壹、楔子

直線有斜率, 於是可以定義斜角 $\theta $, 它是由 $x$ 軸正向逆時針方向轉到直線的夾角, $0^\circ\le\theta \lt180^\circ$ 且 $\theta \not= 90^\circ $, 斜率 $=\tan\theta$。

108課綱的數甲, 條目 N12 甲-3 複數:

複數平面, 複數的極式, 複數的四則運算與絕對值及其幾何意涵, 棣美弗定理, 複數的$n$次方根。

課程手冊 P.461有如下的相關約定:

當 $z=a+bi$, $a$、 $b\in {\mathbb R}$, 且 $[r, \theta ]$ 為 $z$ 在座標平面的極座標, 複數的絕對值 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, 則 $z=r(\cos\theta +i\sin\theta )$ 為 $z$ 的極式, 其中 $r=|z|$, $\theta$ 稱為輻角, $\theta$ 值不唯一。

當 $0\le \theta \lt2\pi$ 時, $\theta$ 稱為 $z$ 的主輻角 Arg$(z)$。定義(1)

這種定義在複數的乘法 $r_1 e^{i\theta _1}\cdot r_2 e^{i\theta _2}=r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ 有它的優勢。

但是, 如圖(1):

數學軟體 GeoGebra 定義複數的主輻角是 $-\pi \lt\theta \le\pi$。 定義(2)

小提醒:

GeoGebra 要計算複數平面上 ${\root 3\of{-8}}$ 的主根要輸入 $(-8-0*i)^{1/3}$, 一定要把 $i$ 寫出來, 才會出現複數解 $1+1.732i$。 不然會出現 ${\root 3\of{-8}}=-2$, 它是 $x^3=-8$ 的實根。

如下圖 2、圖 3

數學軟體 Maple 定義複數的主輻角也是 $-\pi \lt\theta \le \pi$。定義(2)

小提醒:

Maple 要計算 ${\root 3\of{-2.0-2I}}$ 要輸入 $(-2.0-2\cdot I)^{1/3}$, 一定要把其中一個數改成小數點, 才會出現數值解。 它的虛數單位 $i$, 要用大寫 $I$ 表示, 如果用 $(-2-2\cdot i)^{1/3}$, 它不會幫你算出來。

課綱委員可能沿用極座標的觀點 : $[r, \theta]$ 為 $z$ 在座標平面的極座標, $0\le\theta \lt2\pi$ 這個輻角的定法, 在國內高中課本已經有數十年的歷史了。 陸軍砲兵的射向方位角, 就是使用 $0\le\theta \lt6400$ mil (我們稱米位, $360^\circ=6400$ mil)。

極座標 $[r, \theta ]$ 是二維平面座標系的一種表示法, 與複數平面並不完全相同, 我覺得複數主輻角的定法與範圍不一定要與極座標相同。

我們需要考慮的是 : 修正複數的主輻角, 是否會方便複數方根的計算?

我記得陳昭地老師把梯形兩腰 (不平行的兩邊) 中點的連線, 稱為中位線。 於是解決了過去稱它為梯形中線的煩惱, 因為三角形的中線是頂點到對邊中點的連線。 我們也期待 108 新課綱, 如果能把複數主輻角的範圍修正過來, 對複數的 $n$ 次方根的計算會更方便。 李家同校長說虛數在電機用很多, 複數的方根相形重要。

關鍵字: 卡當公式、 反曲點、 資訊科技融入數學教學、 主根、 原根、 主輻角。

貳、本文

(甲) 主根

若用主輻角的定義 (2) $-\pi \lt\theta \le \pi$

$$(-4)^{1/2}=[4(\cos 180^\circ+i\sin 180^\circ)]^{1/2}=2(\cos 90^\circ+i\sin 90^\circ)=2i,$$

絕對值開方、主輻角除以 2, $x^2=-4$ 的主根是 $2i$;

$$(-8)^{1/3}=[8(\cos 180^\circ+i\sin 180^\circ)]^{1/3}=2(\cos 60^\circ+i\sin 60^\circ)=1+\sqrt{3}i ,$$

絕對值開立方、主輻角除以 $3$, $x^3=-8$ 的主根是 $1+\sqrt{3}i$。

下列是 Maple 的算法, 要輸入 $-8.0$ 才會出現數值解 :

$$\gt(-8.0)^{(\frac 13)};\qquad 1.000000000+1.732050807\, I$$

人類發明一元二次方程式的公式解之後, 隔一千多年才發明一元三次方程式的卡當公式解, 可見卡當公式有一定的難度, 高中學生學習卡當公式也不太容易。

(乙) 我們先由多項式的變形談起

把三次函數圖形平移使反曲點水平平移到 $y$ 軸上, 是卡當公式解根的一個步驟。 任意實係數一元三次多項式 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, 都可以選擇函數圖形上的一個點 $(h, f(h))$, 做泰勒展開式, 或是說表示成 $(x-h)$ 的展開式。

我們可以用連續綜合除法, 算得 $(x-h)$ 乘方的係數, 如下圖 4 :

如果我們選擇 $h\!=\!\frac{-b}{3a}$, 那麼 $3ah\!+\!b\!=\!0$, 做 $(x\!-\!h)$ 的展開式時, 二次項 $(x\!-\!h)^2$ 的係數就消失了, $(h , f(h))$ 是三次函數的反曲點, 也是對稱中心。 以下圖為例: $f(x)\!=\!x^3\!-\!15x^2\!+\!72x\!-\!109$, 經由連續綜合除法, 觀察下圖 5 的第三列, 函數會變成 $f(x)\!=\!(x\!-\!5)^3\!-\!3(x\!-\!5)\!+\!1$。

如果把函數 $f(x)\!=\!(x\!-\!5)^3\!-\!3(x\!-\!5)\!+\!1$ 的圖形, 往左方水平移動5單位, 就變成函數 $g(x)\!=\!x^3\!-\!3x\!+\!1$ 的圖形, 如上圖的藍色曲線圖形。 卡當公式就是在缺二次項的情況下被發明出來。

觀察上圖: 當我們利用卡當公式, 把 $g(x)=x^3-3x+1=0$ 取到小數第一位的近似根 $r_1\approx -1.9 $, $r_2\approx 0.3 $, $r_3\approx 1.5$ 解出來, 這裡的 3 根, 就是上圖的藍色曲線與 $x$ 軸交點 $x_1'$, $x_2'$, $x_3'$ 的 $x$ 座標, 把三點往右水平移動 5 單位就變成 $x_1, x_2, x_3$ 三點, 這三點的 $x$ 座標 $r_1+5\approx 3.1 $, $r_2+5\approx 5.3 $, $ r_3+5\approx 6.5$ 就是原方程式 $$f(x)=x^3-15x^2+72x-109=(x-5)^3-3(x-5)+1=0$$ 的三個近似根。 若有虛根, 把座標平面看成複數平面, 照樣把根加$h$, 就能得到原方程式的根。 所以我們只要能解像 $x^3\!+\!px\!+\!q\!=\!0$ 的方程式, 又知道原函數圖形反曲點$(h,f(h))$ 的 $x$ 座標 $h$ 就能得到原來實係數 3 次方程式的三根。 因此我們只聚焦在 $x^3\!+\!px\!+\!q\!=\!0$ 的方程式解根。

(丙) 卡當公式

由乘法公式 $(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)$

$$\hbox{得到}\quad (u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0. \hskip 3cm~ \hbox{(A)式}$$

將 $x^3+px+q=0$ 與 (A) 式互相比對 ： 當 $p=-3uv$ 且 $q=-(u^3+v^3)$ 的條件下, $x=u+v$ 就是方程式 $x^3+px+q=0$ 的根。

也就是說 $x^3+px+q=0$ 有解的條件是 : 能找到一組數 $u$ 與 $v$

$$\hbox{滿足條件}\ \left\{\begin{array}{c} uv=\frac{-p}{3}\\[2pt] u^3+v^3=-q\end{array}\right. \ \Rightarrow\ \left\{\begin{array}{c} u^3 v^3=\frac{-p^3}{27}\\[2pt] u^3+v^3=-q\end{array}\right.\quad \hbox{(請注意箭頭不一定可逆)。}$$

我們用右邊的聯立方程式 $\left\{\begin{array}{c} u^3 v^3=\frac{-p^3}{27}\\[2pt] u^3+v^3=-q\end{array}\right.$ 由韋達公式作一個二次方程式。 根據韋達公式, 已知兩根之和與兩根之積, 就知道 $u^3$、 $v^3$ 為二次方程式 $y^2+qy-\frac{p^3}{27}=0$ 的兩根。 由根的公式

\begin{align*} \hbox{令}\ u^3=\,&\frac{-q\!+\!\sqrt{q^2\!+\!\frac{4p^3}{27}}}2\!=\!\frac{-q}2\!+\!\sqrt{\frac{q^2}4\!+\!\frac{p^3}{27}},\\ v^3=\,&\frac{-q-\sqrt{q^2\!+\!\frac{4p^3}{27}}}2\!=\!\frac{-q}2\!-\!\sqrt{\frac{q^2}4\!+\!\frac{p^3}{27}}\quad \hbox{則}\ u\!=\!\omega^k\cdot{\root 3\of {-\frac{q}2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}},\\ &\hskip 6.9cm v\!=\!\omega ^k\cdot {\root 3\of {-\frac{q}2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}}, k\!=\!0,1,2,\\ \hbox{其中}\ &\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}2\ \hbox{是 $x^3=1$ 的原根。} \end{align*}

$u^3+v^3=-q$ 是必然, 重要的是 $u$、 $v$ 必須要滿足 $uv=-p/3$, 於是我們得到：

99 課綱高中數學教師手冊的內容。

\begin{align*}\hbox{卡當公式 (1) }\quad \hskip 1cm x_1=\,&{\root 3\of {-\frac q2+\sqrt{d}}} +{\root 3\of {-\frac q2-\sqrt{d}}},\\ x_2=\,&\omega \cdot {\root 3\of {-\frac q2+\sqrt{d}}} +\omega^2\cdot {\root 3\of {-\frac q2-\sqrt{d}}},\\ x_3=\,&\omega ^2\cdot{\root 3\of {-\frac q2+\sqrt{d}}} +\omega\cdot {\root 3\of {-\frac q2-\sqrt{d}}},\hskip 5cm~ \end{align*}

為方程式 $x^3+px+q=0$ 的三根, 其中判別式 $d=\dfrac{q^2}4+\dfrac{p^3}{27}$, 原根 $\omega =-\dfrac 12+\dfrac{\sqrt{3}}2 i$。

卡當公式 (1) 有些瑕疵, 在一些情況因為主輻角的定義不同會出現錯誤。

例如： 求解 $g(x)=x^3-3x+1=0\quad (x^3+px+q=0)$.

解析： 如果我們用聯立方程式 $\left\{\begin{array}{c} u^3v^3=\frac{-p^3}{27}\\[2pt] u^3+v^3=-q\end{array}\right.$ 來計算, 就有可能犯錯。

因為 $u^3 v^3=\dfrac{-p^3}{27}$, 不見得是 $uv=\dfrac{-p}3$.

如果我們用 $\left\{\begin{array}{c} uv=\frac{-p}{3}=1\\[2pt] u^3+v^3=-q=-1\end{array}\right.$, 而主根取得正確, 那結果就會正確。

以 $u^3$, $v^3$ 為兩根的二次方程式為 $y^2+y+1=0$。

$$\hbox{令}\ u^3=\frac{-1}2+\frac{\sqrt{3}}2 i ,\qquad v^3=\frac{-1}2-\frac{\sqrt{3}}2 i,\hskip 6cm~$$

如果我們用定義 (1) 取主輻角 $0\le \theta \lt2\pi$ 時, 則

\begin{align*} \hbox{主根}\quad \alpha =\,&{\root 3\of{\frac{-1}2+\frac{\sqrt{3}}2 i}}=(\cos 120^\circ+i\sin 120^\circ)^{1/3}=(\cos 40^\circ+i\sin 40^\circ),\\ \hbox{主根}\quad \beta =\,&{\root 3\of{\frac{-1}2-\frac{\sqrt{3}}2 i}}=(\cos 240^\circ+i\sin 240^\circ)^{1/3}=(\cos 80^\circ+i\sin 80^\circ),\\[-8pt] &\hskip 1cm u=\alpha,\quad \alpha \omega ,\quad \alpha \omega ^2 ,\quad v=\beta ,\quad \beta \omega ,\quad \beta \omega ^2. \end{align*}

卡當公式 (1) 告訴我們三根是 $\alpha +\beta $, $\omega \alpha +\omega ^2 \beta $, $\omega ^2 \alpha +\omega \beta$.

可是 $uv= \alpha \beta =(\cos 120^\circ+i\sin 120^\circ)=\omega $, 與 $uv=\dfrac{-p}3=1$ 不合。

難怪高中學生對99課綱教師手冊的卡當公式一直搞不懂。 但是如果我們用定義 (2) 取主輻角 $-\pi \lt\theta\le\pi$ 時, 則

\begin{align*} \hbox{主根}\ \alpha =\,&{\root 3\of{\frac{-1}2\!+\!\frac{\sqrt{3}}2 i}}\!=\!(\cos 120^\circ+i\sin 120^\circ)^{1/3}\!=\!(\cos 40^\circ\!+\!i\sin 40^\circ),\\ \hbox{主根}\ \beta =\,&{\root 3\of{\frac{-1}2\!-\!\frac{\sqrt{3}}2 i}}\!=\!(\cos (-120^\circ)\!+\!i\sin (-120^\circ))^{1/3} =(\cos (-40^\circ)+i\sin (-40^\circ)) \end{align*}

$uv= \alpha \beta =(\cos 0^\circ+i\sin 0^\circ)=1 $, 與 $uv=\dfrac{-p}3=1$ 符合。

三實根是 $\alpha +\beta =2\cos (40^\circ) $, $ \omega \alpha +\omega ^2 \beta =2\cos 160^\circ$, $\omega ^2 \alpha +\omega \beta =2\cos 80^\circ$, 如下圖。

為方便實用起見, 我們以下都用 定義 (2) 取主輻角 $-\pi \lt\theta \le \pi$ 來計算。

卡當公式 (2) $u^3=\dfrac{-q}2+\sqrt{d},\qquad v^3=\dfrac{-q}2-\sqrt{d}$.

令 主根 $\alpha ={\root 3\of{\dfrac{-q}2+\sqrt{d}}},\quad \hbox{主根}\ \beta ={\root 3\of{\dfrac{-q}2-\sqrt{d}}}$,

$u=\alpha\hbox{、 }\ \alpha \omega \hbox{、 }\ \alpha \omega ^2,\qquad v=\beta\hbox{、 }\ \beta \omega\hbox{、 }\ \beta \omega ^2$。

考慮 $u+v$ 的 9 種配對, 滿足條件 $uv\!=\!\dfrac{-p}3$, 就是方程式 $x^3\!+\!px\!+\!q\!=\!0$ 的根, 其中判別式 $d=\dfrac{q^2}4+\dfrac{p^3}{27}$, 原根 $\omega =-\dfrac 12+\dfrac{\sqrt{3}}2 i$. 我們將結論整理成一個表格如下 ：

當 $\dfrac{-q}2=0$ 且 $d=0$ 是三重根的情形, 我們不討論。

重要的是 $u$、 $v$ 必須要滿足 $uv=-\dfrac p3$, 方程式 $x^3+px+q=0$, 判別式 $d=\dfrac{q^2}4+\dfrac{p^3}{27}$, $\omega =-\dfrac 12+\dfrac{\sqrt{3}}2 i$, 令 主根 $\alpha ={\root 3\of{\dfrac{-q}2+\sqrt{d}}}$, 主根 $\beta ={\root 3\of{\dfrac{-q}2-\sqrt{d}}}$。

若由聯立方程組 $\left\{\begin{array}{c} uv=\frac{-p}{3}\\[3pt] u^3+v^3=-q\end{array}\right.$ 的條件 :

卡當公式 (3) $u^3=\dfrac{-q}2+\sqrt{d}$, $v^3=\dfrac{-q}2-\sqrt{d}$。

令 主根 $\alpha ={\root 3\of{-\dfrac{q}2+\sqrt{d}}}$, $u=\alpha, \alpha \omega , \alpha \omega ^2$, 代入 $uv=\dfrac{-p}3$ 讓它自動配對, 則 $\alpha +\dfrac{-p}{3\alpha}$、 $\alpha \omega +\dfrac{-p}{3\alpha\omega}$、 $\alpha \omega ^2+\dfrac{-p}{3\alpha \omega ^2}$ 就是方程式 $x^3+px+q=0$ 的三根。

其中判別式 $d=\dfrac{q^2}4+\dfrac{p^3}{27}$, 原根 $\omega =-\dfrac 12+\dfrac{\sqrt{3}}2 i$。

卡當公式(3)是最方便的方法了。

例題： 解 $f(x)=x^3-15x^2+72x-109=0$.

解說： 反曲點的 $x$ 座標 $h=\dfrac{-b}{3a}=5 $, 把 $f(x)$ 用連續綜合除法, 化成 $(x-5)$ 次方的多項式 $f(x)=(x-5)^3-3(x-5)+1$.

先解 $g(x)=x^3-3x+1=0$ (對比 $x^3+px+q=0$), $p=-3 , q=1$.

$u^3$、 $v^3$ 為二次方程式 $y^2+qy-\dfrac{p^3}{27}=0$ 的兩根, 則由聯立方程組 $ \left\{\begin{array}{c} uv=\frac{-p}{3}=1\\[3pt] u^3+v^3=-q=-1\end{array}\right.$, $$u^3=\dfrac{-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}2=\frac{-q}2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}=\frac{-1}2+\sqrt{\frac{-3}4}.$$ 判別式 $d=\dfrac{q^2}4+\dfrac{p^3}{27}=\dfrac{-3}4\lt0$, 主根 $\alpha ={\root 3\of{\dfrac{-1}2+\sqrt{\dfrac{-3}4}}}=\frac 12\cdot {\root 3\of{-4+4\sqrt{3}i}}$,

再回到原方程式 $(x-5)^3-3(x-5)+1=0$, {當} $u=\alpha ,\quad uv=\dfrac{-p}3=1 ,\quad \hbox{故}\ v=\dfrac 1{\alpha}$。

原方程式第一個根是 $\alpha +\dfrac 1\alpha +5$;

原方程式第二個根是 $\omega \alpha +\dfrac 1{\omega \alpha} +5=\omega \alpha +\omega ^2\cdot \dfrac 1\alpha +5$;

原方程式第三個根是 $\omega ^2 \alpha +\dfrac 1{\omega ^2 \alpha}+5=\omega ^2 \alpha +\omega \cdot \dfrac 1\alpha +5$.

下面是 Maple 程式:

$\gt$ solve$(x^3-15\cdot x^2+72\cdot x-109=0, x)$;

\begin{align*} & \frac 12(-4+4I\sqrt{3})^{1/3}+\frac{2}{(-4+4I\sqrt{3})^{1/3}}+5,-\frac 14(-4+4I\sqrt{3})^{1/3}\\ &-\frac 1{(-4+4I\sqrt{3})^{1/3}}+5+\frac 12I\sqrt{3}\Big(\frac 12(-4+4I\sqrt{3})^{1/3}\!-\!\frac{2}{(-4+4I\sqrt{3})^{1/3}}\Big),\\ &\frac {-1}4(-\!4\!+\!4I\sqrt{3})^{1/3}\!-\!\frac 1{(-\!4\!+\!4I\sqrt{3})^{1/3}}\!+\!5\!-\!\frac 12I\sqrt{3} \Big(\frac 12(-\!4\!+\!4I\sqrt{3})^{1/3}\!-\!\frac 2{(-4+4I\sqrt{3})^{1/3}}\Big). \end{align*}

Maple 執行結果有 $i $, 但化簡到最後都可以消掉 $i $, 變成 3 實根。 (這是所謂的隱藏根)。

如果把主根數值化

$$ \alpha ={\root 3\of{\dfrac {-1}2+\sqrt{\frac{-3}4}}} =\cos 40^\circ+i\sin 40^\circ=0.766044443+0.64278761i,$$

代入上面卡當公式 (3), 即可得到 3 個數值根, 或者直接由 Maple 計算數值根。 Maple 程式執行如下 (只要把最後等號右邊的 0 用 0.0 代就可得到數值解) :

$\gt$ solve$(x^3-15\cdot x^2+72\cdot x-109=0.0, x)$;

$$3.120614758,5.347296355,6.532088886.$$

如果用 GeoGebra 繪圖, 可與圖形比對 $x_1$、 $x_2$、 $x_3$ 三點的 $x$ 座標。

(丁) 動態的卡當公式解及費拉里公式解

令四次方程式 $f_4 (x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$, 經由移項 $x^4+bx^3=-cx^2-dx-e$

用配方, 把左邊化成完全平方 $(x^2+\dfrac b2 x)^2=\dfrac{b^2}4 x^2-cx^2-dx-e$, $\Big(x^2+\dfrac b2 x\Big)^2=\Big(\dfrac{b^2}4-c\Big) x^2-dx-e$.

為了調整係數, 使左右兩邊變成 $x$ 的完全平方式, 在左邊的二次式增加常數 $\dfrac k2$ :

\begin{align*} &\hskip -20pt \Big(x^2+\frac b2 x+\frac k2\Big)^2=k\Big(x^2+\frac b2 x\Big)+\frac{k^2}4+\Big(\frac{b^2}4-c\Big) x^2-dx-e.\\ &\hskip -20pt \hbox{整理得到}\ (x^2+\frac b2 x+\frac k2)^2=(\frac{b^2}4-c+k) x^2+(\frac{bk}2-d)x+(\frac{k^2}4-e).\hskip 1.8cm~\tag*{(B)}\end{align*} 令 (B) 式的判別式 $D=0\ \Rightarrow \Big(\dfrac{bk}2-d\Big)^2-4\Big(\dfrac{b^2}4-c+k\Big)\Big(\dfrac{k^2}4-e\Big)=0.$

得到 $k$ 的三次方程式

\begin{align*} &\hskip -20pt\hbox{乘開化簡得}\ \Rightarrow\ -k^3+ck^2+(4e-bd)k+d^2+b^2 e-4ce=0.\\ &\hskip -20pt\hbox{令}\ g_3 (k)=k^3-ck^2+(bd-4e)k-d^2-b^2 e+4ce, \end{align*}

則不論 $k$ 是 $g_3 (k)=0$ 的任一個實根或虛根都會滿足判別式 $D=0$ 的條件, 會使得 (B) 式右邊能化成 $x$ 的完全平方式, 然後才能去解兩個二次方程式得 4 根。 費拉里公式要先解 $g_3 (k)=0$ 的 $k$, 再反代入(B) 式解四根。 這裡面還要用到許多程式設計的技巧, 因為篇幅較大, 式子繁雜, 也就沒有將它詳細列出來。

卡當公式及費拉里公式都要用到複數開平方、 開立方, 複數主輻角用 $[0, 2\pi)$ 在程式設計時吃盡了計算的苦頭, 直到主輻角改成 $(-\pi,\pi]$ 時程式才能順利完成。

下面 : 圖 8, 9 是卡當公式動態解, 圖 10, 11, 12 是費拉里公式的動態解。

當高中生看到動態的卡當公式解及費拉里公式解, 既好奇又興奮, 上著數學課還吵著要嘗試操作, 看得出來他們對動態解有很大的興趣。 在用 GeoGebra 設計程式時, 我必須同時用 Maple 來檢核程式的正確性、 尋找錯誤、 對照驗算。 可見在高中階段 108 課綱把複數的 $n$ 次方根加進來是正確的抉擇, 但是希望複數主輻角的定義要方便計算。

參、結語

卡當公式在 108 新課綱的課本及教師手冊中已經消失了, 這是我們非常難過的一件事。

這篇文章我們用到了 Maple 的符號運算的優勢, 以及 GeoGebra 幾何繪圖的專長。

過去的年代, 老師們還不是很習慣用資訊科技去檢核數學試題的正確性, 尤其是像卡當公式、 費拉里公式這種非常繁雜的計算, 方根的定義也不是很清楚, 用手算推導又要花費很長的時間, 因此不太容易發現墨守成規的錯誤.

隨著資訊科技的進步, 老師們需要善用工具軟體, 才能跟上教育科技的腳步, 將日常生活的內涵, 融入數學的思維, 藉由工具軟體解決生活上的數學問題。 這才是進步而有素養的學習。 張鎮華老師說過善用數學工具軟體也是一種素養。

順便提一下, Maple 雖然是一個功能很強大的數學計算軟體, 卡當公式解得非常好, 但是它卻沒有內建的費拉里公式解 : 也就是任意係數的四次實係數方程式不能用公式解, 能分解成一次乘三次或二次乘二次的才有公式解。

當然數值解是可以的, 它可能是用牛頓法或其他數值方法做出來的。

現在的學生很幸福, 在資訊科技尚未普及的年代, 我們靠著手算或電算器去解決問題, 複雜費時的計算耗盡心力, 也不容易將算得的結果驗證是否正確, 難怪中學生望之卻步, 使得卡當的算法僅流於背公式, 學生看不見根在哪裡？ 也不知道公式的參數變動時圖形會有哪些變化, 抽象與具體有一段看不見的鴻溝。 但是藉由 GeoGebra 的視覺化表徵, 我們把一元三次、 四次實係數方程式的根能自然呈現在複數平面上, 這要感謝免費軟體 GeoGebra 的原著奧地利數學家 Markus Hohenwarter () 的功勞。 還要感謝交大黃大原老師及師大陳昭地老師給我的指導, 以及左台益老師大力推動 GeoGebra 教學的成果。

參考資料

本文作者為國立竹南高級中學退休數學教師