中山大學應用數學系的「雙週一題」網路數學問題徵答活動歷史悠久, 深受各界好評。 數學傳播季刊最近有一篇連威翔的文章 , 討論九十二學年度第一學期的第三題 , 題目如下：

\begin{align} \hbox{試證對所有}\ \theta\in(0, \frac\pi 2),\ \hbox{恆有}\ \theta \lt\frac{\sin \theta +\tan \theta}2\hbox{。}\label{1} \end{align}

這是一道連結三角比與角度的不等式, 解題的起手式當然少不了下面這一個三角比與角度的最根本不等式：

\begin{align} \hbox{當}\ \theta \in (0,\frac\pi 2)\ \hbox{時, 恆有} \sin\theta \lt\theta \lt\tan\theta , \label{2} \end{align}

其證明可由圖 1 中「$\triangle OAB$ 面積 $\lt$ 扇形 $OAB$ 面積 $\lt\triangle OBC$ 面積」的關係推得。

不論是 還是 都有推導三角比公式後, 再利用 \eqref{2} 來證明的方法。 以 為例, 其推導如下。

對 $\theta \in(0,\dfrac\pi 2)$, 令 $\theta =2\alpha $, 則有 $\sin\theta =\dfrac{2\tan\alpha}{1+\tan^2 \alpha }$、 $\tan\theta =\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2 \alpha}$,

其中 $0\!\lt\!\tan\theta \!\lt\!1$, 因此 $\dfrac{\sin \theta +\tan \theta}2=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan ^4 \alpha}\gt 2\tan\alpha \gt 2\alpha \!=\!\theta$。

往高一點觀點想, \eqref{2} 是用來推導三角函數導函數的基本工具, 所以三角函數的微分中也藏有這個公式。 基於此, 還有一個用微分解題的方法如下。

令 $f(\theta )=\dfrac{\sin \theta +\tan \theta }2-\theta $, 則 $f'(\theta )=\dfrac{\cos\theta +\sec^2\theta }2-1$。 利用算幾不等式, 因為當 $\theta\in(0,\dfrac\pi 2)$ 時 $\cos\theta \not=\sec^2\theta$, 所以

\begin{align} f'(\theta )\gt\sqrt{\cos\theta \sec^2\theta}-1=\sqrt{\sec\theta}-1\gt 0,\label{3} \end{align}

由微積分的性質知道, $f$ 在 $[0,\dfrac\pi 2]$ 上嚴格遞增, 此時對 $\theta\in(0,\dfrac\pi 2)$ 恆有 $f(\theta )\gt f(0)=0$, 得知 $\theta \lt\dfrac{\sin \theta +\tan \theta}2$。

我們的觀察由此開始。 光是利用微分, 並沒有將微積分用到極致。 微分最後的一個小終點是泰勒展開式。 考慮正弦函數和正切函數的泰勒展開式如下。

\begin{align*} \sin\theta =\,&\theta -\frac{1}{3!} \theta ^3+\frac{1}{5!} \theta ^5-\frac{1}{7!} \theta ^7+\frac{1}{9!} \theta ^9-\cdots,\\ \tan\theta =\,&\theta +\frac 1 3 \,\theta ^3+\frac 2{15} \,\theta ^5+\frac {17}{315} \,\theta ^7+\frac {62}{2835} \,\theta ^9+\cdots, \end{align*}

其中我們只考慮 $\theta\in(0,\dfrac\pi 2)$ 的部分。 如果我們只取兩項當作估計, 其實會有：

\begin{align*} \sin\theta \gt\,&\theta -\frac{1}{3!} \,\theta ^3,\\ \tan\theta \gt\,&\theta +\frac 1 3 \,\theta ^3\hbox{。} \end{align*}

由此可以很容易看出來

$$\frac{\sin \theta +\tan \theta}2\gt\theta +\frac 1{12} \,\theta ^3\gt\theta \hbox{。}$$

由 $\theta +\dfrac 1{12}\, \theta ^3$ 中多出來的 $\dfrac 1{12} \,\theta ^3$, 也可以看出來, 其實會有一個更強的不等式

\begin{align} \frac{2 \sin \theta +\tan \theta }3\gt\theta , \label{4} \end{align}

注意到 $\dfrac{\sin \theta +\tan \theta }2\gt\dfrac{2 \sin \theta +\tan \theta }3$。

如果回到只用微分來證明 \eqref{4}, 幾乎和 一樣的證明如下所示。

令 $g(\theta )=\dfrac{2\sin\theta +\tan \theta }3-\theta $, 則 $g'(\theta )=\dfrac{2\cos\theta +\sec^2\theta}3-1$。 利用算幾不等式, 因為當 $\theta\in(0,\dfrac\pi 2)$ 時 $\cos\theta \not=\sec^2\theta$, 所以

\begin{align} g'(\theta )\gt\root 3\of{\cos\theta\cos\theta\sec^2\theta}-1=1-1=0,\label{5} \end{align}

由微積分的性質知道, $g$ 在 $[0,\dfrac\pi 2]$ 上嚴格遞增, 此時對 $\theta\in(0,\dfrac\pi 2)$ 恆有 $g(\theta )\gt g(0)=0$, 得知 $\theta \lt\dfrac{2\sin\theta +\tan \theta}3$。

在此我們可以看到, 利用算幾不等式時, \eqref{5} 的推導比 \eqref{3} 更自然。 在此, 我們徵求, 不用微積分的證明方法。 利用泰勒展開式, 我們還可以看到餘弦函數的公式

$$\cos\theta =1-\dfrac{1}{2!} \,\theta ^2+\frac{1}{4!} \,\theta ^4-\frac 1{6!} \,\theta ^6+\frac 1{8!} \,\theta ^8-\cdots,$$

這看起來和正弦函數及正切函數不是一個等級, 因為其第 1 項是 1, 不是 $\theta$。 不過我們可以做一個小變動, 考慮

$$\theta \cos\theta =\theta -\frac{1}{2!}\, \theta ^3+\frac 1{4!}\, \theta ^5-\frac 1{6!}\, \theta ^7+\frac 1{8!}\, \theta ^9-\cdots\hbox{。}$$

由此也可以看出如下的不等式：

\begin{align} \frac{2\theta \cos\theta +3 \tan\theta }5\gt\theta \hbox{。}\label{6} \end{align}

我們邀請讀者用各種方法來證明 \eqref{6}。

參考文獻

本文作者為臺灣大學數學系名譽教授