在平面幾何中有著名的托勒密定理 (以古希臘數學家、 天文學家托勒密命名)：
定理1 (托勒密定理). 設四邊形 $ABCD$ 的四頂點 $A,B,C,D$ 共圓, 則有
\begin{equation} AC\cdot BD= AB\cdot CD+ AD\cdot BC\ .\label{1} \end{equation}
它通常用文字描述為：
圓內接四邊形對角線的乘積等於兩組對邊的乘積之和。
人們可以借助它得到三角函數正、 餘弦的加 (減) 法公式、 畢達哥拉斯定理等一系列的三角恒等式
對於(6)式 [筆者注：即本文的(1)式] 之猜測, 我們可以提出證明, 從而建立了定理 2 之托勒密定理。 特別地, 畢氏定理是托勒密定理的特例, 但卻是生出托勒密定理的種子。 一般數學書都只將畢氏定理看成是托勒密定理的腳註, 甚為可惜!
定理2 (托勒密-歐拉定理). 若 $A,B,C,D$ 是平面上四個點, 則
\begin{equation} AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+ AD\cdot BC\ .\label{2} \end{equation}等式成立當且僅當 $A,B,C,D$ 四點 (依此順序) 共圓或共線。
時至今日, 已有許多托勒密-歐拉定理的經典證明： 基於相似三角形、 Simson 直線
(i) (反演變換) 考慮以 $D$ 為中心、 以 $r$ 為半徑的反演變換 (事實上 $r$ 的大小並不要緊)。 記 $A', B', C'$ 依次為 $A, B, C$ 的反演點。
若 $A,B,C$ 中任意兩點均不與 $D$ 共線, 根據反演變換的定義, $\triangle DAB\thicksim \triangle DB'A'$, 此時有 $\displaystyle \frac{DA}{DB'} =\frac{DB}{DA'}= \frac{AB}{A'B'}$, 因此 $$\displaystyle A'B'=\frac{AB\cdot DA'}{DB}=\frac{AB\cdot DA'\cdot DA}{DB\cdot DA}=\frac{r^2\cdot AB}{DA\cdot DB}\ .$$ 類似地, 還可得到$ \displaystyle A'C'\!=\!\frac{r^2\cdot AC}{DA\cdot DC}$ 和 $\displaystyle B'C'\!=\!\frac{r^2\cdot BC}{DB\cdot DC}$。 在 $\triangle A'B'C'$ (可能退化) 中,
由 $ A'C'\leq A' B'+B'C'$ 可知 2 2 若採用其它形式的三角不等式 (例如 $A'B'\leq A'C'+C'B'$), 則可以得到相應的不等式表述 (例如 $AB\cdot CD\leq AC\cdot BD+ AD\cdot BC$)； 但它們均與定理 2 等價。 $$\frac{r^2\cdot AC}{DA\cdot DC}\leq \frac{r^2\cdot AB}{DA\cdot DB}+\frac{r^2\cdot BC}{DB\cdot DC}\ .$$ 即 $AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+AD\cdot BC$。 等式成立當且僅當 $A', B',C'$ 共線。 此時, 由 $\angle A'=\angle ABD$ 和 $\angle C'=\angle CBD$ 可知 $\angle ADC+\angle ABC=\pi$, 即 $A,B,C,D$ 四點共圓。
考慮退化情形, 不妨設 $D, A, B$ 共線, 則 $DAB$ 不能構成三角形。 此時只需將上述 $A'B'$ 的計算做如下修改即可, 事實上 $$A'B'=DA'-DB'=\frac{r^2}{DA}-\frac{r^2}{DB}=\frac{r^2\cdot AB}{DA\cdot DB}\ .$$ 等式成立當且僅當 $C', B', A'$ 共線。 根據反演變換的性質以及 $D, A, B$ 共線的假設, 這等價於 $D, A, B, C$ 共線。
(ii) (複數) 將平面上 $A,B,C,D$ 依次記為複平面上 $z_1,z_2,z_3,z_4$。 注意到代數恒等式
\begin{equation} (z_1-z_3) (z_2-z_4)=(z_1-z_2)(z_3-z_4)+(z_1-z_4)(z_2-z_3).\label{3} \end{equation}由三角不等式可知,
\begin{align} |(z_1-z_3) (z_2-z_4)|=\,&|(z_1-z_2)(z_3-z_4)+(z_1-z_4)(z_2-z_3)| \nonumber\\ \leq\,& |(z_1-z_2)(z_3-z_4)|+|(z_1-z_4)(z_2-z_3)|.\nonumber\\ {\hbox{從而}} |z_1-z_3| \cdot |z_2-z_4|\leq\,&|z_1-z_2|\cdot |z_3-z_4|+|z_1-z_4|\cdot|z_2-z_3|.\label{4} \end{align}下面刻畫等式成立的條件。 注意到
$$\begin{array}{rl} \mbox{等式 \eqref{4} 成立}\,\Leftrightarrow\ &\dfrac {(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}\in\mathbb{R}^+ \Leftrightarrow\dfrac{\Big(\dfrac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\Big)}{\Big(\dfrac{z_1-z_4}{z_3-z_4}\Big)}\in\mathbb{R}^{-},\\[4mm] \Leftrightarrow\ &\displaystyle\arg\Big(\dfrac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\Big)-\arg\Big(\dfrac{z_1-z_4}{z_3-z_4}\Big)\equiv \pi\!\!\!\pmod{2\pi},\hskip 3cm ~\\[3mm] \Leftrightarrow\ &z_1, z_2, z_3, z_4\:\mbox{ (依此順序) 共圓或共線。} \end{array} \ .$$
若忽略點與點的相對位置關係、 單純考慮複平面上四點共圓 (共線) 的問題, 正如
1940 年, Schoenberg 在
定理3 (歐氏空間的托勒密-歐拉定理). 設 $z_1, z_2, z_3, z_4$ 是 $n$ 維歐氏空間 $\mathbb{R}^n$ 中的四個向量, 則
\begin{equation} \Vert z_1-z_3\Vert \cdot\Vert z_2-z_4\Vert \leq \Vert z_1-z_2\Vert \cdot\Vert z_3-z_4\Vert +\Vert z_1-z_4\Vert \cdot\Vert z_2-z_3\Vert\ .\label{5} \end{equation}等式成立當且僅當四點 $z_1,z_2,z_3,z_4$ (依此順序) 共圓或共線。
這個結果目前至少有三個證明, Apostol
下面給出一個其它證明, 它完全平行於上述定理 2 的基於複數的證明, 但加入了新的元素。 我們的出發點仍然是那個神奇的代數恒等式 \eqref{3}。 若 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 是歐氏空間 $\mathbb{R}^n$ 的向量, 恒等式 \eqref{3} 通常來說不再成立, 因為向量之間沒有恰當的乘法。 為此, 需要將 \eqref{3} 中的複數乘法視作內積運算, 並注意到 $(z_2-z_4)^Tz_3=z_3^T(z_2-z_4)$ 和 $z_2^Tz_4=z_4^Tz_2$, 此時有
$$(z_1-z_3)^T (z_2-z_4)=(z_1-z_2)^T(z_3-z_4)+(z_1-z_4)^T(z_2-z_3)\ .$$此處 $(z_1-z_3), (z_2-z_4)$ 均為行向量(其它類似), $(z_1-z_3)^T$ 表示 $(z_1-z_3)$ 的轉置。 考慮到等式成立僅需運算的交換性, 故可將這種構造推廣至如下情形：
\begin{equation} (z_1-z_3)^T S (z_2-z_4)=(z_1-z_2)^T S(z_3-z_4)+(z_1-z_4)^T S(z_2-z_3)\ .\label{6} \end{equation}此處 $S$ 是一個 $n$ 階實對稱矩陣。 現在可以對歐氏空間中的托勒密 - 歐拉定理給出一個證明。
證明： 為證明定理 3, 需要選擇恰當的 $S$。 注意到, 我們期望有
$$|(z_1-z_3)^T S (z_2-z_4)|=\Vert z_1-z_3\Vert\cdot \Vert z_2-z_4\Vert \ .$$根據歐氏空間數量積的 Cauchy-Schwarz 不等式, 這個 $S$ 需要滿足以下條件： 將 $z_2-z_4$ 映射到 $z_1-z_3$ 的一個標量倍 3 3 為了簡化下面的討論, 我們要求 $S (z_2-z_4)$ 與 $(z_1-z_3)$ 同向。 事實上, 這裡只需要 $S(z_2-z_4)$ 與 $(z_1-z_3)$ 線性相關。 , 而且 $S$ 保持向量的長度不變。 這樣的 $S$ 有一個自然的選擇。
令 $\alpha=\dfrac{z_2-z_4}{\Vert z_2-z_4 \Vert},\beta=\dfrac{z_1-z_3}{\Vert z_1-z_3\Vert}$。 若 $\alpha=\beta$, 只需令 $S=\mathbf{I}$, 其中 $\mathbf{I}$ 為 $n$ 階單位矩陣； 若 $\alpha\neq\beta$, 則可取 $S$ 為歐氏空間的一個鏡面反射：
$$S=\mathbf{I}-2\eta\eta^T\ ,$$其中 $\displaystyle\eta\!=\!\frac{\alpha\!-\!\beta}{\Vert \alpha\!-\!\beta\Vert}$。 容易驗證 $S$ 是 $n$ 階正交矩陣 (從而保持向量的長度), $S$ 對稱, 而且$S\alpha\!=\!\beta$。
對 \eqref{6} 式兩邊取絕對值, 有
\begin{align} |(z_1-z_3)^T S (z_2-z_4)|&=|(z_1-z_2)^T S(z_3-z_4)+(z_1-z_4)^T S(z_2-z_3)|\nonumber\\ &\leq |(z_1-z_2)^T S(z_3-z_4)|+|(z_1-z_4)^T S(z_2-z_3)|.\label{7} \end{align}根據Cauchy-Schwarz不等式以及$S$的保長性, 有
\begin{equation} \Vert z_1-z_3 \Vert \cdot \Vert z_2-z_4\Vert \leq \Vert z_1-z_2\Vert \cdot \Vert z_3-z_4\Vert+\Vert z_1-z_4\Vert \cdot \Vert z_2-z_3\Vert\ .\label{8} \end{equation}下面考慮等式成立的條件。 注意到
$$\mbox{等式 \eqref{7}, \eqref{8} 成立}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \displaystyle S(z_2-z_3)=\frac{\Vert z_2-z_3\Vert}{\Vert z_1-z_4\Vert}(z_1-z_4), \\[3mm] \displaystyle S(z_3-z_4)=\frac{\Vert z_3-z_4\Vert}{\Vert z_1-z_2\Vert}(z_1-z_2), \end{array}\right.\ . $$由 $(z_2-z_4)=(z_2-z_3)+(z_3-z_4)$ 可知,
$$\frac{\Vert z_2-z_4\Vert}{\Vert z_1-z_3\Vert}(z_1-z_3)=\frac{\Vert z_2-z_3\Vert}{\Vert z_1-z_4\Vert}(z_1-z_4) +\frac{\Vert z_3-z_4\Vert}{\Vert z_1-z_2\Vert}(z_1-z_2)\ .$$這意味著$(z_1-z_3)$可被$(z_1-z_4)$和$(z_1-z_2)$線性表示, 即 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 共面。 結合等式的數量關係可知, 等式 \eqref{5} 成立, 等價於按照 $z_1, z_2, z_3, z_4$ (依此順序) 共圓或共線。證畢。
就上述構造, 我們給出兩點補充說明：
(1) 鏡面反射是歐氏空間裏一類常見的正交變換： 給定單位向量 $\eta$, 鏡面反射 $S=\mathbf{I}-2\eta\eta^T$ 將與
$\eta$ 平行的向量反向, 將與 $\eta$ 垂直的向量保持不動(即： 在與 $\eta$ 垂直的超平面上為恒等變換)。
關於鏡面反射的一個基本的結果是： 給定歐氏空間中任意兩個單位向量 $\alpha,\beta$, 正如證明中的構造, 總存在一個鏡面反射 $S$, 使得
$S(\alpha)=\beta$ (可參考
(2) 定理 3 及其證明可以推廣至一般的內積空間。
(3) 1983 年, 臺灣中央研究院數學所的許振榮教授曾用了大量篇幅尋求托勒密不等式的三維推廣的解析證明, 但未得到滿意的結果。
在其文章
參考文獻
本文作者林開亮任教西北農林科技大學理學院, 陳見柯任教中國傳媒大學數據科學與智能媒體學院