜歡的竟是一幅畫著簡單竹枝的畫。

S: 這其實符合我對 Lennart Carleson 的印象。沒錯, 他會從中看到一些東西, 它們讓他全然著迷或感受深刻。這件事不讓我訝異。 .

劉: 我懂, 那竹子 $\ldots$。

S: 我看著它, 看到一根竹子, 是吧, 沒什麼大不了！但他看到更多東西。

劉: 是的, 是的。

S: 我想他的數學也是如此, 他看到更多東西。

劉: 是的。當時還有中國山水畫, 但他偏好這竹子！

S: 是的, 聽來沒錯。

劉: 好極了。你是否有些其他人的故事？我想聽你分享。

S: 好的, 嗯, 數學家的品類繁多。他們有天差地別的自我意識。毫無疑問, 我們各有某種程度的自負, 是吧？這無庸置疑。但如果你拿 Lennart Carleson 和一些較自負的數學家相比, 就真判若雲泥。

劉: 你之後想進行什麼工作？

S: 嗯, 我的研究慢了下來, 但仍勉力推進。我不希望它逐漸止息, 所以持續不懈；這很重要, 繼續做, 持續嘗試。我正在做的東西看似會有成果；這是罕見的狀況, 值得開心。

劉: 什麼工作？

S: 是要建構一些奇異點(singularity)的例子。 30 多年前, Bob Hardt、 Luis Caffarelli ³⁵ ³⁵ Luis Angel Caffarelli (1948$\sim$), 阿根廷數學家, 2012 年獲 Wolf 獎, 對自由邊界問題及非線性偏微分方程有重大貢獻。參見本刊 2008 年第 32 卷第 3 期「有朋自遠方來」專訪。與我證明了一個結果 ³⁶ ³⁶ Caffarelli, L., Hardt, R. and Simon, L. Minimal surfaces with isolated singularities, Manuscripta Math, 48 (1984), 1-18. , 對給定的極小子流形, 建構出一整族極小子流形(minimal submanifolds)；在原給定的子流形的孤立奇異點, 這族子流形會漸進至此給定的子流形。那個結果或許不怎麼有趣, 但擾動 current 來得到其他漸近解, 是個重要的問題。你想要推廣此結果到更高維度的奇異點集合, 而不僅考慮一個孤立的奇異點。但這困難許多, 且完全不清楚什麼猜測屬實。在奇異點集是直線的情況, 我已經有一部分結果。我很喜歡這結果, 但它過於特殊, 不像之前 Bob、 Luis 和我的結果具一般性, 所以還有許多東西要了解, 我正嘗試著做。

劉: 聽來令人興奮！最後問一個問題 : 大家都說你是很傑出的老師, 可以提供一些秘訣嗎？

S: 備課顯然極其重要, 我認為或許是最重要的, 比其他事都重要。但光是備課並不足夠, 有時還需要一些天分。我認為就這點而言, 人腦十分有趣；有些人不管怎麼準備, 都無法教出像樣的課, 只因他們腦袋無法那麼運作。不知怎地, 他們無法把事情用簡單易懂的方式解釋, 因此無法引起聽眾關注, 也不能使他們參與其中。不過我認為, 還是有些規則, 是在你備課和授課時應該依循的。備課方面, 應該花些時間做哲學性的思考, 不只思考應該說什麼, 還要思考如何表達。例如準備在課堂簡單討論 : 主要概念怎麼出現？動機又如何產生？通常會有某個想法直接又實在, 而如果你可以告訴他們那個想法到底是什麼, 他們會非常感激你。但很多人往往只呈現教材上的東西。當然, 如果你每週講授五堂大學部的課, 可能有時不得不如此。可是, 只要情況允許, 你應該試著提出簡明扼要的見解, 避免在複雜迂迴的解說中打轉, 因為講課時, 在多半的節點上, 你只有十秒鐘吸引他們注意, 是吧？之後他們會自言自語, 問說 : 台上的人在說什麼？他想要表達什麼？我認為講課前先思考這些問題是很重要的, 而且要試著把這些見解穿插於正式教材。這確實會對你的大學部課程有重大影響, 研究所課程亦然。另外, 在思考「說什麼」和「如何說」時, 或許同樣重要的問題是「不說什麼」。有時太多的討論恐適得其反, 增加製造困惑的機會。因此, 我們應力求簡明清晰, 不要做多餘的解說。

也別忘了 : 你是人, 不是機器人, 你的聽眾也是人, 所以你要和他們互動, 不能只和黑板說話。我見多了這情況 : 講者一心一意講課, 最後只和黑板說話, 好像背後空無一人；即如觀眾早都跑光, 講者也可以渾然不覺。我總是盡量避免這種極端狀況, 盡自己所能, 儘量與觀眾有合理互動。也永遠切記 : 要努力組織課程和授課, 使自己至少大半時間樂在其中；如果你無法樂在其中, 你的觀眾肯定也難以享用。

劉: 我們就以這個樂觀的話語結束。

S: 好！

---本文訪問者劉太平任職中央研究院數學研究所---