1. 森棚教官的數學題

數學傳播季刊最近有一篇楊玉星的文章 , 討論「圓內接正多邊形的奇偶弦長冪次定和」。 文章由科學研習月刊森棚教官的數學題 出發 ： 「畫正三角形與外接圓, 然後在圓上任取一點, 則此點到較遠頂點的距離會等於到較近兩頂點的距離和。」 這是一個可愛的平面幾何問題, 可以用來練習平面幾何的證明技術。

楊玉星的文章將前述森棚教官的數學題, 由正三角形推廣到正多邊形, 再逐漸的把距離推廣到距離的平方、三次方、四次方、直到一般的冪次。是一篇很用心撰寫的文章。

初看這些結果時猜想, 這樣可愛的定理, 可能已經有人做過。可是查了一些網頁, 都未見到國際上的參考資料, 倒是有若干國內科展的文章 , 多年來有一些成果。

後來查到數學傳播季刊 1987 年朱建正的徵答問題 11101 的解答 , 就提到, 一般正奇數邊形的問題是 73 年高中數學競試初試第六題, 所以這樣的問題倒不是現在才有。 只是推廣到高次冪的結果, 看起來似乎不容易。

楊玉星的文章利用歐拉公式

$$e^{i\alpha}=\cos\alpha +i \sin\alpha \hbox{ (其中 $\alpha$ 為實數)},$$

推得 $e^{-i\alpha}\!=\!\cos\alpha -i\sin\alpha$, 從而 $\cos\alpha \!=\!\dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}2$、 $\sin\alpha =\dfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}$, 藉由二項式定理

推導了許多正弦、餘弦的相關公式, 用來發展距離冪次和公式。

本文要利用複數的計算, 直接討論距離冪次和公式, 繞過正弦、餘弦的相關公式。

2. 一般性問題的描述

我們先來描述一般性的問題。 考慮圖 2 的正 $n$ 邊形 $A_0 A_1 A_2\cdots A_{n-1}$ 及其外接圓, 可以假設其為以複數平面的原點 $O(0,0)$ 為圓心的單位圓, 而 $A_k$ 所代表的複數為 1 的第 $k$ 個 $n$ 次方根 $$\cos\frac{2\pi k}{n}+i \sin\frac{2\pi k}n,$$ 其中 $k=0,1,2,\ldots ,n-1$。 不失一般性, 假設點 $P$ 落在弧 $A_0 A_{n-1}$ 上。

楊玉星的文章在利用歐拉公式推導了許多正弦、餘弦的相關公式之後, 很詳細的推導了新舊的距離冪次和公式, 如下所述 (公式前的號碼是此公式出處的文章), 下面這些式子裡 $n$ 和 $m$ 的用法和其文章的寫法不同。

當 $n\ge 3$ 為奇數時, $\overline{PA_1}+\overline{PA_3}+\cdots+\overline{PA_{n-2}}=\overline{PA_0}+\overline{PA_2}+\cdots+\overline{PA_{n-1}}$。

當 $n\ge 4$ 為偶數時, $\overline{PA_1}^2+\overline{PA_3}^2+\cdots+\overline{PA_{n-1}}^2=\overline{PA_0}^2+\overline{PA_2}^2 +\cdots+\overline{PA_{n-2}}^2$。

當 $n\ge 5$ 為奇數時, $\overline{PA_1}^3+\overline{PA_3}^3+\cdots+\overline{PA_{n-2}}^3=\overline{PA_0}^3+\overline{PA_2}^3 +\cdots+\overline{PA_{n-1}}^3$。

當 $n\ge 6$ 為偶數時, $\overline{PA_1}^4+\overline{PA_3}^4+\cdots+\overline{PA_{n-1}}^4=\overline{PA_0}^4+\overline{PA_2}^4 +\cdots+\overline{PA_{n-2}}^4$。

當 $n\ge m+2\ge 4$ 均為偶數時, $\overline{PA_1}^m+\overline{PA_3}^m+\overline{PA_5}^m+\cdots+\overline{PA_{n-1}}^m =\overline{PA_0}^m+\overline{PA_2}^m+\overline{PA_4}^m+\overline{PA_6}^m+\cdots+\overline{PA_{n-2}}^m$。

當 $n\ge m+2\ge 3$ 均為奇數時, $\overline{PA_1}^m+\overline{PA_3}^m+\overline{PA_5}^m+\cdots+\overline{PA_{n-2}}^m =\overline{PA_0}^m+\overline{PA_2}^m+\overline{PA_4}^m+\overline{PA_6}^m+\cdots+\overline{PA_{n-1}}^m$。

最後兩個式子涵蓋了前面的四個特例。 而最後兩個式子乍看起來雖然不同, 但其實是同一個定理, 也就是, 可以將它們合寫為 ： 當 $n\ge m+2\ge 3$, 而且 $n$ 和 $m$ 同時為奇數或同時為偶數時, 會有

\begin{align} \overline{PA_0}^m-\overline{PA_1}^m+\overline{PA_2}^m-\overline{PA_3}^m+\cdots+(-1)^{n-1} \overline{PA_{n-1}}^m=0,\label{1} \end{align}

如果用和的符號, 可以寫為

\begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \overline{PA_k}^m=0.\label{2} \end{align}

下面我們將會直接證明這個公式, 不再分奇偶討論。

3. 善用棣美弗定理

楊玉星的文章利用歐拉公式推導了許多正弦、餘弦的相關公式, 用以證明前述的距離冪次和公式。 可以期望, 直接利用複數的公式, 應該有機會證明式 \eqref{1}、也就是式 \eqref{2}。 為了讓高中學生能理解, 我們避免複數的指數次方的運算, 採用棣美弗定理, 也能達到同樣的功效。 棣美弗定理是說, 對於實數 $\alpha$ 和 $\beta$

$$\cos(\alpha +\beta )+i \sin(\alpha +\beta )=(\cos\alpha +i \sin\alpha) (\cos \beta +i\sin \beta),$$

這是高中生會學到的內容, 以前的數學課綱放在一年級教導, 因為它其實是三角比的和角公式的另一種呈現； 現在的數學課綱則放在三年級, 只有數學甲才有此內容。

首先, 我們要計算 $\overline{PA_k}$。 因為點 $P$ 落在弧 $A_0 A_{n-1}$ 上, 它所代表的複數為 $\cos(-\theta)+i\sin(-\theta )$、 其中 $0\le \theta \le \frac{2\pi}n$, 而點 $A_k$ 所代表的複數為

$$\cos \frac{2\pi k}n+i\sin \frac{2\pi k}n.$$

若以射線 $\vec{OP}$ 為始邊、 射線 $\vec{OA_k}$ 為終邊, 就有廣義角 $\theta +\frac{2\pi k}n$。 若此角在一個平角之內, 則三角形 $POA_k$ 以兩條單位長的邊 $\overline{OP}$ 和 $\overline{OA_k}$ 夾了角 $\theta +\frac{2\pi k}n$, 其角平分線垂直平分對邊 $\overline{PA_k}$, 所以

\begin{align} \overline{PA_k}=2 \sin\Big(\frac{\theta}2+\frac{\pi k}n\Big)；\label{3} \end{align}

另一種情況是, 角 $\theta +\frac{2\pi k}n$ 超過一個平角, 則三角形 $POA_k$ 以兩條單位長的邊 $\overline{OP}$ 和 $\overline{OA_k}$ 夾了角 $2\pi -(\theta +\frac{2\pi k}n)$, 此時就會有

$$ \overline{PA_k}=2\sin\Big(\pi -\big(\frac \theta 2+\frac{\pi k}n\big)\Big)=2\sin\Big(\frac\theta 2+\frac {\pi k}n\Big),$$

得到一樣的公式。

如果直接將式 \eqref{3} 的結果代入式 \eqref{2} 左邊, 就要處理一大堆正弦值, 並不容易。 此時可以善用棣美弗定理, 考慮複數

$$z=\cos\Big(\frac\theta 2+\frac{\pi k}n\Big)+i\sin\Big(\frac \theta 2+\frac{\pi k}n\Big),$$

取其共軛複數、或是其乘法反元素, 就得到

$$z^{-1}=\cos\Big(\frac\theta 2+\frac{\pi k}n\Big)-i\sin\Big(\frac \theta 2+\frac{\pi k}n\Big),$$

後式減去前式之後再乘以 $i$, 就有

$$\overline{PA_k}=2 \sin\Big(\frac \theta 2+\frac{\pi k}2\Big)=i (z^{-1}-z).$$

看起來好多了, 不過這裡的 $z$ 還是相對複雜, 不容易處理, 這就到了棣美弗定理上場的時機, 也就是, 連續使用此定理 $k$ 次之後得到

$$z=\Big(\cos \frac \theta 2+i\sin \frac\theta 2\Big) \Big(\cos \frac \pi n+i\sin \frac \pi n\Big)^k=u v^k,$$

其中

$$u=\cos \frac\theta 2+i\sin \frac\theta 2\quad \hbox{而}\quad v=\cos \frac \pi n+i\sin \frac \pi n.$$

現在可以來計算式 \eqref{2} 左邊的和, 看看它是否真的等於 0：

\begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \overline{PA_k}^m=&\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\Big(i (z^{-1}-z)\Big)^m\nonumber\\ =&\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{\ell=0}^m(-1)^k i^m C_\ell^m (z^{-1} )^{m-\ell} (-z)^\ell ,\label{4} \end{align}

其中

\begin{align*} (-1)^k i^m C_\ell^m (z^{-1} )^{m-\ell} (-z)^\ell =\,&i^m C_\ell^m (-1)^\ell (-1)^k z^{2\ell-m}\\ =\,& i^m C_\ell^m (-1)^\ell (-1)^k (u v^k)^{2\ell-m}\\ =\,& i^m C_\ell^m (-1)^\ell u^{2\ell-m} (-v^{2\ell-m})^k, \end{align*}

將這個化簡的結果代入式 \eqref{4}, 並且交換兩個和的順序, 得到

\begin{align} &\hskip -15pt \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{\ell=0}^m(-1)^k i^m C_\ell^m (z^{-1})^{m-\ell} (-z)^\ell\nonumber\\ &=\sum_{\ell=0}^m\Big(i^m C_\ell^m (-1)^\ell u^{2\ell-m} \sum_{k=0}^{n-1}(-v^{2\ell-m} )^k \Big).\label{5} \end{align}

最後計算幾何級數

\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(-v^{2\ell-m})^k =\frac{1-(-v^{2\ell-m} )^n}{1+v^{2\ell-m}}=\frac{1-(-1)^n (v^n )^{2\ell-m}}{1+v^{2\ell-m}}, \end{align*}

其中 $v^n=(\cos \frac \pi n+i\sin \frac \pi n)^n=\cos \pi +i\sin \pi =-1$, 再度用到棣美弗定理。 所以

\begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}\big(-v^{2\ell-m} \big)^k =\frac{1-(-1)^n (-1)^{2\ell-m}}{1+v^{2\ell-m}}=\frac{1-(-1)^{n+2\ell-m}}{1+v^{2\ell-m}}=0,\label{6} \end{align}

這裡很重要的是, $n$ 和 $m$ 同時為奇數或同時為偶數時, 所以會有 $n+2\ell-m$ 為偶數, 才能算出 $1-(-1)^{n+2\ell-m}=1-1=0$。

最後將式 \eqref{6} 的結果代入式 \eqref{5}, 再代入式 \eqref{4}, 就證得式 \eqref{2}。

4. 108 數學課綱之複數教學

最後來看一下108數學課綱對於複數教學的安排。

在95數學課綱或之前的數學課綱, 高中一年級承接國中小經驗, 在已知自然數、分數、小數、負數、根數等先備知識後, 引進實數的名稱, 雖然沒容量、 也不必要說明實數的完備性, 但總會證明根數為無理數, 一方面當作反證法的重要例子, 再則是反映發現無理數的重要歷史。

接著會介紹複數, 擴大對於「數」的視野。 雖然無從證明代數基本定理, 但總會敘述一下, 甚至會利用共軛複數的觀念, 證明實係數多項式複數根共軛成對的性質。 而到了三角函數的和角公式時, 自然的接上棣美弗定理, 由此解 1 的 $n$ 次方根, 一方面是對代數基本定理在特例時的交代, 再則棣美弗定理的確提供了計算上的好處, 就如我們在前一節見到的例子。

就實用上來說, 自然數、分數、小數、負數等概念在生活上已經夠用, 當作國民基本教育, 到 7 年級大致上學習完成。 後續的根數、指數、對數、三角比等概念, 對於進階的數學, 在理科、電資、工程、財經等有其必要。 但是像實數的完備性的論證, 只要是數學架構的講究, 高中階段就無必要學習； 而無理數的論證, 在高中階段也是邏輯訓練的好例子而已。

至於在高中學習複數, 就不是最緊迫的事情。 老實說, 如果只是學會複數加、減、乘、除的意思, 對整體數學了解的幫忙並不多。 到了像棣美弗定理這樣的複數幾何, 對有些人又會有一點難。 基於這樣的觀點, 108 數學課綱做了一次新的嘗試, 將複數的學習由高一的內容中抽離, 放在高三的部定選修數學課程, 其中也只有數學甲才學習棣美弗這樣的複數幾何的概念。 這樣的調整, 整體看起來並不會影響高中數學的養成, 又可讓一些無法適應、但其實用不到相關內容的學生免於受苦, 我們認為很可行。

參考文獻

本文作者為臺灣大學數學系名譽教授