分別過拋物線內接三角形 $ABC$ 的頂點作切線, 設它們各交於 $A'$, $B'$, $C'$, 若用 $S$ 表示面積, 則有

\begin{align} S_{\triangle A'B'C'}=\dfrac 12 S_{\triangle ABC}.\label{1} \end{align}

這一結論是麥比烏斯於 1827 年得到的, 其證明可參閱文獻 或文獻 。 麥比烏斯定理啟發我們考慮三次曲線 $y=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$ ($a_0\not=0$) 是否有類似的結論, 本文所得的結果是如下命題。

命題： 設 $A,B,C$ 是曲線 $y=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$ ($a_0\not=0$) 的凹弧 (或凸弧) 上的不同三點, 過此三點分別作曲線的切線, 這些切線相交於點 $A'$, $B'$, $C'$, 若用 $S$ 表示面積, 則有

\begin{align} S_{\triangle A'B'C'}\lt\dfrac 12 S_{\triangle ABC}.\label{2} \end{align}

證明： 首先考慮三次曲線 $y=x^3+px$。 易知點 $O(0,0)$ 為 $y=x^3+px$ 的拐點亦即曲線凹、 凸的分界點。 由於 $y=x^3+px$ 關於點 $O(0,0)$ 為中心對稱, 因此只需要考慮曲線 $y=x^3+px$ 當 $x\ge 0$ 的情形, 此時曲線弧為凸的 (向下凸)。

設 $A(a,a^3+pa)$, $B(b,b^3+pb)$, $C(c,c^3+pc)$ 為 $y=x^3+px$ 上的不同的三點 $(0\le a\lt b\lt c)$, 則

\begin{align} S_{\triangle ABC}=&\,\frac 12\left|\begin{array}{ccccc} a&~~&a^3+pa&~~&1\\ b&~~&b^3+pb&~~&1\\ c&~~&c^3+pc&~~&1 \end{array}\right|=\frac 12\left|\begin{array}{ccccc} a&~~&a^3&~~&1\\ b&~~&b^3&~~&1\\ c&~~&c^3&~~&1 \end{array}\right|\nonumber\\ =&\,\frac 12(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c).\label{3}\end{align}

由於 $y'=3x^2+p$, 故 $y=x^3+px$ 過 $A,B,C$ 三點的切線方程分別為

\begin{align*} y=&\,(3a^2+p)x-2a^3;\\ y=&\,(3b^2+p)x-2b^3;\\ y=&\,(3c^2+p)x-2c^3. \end{align*}

解此聯立方程組可得 $y=x^3+px$ 過 $A,B,C$ 的三條切線的交點座標分別為

\begin{align*} &A'\Big(\frac 23\cdot \frac{a^2+ab+b^2}{a+b},\frac 23\cdot \frac{p(a^2+ab+b^2)}{a+b}+\frac{2a^2b^2}{a+b}\Big);\\ &B'\Big(\frac 23\cdot \frac{c^2+ca+a^2}{c+a},\frac 23\cdot \frac{p(c^2+ca+a^2)}{c+a}+\frac{2c^2a^2}{c+a}\Big);\\ &C'\Big(\frac 23\cdot \frac{b^2+bc+c^2}{b+c},\frac 23\cdot \frac{p(b^2+bc+c^2)}{b+c}+\frac{2b^2c^2}{b+c}\Big). \end{align*}

從而有

\begin{align*} S_{\triangle A'B'C'}=&\,\frac 12\left|\begin{array}{ccccc} \dfrac 23\cdot \dfrac{a^2+ab+b^2}{a+b}&~~&\dfrac 23\cdot \dfrac{p(a^2+ab+b^2)}{a+b}+\dfrac{2a^2b^2}{a+b}&~~&1\\[8pt] \dfrac 23\cdot \dfrac{c^2+ca+a^2}{c+a}&~~&\dfrac 23\cdot \dfrac{p(c^2+ca+a^2)}{c+a}+\dfrac{2c^2a^2}{c+a}&~~&1\\[8pt] \dfrac 23\cdot \dfrac{b^2+bc+c^2}{b+c}&~~&\dfrac 23\cdot \dfrac{p(b^2+bc+c^2)}{b+c}+\dfrac{2b^2c^2}{b+c}&~~&1 \end{array}\right|\\ =&\,\frac 2{3(a+b)(b+c)(c+a)}\left|\begin{array}{ccccc} {a^2+ab+b^2}&~~&a^2b^2&~~&a+b\\ {c^2+ca+a^2}&~~&c^2a^2&~~&c+a\\ {b^2+bc+c^2}&~~&b^2c^2&~~&b+c \end{array}\right|.\end{align*}

由於

\begin{align*} \left|\begin{array}{ccccc} {a^2+ab+b^2}&~~&a^2b^2&~~&a+b\\ {c^2+ca+a^2}&~~&c^2a^2&~~&c+a\\ {b^2+bc+c^2}&~~&b^2c^2&~~&b+c \end{array}\right|=(b-a)(c-a)(c-b)(ab+bc+ca)^2, \end{align*}

因此

\begin{align} S_{\triangle A'B'C'}=\frac 23\cdot \frac{(b-a)(c-a)(c-b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}(ab+bc+ca)^2. \label{4} \end{align}

由式 \eqref{3}, \eqref{4} 得

\begin{align} \frac{S_{\triangle A'B'C'}}{S_{\triangle ABC}}=\frac 43\cdot \frac{(ab+bc+ca)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)}.\label{5} \end{align}

經計算得

\begin{align*} {(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)}=&\,a(b^3+c^3)+b(c^3+a^3)+c(a^3+b^3)\\ &\,+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4ab(a+b+c),\\ (ab+bc+ca)^2=&\,a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab(a+b+c). \end{align*}

故由式 \eqref{5} 知不等式 \eqref{2} 等價於

$$3(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)\gt8(ab+bc+ca)^2,$$

亦即

\begin{align*} &\hskip -20pt 3[a(b^3+c^3)+b(c^3+a^3)+c(a^3+b^3)+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4ab(a+b+c)]\\ \gt&\,8a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+16abc(a+b+c), \end{align*}

或

\begin{align} 3[a(b^3+c^3)+b(c^3+a^3)+c(a^3+b^3)]\gt2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4abc(a+b+c).\label{6} \end{align}

由於 $a^3b+ab^3\gt2a^2b^2$, $b^3c+bc^3\gt2b^2c^2$, $c^3a+ca^3\gt2c^2a^2$, 因此得

$$3[a(b^3+c^3)+b(c^3+a^3)+c(a^3+b^3)]\gt6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).$$

又 $a^2b^2+b^2c^2\gt2ab^2c$, $b^2c^2+c^2a^2\gt2abc^2$, $c^2a^2+a^2b^2\gt2ab^2c$, 所以可得

$$4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\gt4abc(a+b+c),$$

因此

$$6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\gt2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4abc(a+b+c),$$

由此知不等式 \eqref{6} 成立, 從而不等式 \eqref{2} 成立。

對於曲線 $y=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$, 由於 $a_0\not=0$, 故不妨設 $a_0\gt0$。

首先作座標平移變換 ： $x=x'-\dfrac{a_1}{3a_0}$, $y=y'+\dfrac{2a_1}{27a_0^2}-\dfrac{a_1a_2}{3a_0}+a_3$, 則 $y=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$ 變換為 $y'=a_0{x'}^3+a_2'x'$, 其中 $a_2'=-\dfrac{a_1^2}{3a_0}+a_2$。

由於 $a_0\gt0$, 故 $\dfrac{y'}{a_0}={x'}^3+\dfrac{a'_2}{a_0}x'$, 再作座標壓縮變換 ： $\dfrac{y'}{y''}=a_0$, $\dfrac{x'}{x''}=1$ 並記 $\dfrac{a'_2}{a_0}={a''_2}$, 則 $y=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$ 變換為 $y''={x''}^3+a''_2x''$。

由前面的證明知, 不等式 \eqref{2} 對於曲線 $y''={x''}^3+a''_2x''$ 成立。 由於座標平移變換及壓縮變換不會改變直線與曲線的相切關係, 也不會改變兩個圖形之間的面積關係, 因此對曲線 $y=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$ , 命題成立。

參考文獻

本文作者為戴立輝, 陳翔任教中國閩江學院數學與數據科學學院,蘇化明任教中國合肥工業大學數學學院