47107 從兩種直角三角板到14種＂中學有理三角形＂

(i) 三邊長之比滿足

$$\ell_1:\ell_2:\ell_3=\sqrt{d_1}:\sqrt{d_2}:\sqrt{d_3},$$

(ii) 每個角都是有理角, 即(在弧度制下)為$\pi$的有理數倍。

(i) 對每個 $i=1,2,3$, $\theta_i=r_i\pi$, 其中 $r_i$ 是有理數。

(ii) $\theta_1\leq\theta_2\leq\theta_3$。

(iii) $\ell_1:\ell_2:\ell_3=\sqrt{d_1}:\sqrt{d_2}:\sqrt{d_3}$, 其中 $d_1,d_2,d_3$ 是 (正)有理數。

$$(\theta_1,\theta_2,\theta_3)=\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right) \text{或} \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right) \text{或}\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right) \text{或}\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right).\label{2}$$

$$1, \,\,\frac{1}{2},\,\, 0,\,\, -\frac{1}{2},\,\,-1.\label{3}$$

\begin{align*} &\cos2\theta=\frac{2p^2-q^2}{q^2}.\\ {\hbox{注意,}} \gcd(2p^2-q^2,q^2)=\,&\gcd(2p^2,q^2)=\left\{\begin{array}{lcl} 1,&\quad &\text{若 $q$ 是奇數}\\ 2,&\quad &\text{若 $q$ 是偶數} \end{array}\right., \end{align*}

$$\cos\theta, \cos2\theta, \cos4\theta,\ldots$$

$$\cos\theta, \cos2\theta, \cos3\theta,\ldots$$

\begin{align} \cos\theta_1=\,&\frac{\ell_2^2+\ell_3^2-\ell_1^2}{2\ell_2\ell_3}=\frac{d_2+d_3-d_1}{2\sqrt{d_2d_3}},\label{4}\\ {\hbox{於是有}} \cos^2\theta_1=\,&\frac{(d_2+d_3-d_1)^2}{4d_2d_3},\label{5} \end{align}

$$\cos2\theta_1=\frac{1}{2},\,\, 0,\,\, -\frac{1}{2},\,\,-1.$$

$$2\cos^2\theta_1-1=\frac{1}{2},\,\, 0,\,\, -\frac{1}{2},\,\,-1.$$

$$\cos^2\theta_1=\frac{3}{4},\,\, \frac{1}{2},\,\, \frac{1}{4},\,\,0,$$

$$\cos\theta_1=\pm \frac{\sqrt{3}}{2},\,\, \pm\frac{\sqrt{2}}{2},\,\, \pm\frac{1}{2},\,\,0.$$

$$\theta_1\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6}\right\}=S.\label{6}$$

$$\theta_2\in S,\qquad \theta_3\in S.\label{7}$$

$$\theta_1+\theta_2+\theta_3=\pi.\label{8}$$

$$\theta_1\leq \frac{\pi}{3}\leq \theta_3.\label{9}$$

$$\theta_2=\frac{\pi}{3},\quad \theta_3=\frac{\pi}{2}\quad \text{或}\quad \theta_2=\frac{\pi}{6},\quad \theta_3=\frac{2\pi}{3}.\label{10}$$

$$\theta_2=\frac{\pi}{4},\quad \theta_3=\frac{\pi}{2}.\label{11}$$

$$\theta_2= \theta_3=\frac{\pi}{3}.\label{12}$$

$\Box$

$$(\theta_1,\theta_2)= \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right) \text{或}\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right).\label{13}$$

$$\cos^2\theta=0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1.$$

$$r=0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1.$$

$$\cos2\theta=\dfrac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta},$$

\begin{align*} &\ell_1:\ell_2:\ell_3=x_1:x_2:x_3,\\ {\hbox{其中}} &\qquad x_j=a_j+b_j\sqrt{d_j}, \end{align*}

1982年, J. C. Parnami等 確定了全部的"有理中學三角形"(A. Berger 最近又重新推導了這一結果)。 其結果如下:

 36-36-108 36-72-72 15-15-150 15-30-135 15-45-120 15-60-105 15-75-90 30-30-120 30-45-105 30-60-90 30-75-75 45-45-90 45-60-75 60-60-60

Parnami 等對定理7的證明, 僅用到初等的 Galois 理論與數論, 下面我們分享給有興趣的讀者。 證明用到三個引理, 我們介紹如下。

$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ 是剩餘類環 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的乘法群。 Gauss 給出了關於 該群的結構的基本結果, 這是我們所需要的第三個引理 (參見 [p.73] 定理 2)。

$$(\mathbb{Z}/2^s\mathbb{Z})^*\times (\mathbb{Z}/p_1^{s_1}\mathbb{Z})^*\times \cdots\times (\mathbb{Z}/p_t^{s_t}\mathbb{Z})^*,$$

$$\ell_i\in\mathbb{Q}(\sqrt{d_i}),\quad i=1,2,3,\label{14}$$

\begin{align} \cos\theta_1=\,&\frac{\ell_2^2+\ell_3^2-\ell_1^2}{2\ell_2\ell_3},\label{15}\\ {\hbox{從而}} \cos\theta_1\in\,&\mathbb{Q}(\sqrt{d_1},\sqrt{d_2},\sqrt{d_3}).\label{16} \end{align}

$$\sigma:\, \sqrt{d_i}\mapsto \pm\sqrt{d_i}, \quad i=1,2,3.\label{17}$$

$$\sigma^2=1.\label{18}$$

$$\tau^2=1.\label{19}$$

\begin{align} 2\cos\theta_1&=\zeta+\zeta^{-1},\label{20}\\ {\hbox{從而}} \cos\theta_1&\in\mathbb{Q}(\zeta).\label{21} \end{align}

$$n=2^sp_1^{s_1}\cdots p_t^{s_t}$$

$$p_i^{s_i-1}(p_i-1)\leq 4.$$

\begin{align} n&=2^s3^{s_1}5^{s_2},\label{22}\\[-5pt] {\hbox{其中 }} 0\leq s\leq 4,\quad 0&\leq s_1\leq 1,\quad 0\leq s_2\leq 1.\label{23} \end{align}

$$S_1=\{4,8,16, 3,6,12,24,48, 5,10,20,40,80, 15,30,60,120,240\}.\label{24}$$

$$7^2\equiv \pm 1\pmod{n}.\label{25}$$

$$n\mid 48 \quad\text{或}\quad n\mid 50.\label{26}$$

$$S_2=\{4,8,16, 3,6,12,24,48, 5,10\}.\label{27}$$

\begin{align} 11^2\equiv \pm 1 &\ \hbox{mod}\,{n}.\label{28}\\ {\hbox{這意味著 }} n\mid 120 \quad&\text{或}\quad n\mid 122.\label{29} \end{align}

$$S_3=\{4,8, 3,6,12,24, 5,10\}.\label{30}$$

$$S=\left\{\frac{2\pi}{4}, \frac{2\pi}{8}, \frac{6\pi}{8}, \frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{6}, \frac{2\pi}{12}, \frac{10\pi}{12}, \frac{2\pi}{24}, \frac{10\pi}{24}, \frac{14\pi}{24}, \frac{22\pi}{24}, \frac{2\pi}{5},\frac{4\pi}{5}, \frac{2\pi}{10},\frac{6\pi}{10}\right\}.\label{31}$$

$$S=\left\{\frac{\pi}{12}, \frac{2\pi}{12}, \frac{3\pi}{12}, \frac{4\pi}{12},\frac{5\pi}{12}, \frac{6\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{8\pi}{12}, \frac{9\pi}{12}, \frac{10\pi}{12}, \frac{11\pi}{12},\frac{\pi}{5},\frac{2\pi}{5},\frac{3\pi}{5},\frac{4\pi}{5} \right\}.\label{32}$$

$$\theta_1+\theta_2+\theta_3=\pi.\label{33}$$

\begin{align} &\frac{j_1\pi}{5}+\frac{j_2\pi}{5}+\frac{j_3\pi}{5}=\pi,\label{34} \\ {\hbox{即 }} &j_1+j_2+j_3=5,\label{35} \end{align}

$$(j_1,j_2,j_3)=(1,1,3)\quad\text{與}\quad (j_1,j_2,j_3)=(1,2,2).\label{36}$$

$$(\theta_1,\theta_2,\theta_3)=\left(\frac{\pi}{5},\frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{5}\right) \quad\text{與} \quad(\theta_1,\theta_2,\theta_3)=\left(\frac{\pi}{5},\frac{2\pi}{5},\frac{2\pi}{5}\right).\label{37}$$

\begin{align} \frac{j_1\pi}{12}+\frac{j_2\pi}{12}+\frac{j_3\pi}{12}=\pi,\label{38}\\ {\hbox{即 }} j_1+j_2+j_3=12,\label{39} \end{align}

\begin{aligned} (1,1,10),(1,2,9),(1,3,8),(1,4,7),(1,5,6),(2,2,8),\\ (2,3,7),(2,4,6),(2,5,5),(3,3,6),(3,4,5),(4,4,4). \end{aligned} \label{40}

 角度制記號 $(\theta_1,\theta_2,\theta_3)$ $\ell_1:\ell_2:\ell_3$ $36^{\circ}$--$36^{\circ}$--$108^{\circ}$ $(\pi/5, \pi/5 , 3\pi/5)$ $2:2:\sqrt{5}+1$ $36^{\circ}$--$72^{\circ}$--$72^{\circ}$ $(\pi/5, 2\pi/5 , 2\pi/5)$ $\sqrt{5}-1:2:2$ $15^{\circ}$--$15^{\circ}$--$150^{\circ}$ $(\pi/12, \pi/12 , 5\pi/6)$ $\sqrt{2}:\sqrt{2}:\sqrt{3}+1$ $15^{\circ}$--$30^{\circ}$--$135^{\circ}$ $(\pi/12, \pi/6 , 3\pi/4)$ $\sqrt{3}-1:\sqrt{2}:2$ $15^{\circ}$--$45^{\circ}$--$120^{\circ}$ $(\pi/12, \pi/4 , 2\pi/3)$ $\sqrt{3}-1:2:\sqrt{6}$ $15^{\circ}$--$60^{\circ}$--$105^{\circ}$ $(\pi/12, \pi/3 , 7\pi/12)$ $\sqrt{3}-1:\sqrt{6}:\sqrt{3}+1$ $15^{\circ}$--$75^{\circ}$--$90^{\circ}$ $(\pi/12, 5\pi/12 , \pi/2)$ $\sqrt{3}-1:\sqrt{3}+1:2\sqrt{2}$ $30^{\circ}$--$30^{\circ}$--$120^{\circ}$ $(\pi/6, \pi/6 , 2\pi/3)$ $1:1:\sqrt{3}$ $30^{\circ}$--$45^{\circ}$--$105^{\circ}$ $(\pi/6, \pi/4 , 7\pi/12)$ $\sqrt{2}:2:\sqrt{3}+1$ $30^{\circ}$--$60^{\circ}$--$90^{\circ}$ $(\pi/6, \pi/3 , \pi/2)$ $1:\sqrt{3}:2$ $30^{\circ}$--$75^{\circ}$--$75^{\circ}$ $(\pi/6, 5\pi/12 , 5\pi/12)$ $\sqrt{3}-1:\sqrt{2}:\sqrt{2}$ $45^{\circ}$--$45^{\circ}$--$90^{\circ}$ $(\pi/4, \pi/4 , \pi/2)$ $1:1:\sqrt{2}$ $45^{\circ}$--$60^{\circ}$--$75^{\circ}$ $(\pi/4, \pi/3 , 5\pi/12)$ $2:\sqrt{6}:\sqrt{3}+1$ $60^{\circ}$--$60^{\circ}$--$60^{\circ}$ $(\pi/3, \pi/3 , \pi/3)$ $1:1:1$

### 參考文獻

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