有朋自遠方來

專訪 Jaroslav Nešetřil 教授

PDF 2009年 3月(129) In English

策劃 : 劉太平
訪問 : 劉太平、李國偉、朱緒鼎
時間 : 民國 98 年 2 月 27 日
地點 : 中央研究院數學所
整理 : 陳麗伍、林庭光、林思華

Nešetřil 教授於1946年3月13日誕生在捷克的Brno城。 {1969年從布拉格的查爾斯大學畢業}, 並在1969年短暫留學加拿大麥克麥斯特大學獲得碩士學位。當所謂「布拉格春天」的政治寬鬆期過後, 捷克政府迫使留學生歸國, Nešetřil 教授因此返回查爾斯大學, 並於1973年在Pultr教授指導下獲得博士學位。1988年再於查爾斯大學獲得科學博士學位, 並於1993年榮任正教授。

Nešetřil 教授的學術生涯基本上都是在查爾斯大學度過, 從1986年至2000年他是該校應用數學系主任。 1996年創辦「離散數學、理論計算機科學及其應用研究所」, 2000年又擔任查爾斯大學「理論計算機科學研究所」所長。

Nešetřil 教授的研究專長包括: 組合學 (結構組合學、Ramsey理論), 圖論 (著色問題), 代數 (結構的表現、範疇論、同態映射), 偏序集合理論 (圖示與維度問題), 計算機科學 (複雜度、NP完備性)。他已經發表300篇以上的論文, 是超過10種學報的編輯委員, 以及《計算機科學評論》 (Computer Science Review) 的主編。

Nešetřil 教授對於捷克的數學教育貢獻良多。他帶領出來一批傑出的青年離散數學家, 使得目前捷克在國際離散數學界有舉足輕重的地位。 Nešetřil 教授也熱心推動國際學術交流, 不僅與歐美多處知名研究機構建立合作關係, 也擔任我國中央研究院數學研究所的學術諮詢委員, 並與我國學者合作論文, 其中與中山大學應用數學系朱緒鼎教授的合作成果最為豐碩。

Nešetřil 教授的學識觸角非常廣泛, 對於人文、藝術均有深厚的素養。他與畫家經常切磋, 並聯手創作舉辦畫展。他尤其喜好中國瓷器、書法與繪畫。

劉太平(以下簡稱「劉」): 首先, 讓我們喝點茶放鬆一下。孔夫子說過這麼一句話: 「有朋自遠方來, 不亦樂乎。」我們《數學傳播》的訪談專欄就以「有朋自遠方來」為名, 最近受訪的是研究偏微分方程的 Luis A. Caffarelli。

Nešetřil (以下簡稱「N」): 我現在在布拉格主持一個一年兩次的傑出系列演講。上個系列的最後一位演講者是 Vázquez 譯註: 指 Juan Luis Vázquez Suarez (1946-), 西班牙數學家。 , 他把 Caffarelli 視為他的科學之父。

劉: 就我們所知, 你是出身於東歐, 我不知道你是否會認為自己是東歐人?

N: 這說來複雜。(笑) 不過，我們認為自己是中歐。

劉: 中歐這塊地區傳統上以泛函分析著稱, 傑出學者包括有 Banach ² ² 譯註: 指 Stefan Banach (1892-1945), 波蘭數學家。、 Hausdorff ³ ³ 譯註: 指 Felix Hausdorff (1868-1942), 德國數學家。及其他人。但在這之外, 在組合數學方面也頗為著名。

N: 沒錯。

劉: 在上一次ICM (國際數學家大會)會議後, 國偉及不少其他人都告訴我, 組合數學在ICM中相當受到矚目。所以我想先問一個小問題: 當初你是如何進入這個領域? 為什麼中歐在組合數學這方面能夠這麼強, 比如捷克、匈牙利? 為什麼你會選擇這個領域?

N: 這個結果是由許多因素所造成, 不是那麼容易說得清楚。舉例來說, 或許有人會說這方面研究最厲害的是匈牙利人, 他們又是如何成就的? 我相信 關鍵是在特定人物的個人影響力。像 Dénes Kőnig ⁴ ⁴ 譯註: 指 Dénes Kőnig (1884-1944), 匈牙利數學家。 , 他是學邏輯、集合論及拓樸學的, 並在第二次世界大戰前完成他的第一本圖論書。緊接著出現的是一代出色的匈牙利學者, 例如 Erdős ⁵ ⁵ 譯註: 指 Paul Erdős (1913-1996), 匈牙利數學家。自 1938年獲得普林斯頓大學獎學金起, 他開始四處遊走於各數學研究機構及研討會間, 並於每次停留期間與他人共事撰寫論文, 直到啟程前往下一目的地。此習慣一直延續到他過世。 , Turán ⁶ ⁶ 譯註: 指 Pál Turán (1910-1976), 匈牙利數學家。 , Rényi ⁷ ⁷ 譯註: 指 Alfréd Rényi (1921-1970), 匈牙利數學家。 , 他們又全都有各自的學生。在我的國家Kőnig的書也非常有名。所以我們老師這一代例如: Miroslav Fiedler、Ales Pultr、Zdenek Hedrlin, 他們會引導學生去研究這個領域。這是一個明智的決定。但我們也視Erdős為我們的導師。你知道中歐是很緊密且聲息相通的地區, 所以如果政治局勢許可, 就可以在一個下午的時間往返, 就像來回高雄台北一般, 是很近很近的。所以在60年代, 我當學生時, 我到處旅行。到了70年代, 雖然旅行受到政治因素的限制, 但我們仍然可以前往布達佩斯。兩個地方的人不僅每個月都有往來, 甚至比現在還要頻繁, 所以我想 組合學在捷克、匈牙利的發展大部份都得利於個人之間的聯繫。第一個組合數學跟圖論的國際會議是在60年代由Fiedler所籌劃, 1963年在Smolenice舉行。包括美國, 西歐及世界各國許多數學家都來參加。會議能夠成功的部份原因是因為地點在歐洲中部。很難說一個學派是怎麼發展的, 但我們可以說主要的因素在於人。

李國偉(以下簡稱「李」): 你在 Brno 出生, 這個字"Brno"如何發音? 那裡好像也是學術活動的中心? 因為我記得 Gődel ⁸ ⁸ 譯註: 指 Kurt Godel (1906-1978), 德裔邏輯學家、數學家、哲學家。奧匈帝國分裂後成為捷克公民; 德國佔領奧地利前為奧地利公民; 二戰後成為美國公民。以其不完備定理著名於世。也是那裡出生的。

N: 沒錯。我晚 Gődel 四十年出生。 Brno是個大城, 它是Moravia的首府。我的國家由兩部分組成, Bohemia 跟 Moravia, 在歷史上從未分開過, Slovakia後來才出現。 Bohemia 跟 Moravia, 我們使用同樣的語言, 只有方言上的不同。布拉格是 Bohemia 的首都, 所以布拉格跟 Brno 之間總有一股較勁的意味, Brno 是很重要且工業化的城市, 距離維也納很近, 甚至在捷克屬於奧地利時, Brno 是當時的首都。那時 Brno 被稱為 Moravia 的曼徹斯特 (Moravian Manchester), 因為它有興盛的紡織工業, 其中一間工廠就屬於 Gődel 家族。 Gődel 是德國人, 在 Brno 當時有大量的德裔居民, 第一次世界大戰結束時他們可以自行決定自己所要居住的國家, 於是他們決定搬到奧地利。但他的母親則留在Brno, 她終生都待在那裡, 她是猶太人, 甚至經歷納粹時代且仍倖存, 她在1948年過世。 Gődel 在 Brno 的房子仍在。

李: 當你是高中生時, 你曾聽過 Gődel 這個名字嗎?

N: 沒有。

李: 沒有?(笑) 那現在 Gődel 在 Brno 是不是很有名?

N: 當然囉, Gődel 已經成為我們文化及傳統的一部份了, 不過科學家都比較少被人知道。我這裡有個故事, 我兒子讀大學的時候, 我一位美國朋友來布拉格, 跟我兒子 Jakub 聊天: 『學校的生活如何? 』我兒子回答: 『還不錯。』他接著問: 『你知道誰是 Goodel? 』『我沒聽過這個人。』我朋友說: 『你應該聽過, 尤其你在修電腦科學。』我朋友不斷重覆:『Goodel, Goodel。』我兒子則一直說: 『我沒聽過。』幾次後, 我兒子便覺得很尷尬, 這樣一位有名的數學兼電腦學家, 他竟然不曾在學校聽到。於是我便插進去問我朋友: 『Joe, 你想知道什麼? 』『我剛才問你兒子他有沒有聽過Goodel? 』我說: 『我也不知道。』 (笑) 然後, 我才突然想到: 『啊! 你指的是 Gődel! 』 (笑) 朱緒鼎 (以下簡稱朱): 所以現在的高中生會讀到 Gődel。

N: 或許會提到, 已經有點像人人都琅琅上口的名字, 毫無疑問地 Gődel 是出生於這個地區最偉大的科學家之一。

李: 中學時有沒有那位數學老師對你影響很大?

N: 在我念書時, 那時候的高中沒有像現在這樣, 有針對不同天份的學生所設立的不同課程。在我高中畢業後, 才開辦針對資優生的課程。那時我的中學教育是在一個叫 Rakovnik 的小鎮完成的。

李: 你唸的是 Gymnasium ⁹ ⁹ 譯註: 為歐洲部分國家中等教育機構的一種, 約略等同於英國的文法學校或美國的大學預科學校。嗎?

N: 我在 Rakovnik 唸 Gymnasium。那時, 我遇到一位好的數學老師。雖然我的母親也是數學老師, 不過, 我那時主要的興趣是美術。高中時我很幸運地遇到許多優秀的美術家, 其中一位間接地引導我進入科學領域, 他的名字是 Lexa, 這個名字很容易發音, 他的叔叔是捷克的埃及古物學之父、院士, 世界知名的學者。埃及古物學的捷克學者在這個領域與英國、美國、德國學者齊名, 我想他們的成就 (與英、美、德相較) 是在同一等級的, 現在他們在開羅仍設有研究所。當我的藝術/繪畫/油畫教授告訴我這件事, 他是非常引以為榮的。藉由這個因緣, 我接觸到一些科學家。所以我很早就見識到當一名學者或科學家是什麼樣子。那是很好的經驗, 讓我印象深刻而且影響我甚多。 Lexa 那時已經很老了, 我還年輕, 我非常感謝我母親安排我和 Lexa 學習。

朱: 所以你現在仍從事藝術, 對吧? 像繪畫或其他方面? 藝術與數學之間, 是否對你造成影響?

N: 我已經習慣了。我喜歡了解不同知性活動之間的關聯, 有時, 我甚至會寫關於這方面的文章。我現在有一位電腦科學的博士生, 他是做所謂的"數學的美學", 我們想要嘗試設計利用程式去產生調和(的圖像), 就像在教導電腦辨識及產生美的東西。這個研究有很好而嚴肅的動機, 但也許有點過於貪心。保守的來說, 我們在嘗試解讀電腦網頁的美學。這應當是可以透過程式自動完成的。這跟藝術有很大的不同, 不僅沒有固定的模式也相當地複雜。當然, 我們的目標並不是所謂藝術的美學。我的意思是以藝術來說, 它想使人驚訝、震懾群眾, 有許許多多的內涵包含於其中。而我們的目標只針對調和性。這是一個非常合理的計畫, 也許有相當的野心, 但我很認真地看待這件事, 而不只是一時興起。

李: 你用那些數學工具來從事這些研究?

N: 這當然需要跨領域的科際 (inter-disciplinary)整合, 例如使用積分幾何 (integral geom- etry),及機率性質分析圖像, 然後利用影像處裡 (image processing) 已發展出來的工具。一般人多不了解影像處理是發展速度最快的領域之一, 有許多事情都在完成中。但開始的動機不見得相同。

李: 你說的沒錯。

N: 又如, 我們學形構學 (morphology), 它是教我們如何讓圖形簡化, 而且如何去發現每個標記中的特定法則 (syntax)。另一個有關聯的領域則是碎形理論 (fractal theory), 這個圖和那個圖看來很像只是尺寸不同。仔細看, 再仔細看, 只像一堆隨機的點陣。所以他們有碎形邊界, 而且這是可以測量的。藉著上述這些領域的研究我們正緩慢前進, 我非常喜歡這個研究。

劉: 題外話, 這讓我聯想到, 在中國歷史中有個宋朝, 是中國文明高度發展的朝代。

N: 你說宋朝? 我們才剛在故宮博物院觀賞到許多我很讚賞的宋朝青瓷瓷器。

李: 沒錯, 我們才剛剛去過故宮博物院, 他很喜歡那些瓷器。

劉: 但我想說的是宋朝的詞, 詞在宋朝是可吟唱的, 但現在我們已遺失唱法了。這對我們來說是很大的損失, 你剛提到你的研究科目, 是很有企圖心的。或許我們可以效法你的精神, 試著去找回宋詞的吟唱法。這對中國文化來說真的是很大的損失, 中國文化失去了兩大東西, 其一便是宋詞的吟唱, 另一個則是元劇的唱腔, 這對我們來說, 真的是很大的遺憾, 聽到你剛才的話, 讓我有了這種感觸。

N: 當然。一旦你了解某些事, 你就等於清楚了某些規則跟原則。如果你知道某些假設的資訊跟規則, 那麼你就可以試著重建他們。

劉: 沒錯, 這是值得思考的。

N: 我可以舉一個好例子來說明, 以繪畫來說, 學藝術的人或者從事藝術鑑定的人, 能夠從一小片畫作中辨認出作者。我要說的是, 只要一小片塞尚的畫作, 我非常可能就能認出它的作者, 你當然沒辦法分辨是真蹟或摹本, 但是你認得出它的風格。

劉: 你會說: 『這是一幅塞尚。』

N: 這是一幅塞尚或仿塞尚的畫。分辨畫作的真偽是另一回事。以塞尚的例子而言, 有時候你很難去判定是不是仿畫。但是你可以辨識出風格、布局等等, 不過這是很難解釋的。實際上, 這當中的一些條件就是我們想用來"測量美"的主要準則。

劉: 讓我們暫停這些關於哲學的討論。我想問: 為什麼現在公認組合數學將是數學的一個核心? 它重要嗎? 或者讓我換一種說法, 什麼重要卻未被認為重要的呢?

N: 我希望你可以再重複一次你的說法, 再說一次組合數學是數學的一個核心 (笑)。

劉: Carleson ¹⁰ ¹⁰ 譯註: 指 Lennart Axel Edvard Carleson (1928-), 瑞典數學家。 , 這位偉大的瑞典調和分析學者, 他曾提到他如何證明 $L^2$ 函數的傅氏級數幾乎處處收斂, 這是20世紀下半葉古典分析相當經典的結果, 他說:『與其用多個一般性理論, 不如將問題化簡為某些組合的想法。』

N: Gowers 譯註: 指 William Timothy Gowers (1963-), 英國數學家。也有一篇漂亮的文章, 他是 Fields 獎的得主。他寫了一篇很好的文章《Two Cultures》, 我不知道你看過沒有?

朱: 我看過。

N: 那篇文章的大意是說: 在數學裡有兩種文化, 粗略地區分, 一是建立理論; 一是解決問題。當然, 根據經驗法則解決問題這類的數學最明確最完全的例子就是組合學。不過也有部份組合學是理論建構的, 並且有越來越多這樣的例子出現。我想這是組合學為什麼受歡迎或為數學家接受的一個原因, 也就是以後組合學會有越來越多的結構跟理論。或許這是我個人的想法, 但我認為這是正確的。組合學家看起來會越來越像正經的數學家, 或許這兩種文化之後能夠融合。另一方面來說, 數學家是有原則的人, 而我們並不喜歡妥協, 會這樣是因為數學的本質及其困難度。最近一、二十年間證明了些奇妙的定理, 這些定理具有組合的本質, 簡直令人瞠目結舌。這樣即使那些不喜歡組合數學的人也必須接受這個事實, 就這樣。

劉: 給我幾個這樣的定理吧。

N: 我有幾個漂亮的例子。我這次到台灣在高雄做一系列的演講: Structural Graph Theory。 1999年時我曾來過台灣, 當時我在高雄跟新竹也給了一系列演講。以這些演講為藍本我寫了一篇論文, 發表在《台灣數學雜誌》, 題目是: Aspects of Structural Combinatorics (Graph Homomorphisms and Their Use)。實際上, 那可說是引導我和 Pavol Hell後續研究的主因。之後, 我們出版了一本書, 是對這個主題做的survey。在過去的10年, 這個領域發展得如此快速, 其程度是完全超過我們的預期, 這很容易從文獻的紀錄裡看出來。要講述過去10年間的發展情況, 大概可以用上一整個學期的時間。結構組合是正在擴大中的數學分支, 到處都可發現它的蹤影。今天我們才剛聽到一個非常不同領域的 colloquium 演講---分割函數 (partition functions)。分割函數是關於計算同態 (homomorphism)的課題, 以單純的標的來計算同態。這個題目在如 Lovász 等人手中處理起來牽涉到非交換代數、隨機漫步以及量尺的極限, 我認為這種以概率來處理的方式是由最近才去世的 Oded Schramm ¹² ¹² 譯註: 指 Oded Schramm (1961-2008), 以色列---美國籍數學家。開始的, 他的合作者 Wendelin Werner 在 Madrid 的 ICM 得到了 Fields 獎, 這基本上是組合性質的工作。我是指這是與隨機圖與漫步有關的多種領域的科學, 所以這樣的結果並不是個意外。另外一個例子則是數論。近來, 數論當中有些最深的理論是具有組合的性質。 30或50年前, 數論的核心必然是解析數論 (analytic number theory)。現在情況已經改變了。組合數論 (或是稱為 additive combinatorics) 也是同樣重要, 當然這不是單方面組合數論的進展, 而要與組合學的進展一起來考量。現在的組合學已經不同於Kőnig時代的組合學, 也不同於 Harary ¹³ ¹³ 譯註: 指 Frank Harary (1921-2005), 美國數學家。那一代的圖論, 那是過時的。組合數學吸收了許多數學而且被許多數學家所使用, 現在幾乎所有的領域都有一些組合學的東西在裡面。所以這不再是我們所獨有的了。每個人都在討論圖形, 但有一件重要的事情要加進去, 你問為什麼有這些進展, 主要的影響因素是電腦。若干年前, 人們並不瞭解什麼是演算法。70年前的歐洲, 當時人們對演算法毫無概念。約莫40年前, 人們也依然不瞭解演算法是什麼, 更別提電腦的可計算性 (computability) 與有效可計算性 (effective computability)。這些都是最近才有的觀念。研究它們的人大多是邏輯學家或從邏輯領域跨過來, 但豐富這個領域的卻是之後由組合跨過來的人。比如, 有限模型理論 (finite model theory)一開始的反例讓人對這個理論抱持懷疑的態度, 所有邏輯的美不知怎麼地在"有限"的情形被破壞。不過，若干年後，人們發現在 "有限" 的情形有許多美好的東西, 例如各式各樣的反例。 "有限"基本上是電腦的限制。 不像50年前, 當時所有理性的數學家都在做"無限"的情形, 人們會問那麼我們為什麼要做"有限"? 現在我們有動機去研究"有限"了, 因為我們有電腦科學 (笑)。但另一方面, 有限數學又再走向無限, 而且很美。我們不會只考慮五個點的圖形, 我們考慮隨機圖 (random graphs)、極限圖 (limit graphs)跟漸近結構 (asymptotic structure), 這並不是古典的漸近, 只處理"潛無限" (potential infinity), 我們處理 "實無限" (actual infinity) (笑)。我們有巨大的無法下手研究的圖, 所以我們研究"有限"的樣本, 這些又引導到相當有趣的領域, 像預測$\cdots$ 這些全與機率有關, 甚至跟調和分析 (harmonic analysis)有關 (笑)。我似乎講得太多了 (小聲地說)。

劉: 不, 一點也不, 好極了。

朱: 你才剛主持了圖的同態和極限 (graph homomorphisms and limits) 的研討會, 可以說是給了圖論、組合學一個新的研究方向。那麼接下來, 我們可以期待些什麼? 圖論主要的走向會有什麼改變? 你覺得會與古典問題相關嗎?

N: 不, 不, 不。那樣野心太大了。雖然我們這領域勢必會日漸豐富, 但有些定理在組合方面太繁複了。如果說組合學有什麼不好, 就是它缺少理論而定理又太過繁複。證明通常因為個別分析而繁瑣, 所以這不是漂亮的、古典的, Bourbaki ¹⁴ ¹⁴ 譯註: 為 20世紀一群法國數學家發表一系列著作時共同使用之筆名。他們以建立完全奠基於集合論上的數學為標的, 且重視數學證明的嚴格性, 對後世數學有相當影響。式的數學。在古典數學裡, 你只要證明五個引理, 而且有技巧地把它們整合起來, 基本上, 依照順序證明它們, 也許寫個50頁定理就得證了。(笑), 但組合學通常不是這樣, 有太多的分枝及對付特定情形的論證。不過定理是很重要的, 要說明高級理論的影響的例子就是 Szemerédi regularity lemma。這是近代數學也是組合學至高的成就之一。 不久之前, 組合數學經歷了相同地 abstraction dilemma。現在這是個非常有意義的例子, 雖然被稱為 Szemerédi regularity "lemma"。這是一個關鍵的結果, 不只是引理而已。它是為了證明其它東西而發現的。正式的敘述需要五個量詞, Ramsey's theorem 公認為複雜的定理, Szemerédi regularity lemma還要更複雜。它的說明方式複雜, 因為 它是在證明其他東西, 在解決一個古老問題時被發現的, 也就是所謂的 Erdős-Turán 關於 density of sets without arithmetic progressions。所以 Szemerédi以 一個不尋常的方式發現它, 它被隱藏在一長串不必然需要如此複雜的證明中。然後1975年, 他將引理發表在關於圖的三頁的文章中, 但並不廣為人知。我記得當時我還是名年輕的研究者, Szemerédi是我的朋友, 沒有人用他的引理。人們讚歎它，因為引理很漂亮。 雖然人們瞭解它的意義: 每個大圖以某種方式來看是規則的， 但卻不知道要拿這個來做什麼。

朱: 沒錯 (笑)。

N: 然後, 大約五年後, 突然間, BOOM! 先是運用在Ramsey numbers with bounded degree graphs, 很不同的敘述及效果, 然後突然間出現一個接的一個應用, 它變得非常有用。 不過它的敘述還是很複雜$\cdots$ 我的意思是說$\cdots$ 緊接著就出現有很多工作要做$\cdots$ 曾有的問題是, 如何將它推廣到集合系統、三元組、四元組等。 Szemerédi ¹⁵ ¹⁵ 譯註: 指 Endre Szemerédi (1940-)，匈牙利數學家。原來談的是圖, 這類推廣當然可行, 但這不是正確的推廣。這方面的研究由我最早的學生之一 Vojtěch Rődl 在推動, 他有個計劃在進行, 但在這上面整整耗了十年而徒勞無功。之後, 他和他的學生, 以及Gowers才分別獨立完成了它的證明。他們最近找到一個很複雜的推廣, 將 Szemerédi regularity lemma推廣到集合的有限系統 (finite systems of sets)上。差不多幾個禮拜後, 就是前面提過的 limit objects 幫 Szemerédi regularity lemma搭起適當的舞臺, 將它引入主流數學領域。例如說, 現在已經有一篇論文叫作《寫給分析數學家的 Szemerédi regularity lemma》 (Szemerédi's Regularity Lemma for the Analyst)。作者是László Lovász 和 Balázs Szegedy。現在看來, Szemerédi的引理大致上是說, 一個圖結構的極限空間是緊緻的, 就這樣。但要達到這個結論, 需要五頁的定義和對高等數學的理解。這個結果很漂亮, 我想, 我們已經能正確地理解 Szemerédi 的引理是什麼; 它是個很基本的結果, 而且老早就存在了。它其實是科西不等式一個極為巧妙的形式。一個很巧妙的現代版本, 非常漂亮。 它用的是組合數學的敘述, 很容易解釋。 現在 Szemerédi regularity lemma、計數引理 (counting lemma)、可移除引理 (removable lemma)都合在一塊了, 這些都是很漂亮的結果, 而且每個人都懂, 就連小學生也幾乎可以理解。

李: 你說的沒錯。我還記得三十年前, 有個作分析的教授跟我說: 『組合數學沒啥, 就只有一個數學歸納法。』某種程度上, 真的是這樣。 (笑)

N: 對, 我覺得數學一直在演變, 數學界都知道, 60年代的抽象代數受到布爾巴基 (Nicolas Bourbaki)著作的影響; 我指的是一些人物, 像是 Dieudonné ¹⁶ ¹⁶ 譯註: 指Jean Alexandre Eug\`ene Dieudonné (1906-1992)，法國數學家。 , 布爾巴基的一個核心人物, 他們的著作完全不像組合數學。這甚至會牽涉到一些頗為個人的層面, 像 Erdős 周遊列國式 (nomadic)的風格就曾使人們把他當作局外人。

李: 我不知道你有沒有注意到, Gowers 和 Terence Tao ¹⁷ ¹⁷ 譯註: 指陶哲軒 (Terence Chi-Shen Tao, 1975-)，華裔澳籍數學家。正在做一個實驗。他們各有一個部落格, 而且正在發展某種 density Hales-Jewett 定理的推廣。他們讓許多人才在部落格上投入這個推廣工作, 部落格每天都有成長。

N: 這是最近的事嗎?

李: 對, 而且還在進行中。所以他們正在嘗試推動一種新型的研究數學的方法。

N: 很不錯, 如果是 Gowers 和 Tao 的話, 應該很有機會。他們真的是用部落格在工作, 可能是 Gowers 先開始的。他目前是劍橋教授。他把很多資料都弄上網了, 看起來似乎所有的數學都有。這非常有趣, 事實上, Gowers 甚至出版了一本百科全書。

李: 沒錯, 就是The Princeton Companion to Mathematics。

劉: 最近很多人在討論組合數學在電腦科學 (computer science)上的應用, 你說因為電腦科學的關係, 你對有限的東西感興趣, 不過, 你認為目前電腦科學的應用發展得如何?

N: 嗯, 電腦科學是一個很大的產業, (笑) 也許數學家錯了, 他們沒有雄心勃勃地往這個領域發展, 畢竟大部分數學家都不是有野心的人, 所以它最後成了工程的一部分。不過也許這也是唯一的一條路, 因為它太燒錢, 而且對數學來說太龐大了。數學是很小的一塊領域, 世界上研究電腦科學, 或在工程領域研究電腦的人, 要比研究數學的多多了。不過數學家在電腦科學發展的開端曾有過機會 --- 看看電腦科學的創始者有誰? 像von Neumann ¹⁸ ¹⁸ 譯註: 指John von Neumann (1903-1957)，匈牙利裔美國籍數學家。就是一個邏輯學家, 而且還曾發展基礎集合論。我的意思是, von Neumann是公設化集合論的奠基者之一, 他探索了一些新題目, 像是超濾套 (ultrafilter)及可建構集合 (constructible set) 的波萊爾分層 (Borel hierarchy), 這些都是他年輕時才開始發展的事物, 他可以說真的是對新事物和應用很有感覺, 他有一篇著名的論文在談賽局理論, 主要核心就是推廣的角谷不動點定理 (Kakutani fixed-point theorem) ¹⁹ ¹⁹ 譯註: 由日本數學家角谷靜夫 (Kakutani Shizuo, 1911-2004) 提出。。這是從拓樸學抽象得來的。所以計算機科學剛開始的一些出發點其實很抽象, 不過我想後來的發展主要都來自組合數學的研究者, 我是說, 一些關鍵的貢獻都來自他們, 就某種意義而言, 他們是最擅於解決問題的一群。組合數學裡最傑出的那些人, 後來都去做電腦科學和理論電腦科學了。他們受過良好的訓練, 而且對有限結構掌握得很好。我個人傾向認為, 這裡跟應用是沒什麼關係的。我是說, 當然有很多 (應用), 但我想組合數學 (之於電腦科學) 的角色, 就像集合論之於數學, 我是說, 組合數學變成了電腦科學的集合論。我確實影響了布拉格的教育機構, 不過我指的當然是我任教的大學。在我們給電腦科學學生的課程表裡面, 組合數學正在成長, 不斷成長。事實上分析課程則在減少, 因為其實學生們不那麼需要它。不過另一方面, 我也認為組合數學確實有它成長的空間。我的意思是, 組合數學已經開啟了許多新的領域, 而這些領域將來都會對數學影響深遠。

劉: 所以也許電腦科學家其實都是數學家?

N: 嗯, 也不能這麼說。不幸的, 我個人覺得他們之中的技術人員越來越多。技術性的電腦科學和數學之間的緊密關聯, 今日其實並沒有扮演它應扮演的角色, 我想電腦科學已一分為二。理論的電腦科學其實就是數學。電腦科學家也這麼認為。所以你可以在許多資料中發現, 在大多數地方, 電腦科學系和數學系相處得並不十分融洽。 (笑)

劉: 我們來談談大學教育吧。你是否在暗示, 我們應該慎重地考慮一般大學生的數學課程?

N: 我同意。當然, 這並不是簡單三言兩語就說得清楚。各地的分歧很大。在布拉格, 我們很早就開始教離散數學, 我們從大一就開始教, 而且找最好的師資來教。不過這麼做還有另一個目的: 部分是因為, 我們希望最優秀的學生進到我們的研究團隊裡來。 (笑)

朱: 我發現 (最近) 十年或十五年來, 許多優秀的年輕人自您的學校畢業, 他們成為組合數學的一批有力的生力軍。所以你們是怎麼做的? 你們怎麼吸引優秀學生進入這個領域?

N: 讓我告訴你這是怎麼一回事。先讓我大略解釋一下, 你們就會瞭解這其實跟我們沒什麼關係, 主要是當地環境造成的。我的意思是, 布拉格查爾斯大學 (Charles University)本來就是大家關注的焦點, 她是全國最好的學校, 或者該區最好的。所以許多曾在奧林匹亞或其它高中競賽中活躍的、最傑出的學生, 都來到這裡, 希望能在這唸大學。像是從斯洛伐克來的也有。所以我們這裡真的人才濟濟。不過我們在這方面也很積極, 我們團隊的 Martin Klazar、 Dan Král'、 Robert Samal、 Jan Foniok 等, 很早就開始籌辦高中競賽。他們參與了一些為學生辦的研習營, 而且, 就像我剛說的, 我們在布拉格有個傳統: 我們用最好的師資來教大一新鮮人。我自己也帶大一新生的課程, 而且我樂在其中, 是在教數學家們離散數學。我們目前正在修改課程規畫, 因為離散數學正在擴大, 我們在第一年增加兩小時的離散數學演習課。在電腦科學系, 這門課一向都是兩小時課堂, 兩小時演習, 而數學系只有兩小時課堂, 沒有演習。所以數學系學生抗議說他們需要更多演習課。協調了幾年之後, 決定要增加演習課, 所以我們又再一次修改離散數學的課程表, 接受更多古典數學的影響。我們在第一年還有一個專題, 我幾年前開始的, 它的名字很有趣。選修這門課可以得到學分, 這門課有全系所有課程中最長的名字: "解決組合數學問題、數學問題, 以及其它問題的導論"。這門現在是由Tomas Valla和 Martin Mareš 負責。我想你應該知道Martin Mareš。他們大約帶四十個學生, 上得很好。有些學生修這堂課, 是因為他們以為這堂課應該很好混, 然後他們發現, 其實並沒那麼容易。不過它不太像是針對某個特定問題的專題, 比較像是一個討論會, 只有新鮮人才可以修。所以我們正在嘗試, 基本上, 這是一個新的形式。當我還是個學生時, 從來沒有人會想辦法吸引我(讀數學)。不過現在你得設法積極點, 讓那些東西看起來有吸引力一點。

劉: 這很棒, 的確, 現在的年輕人有很多讓他們分心的事物, 要讓他們專心在嚴肅的事情上, 不過一旦你讓他們看見它的美, 他們就能督促自己了, 你知道的。

N: 不過他們很不錯, 他們跟他們的前輩一樣聰明。他們懂更多, 那些最好的學生碰到電腦可說是如魚得水。他們什麼都懂, 而且如果他們不懂, 他們很快就搞懂了, 他們享有的資訊要比我們的世代多多了。還記得當初要取得文獻是多麼困難嗎? 一切都障礙重重。就算是在美國, 不久前也一樣沒有文獻資料, 沒有影印機, 更別說電腦了。

李: 你有什麼建議給想進入組合數學領域的學生?

N: 嗯, 我會告訴他們, 不要左顧右盼, 最好專心在研究上, 坐下來, 看看他們可以做些什麼。 但良師益友, 倒是應該多方尋找結交。我認為一個人身邊的朋友、老師和同事都很重要, 因為這是你個人的選擇, 得看你有沒有智慧、懂不懂方法。我的意思是, 這是很見仁見智的事。你遇到十個人, 然後從裡頭挑一個 (作為指導教授)。但當然, 學生得自己決定, 而且他們沒辦法得到任何建議, 要不然就是很少。不會有老師說某某人不好 (笑), 他們也不常說某人不錯。所以學生們不止要能識人, 還要很幸運。我想這是每個人生涯上的一個關鍵轉折, 所以, 你非得跟對的人一起共事才行。誰是你名義上的老師其實不重要, 總是會有人在文憑上簽字。但你得有一群好友在身邊、好的同事與真正的良師, 這非常重要。對我們老師來說也一樣。我們得快速發掘人才, 知道誰表現傑出。我在學生這方面一直都很幸運, 我總是能遇上難得的好學生。 (笑)

劉: 這是個很好的話題。我很高興你問了這個問題, 而且有個很好的答覆。很好。也許, 我們訪談的後半段就留待來年吧。

N: 樂意之至, 非常感謝。

劉: 謝謝。

---本文訪問者劉太平、李國偉任職中央研究院數學所, 朱緒鼎現任教中山大學應用數學研究所, 整理者陳麗伍、林庭光、林思華為中央研究院數學所助理---