John Coates 英國皇家學院院士及劍橋大學Sadleirian講座教授, 出生於澳洲, 先後就讀澳洲國立大學, 法國高等師範以及英國劍橋大學。 60年代末期在劍橋取得博士後轉赴美國Harvard大學, 在美國、法國任教20餘年後, 於80年代末又回到英國劍橋。 他的研究領域是數論, 特別是代數數論與算術幾何。 在引進Iwasawa理論到橢圓曲線的研究上, 他以及他的學生做出了重大的突破與貢獻。證明Fermat猜想的A. Wiles就是他的學生, 而他師事的老師包括K. Mahler, A. Baker (Fields 獎得主) 以及 J. Tate。

陳: 我們真的很榮幸能有這個機會來作這一次的專訪。

Coates: 謝謝。

王: 我們的第一個問題是:「可否請你告訴我們, 你是如何決定要學習數學的? 有沒有什麼特別的理由讓你選擇數學作為主修呢?」

Coates: 不, 以我而言, 我不是在小的時候決定的, 因為我一開始並沒有機會學很多數學, 我是一直到大學才決定的。 我上的是澳洲國立大學, 在大學部我開始念的課程是自然科學, 我得到的是理學士的學位, 但是在第一年我選修純數學、 應用數學、物理以及化學。 我當初選擇從事數學研究, 主要是想從事使用智力的工作。 上大學前我本來想念物理, 可是物理對我似乎不是一個較好的選擇。

陳: 我們都知道你是一位數論學家, 是否請你告訴我們你學習數論的經過? 例如第一本入門書, 或者有趣的課程?

Coates: 大學時讓我最感興趣的課應該是數論方面的課程吧! 尤其是由Mahler教授開的, Mahler是一位從事Diophantine approximation研究的數學家, 他是Siegel的學生, 這是Mahler的第一份工作。 大一時他教我們基礎數論, 大二年時他教的是elliptic modular functions, 這是一門非常有趣的課, 我很感興趣。 當時, Mahler也告訴我未來數學的大方向將是算術幾何 (arithmetic geometry) , 並建議我往這個領域發展, 因此我開始朝這個方向探索。

王: 請你談一下在大學畢業之後到取得博士學位的經歷?

Coates: 大學畢業後我先到法國巴黎的高等師範學校(Ecole Normale Superieure) , 當時我是想要學算術幾何, 但是在大學時我在代數、 層論(sheaf theory)上的基礎並不夠, 後來又因為我得到了劍橋的獎學金, 所以一年之後就到劍橋去, 並且在劍橋完成了我的博士學位。

王: 可否請你告訴我們當你在劍橋時, 劍橋的數學訓練是怎麼樣?

Coates: 和現在差不多, 主要是能夠在你的研究工作上有進展, 而且我在劍橋並沒有念 part 3(相當於台灣的碩士班) , 因為在巴黎的那一年已經完成了, 並且事實上我只有三年的獎學金。

王: 用三年的時間來完成博士學位是相當短的?

Coates: 在當時用三年是相當正常的。 以現在來說則會花更長的時間, 一般說來要四年, 因為現在的科目比以前還要多, 所以三年在那時是正常的。

王: 可否請你談一談你的博士論文指導教授Alan Baker對你的影響?

Coates: 我沒有繼續從事他那個領域的研究工作了, 因為我對於結構性較感興趣。 我依然在他做的事情上工作, 但是我早先從Mahler學到的更多, 它並不是讓我十分感興趣的領域。 有兩位數學家對我的影響更大, 第一位是Mahler, 其次是John Tate。 我畢業後就做一些有關代數數論的研究, 因為我畢業後的第一份工作是在哈佛(Harvard), 而Tate在那時主持了一個討論班, 主題是數體的K2性質。 他想研究在函數體上類似的問題, 在當時我對此一無所知, 而Iwasawa似乎在這方面有些部分結果, 這就是我一直在想的問題。

陳: 我們都知道你是Birch and Swinnerton-Dyer^{* *} 見本期余文卿 "Birch 與 Swinnerton-Dyer 猜測" 猜想的專家, 你可否介紹此一猜想?

Coates: 我在哈佛那時並不完全做BSD猜想, 當時Tate和Birch做了一些有趣類似的猜想, 連結了數體的zeta函數的特殊值與算術群的秩。 當時, 在那裡有很多年輕的美國人對BSD猜想有很大的興趣, 包括Tate博士班的學生, 例如S. Litchenbum。 在那個階段, 很明顯的我們都遇到相同的困難, BSD猜想十分地困難, 我仔細檢查技術性的部分, 很幸運的我做出了一些初步結果。

王: 我們想要問一些有關教學的事情。 在劍橋, 目前仍然有很多學生喜歡念數學嗎?

Coates: 有很多學生, 我們大約有850至900位大學數學系學生。 而約有175位念所謂的part 3, 但是他們全部都算是大學生。 在劍橋我們是幸運的, 因為劍橋原本是一間小的大學, 直到1830年, 大學課程只有數學, 當然現在有很多了, 然而大學生中有十分之一仍主修數學, 數學系大部分仍是大學生組成。 數學系在本校有很好的傳統, 英國的公司很喜歡僱用數學系畢業的學生, 他們在學校所受的訓練使得他們在職場很受歡迎。

王: 你說到約有九百位學生念數學, 是包括所有種類的數學嗎? 例如資訊科學?

Coates: 不包含資訊科學, 在數學系教職員中分成四種, 分別是純數學、應用數學、 理論物理、以及數理統計。 資訊科學並不在數學系裡, 資訊科學的大學生很少, 不過一些數學系的學生可以輔修資訊科學的課程。

王: 修純數學的學生佔了多大的比例呢?

Coates: 沒有辦法明確的計算, 因為他們第一年都修相同的課程, 第二年後就差別很大, 而且他們也混著修課, 而最受歡迎的課程是機率, 因為它在社會裡比較實用。

陳: 有很多人上數論這門課嗎?

Coates: 是的, 很受歡迎。 第一年是基礎數學導論, 他們教些有關數學的基本知識, 例如整數論、集合論、同餘式以及密碼學, 基本上他們都教了所有東西。 在第三年則著重專門的數論課程。

王: 你曾提及你們有助教課程(tutorial course), 這是相當特別的, 你可否談談這個課?

Coates: 對劍橋學生來說這個系統十分特別而且是劍橋特有的。 課程是由學校規劃, 每一門課除了特定的授課者之外, 還有兩位負責tutorial的教師, 而tutorial section則是由學院裡的教師們負責並授教。

王: 教授們需要教這個課嗎?

Coates: 是的, 但是這個系統現在有一些改變。 以前, 教師們均是屬於大學與學院的, 他們必須教導這些課程。 現在大學與學院間的連繫變少, 很多人不去學院教書了, 而且現在研究的壓力比以往大, 升等的制度也已經改變。

王: 你在這課中做些什麼呢?

Coates: 我已經有很多年沒有個別教這門課, 但是在教這門課中, 我可以立刻提出問題以便知道學生在課堂上學了多少東西, 也可以在這門課上演練例題, 做考古題或者回答學生的問題。

陳: 我們已經聽過你兩場演講, 你在台大的那場演講真的是太棒、太完美了。 我猜當你在學校教書的時候, 學生們應該會喜歡在下課後問你問題?

Coates: 當然, 我認為這是相當重要的。 在劍橋的大學課程, 學生們總是指正上課中的每一個筆誤或者其他錯誤。

陳: 你曾在四個不同國家裡的學校擔任教授, 英國(劍橋)、美國(哈佛)、 澳洲和法國, 好像在參加網球四大公開賽一樣。 你可否為我們大略比較一下這四個國家的大學數學教育?

Coates: 在不同國家裡是差別很大的。 在美國, 它研究生的教育比較好; 而在劍橋, 它有很好的大學學程, 它大學生的素質不錯; 在法國, 它的研究所學程則與美國最好的大學相近, 有一些高水平的大學學生念完大學二年級的課程後便進入Ecole Normale Superieure, 但是由於它的大學生程度參差不齊, 而且是大班制沒有經過篩選, 所以教學上比較困難;在澳洲, 因為我停留的時間並不長, 只做一些短期研究, 所以不那麼的瞭解, 一般而言還不錯, 在劍橋仍會收到從澳洲來的好學生。

王: 在劍橋, 數學系的學生會繼續在劍橋念博士或是到其他學校呢?

Coates: 今年約有175位繼續念part 3, 最多約有30位左右留在劍橋, 其他則離開到了美國、歐洲等等的學校。

王: 劍橋收很多外來的學生嗎?

Coates: 是的, 我們收相當數量的外國學生。 一般來說, 我們會鼓勵外國學生先念 part 3, 不過也有少數學生會直接攻讀博士學位。

王: 你通常會鼓勵你的學生到其他地方念博士嗎?

Coates: 我通常會讓他們自己選擇, 一般來說我不會給他們壓力。 我想人們到國外求學是正確的抉擇, 問題是何時去? 到國外作一、二年博士後研究也是個好的選擇, 至少我認為劍橋畢業的博士生應該到其他地方做博士後研究。

王: 在所有數學的活動中, 研究、教學或者從事其他的工作, 什麼事是讓你最感興趣的?

Coates: 我認為如果對做研究沒有興趣的話就不能成為數學家了, 當然數學研究是相當廣泛的, 現今的系統及潮流給數學家相當的壓力去生產新文章, 但是有一些其它的數學研究也是有其價值的。 例如, 運用更有智慧的方式改寫他人的文章也是重要的研究工作, 或者是整理一個重要領域的數學, 即使那不是自己的工作, 但是用更能讓人接受的語言及方式來推廣它, 也是非常有價值的研究工作。 當然, 最有趣的數學活動就是「作數學」, 我也認為教學是很重要的, 只要你不用教太多 課程。 因為要作數學, 你必須有足夠的時間來思考。

陳: 在做數學研究時, 通常會遇到窘狀而感到沮喪, 你是如何克服這種情況?

Coates: 這是個很好的問題, 數學研究有時候的確令人感到挫折, 我想年紀增長的好處之一是：雖然你不再那麼容易去學新的東西, 反應也沒有那麼快了, 但是你變得更能應付這種挫折。 在感覺挫折時, 有一些事是會有幫助的。 例如, 將自己碰到的數學問題在研討會中給一個報告, 讓自己重新思考這個問題, 或者教一門相關的研究生課程。 我想數學創作沒有什麼祕方, 有問題就只能面對。 例如, 數學中結構性理論的特點之一就是：你總是確定其中一定有很漂亮的結果, 只是該如何去找出來而已。 所以當你感到沮喪時, 你一定要堅持到底, 不可以就此放棄。 在數學研究中很重要的是證明, 一個好的想法, 倘若不能用來證明一些結果, 最後還是沒用的。 在這方面數學和其他領域是很不同的。

王: 能否請你比較之前提到的四個國家的tenure系統?

Coates: 現在的tenure系統的確給數學家較大的壓力, 我並不是非常清楚美國這方面的制度, 因為近年來並沒有長時間的停留。 在我的印象中美國是有一種趨勢： 好的大學往往競相追逐幾位「超級巨星」。 我認為這不是一個好的現象, 在數學領域中不應該有所謂的「超級巨星」。 當然有些人做了一些重要的突破, 但是如果你看所有數學中重要的領域, 至少在我所見的領域中, 各式各樣的結果都是一種貢獻, 並且你永遠不能預知未來, 這是另一件有趣的事, 因此所謂的「超級巨星」是不對的。 我的感覺是美國過度重視追逐「超級巨星」, 其他的數學家相對的就沒有這麼好的機會了。
在其他國家或多或少也有一些tenure的壓力。 例如在澳洲, 現在的tenure系統就對他們很不利, 因為基本上他們取消了每個人的 tenure, 每隔幾年就必須重新檢討他們的聘書, 我想除非全世界都執行這樣的制度, 否則這對澳洲的數學發展乃至於整個國家是很具有殺傷力的。
在另一方面, 法國則是僱請了很多數學家, 而且一旦雇用了, 即是終身雇用。 年輕數學家一開始的薪水可能很少, 可是至少他們有一份固定的工作, 不過這也可能產生一些完全相反而且荒誕的問題, 例如有些人有了教職後卻幾年都不去上班, 或者同時有其他的工作, 學校因此不能雇用新的數學家, 但也無法請他們離職。
我相信 tenure 是很基本的, 一個好的大學若不能提供 tenure 的工作, 唯一的辦法就是給很高很高的薪水, 但是這樣會破壞學校的氣氛, 因為在學校中大家從事的是使用智力的工作。 在這一方面我想美國是不錯的, 每個人畢業後從事二至三年的博士後研究, 然後得到一份 tenure track 的工作, 二至五年後得到 tenure, 這似乎是個相當理想的制度, 問題是要真正執行你必須要有足夠多的 tenure track 的工作, 並且能保證大部分的人可以拿到 tenure, 沒有tenure可拿到卻要人下定決心作數學是不可能的。

陳: 以一位數學家而言你一定在你的工作上花了很多時間, 你認為這會對你的家庭生活造成正面或者負面的影響嗎? 你的家人曾經抱怨你的工作嗎?

Coates: 不, 你必須與你的家庭生活整合在一起。 有時候我妻子會抱怨, 但是我通常也看到我兒子待在財務公司裡長時間的工作, 經常要出差, 我想他的工作量就像很多數學家的一樣吧!

陳: 我們的訪談就到此為止。

---本文訪問者為淡江大學數學系教授及中央研究院數學所研究人員; 整理者任職於國科會理論中心 ---