Chera 的另一寫法是 Keralaputra, 今之 Kerala 邦, 它名列西元前三世紀的阿育大王刻石, 也出現在希伯來文聖經。 在更早的時候, 西元前三千年起, 它是傳統的香料產地, 古兩河流域的人稱之為「香料花園」。 古希臘、 古羅馬都有這個地方的記錄。

特別值得一提的是, 這裡出產歐洲人與阿拉伯人珍視的肉桂 (cinnamon)。 此地一直有阿拉伯人、猶太人及羅馬人居住。

各文化區的數學程度是其科學發展的指標, 本書作者認為以下兩項可用作比較各文化區數學程度的共同尺度： (1) 畢氏定理的表敘、 證明及應用, 這是數位與圖形的關係; (2)圓周率的近似值及其取得的方法。

關於印度文化區在 (1) 的造詣, 請見第 38 節 [註1], (註: 這是我們預定發表的《南海指南與遠洋風光》的章節), 以下我們來討論 (2)。

西元前二千年, 巴比倫人用 3 作圓周率, 《聖經》索羅門王的故事裡的圓周率等於 3, 西元前一世紀中國的《周髀算經》 也有『徑 1 周 3』。 約西元前 1900$\sim$1680 年, 巴比倫人開始用 3.125 作圓周率。 西元前 1650 年, 埃及的《萊因德草紙 (Rhind Papyrus)》, 人類現存的第一本數學書, 有圓周率等於 3.1605。 人類第一次有計算圓周率的理論及方法是在西元前 287$\sim$212 年, 古希臘的阿基米德 (Archimedes) 用么圓 (註：半徑為1的圓)的內接正多邊形和外切正多邊形的面積來趨近圓周率, 反覆應用畢氏定理後, 得出圓周率在 $3 \dfrac 1{7}$ 與 $3 \dfrac{10}{71}$ 之間。

中國的《隋書 $\cdot$ 律暦志》記載南朝的祖沖之 (西元 429$\sim$501 年) 有： $$3.1415926 \lt \hbox{圓周率} \lt 3.1415927$$ 及『密率 ： 圓徑一百一十三, 圓週三百五十五。 約率： 圓徑七, 圓週二十二』。 今世的學者研究這一段話, 應用類似阿基米德的理論, 僅用內接正多邊形, 憑藉劉徽的割圓術『所割越多, 所失越少』, 猜測祖沖之應該是計算了 24576 ($=6\times 2^{12}$) 邊正多邊形的面積 (或邊長), 反覆應用畢氏定理, 開平方根 24 次, 自乘 23 次, 算出圓周率非常接近 $\dfrac{355}{113} =3.141592\ldots$。 每次開平方根都可能把以前的誤差放大, 整個過程的複雜度超乎想像。 古代用「算籌」算得出如此精確的結果, 是幾乎不可能的, 著實令人佩服。 另有一說法, 由於清代以前的書籍從未提過祖沖之的「密率」 $\dfrac{355}{113}$, 故而此結果或是清代印刷的「武英殿聚珍版本」的「四庫全書」插入的。 當時 「乾嘉學派」 的戴震(註：即戴東原, 《清史稿》有傳, 出版過股算圖書《策算》及《勾股割圓記》) 任職四庫全書纂修及分校官, 印刷《隋書》時, 可能師心自用地加入了小數點以下七位數和這句『密率 ： 圓徑一百一十三, 圓週三百五十五』。 之所以這樣推測, 是因為在 「武英殿版本」 印刷以前, 歐洲人已求出圓周率的小數點以下 35 位。 又有, 在西元 1585 年, 荷蘭數學家 A. 安東尼茲 (Adriaan Anthonisz) 的兒子追述其數學成果時, 介紹『他的圓周率是圓徑 113, 圓周 355』, 傳說就是這麼直白的一句話。 彼時這些知識已傳入中國, 負責排印《隋書》的「乾嘉學派」, 十分迷信西學是中學傳去的, 極有可能在《隋書》裡竄入了這些關於圓周率的話。 是非曲直, 我們可以參考別的文字：《隋書 $\cdot$ 律曆志》的作者李淳風, 也對《劉徽注本九章算術》做了一些註釋, 他認為劉徽所計算的 157/50 的圓周率不確, 真正的密率應該是 $\dfrac{22}{7}$, 這就表示了李淳風完全不知道祖沖之的 $\dfrac{355}{113}$ 的密率, 因而有人說清代出版的 《隋書 $\cdot$ 律曆志》中的那一段, 根本不是李淳風所寫, 而是清代人添加的。 當然, 也可能李淳風先寫了《劉徽注本九章算術》的註釋, 彼時他還不知道祖沖之的 $\dfrac{355}{113}$ 的密率, 在寫《隋書 $\cdot$ 律曆志》時才知道。 但是《隋書》光照四方、 舉國皆知, 如果有祖沖之的結果, 那麼為何以後千年的日子裡, 中國數學家們有如盲人, 在黑暗中摸索圓周率, 用一些粗糙的數字當圓周率, 例如宋代用 3.162, 明代用 3.1525, 3.1425, 3.126, 3.0588, 3.125, 到了清代的康熙朝用 3.162？ 進一步說, 用小數點下七位的圓周率, 加上正實數化為連分數 (continued fraction) 的計算, 立馬可得密率及約率。 例如,

\begin{align*} 3.1415926=\,&3+0.1415926\\ =\,&3+\dfrac{1}{~~~\dfrac 1{0.1415926}~~~}=3+\dfrac{1}{7+0.06251598} \end{align*}

此時如把小數 0.06251598 棄去, 則得 $3+\dfrac 17= \dfrac{22}{7}=$ 約率。 繼續如次, $$=3+\dfrac{1}{7+ \left(\dfrac 1{~~~\dfrac 1{0.06251598}~~~}\right)}$$ 再算兩歩, 把小數 0.0041066 棄去, 即得密率355/113。 但是, 連分數的理論是中國古算學的空白點。 祖沖之是如何得到密率及約率的？當然, 這也可以證明祖沖之懂得連分數。 總之, 各種議論, 莫衷一是。 我們需要古本的《隋書 $\cdot$ 律曆志》。 真相如何, 有待後賢了。 此後多年, 關於圓周率的研討沉寂下來, 直到南印度人走出石破天驚的新路。

西元十四世紀, Kerala 有了著名的 Madhava 數學學派, 研究無窮級數及無窮小值。 例如, Madhava 應用 $\arctan (x)$ 的無窮級數展開式, $$\arctan (x)= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}5-\cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots,$$ 以 1 代入 $x$ 就得出 $$45 \hbox{度角}=\arctan (1)=1-\frac 13+\frac 15-\frac 17+\cdots,$$ 利用已知角的兩種度量法的關係式, $$360\hbox{度角}=\hbox{半徑為1的圓周}=2\cdot \hbox{圓周率},$$ 於是, 45 度角$=$圓周率$/4$。 Madhava 導出了千古奇文 (後世誤以為這是西元十七世紀的歐洲大數學家、 微積分學的創造者之一的萊布尼茨 (Leibniz)發現的, 所以稱之為萊布尼茨公式, 現已改稱為 Madhava-Leibniz 公式)： $$\hbox{圓周率}=\frac 41-\frac 43+\frac 45-\frac 47+\frac 49-\frac 4{11}+\cdots$$ 算出它的 9 位近似值為 $3.141592653\ldots$。 理論上, 只要有足夠時間, Madhava 學派可以計算出圓周率的任意精確度的近似值。 他們的微積分學的研究也早於歐洲約三百年。 此地的數學家十分出色, 但似乎沒有把這一套數學傳到他方。

因為圓周率不容易計算, 有一個討巧的人猜測圓周率的第一百萬位是 5。 原以為這個問題會為難人類一陣子, 這猜測可使他得萬世名, 但他未料到南印度的數學及現代的電腦。

使用家用電腦及無窮級數 arctan 公式, 人們毫不費力地算出了圓周率的千位小數値。 這兒僅列出圓周率的百位小數值,

\begin{align*} \hbox{圓周率}=\,&3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592\\ \,&3078164062862089986280348253421170679\ldots\end{align*}

應用超級電腦及其它無窮級數, 人類已算出圓周率的 62.8 兆 (兆$=$百萬$\times $百萬)位小數值, 它的小數一百萬位竟然真的是 5！

西元 1403 年, 鄭和船隊經過此地, 在馬歡的《瀛涯勝覽》中記載此地的算術頗有根基 ： 「彼之演算法無算盤, 但以兩手並兩腳十指計算, 分毫無差」, 現在還是如此。

在西元 1498 年, 伽馬 (Gama) 繞過好望角, 到了印度洋, 就直奔此國。 以後荷蘭人、 法國人及英國人都陸續而來。 印度獨立後, Kerala 邦有三千三百萬人口, 它是印度第二富庶的邦區, 其識字率超過 95%。

本文作者莫宗堅、 黃蘋任教美國 Purdue 大學