46104 高斯虧格理論

摘要: 本文介紹二次體較完備的理論, 包含理想類群的計算, 上同調群的計算, 並帶入古典的高斯虧格理論(Gauss Genus Theory)。

前言

數域(number field) --- 有理數的有限擴張 --- 是代數數論中最基本的研究對象。有些只牽涉到有理數的數論問題, 在更大的數域中考慮, 反而能得到更多資訊。例如求方程式 \begin{align*} x^n + y^n = z^n \end{align*} 的所有整數解 $(x, y, z)$。費馬大定理告訴我們若 $n \geq 3$ 則此方程式沒有平凡解, 也就是說, 如果 $(x, y, z)$ 為一組解, 則 $xyz = 0$。費馬大定理在數論發展中扮演極為重要的角色, 最終這個問題在上世紀末由普林斯頓大學的魏爾斯 (Wiles) 成功解決。

現在我們介紹證明裡的一個重要方法。我們可以考慮 $n$ 是一個大於 $3$ 的質數 $p$ 的情況。假設 $x, y, z$ 是一組解, 我們可以假設它們沒有公因數。接著我們觀察到如果 $p$ 整除 $x, y, z$ 其中兩數, 則第三數也會被 $p$ 整除, 因此情況可以分成兩種： (1) $p$ 不整除 $x, y, z$ 中的任何一數, 或是 (2) $p$ 恰好整除其中一數。

接下來我們將試著證明 (1) 的情況會導致矛盾。如果我們令 $\omega = e^{2 \pi i/p}$ 並分解 $x^p + y^p = z^p$, 則 \begin{align*} (x + y)(x + y \omega)(x + y \omega^2) \dotsb (x + y \omega^{p-1}) = z^p. \end{align*} 這相當於是數域 $\mathbb{Q}[\omega]$ 中的乘法問題。更進一步, 我們可以將上面的等式看成其整數環 $\mathbb{Z}[\omega]$ 中的理想。

代數數論中有以下幾個重要的性質：若 $K$ 是一個數域, $R$ 是其所對應的整數環 (number ring), 也就是所有在 $K$ 裡滿足一個首項係數為 $1$ 的整係數多項式 $f(\alpha) = 0, f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ 的元素 $\alpha$, 則 $R$ 中的理想都能被唯一分解成質理想 (prime ideal) 的乘積。另外在我們能定義理想間的等價關係：對 $R$ 中的理想 $A, B$, 如果存在 $\alpha, \beta \in R$ 使得 $\alpha A = \beta B$, 則定義 $A \sim B$。事實上, 這樣定義出來的理想類 (上述關係定義出的等價類)只會是有限多個, 而理想類的個數稱作 $K$ 的類數 (class number), 通常記做 $h$。理想之間的乘法引導出了理想類之間的乘法 $[A][B] = [AB]$。在這個運算下, 理想類組成了一個有限交換群, 稱作理想類群 (ideal class group)。而理想類群的單位元正是包含了所有主理想 (principal ideal) 的理想類, 記為 $C_0$。最後, 當 $K = \mathbb{Q}[e^{2 \pi i/p}]$, 其中 $p$ 是一個奇質數時, 如果 $p$ 不整除 $R = \mathbb{Z}[e^{2 \pi i/p}]$ 的類數 $h$, 則稱 $p$ 是一個正則質數 (regular prime)。

讓我們回到剛才的討論中。經由一些論述, 我們可以得到整除 $(x + y \omega)$ 的質理想, 一定不會整除其他的理想 \begin{align*} (x + y), (x + y \omega^2), \dotsc, (x + y \omega^{p-1}). \end{align*} 因此, $(x + y \omega)$ 一定是某個理想 $I$ 的 $p$ 次方。將 $I$ 的理想類記做 $C$, 則 $C^p = C_0$。這時如果 $p$ 是正則質數, 那麼理想類群不會有階數為 $p$ 的元素, 因此 $C = C_0$, 也就是說 $I$ 本身就是一個主理想 $(\alpha)$。我們有 \begin{align*} (x + y \omega) = I^p = (\alpha)^p = (\alpha^p), \end{align*} 所以存在單位元 $u \in R$ 使得 $x + y \omega = u \alpha^p$。由此可以得到 $x \equiv y \pmod{p}$。類似地如果我們將原本的 $x^p + y^p = z^p$ 改寫成 $x^p + (-z)^p = (-y)^p$, 則可得到 $x \equiv -z \pmod{p}$。這時 \begin{align*} 2x^p \equiv x^p + y^p = z^p \equiv -x^p \pmod{p}. \end{align*} 所以 $p \mid 3x^p$, $p$ 整除 $x$, 得到矛盾。

事實上, 數學家 Kummer 證明了對於任意正則質數 $p$, 費馬大定理成立。

由此, 我們可以看見類數以及理想類群在代數數論中的重要性, 而二次體更是其中最基本的例子。很多在二次體上觀察到的現象都可以推廣到一般的數域。在本篇文章中我們將探討如何計算二次體的理想類群, 以及在其中觀察到的現象。

1. 二次體的理想類群(Ideal class group)

在第一節中, 我們將計算二次體的理想類群。首先, 我們會先引入本原理想 (primitive ideal, 定義 1.4)的概念, 方便後續的計算, 並描述理想類群的生成元。接著, 我們會討論如何得到生成元之間的關係, 以決定理想類群的結構。最後則是幾個實際計算的例子。

1.1. 基本定義與性質

設 $k = \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ 為一個二次體, 其中 $m$ 是一個整數, 不被大於 $1$ 的平方數整除 (square-free)。我們將 $k$ 中的整數環 (ring of integers) 記為 $\mathfrak{o}_k$。我們知道$\mathfrak{o}_k$作為一個$\mathbb{Z}$-模 ($\mathbb{Z}$-module)有一組自然基底(canonical basis) $\{1, \omega\}$。其中

\begin{align*} \omega = \begin{cases} \sqrt{m}, & m \equiv 2, 3 \pmod{4}; \\ \frac{1 + \sqrt{m}}{2}, & m \equiv 1 \pmod{4}, \end{cases} \end{align*}

而且 $k$ 的判別式(discriminant) $\Delta_k$ 為

\begin{align*} \Delta_k = \begin{cases} 4m, & m \equiv 2, 3 \pmod{4}; \\ m, & m \equiv 1 \pmod{4}. \end{cases} \end{align*}

令 $\mathfrak{m}$ 為 $\mathfrak{o}_k$ 的一個自由 $\mathbb{Z}$-子模(free $\mathbb{Z}$-submodule), 而且基底為 $\{u, v\}$ (也就是說, $\mathfrak{m} = \mathbb{Z} u + \mathbb{Z} v$, 我們將這種情況記做 $\mathfrak{m} = [u, v]$)。我們知道存在一個整數矩陣 $A \in M_2(\mathbb{Z})$ 使得 $[u, v] = [1, \omega] A$, 而 $[\mathfrak{o}_k : \mathfrak{m}] = |{\det A}|$。由基本的整除性質我們知道 $[\mathfrak{o}_k: \mathfrak{m}] \in \mathfrak{m}$, 所以 $\mathfrak{m} \cap \mathbb{Z}$ 非零, 並且有一個整除 $[\mathfrak{o}_k: \mathfrak{m}]$ 的正整數 $a$ 使得 $\mathfrak{m} \cap \mathbb{Z} = \mathbb{Z} a$。類似地, 因為 $[\mathfrak{o}_k: \mathfrak{m}] \omega \in \mathfrak{m}$, $\mathfrak{m}$ 中存在以下形式的元素： \begin{align*} b + c \omega, b, c \in \mathbb{Z} \text{ 且 } \, c \geq 1. \end{align*} 取 $b + c \omega$ 使得其中的 $c$ 是這些元素中的 $c$ 最小的。我們能證明

命題1.1. $\mathfrak{m} = [a, b + c \omega]$.

因此, 給定 $\mathfrak{m}$ 我們可以唯一決定正整數 $a, c$, 以及整數 $b$ 模 $a$ 的餘數。

定義1.2. 我們稱 $\mathfrak{m} = [a, b + c\omega]$ 為 $m$ 的自然基底表示 $($canonical basis expression$)$。

以下列出一些自然基底表示的性質。

命題1.3.

(a) 對於正整數 $a, c $ 和整數 $b$, 令 $\mathfrak{m} = [a, b + c \omega]$。那麼 $\mathfrak{m}$ 是一個秩 (rank) 為 $2$ 的自由模, 且 $\{a, b + c \omega \}$ 是它的一組自然基底。
(b) 如果 $[a, b + c \omega]$ 是 $\mathfrak{o}_k$ 中的一個理想, 那麼 $c \mid a$ 且 $c \mid b$。
(c) $[a, b + c\omega]$ 是一個理想若且唯若 $a \mid N(b + \omega)$, 其中 $N = N_{k/\mathbb{Q}}$ 是從 $k$ 到 $\mathbb{Q}$ 的範數映射(norm map)。
(d) 對一個理想 $\mathfrak{a} = [\alpha, \beta]$, 我們有 $\mathfrak{a} = (\alpha, \beta)$。
(e) 對一個 $\mathfrak{o}_k$ 中的理想 $\mathfrak{a}$, 令它的共軛為 $\mathfrak{a}'$ (意即 $\mathfrak{a}' = \sigma(\mathfrak{a})$, 其中 $\sigma$ 是 $ Gal(k/\mathbb{Q})$ 中唯一非單位元的元素)。則我們有 $\mathfrak{aa}' = (\mathrm{N} \mathfrak{a})$, 其中 $\mathrm{N} \mathfrak{a} = |{\mathfrak{o}_k/\mathfrak{a}}|$ 是 $\mathfrak{a}$ 的範數(norm)。

定義1.4. 假設 $\mathfrak{a}$ 是 $\mathfrak{o}_k$ 中的一個理想。若 $d = 1$ 是唯一滿足 $d \mid \mathfrak{a}$ 的正整數, 我們稱 $\mathfrak{a}$ 為本原理想(primitive ideal)。每個理想都等價於唯一一個本原理想。

命題1.5 (a) 子模 $[a, b + c \omega]$ 是一個本原理想, 若且唯若 $c = 1$ 且 $a \mid N(b + \omega)$。
(b) 令 $\mathfrak{a} = [a, b + \omega]$ 為一個本原理想。如果 $a = a_1 a_2$ 為兩正整數 $a_1, a_2 $ 的乘積, 則 $\mathfrak{a}_i = [a_i, b + \omega], i = 1, 2$ 都是本原理想, 而且 $\mathfrak{a} = \mathfrak{a}_1 \mathfrak{a}_2$.

我們在這邊列出幾個二次體的性質。

對每個二次體 $k$, 我們在質數上定義 Kronecker 符號 (Kronecker symbol) 為 \begin{align*} \chi_k(p) = \begin{cases} 0, & p = \mathfrak{p}^2 \,(p \text{ 在 $k$ 中分歧 (ramifies)}); \\ 1, & p = \mathfrak{pp}', \mathfrak{p} \neq \mathfrak{p}' \,(p \text{ 在 $k$ 中完全分裂 (splits completely)}); \\ -1, & p = \mathfrak{p}, \,(p \text{ 在 $k$ 中仍是質理想}). \end{cases} \end{align*} 這些值也可以透過以下的算式求得： \begin{align*} \chi_k(p) = \begin{cases} 0, & p \mid \Delta_k; \\ \left(\frac{\Delta_k}{p}\right), & p \nmid \Delta_k \text{ 且 } p \neq 2; \\ (-1)^{\frac{\Delta_k^2-1}{8}}, & p \nmid \Delta_k \text{ 且 } p = 2 \,(\text{這只會發生在 } m \equiv 1 \pmod{4}). \end{cases} \end{align*} 因為 $\mathfrak{o}_k = \mathbb{Z}[\omega]$, 我們可以透過在模 $p$ 中分解 $\omega$ 的最小多項式 $f_{\omega}(X)$, 來得知 $p$ 在 $k$ 中的質理想分解。我們將 $p$ 在 $k$ 分解出的質理想記為 $\mathfrak{p}_{p}$ 和 $\mathfrak{p}'_p$。我們可以將以上的定義用乘法擴展到子群 \begin{align*} I_{\mathbb{Q}}(\Delta_k) = \left\{ a \in \mathbb{Q}^{\times}: a \gt 0, \gcd(a, \Delta_k) = 1 \right\}, \end{align*} 其對應域為 $\{\pm 1\}$。延伸後的映射稱為{Kronecker 特徵標 (Kronecker character), 一樣記為 $\chi_k$。
$k$ 所對應的 Minkowski 常數 $M_k$ 為 \begin{align*} M_k = \begin{cases} \frac{1}{2} \sqrt{\Delta_k}, & \Delta_k \gt 0; \\ \frac{2}{\pi} \sqrt{-\Delta_k}, & \Delta_k \lt 0. \end{cases} \end{align*} Minkowski 常數有一個重要性質：理想類群 $H_k$ 的每個理想類都包含一個 $\mathfrak{o}_k$ 中的理想 $\mathfrak{a}$, 使得 $\mathrm{N} \mathfrak{a} \leq M_k$.

命題1.6. 對一個二次體 $k$, 記 $S_k = \{p: p \leq M_k \text{ 且 } \, \chi_k(p) \neq -1\}$。則 $k$ 的理想類群 $H_k$ 可以由以下質理想的理想類生成： $\mathfrak{p}_p$, $p \in S_k$。

證明： 從每個理想類中, 我們取一個理想 $\mathfrak{a}$ 使得 $\mathrm{N}\mathfrak{a} \leq M_k$。 $\mathfrak{a}$ 的任一質理想因子 (以下簡稱質因子) $\mathfrak{p}$ 滿足 $\mathrm{N} \mathfrak{p} \leq M_k$, 因此 $H_k$ 可由滿足 $\mathrm{N} \mathfrak{p} \leq M_k$ 的質理想 $\mathfrak{p}$ 的理想類生成。對這樣的質理想 $\mathfrak{p}$, 我們令 $p$ 為其對應下 (lying under) 的質數, 意即 $p\mathbb{Z} = \mathfrak{p} \cap \mathbb{Z}$。如果 $\chi_k(p) = -1$, 則 $\mathfrak{p} = p$ 而且 $\mathfrak{p}$ 的理想類是 $H_k$ 中的單位元。如果 $\chi_k(p) \neq -1$, 則 $\mathrm{N} \mathfrak{p} = p = \mathfrak{p}_p \mathfrak{p}'_p$。在 $H_k$ 中, $\mathfrak{p}_p$ 的理想類與 $\mathfrak{p}'_p$ 的理想類互為反元素。因此要生成 $H_k$ 的話, 只要取 $\mathfrak{p}_p$ 的理想類就足夠了。

$\Box$

1.2. 計算與例子

在接下來的內容中, 我們定義多項式 \begin{align*} P(X) = N_{k/\mathbb{Q}}(X + \omega) = \begin{cases} X^2 - m, & m \equiv 2, 3 \pmod{4}; \\ X^2 + X + \dfrac{1-m}{4}, & m \equiv 1 \pmod{4}. \end{cases} \end{align*} 注意到 $P(X)$ 也是 $-\omega$ 的最小多項式。因為 $H_k$ 由滿足 $p \in S_k$ 的質理想 $\mathfrak{p}_p$ 的等價類生成, 我們可以透過了解這些生成元滿足的關係式來確定 $H_k$ 的結構。

令 $b$ 是一個非負整數, 使得 $P(b) = N(b + \omega)$ 的質因數皆是 $S_k$ 的元素：
$|{P(b)}| = |{N(b + \omega)}| = p_1^{e_1} \dotsb p_n^{e_n}, p_i \in S_k$.

本原主理想 $(b + \omega)$ 有以下的自然基底表示
$(b + \omega) = \left[|{N(b + \omega)}|, b + \omega \right]$,

而由 $|{N(b + \omega)}|$ 的質因數分解我們看到
$1 \sim (b + \omega) = [p_1, b+\omega]^{e_1} \dotsb [p_n, b + \omega]^{e_n}$.

因為右式的每個因子都是形為 $[p, b + \omega]$、範數為 $p$ 的質理想, 我們有
$[p, b + \omega] = \mathfrak{p}_p \text{ 或 } \, \mathfrak{p}'_p. \, \text{這等價於} \, [p, b + \omega] \sim \mathfrak{p}_p \text{ 或 } \, \mathfrak{p}^{-1}_p$.

由前述 $(b + \omega)$ 的分解, 我們得到關係式
$\mathfrak{p}^{\pm e_1}_{p_1} \dotsb \mathfrak{p}^{\pm e_n}_{p_n} \sim 1. \tag{$\ast$}$

對每個 $b$ 進行這樣的過程後, 我們得到如 (*) 的關係式, 讓我們最終能決定 $H_k$ 的結構。在以下的例子中, 記 $C_n$ 為階數是 $n$ 的循環群。

例1.7. 考慮 $m = 58$ 的情況。此時 $\omega = \sqrt{58}$ 且 $\Delta_k = 232$。Minkowski 常數為 $M_k = \frac{1}{2} \sqrt{\Delta_k} = \sqrt{58}$, 因此我們只需考慮質數 $2, 3, 5, 7$。它們代入 Kronecker 符號的值為

$p$	2	3	5	7
$\chi_k(p)$	0	1	-1	1

因此集合 $S_k = \{2, 3, 7\}$。對於質數 $p \in S_k$, 我們在模 $p$ 下分解 $\omega$ 的最小多項式 $f_{\omega}(X) = X^2 - 58$。

$p = 2$. $X^2 - 58 \equiv X^2$, 所以 \begin{align*} 2 = \mathfrak{p}_2, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_2 = (2, \omega) = [2, \omega]. \end{align*}
$p = 3$. $X^2 - 58 \equiv (X+1)(X+2)$, 所以 \begin{align*} 3 = \mathfrak{p}_3 \mathfrak{p}'_3, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_3 = (3, \omega + 1) = [3, \omega + 1], \mathfrak{p}'_3 = [3, \omega + 2]. \end{align*}
$p = 7$. $X^2 - 58 \equiv (X + 3) (X + 4)$, 所以 \begin{align*} 7 = \mathfrak{p}_7 \mathfrak{p}'_7, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_7 = [7, \omega + 3], \mathfrak{p}'_7 = [7, \omega + 4]. \end{align*}

現在我們計算 $P(b) = b^2 - 58$ 在 $b \geq 0$ 的值。如果它們的質因數皆在 $S_k$ 中, 則列出。

2	$-54 = -1 \cdot 2 \cdot 3^3 $
3	$-49 = -1 \cdot 7^2$
4	$-42 = -1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$
7	$-9 = -1 \cdot 3^2$
8	$6 = 2 \cdot 3$

由 $2$ 的質理想分解, 我們有 $1 \sim \mathfrak{p}_2^2$。
$b = 8.1 \sim [6, 8 + \omega] = [2, 8 + \omega][3, 8 + \omega] = \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}'_3$, 因此 $\mathfrak{p}_3 \sim \mathfrak{p}_2$。
$b = 4.1 \sim [42, 4 + \omega] = [2, 4 + \omega][3, 4 + \omega][7, 4 + \omega] = \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_3 \mathfrak{p}'_7$, 因此 $\mathfrak{p}_7 \sim 1$。

理想類群由 $\mathfrak{p}_2$ 的等價類生成。最後, 因為 $(2, \omega)$ 並非主理想, 可以確定理想類群同構到 $C_2$。

例 1.8. 考慮 $m = -58$ 的情況。 $\omega = \sqrt{-58}$ 且 $\Delta_k = -232$。 Minkowski 常數 $M_k = \frac{4 \sqrt{58}}{\pi}$, 因此只需考慮質數 $2, 3, 5, 7$。它們代入 Kronecker 符號的值為

$p$	2	3	5	7
$\chi_k(p)$	0	-1	-1	-1

因此 $S_k = \{2\}$。質數 $2$ 在 $k$ 中的質理想分解為 $2 = [2, \omega]^2$. 因為 $(2, \omega)$ 並非一個主理想, 可以確定理想類群同構到 $C_2$。

例 1.9. 考慮 $m = 105$ 的情況。這時 $\omega = \frac{1 + \sqrt{105}}{2} $ 且 $\Delta_k = 105$。Minkowski 常數為 $M_k = \frac{1}{2} \sqrt{\Delta_k} = \frac{\sqrt{105}}{2}$, 所以只需考慮質數 $2, 3, 5$。它們代入 Kronecker 符號的值為

$p$	2	3	5
$\chi_k(p)$	1	0	0

因此 $S_k = \{2, 3, 5\}$。對 $S_k$ 中的質數 $p$, 我們透過分解 $\omega$ 的最小多項式 $f_{\omega}(X) = X^2 - X - 26$ 來決定質理想 $\mathfrak{p}_p, \mathfrak{p}'_p$。

$p = 2$. $X^2 - X - 26 \equiv X(X+1) \pmod{2}$, 因此 \begin{align*} 2 = \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}'_2, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_2 = (2, \omega) = [2, \omega],\, \mathfrak{p}'_2 = (2, \omega + 1) = [2, \omega + 1]. \end{align*}
$p = 3$. $X^2 - X - 26 \equiv (X+1)^2 \pmod{3}$, 因此 \begin{align*} 3 = \mathfrak{p}_3^2, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_3 = (3, \omega + 1) = [3, \omega + 1]. \end{align*}
$p = 5$. $X^2 - X - 26 \equiv (X+2)^2 \pmod{5}$, 因此 \begin{align*} 5 = \mathfrak{p}_5^2 , \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_5 = (5, \omega + 2) = [5, \omega + 2]. \end{align*}

現在我們計算一些 $P(b) = b^2 + b - 26 (b \geq 0)$ 的值, 如果它們的質因數全在 $S_k$ 則將之列出。

接下來我們找出 $\mathfrak{p}_p$ 的等價類之間的關係。

$b$	$P(b)$
$1$	$-24 = -2^3 \cdot 3$
$2$	$-20 = -2^2 \cdot 5$
$4$	$-6 = -2 \cdot 3$
$5$	$4 = 2^2$
$6$	$16 = 2^4$
$7$	$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$9$	$64 = 2^6$

$b = 5$. 這時 $1 \sim (b + \omega) = [|{P(b)}|, b + \omega] = [4, 5 + \omega] = [4, 1 + \omega] = [2, 1 + \omega]^2 = {\mathfrak{p}'_2}^2$, 因此 \begin{align*} \mathfrak{p}_2^2 \sim 1. \end{align*}
$b = 2$. 這時 $1 \sim [20, 2 + \omega] = [2, \omega]^2 [5, 2 + \omega] = \mathfrak{p}_2^2 \mathfrak{p}_5$, 因此 \begin{align*} \mathfrak{p}_5 \sim 1. \end{align*}
$b = 4$. 這時 $1 \sim [6, 4 + \omega] = [2, \omega][3, 1 + \omega] = \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_3$, 因此 \begin{align*} \mathfrak{p}_3 \sim \mathfrak{p}_2'. \end{align*}

由以上的計算結果, 可以確定理想類群由 $\mathfrak{p}_2$ 的理想類生成, 而 $\mathfrak{p}_2$ 的理想類的階數 (order) 為 1 或 2。注意到 $\mathfrak{p}_2 = (2, \omega)$ 並非一個主理想, 所以它的階數為 $2$。因此, 我們確定理想類群同構到 $C_2$。

例 1.10. 考慮 $m = -105$ 的情況。這時 $\omega = \sqrt{-105}$ 且 $\Delta_k = -420 = -2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$。 Minkowski 常數為 $M_k = \frac{2}{\pi} \sqrt{-\Delta_k} = \frac{4 \sqrt{105}}{\pi}$, 所以我們只需考慮質數 $2, 3, 5, 7, 11, 13$。它們代入 Kronecker 符號的值是

$p$	2	3	5	7	11	13
$\chi_k(p)$	0	0	0	0	1	1

因此 $S_k = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$。現在我們在模 $p$ 底下分解多項式 $f_{\omega}(X) = X^2 + 105$, 其中 $p \in S_k$。

$p = 2$. $X^2 + 105 \equiv (X + 1)^2$, 所以 \begin{align*} 2 = \mathfrak{p}_2^2, \text{ 其中 } \, \mathfrak{p}_2 = (2, \omega + 1) = [2, 1 + \omega]. \end{align*}
$p = 3$. $X^2 + 105 \equiv X^2$, 所以 \begin{align*} 3 = \mathfrak{p}_3^2, \text{ 其中 } \, \mathfrak{p}_3 = (3, \omega) = [3, \omega]. \end{align*}
$p = 5$. $X^2 + 105 \equiv X^2$, 所以 \begin{align*} 5 = \mathfrak{p}_5^2, \text{ 其中 } \, \mathfrak{p}_5 = (5, \omega) = [5, \omega]. \end{align*}
$p = 7$. $X^2 + 105 \equiv X^2$, 所以 \begin{align*} 7 = \mathfrak{p}_7^2, \text{ 其中 } \, \mathfrak{p}_7 = (7, \omega) = [7, \omega]. \end{align*}
$p = 11$. $X^2 + 105 \equiv (X + 4)(X + 7)$, 所以 \begin{align*} 11 = \mathfrak{p}_{11} \mathfrak{p}'_{11}, \text{ 其中 } \, \mathfrak{p}_{11} = (11, \omega + 4) = [11, 4 +\omega], \mathfrak{p}'_{11} = (11, \omega + 7) = [11, 7 + \omega]. \end{align*}
$p = 13$. $X^2 + 105 \equiv (X + 5)(X + 8)$, 所以 \begin{align*} 13 = \mathfrak{p}_{13} \mathfrak{p}'_{13}, \text{ 其中 } \, \mathfrak{p}_{13} = (13, \omega + 5) = [11, 5 +\omega], \mathfrak{p}'_{13} = (13, \omega + 8) = [11, 8 + \omega]. \end{align*}

我們計算一些 $P(b) = b^2 + 105, b \geq 0$ 的值。如果質因數都在 $S_k$ 中, 則將 $P(b)$ 列出。

$b$	$P(b)$
$0$	$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$
$4$	$121 = 11^2$
$5$	$130 = 2 \cdot 5 \cdot 13$
$7$	$154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$
$8$	$169 = 13^2$

由上述的分解, 我們得知 $\mathfrak{p}_p, p = 2, 3, 5, 7$ 的等價類在理想類群的階數為 $1$ 或 $2$。

$b = 4$. $1 \sim [121, \omega + 4] = [11, \omega + 4]^2 = \mathfrak{p}^2_{11}$, 所以 $\mathfrak{p}_{11}$ 的等價類為 $1$ 或 $2$ 階。
$b = 8$. $1 \sim [169, \omega + 8] = [13, \omega + 8]^2 = {\mathfrak{p}'_{13}}^2$, 所以 $\mathfrak{p}_{13}$ 的等價類為 $1$ 或 $2$ 階。
$b = 5$. $1 \sim [130, \omega + 5] = [2, \omega + 5][5, \omega + 5][13, \omega + 5] = \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_5 \mathfrak{p}_{13}$, 所以 $\mathfrak{p}_5 \sim \mathfrak{p}_{2} \mathfrak{p}_{13}$。
$b = 7$. $1 \sim [154, \omega + 7] = [2, \omega + 7][7, \omega + 7][11, \omega + 7] = \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_7 \mathfrak{p}'_{11}$, 所以 $\mathfrak{p}_7 \sim \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_{11}$。
$b = 0$. $1 \sim [105, \omega] = [3, \omega][5, \omega][7, \omega] = \mathfrak{p}_3 \mathfrak{p}_5 \mathfrak{p}_7$, 所以 $\mathfrak{p}_3 \sim \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_{13}$。

由以上資訊, 我們得知理想類群由三個元素生成：$\mathfrak{p}_2$、 $\mathfrak{p}_{11}$、$\mathfrak{p}_{13}$ 的等價類。注意到這些理想並非主理想, 所以它們的階數都是 $2$。現在我們檢查它們之間是否有其它關係。

$\mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_{11} = (2, \omega + 1)(11, \omega + 4) = (22, \omega + 15)$。這個理想不是主理想。
$\mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_{13} = (2, \omega + 1)(13, \omega + 5) = (26, \omega + 15)$。這個理想不是主理想。
$\mathfrak{p}_{11} \mathfrak{p}_{13} = (2, \omega + 1)(13, \omega + 5) = (26, \omega + 5)$。這個理想不是主理想。
$\mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_{11} \mathfrak{p}_{13} = (2, \omega + 1)(11, \omega + 4)(13, \omega + 5) = (286, \omega + 213)$。這個理想不是主理想。

我們在往後的兩個例子中省略計算過程, 只敘述主要結果。讀者可以用數學軟體系統, 例如Sage, 來檢查例子中理想類之間的關係, 甚至可以用一行指令得知理想類群的結構 ¹ ¹ 請參閱 https://doc.sagemath.org/html/en/reference/number_fields/sage/rings/number_field/class_group.html 。

例 1.11. 考慮 $m = 2021$ 的情況。這時 $\omega = \frac{1 + \sqrt{2021}}{2}$ 且 $\Delta_k = 2021 = 43 \cdot 47$。集合 $S_k = \{5, 17, 19\}$。我們列出 $S_k$ 中的質數 $p$ 在 $k$ 中的質理想分解： \begin{align*} 5 &= \mathfrak{p}_5 \mathfrak{p}'_5, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_5 = [5, \omega - 1], \, \mathfrak{p}'_5 = [5, \omega] \\ 17 &= \mathfrak{p}_{17} \mathfrak{p}'_{17}, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_{17} = [17, \omega + 3], \, \mathfrak{p}'_{17} = [17, \omega + 13] \\ 19 &= \mathfrak{p}_{19} \mathfrak{p}'_{19}, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_{19} = [19, \omega + 5], \, \mathfrak{p}'_{19} = [19, \omega + 13]. \end{align*} $\mathfrak{p}_{17} \mathfrak{p}'_5$ 和 $\mathfrak{p}_{19} \mathfrak{p}_5$ 在理想類群中都等價於 $1$, 所以可以推得理想類群由 $\mathfrak{p}_5$ 的理想類生成。$\mathfrak{p}_5, \mathfrak{p}_5^2$ 都不是主理想, 但 $\mathfrak{p}_5^3$ 是主理想。因此理想類群同構到 $C_3$。

例 1.12.考慮 $m = -2021$ 的情況。這時 $\omega = \sqrt{-2021}$, 而且

\begin{align*} S_k = \{2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 29, 31, 43, 47, 53\}. \end{align*}

我們列出 $S_k$ 中的質數 $p$ 在 $k$ 中的質理想分解：

\begin{align*} 2 &= \mathfrak{p}_2^2, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_2 = [2, \omega + 1], \\ 3 &= \mathfrak{p}_3 \mathfrak{p}'_3, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_3 = [3, \omega + 1], \, \mathfrak{p}'_3 = [3, \omega + 1], \\ 5 &= \mathfrak{p}_5 \mathfrak{p}'_5, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_5 = [5, \omega + 2], \, \mathfrak{p}'_5 = [5, \omega + 3], \\ 7 &= \mathfrak{p}_7 \mathfrak{p}'_7, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_7 = [7, \omega + 3], \, \mathfrak{p}'_7 = [7, \omega + 4], \\ 11 &= \mathfrak{p}_{11} \mathfrak{p}'_{11}, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_{11} = [11, \omega + 5], \, \mathfrak{p}'_{11} = [11, \omega + 6], \\ 17 &= \mathfrak{p}_{17} \mathfrak{p}'_{17}, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_{17} = [17, \omega + 6], \, \mathfrak{p}'_{17} = [17, \omega + 11], \\ 23 &= \mathfrak{p}_{23} \mathfrak{p}'_{23},\text{ 其中} \, \mathfrak{p}_{23} = [23, \omega + 7], \, \mathfrak{p}'_{23} = [23, \omega + 16], \\ 29 &= \mathfrak{p}_{29} \mathfrak{p}'_{29}, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_{29} = [29, \omega + 3], \, \mathfrak{p}'_{29} = [29, \omega + 26], \\ 31 &= \mathfrak{p}_{31} \mathfrak{p}'_{31}, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_{31} = [31, \omega + 5], \, \mathfrak{p}'_{31} = [31, \omega + 26], \\ 43 &= {\mathfrak{p}_{43}}^2, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_{43} = [43, \omega], \\ 47 &= {\mathfrak{p}_{47}}^2, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_{47} = [47, \omega], \\ 53 &= \mathfrak{p}_{53} \mathfrak{p}'_{53}, \text{ 其中} \, \mathfrak{p}_{53} = [53, \omega + 24], \, \mathfrak{p}'_{53} = [53, \omega + 29]. \end{align*}

以下的理想乘積都是主理想, 也就是說, 它們在理想類群中都等價於 $1$。

\begin{align*} \mathfrak{p}_2 {\mathfrak{p}'_5}^{17} \mathfrak{p}_{43}, \, \mathfrak{p}_3 {\mathfrak{p}'_5}^9 \mathfrak{p}_{43}, \, \mathfrak{p}_7 {\mathfrak{p}'_5}^5 \mathfrak{p}_{43}, \, \mathfrak{p}_{11} {\mathfrak{p}'_5}^{14} \mathfrak{p}_{43}, \, \mathfrak{p}_{17} {\mathfrak{p}_5}^6, \, \mathfrak{p}_{23} {\mathfrak{p}_5}^2 \mathfrak{p}_{43}, \, \mathfrak{p}_{29} {\mathfrak{p}'_5}^{13}, \, \mathfrak{p}_{31} {\mathfrak{p}'_5}^{13} \mathfrak{p}_{43}, \, \mathfrak{p}_{47} \mathfrak{p}_{43}. \end{align*}

我們發現理想類群由兩個元素生成：$\mathfrak{p}_{43}$ 和 $\mathfrak{p}_5$ 的理想類。$43$ 在 $k$ 中的質理想分解告訴我們, $\mathfrak{p}_{43}$ 的理想類的階數為 $2$。至於 $\mathfrak{p}_{5}$, 它的 $34$ 次方是一個主理想, 但它的 $2$ 次方和 $17$ 次方並不是。因此, $k$ 的理想類群同構於 $C_2 \times C_{34}$。

2. 二次體上的上同調 (Cohomology)

在第二節中, 我們將二次體的 Galois 群作用在狹義理想類群上, 觀察上同調群發生的現象。

2.1. 循環體上的上同調

在這一小節中, 我們複習一些群作用在模上的結果。

定義 2.1. 如果一個群 $G$ 在 $\mathbb{Z}$-模 $A$ 上的群作用, 滿足

\begin{align*} \text{ 對任何 } \, a, b \in A \text{ 和 } \, \sigma \in G, \sigma(a + b) = \sigma a + \sigma b \end{align*}

則稱 $A$ 為一個 $G$-模 ($G$-module)。

定義 2.2. 如果在兩個 $G$-模之間的同態 $f: A \rightarrow B$ 滿足

\begin{align*} \text{ 對任何 } \, a \in A \text{ 和 } \, \tau \in G, f(\tau a) = \tau f(a) \end{align*}

則稱 $f$ 為一個 $G$-同態 ($G$-homomorphism)。

在這一小節, 我們假設 $G = \langle \sigma \rangle$ 是一個階數為 $n$ 的循環群。定義

\begin{align*} \Delta = 1 - \sigma, N = 1 + \sigma + \dotsb + \sigma^{n-1}. \end{align*}

也就是說, 對於 $a \in A$

\begin{align*} \Delta(a) = a - \sigma(a), N(a) = a + \sigma(a) + \dotsb + \sigma^{n-1}(a). \end{align*}

注意到 $\Delta$ 和 $N$ 是 $A$ 的自同態。它們滿足 $\Delta N = N \Delta = 0$, 所以我們可以考慮以下序列

\begin{align*} A \xrightarrow{N} A \xrightarrow{\Delta} A \text{ 和 } \, A \xrightarrow{\Delta} A \xrightarrow{N} A. \end{align*}

定義 2.3. 以下的兩個群

\begin{align*} H^0(A) = \frac{\ker \Delta}{\hbox{Im}\, N} \text{ 和 } \, H^1(A) = \frac{\ker N}{\hbox{Im}\, \Delta} \end{align*} 被稱為 $A$ 的上同調群 (cohomology groups)。有時我們記 $A^G = \ker \Delta$ 和 ${}_{N}{A} = \ker N$。

命題 2.4. 假設 $A$, $B$ 為兩個 $G$-模且 $f: A \rightarrow B$ 是一個 $G$-同態。則 $f$ 導出上同調群間的同態

\begin{align*} H^0(A) \xrightarrow{f_0} H^0(B) \text{ 和 } \, H^1(A) \xrightarrow{f_1} H^1(B). \end{align*}

定理 2.5. 對任何 $G$-模的正合序列 (exact sequence)

\begin{align*} 1 \rightarrow A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \rightarrow 1, \text{也就是 $f$ 是單射, $g$ 是滿射, 且 $\ker g = \mathrm{Im} f$.} \end{align*}

存在同態 $\delta_0$ 和 $\delta_1$ 使得下圖的每個序列皆為正合序列

定義 2.6. 設 $G$ 為一有限循環群且 $A$ 為一 $G$-模。當 $H^0(A)$ 和 $H^1(A)$ 都是有限群時, 我們稱有理數

\begin{align*} Q(A) = \frac{|{H^1(A)}|}{|{H^0(A)}|} \end{align*}

為 $A$ 的 Herbrand 商 (Herbrand quotient)。

命題 2.7. 設 $1 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 1$ 為 $G$-模之間的正合序列。若 $Q(A), Q(B), Q(C)$ 中的任兩個數有定義, 那第三數也有定義, 而且

\begin{align*} Q(A) Q(B) = Q(C). \end{align*}

推論 2.8. 假設 $B$ 是一個 $G$-模, $A$ 是 $B$ 的 $G$-子模, 且 $C = B/A$ 有限。若 $Q(A)$, $Q(B)$ 其中一數有定義, 則它們皆有定義, 而且 $Q(A) = Q(B)$。

2.2. 二次體上的上同調

使用先前的術語, 如果我們進一步假設 $A = 0$ 且 $B$ 有限的話, 那麼 $C = B$ 且 $Q(A) = Q(B) = 1$, 因此 $|{H^0(B)}| = |{H^1(B)}|$。將上面的討論整理如下：

命題 2.9. 設 $A$ 為一有限 $G$-模。我們有 $|{H^0(A)}| = |{H^1(A)}|$。

設 $k/\mathbb{Q}$ 為二次體, 其 Galois 群為 $G = Gal(k/\mathbb{Q}) = \langle \sigma \rangle$。我們將 $k$ 中的分式理想 (fractional ideal) 所構成的群記為 $I_k$, 稱為 $k$ 的分式理想群, 並將 $I_k$ 的一個子群 --- 由 $k$ 中的分式主理想 (principal fractional ideal) $(\alpha), \alpha \in k^{\times}$ 所構成的群, 記為 $P_k$。

定義 2.10.

(1) 定義 \begin{align*} P_k^{+} = \left\{ (\alpha) \in P_k : N_{k/\mathbb{Q}}(\alpha) \gt 0 \right\} \end{align*} 它是 $P_k$ 的子群。

(2) 若 $k$ 是實二次體, 則 $k$ 的單位群 (unit group) $\mathfrak{o}_k^{\times}$ 可表示成 $\{ \pm \epsilon^n, n \in \mathbb{Z} \}$。其中 $\epsilon \gt 1$ 的唯一單位元稱作基本單位元 (fundamental unit)。

命題 2.11. 當 $k$ 是一個實二次體, 我們令 $\epsilon$ 為 $k$ 的基本單位元。則

\begin{align*} [P_k: P_k^{+}] = \begin{cases} 1, & \Delta_k \lt 0 \text{ 或 } \, ( \Delta_k \gt 0 \text{ 且 } \, N\epsilon = -1); \\ 2, & \Delta_k \gt 0 \text{ 且 } N\epsilon = 1. \end{cases} \end{align*}

定義 2.12. 我們將商群

\begin{align*} H_k^{+} = {I_k}/{P_k^{+}} \end{align*}

稱作狹義理想類群 (ideal class group in the narrow sense)。它的階數 $h_k^+$ 則稱為狹義類數 (class number in the narrow sense)。

上述的命題可以被重新改寫為

命題 2.13.

\begin{align*} h_k^+ = \begin{cases} h_k, & \Delta_k \lt 0 \text{ 或 } \, ( \Delta_k \gt 0 \text{ 且 } \, N\epsilon = -1); \\ 2 h_k, & \Delta_k \gt 0 \text{ 且 } \, N\epsilon = 1. \end{cases} \end{align*}

我們將 $P^+_k$ 在分式理想群上導出的等價關係記做 $\mathfrak{a} ⨦ \mathfrak{b}$。

注意到如果 $\mathfrak{a} ⨦ \mathfrak{b}$, 則存在 $\alpha$ 使得 $\mathfrak{b} = (\alpha) \mathfrak{a}$ 且 $N(\alpha) \gt 0$, 所以 $\mathfrak{b}^{\sigma} = (\alpha^{\sigma}) \mathfrak{a}^{\sigma}$, 其中 $N(\alpha^{\sigma}) = N(\alpha) \gt 0$；也就是說, $\mathfrak{a}^{\sigma} ⨦ \mathfrak{b}^{\sigma}$。因此, 我們能定義群 $G$ 在 $H_k^+$ 上的作用。

接下來我們將探討兩個上同調群 \begin{align*} H^0(H^+_k) = {(H^+_k)^G}/{NH_k^+} \text{ 和 } \, H^1(H_k^+) = {{}_{N}{H_k^+}}/{(H_k^+)^{1-\sigma}}. \end{align*}

備註 2.14. 對 $\mathfrak{o}_k$ 中的理想 $\mathfrak{a}$, 我們介紹了兩種範數的概念：

\begin{align*} \mathrm{N}_k(\mathfrak{a}) = [\mathfrak{o}_k : \mathfrak{a}] \text{ 和 } \, N\mathfrak{a} = \mathfrak{a} \mathfrak{a}^{\sigma} = \mathfrak{a}^{1 + \sigma}. \end{align*}

它們之間的關係為 $N\mathfrak{a} = (\mathrm{N}_k\mathfrak{a})$。

命題 2.15. 對一個二次體 $k/\mathbb{Q}$, 我們有

\begin{align*} H^0(H^+_k) = {}_{2}{H^+_k} = \left\{ g \in H^+_k \mid g^2 = 1 \right\} \text{ 和 } \, H^1(H^+_k) = {H^+_k}/(H^+_k)^2. \end{align*}

因此 $H^0(H^+_k) \simeq H^1(H^+_k)$.

證明： 設 $[\mathfrak{a}] \in H_k^+$ 是一個狹義理想類。因為 $N\mathfrak{a} = (\mathrm{N}_k\mathfrak{a}) ⨦ 1$, 我們有 $N[\mathfrak{a}] = 1$。換句話說, $NH_k^+ = \{1\}$, 因此 $H^0(H^+_k) = (H^+_k)^G$。接著,

\begin{align*} [\mathfrak{a}] \in (H^+_k)^G \Leftrightarrow [\mathfrak{a}]^{\sigma} = [\mathfrak{a}] \Leftrightarrow \mathfrak{a}^{\sigma} ⨦ \mathfrak{a} \Leftrightarrow \mathfrak{a}^{-1} ⨦ \mathfrak{a} \Leftrightarrow \mathfrak{a}^2 ⨦ 1 \end{align*}

所以 $H^0(H_k^+) = {}_{2}{H_k^+}$。

根據一開始的論述, 我們有 ${}_{N}{H_k^+} = H^+_k$。現在我們假設 $\mathfrak{a} \mathfrak{a}^{\sigma} ⨦ 1$, 則 $\mathfrak{a}^{-\sigma} ⨦ \mathfrak{a}$；等價地, $\mathfrak{a}^{1 - \sigma} ⨦ \mathfrak{a}^2$, 因而 $(H^+_k)^{1 - \sigma} = (H^+_k)^2$。這就證明了 $H^1(H^+_k) = H^+_k/(H^+_k)^2$。

$\Box$

我們有以下 $G$-模的正合序列 ($G = \langle \sigma \rangle$) \begin{align*} 1 \longrightarrow{} P^+_k\ {\buildrel {f}\over \longrightarrow}\ I_k\ {\buildrel {g}\over \longrightarrow}\ H_k^+ \longrightarrow{} 1. \end{align*} 由定理 2.5, 我們得到正合的六邊形

事實上我們可以證明 $H^1(I_k) = 1$。並且以下命題成立

命題 2.16. $H^1(P_k^+) = 1$.

證明： 對任何 $(\alpha) \in {}_{N}{P_k^+}$, 我們有 $N(\alpha) = (N\alpha) = (1)$ 且 $N\alpha \gt 0$, 所以 $N\alpha = 1$。我們不妨假設 $\alpha \gt 0$。因為 $N\alpha = \alpha \alpha^{\sigma} = 1$,

\begin{align*} \alpha + 1 = \alpha + \alpha\alpha^{\sigma} = \alpha(1 + \alpha^{\sigma}). \end{align*}

現在令 $\beta = \alpha + 1 \neq 0$。$\beta = \alpha \beta^{\sigma}$, 所以

\begin{align*} \beta \alpha^{-1} = \beta^{\sigma}, \text{ 且 } \, N\beta = \beta \beta^{\sigma} = \beta^2 \alpha^{-1} \gt 0. \end{align*}

最後, $\alpha = \beta^{1 - \sigma}$, 所以 $(\alpha) = (\beta)^{1 - \sigma} \in (P^+_k)^{1 - \sigma}$。

$\Box$

備註 2.17. 如果我們考慮的是 $H_k$ 而不是 $H_k^+$, 那麼我們無法證明 $H^1(P_k) = 1$, 因為從 $(\alpha) \in {}_{N}{P_k}$ 無法推得 $N\alpha = 1$。

命題 2.18 我們有下列正合序列

\begin{align*} 1 \longrightarrow{} (P^+_k)^G \longrightarrow{} I^G_k \longrightarrow{} (H^+_k)^G \longrightarrow{} 1. \end{align*}

證明： 因為 $H^1(P^+_k) = 1$, 在六邊形中的同態

\begin{align*} I_k^G / NI_k = H^0(I_k) &{\buildrel {g_0}\over \longrightarrow} H^0(H^+_k) = (H^+_k)^G \end{align*}

是一個蓋射。因此 $I_k^G \rightarrow (H_k^+)^G$ 也是一個蓋射, 所以給定的序列是一個正合序列。

$\Box$

命題 2.19. 設 $k$ 為一個二次體, $l_1, \dotsc, l_t$ 為判別式 $\Delta_k$ 的所有不同質因數, $\mathfrak{l}_1, \dotsc, \mathfrak{l}_t$ 為 $k$ 中的質理想, 分別對應於 $l_1, \dotsc, l_t$ 之上 (lying above)：$l_i = \mathfrak{l_i}^2$ 且 $\mathfrak{l_i}^{\sigma} = \mathfrak{l}_i$。若 $2 \mid \Delta_k$ 我們令 $l_1 = 2$。則群 $I_k^G/(P^+_k)^G$ 由以下 $2^t$ 個理想的理想類構成：

\begin{align*} \mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t}, \epsilon_i = 0, 1. \end{align*}

證明： 將 $I_{\mathbb{Q}}$ 自然地嵌入 $I_k$ 後, 我們有 $I_{\mathbb{Q}} \subset (P_k^+)^G$。假設 $\mathfrak{p}$ 是 $\mathfrak{a} \in I_k^G$ 的一個質因子 (也就是整除 $\mathfrak{a}$ 的質理想)。如果對於某個質數 $p$ 我們有 $\mathfrak{p} = (p)$, 那麼 $\mathfrak{p}$ 的理想類是群 $I_k^G/(P^+_k)^G$ 中的單位元。如果 $\mathfrak{p} \mathfrak{p}^{\sigma} = (p)$,

\begin{align*} \text{ 對任何 } \, \alpha, \beta \in \mathbb{N}, \, \mathfrak{p}^{\alpha} (\mathfrak{p}^{\sigma})^{\beta} \mid \mathfrak{a} \Longrightarrow (\mathfrak{p}^{\sigma})^{\alpha} \mathfrak{p}^{\beta} \mid \mathfrak{a}^{\sigma} = \mathfrak{a}. \end{align*}

取一組最大的 $\alpha, \beta$, 則 $\alpha = \beta$。因此

\begin{align*} \mathfrak{p}^{\alpha} (\mathfrak{p}^{\sigma})^{\beta} = (\mathfrak{p} \mathfrak{p}^{\sigma})^{\alpha} = (p)^{\alpha} \in I_{\mathbb{Q}}, \end{align*}

而且 $\mathfrak{p}$ 的理想類也是群 $I_k^G/(P^+_k)^G$ 中的單位元。因此唯一貢獻 $I_k^G/(P_k^+)^G$ 非平凡部分的質因子只有 $\mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t}$ 的理想類。

$\Box$

命題 2.20. 我們有 $|{{I_k^G}/{(P_k^+)^G}}| \leq 2^{t-1}$.

證明： 我們只須證明存在一組 $(\epsilon_1, \dotsc, \epsilon_t) \neq (0, \dotsc, 0)$ 使得

\begin{align*} \mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t} ⨦ 1. \end{align*}

分兩種情況：

情況 1: ($\Delta_k \lt 0$) 或 ($\Delta_k \gt 0$ 且 $N \epsilon = -1$)。
(a) $m \equiv 1 \pmod{4}$. 這時 $\Delta_k = m = \pm l_1 \dotsb l_t$, 所以 $(\sqrt{m}) = \mathfrak{l}_1 \dotsb \mathfrak{l}_t$。必要時乘上 $\epsilon$, 我們得到 $\mathfrak{l}_1 \dotsb \mathfrak{l}_t ⨦ 1$。
(b) $m \equiv 2 \pmod{4}$. $\Delta_k = 4m = \pm 8 l_2 \dotsb l_t$, 所以 $(\sqrt{m}) = \mathfrak{l}_1 \mathfrak{l}_2 \dotsb \mathfrak{l}_t ⨦ 1$。
(c) $m \equiv 3 \pmod{4}$. $\Delta_k = 4m = \pm 4 l_2 \dotsb l_t$, 所以 $(\sqrt{m}) = \mathfrak{l}_2 \dotsb \mathfrak{l}_t ⨦ 1$.

情況 2: $\Delta_k \gt 0$ 且 $N\epsilon = 1$. 我們可以取 $\epsilon$ 使得 $\epsilon \gt 1$。令 $(1 + \epsilon) = (a) \mathfrak{a}$, 其中 $a \in \mathbb{N}$ 且 $\mathfrak{a}$ 是本原理想。注意到 $\epsilon (1 + \epsilon^{\sigma}) = 1 + \epsilon$, 由此可以推得 $\mathfrak{a}^{\sigma} = \mathfrak{a}$, 因此 $\mathfrak{a} \in I_k^G$。由上一個命題的證明, 我們可以將 $\mathfrak{a}$ 寫為 $\mathfrak{a} = \mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t}$, 其中 $\epsilon_i = 0, 1$。如果 $(\epsilon_1, \dotsc, \epsilon_t) = (0, \dotsc, 0)$, 那麼 $\mathfrak{a} = (1)$, 也因此對某個單位元 $\eta \in \mathfrak{o}^{\times}_k$, $1 + \epsilon = a \eta$。我們有 $\epsilon + \epsilon^{\sigma} = \epsilon + \epsilon^{-1} \gt 0$, 所以 $N\eta \gt 0$, 故 $N\eta = 1$。因為 $1 + \epsilon^{\sigma} = a \eta^{\sigma} = a \eta^{-1}$,

\begin{align*} \epsilon = \frac{1 + \epsilon}{1 + \epsilon^{\sigma}} = \eta^2. \end{align*}

這和 $\epsilon$ 是基本單位元的假設矛盾。因為 $N(1 + \epsilon) \gt 0$,

\begin{align*} 1 ⨦ (1 + \epsilon) ⨦ \mathfrak{a} = \mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t}.\tag*{$\Box$} \end{align*}

定理 2.21. 兩個群 $H^0(H_k^+)$ 和 $H^1(H_k^+)$ 同構, 而且它們的階數為 $2^{t-1}$, 其中 $t$ 是 $\Delta_k$ 相異質因數的個數。

證明： 由命題 2.15, 我們知道群 $H^0(H_k^+)$ 和 $H^1(H_k^+)$ 同構, 並且

\begin{align*} |{H^0(H_k^+)}| = |{(H_k^+)^G}| = \left|I_k^G/(P^+_k)^G\right|. \end{align*}

我們只須證明命題 2.20 中的等號成立；也就是說, 證明 $I_k^G/(P^+_k)^G$ 中的生成元在群中的關係式

\begin{equation*} \label{relation} \mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t} ⨦ 1 \tag{$\ast$} \end{equation*}

只有之前的證明中的找到的那些而已。假設

\begin{align*} \mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t} = (\alpha), N\alpha \gt 0. \end{align*} $(\alpha)^{\sigma} = (\alpha)$, 所以對某個單位元 $\eta$ 我們有 $\alpha^{\sigma} = \eta \alpha$。$N \eta = 1$。

分三種情況：

情況 1. 假設 $\Delta_k \lt 0$。我們排除 $k = \mathbb{Q}(\sqrt{-1}), \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 的顯然情形後 (這時 $h_k = h_k^+ = 1$), 便可以假設 $\eta = \pm 1$。如果 $\eta = 1$, 則 $\alpha^{\sigma} = \alpha$, 因此 $\alpha \in \mathbb{Z}$。理想 $\mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t}$ 是本原理想, 所以 $\alpha = \pm 1$ , 故 $\epsilon_1 = \dotsb = \epsilon_t = 0$。如果 $\eta = -1$, 則 $\alpha^{\sigma} = -\alpha$。因為 $\alpha$ 是純虛數, 所以可以被寫成 $\alpha = a \sqrt{m}$, 其中 $a \in \mathbb{Z}$。由於理想 $\mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t}$ 是本原理想, $a = \pm 1$, 因而 \eqref{relation} 中的理想是 $\mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t} = (\sqrt{m})$。這是命題 2.20 證明中的情況 1。

情況 2. 假設 $\Delta_k \gt 0$ 且 $N \epsilon = -1$。因為 $N\eta = 1$, 所以存在整數 $v$ 使得 $\eta = \epsilon^{2v}$。此時 $\alpha^{\sigma} = \epsilon^{2v} \alpha$。 \begin{align*} (\epsilon^{\sigma})^v \alpha^{\sigma} = (\epsilon^{\sigma})^v \epsilon^{2v} \alpha = (N \epsilon)^v \epsilon^v \alpha = (-1)^v \epsilon^v \alpha. \end{align*} 如果 $v$ 是偶數, 則 $(\epsilon^v \alpha)^{\sigma} = (\epsilon^v \alpha)$, 所以 $\epsilon^v \alpha$ 是整數。因為 $\mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t}$ 是本原理想, 我們有 $\epsilon_1 = \dotsb = \epsilon_t = 0$。如果 $v$ 是奇數, 則存在整數 $a \in \mathbb{Z}$ 使得 $\epsilon^v \alpha = a \sqrt{m}$。 \begin{align*} \mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t} = (\alpha) = (a \sqrt{m}) \Rightarrow a = \pm 1. \end{align*} 我們得到命題 2.20 證明中情況 1 的關係式。

情況 3. 假設 $\Delta_k \gt 0$ 且 $N \epsilon = 1$。此時 $\epsilon = \dfrac{1 + \epsilon}{1 + \epsilon^{\sigma}}$。存在整數 $n$ 使得 \begin{align*} \eta = \epsilon^{-n} = \dfrac{(1 + \epsilon^{\sigma})^n}{(1 + \epsilon)^n}, \alpha^{\sigma} = \eta \alpha = \frac{(1 + \epsilon^{\sigma})^n}{(1 + \epsilon)^n} \alpha \end{align*} 所以 \begin{align*} \frac{\alpha}{(1 + \epsilon)^n} \in \mathbb{Q}, \text{存在} \, a \in \mathbb{Q}^{\times} \text{使得} \alpha = a (1 + \epsilon)^n. \end{align*} 因此我們有 $\mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t} \!=\! (a)(1 + \epsilon)^n$。如同命題 2.20 證明中的情況 2, $(1 \!+\! \epsilon) \!=\! (b) \mathfrak{l}_1^{\eta_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\eta_t}$ 其中 $\eta_i \!=\! 0, 1$, $(\eta_1, \dotsc, \eta_t) \!\neq\! (0, \dotsc, 0)$, 且 $b \!\in\! \mathbb{N}$。因此, 存在互質的兩個正整數 $A, B$ 使得 \begin{align*} A \mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t} = B \mathfrak{l}_1^{n \eta_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{n \eta_t}. \end{align*} 如果 $n$ 是偶數, 則右邊的理想可被一個整數生成, 因此 $(\epsilon_1, \dotsc, \epsilon_t) = (0, \dotsc, 0)$。如果 $n$ 是奇數, 我們不妨假設 $n = 1$, 則 $A \mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\epsilon_t} \!=\! B \mathfrak{l}_1^{\eta_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\eta_t}$。因為 $\mathfrak{l}_1^{\epsilon_1} \dotsb \mathfrak{l_t}^{\epsilon_t}$ 和 $\mathfrak{l}_1^{\eta_1} \dotsb \mathfrak{l}_t^{\eta_t}$ 都是本原理想, 我們有 $A \!=\! B \!=\! 1$ 且 $(\epsilon_1, \dotsc, \epsilon_t) \!=\! (\eta_1, \dotsc, \eta_t)$。這是命題 2.20 證明中的情況 2。

$\Box$

定理 2.22. 假設 $k$ 是一個二次體。如果它的判別式 $\Delta_k$ 是質數, 則狹義類數 $h_k^+$ 是奇數。如果更進一步假設 $\Delta_k \gt 0$, 則 $k$ 的基本單位元 $\epsilon$ 滿足 $N \epsilon = -1$。

證明： $\Delta_k$ 的相異質因數個數 (定理 2.21 中的 $t$)等於 $1$, 所以 $|{H^0(H_k^+)}| = |{{}_{2}{H_k^+}}| = 1$。在 $H_k^+$ 中並沒有偶數階的元素, 因此 $h_k^+$ 是奇數。更進一步, 如果 $\Delta_k \gt 0$ 而且 $N \epsilon = 1$, 則由命題 2.13 我們得到 $h_k^+ = 2h_k$, 矛盾。

$\Box$

備註 2.23. 對二次體 $k = \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ 來說, $t = 1$ 若且唯若 $k$ 是 $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, 或 $\mathbb{Q}(\sqrt{l^{\ast}})$, 其中 $l$ 是一個奇質數而 $l^{*} = (-1)^{\frac{l-1}{2}}l$。

定理 2.24. 設 $k$ 為二次體。當 $\Delta_k \gt 0$, 令 $\epsilon$ 為基本單位元。則我們可以列出以下結果

	$H^0(\mathfrak{o}_k^{\times})$	$H^1(\mathfrak{o}_k^{\times})$	$Q(\mathfrak{o}_k^{\times})$
$\Delta_k \lt 0$	2	2	1
$\Delta_k \gt 0, N\epsilon = 1$	2	4	2
$\Delta_k \lt 0, N\epsilon = -1$	1	2	2

證明： 首先, $H^0(\mathfrak{o}_k^{\times}) = {(\mathfrak{o}_k^{\times})^G}/{N(\mathfrak{o}_k^{\times})} = {\{\pm1\}}/{N(\mathfrak{o}_k^{\times})}$。這完成了第一行的證明。對於表格其他部分, 我們分成以下情形討論。

假設 $\Delta_k \lt 0$ 且 $k \neq \mathbb{Q}(i)$ 或 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$. 此時 $\mathfrak{o}_k^{\times} = \{\pm 1\}$. 因為 ${}_{N}{\mathfrak{o}_k^{\times}} = \mathfrak{o}_k^{\times} = \{\pm 1\}$ 且 $(\mathfrak{o}_k^{\times})^{1 - \sigma} = \{1\}$, 所以 $H^1(\mathfrak{o}_k^{\times})$ 的階數是 $2$。
假設 $k = \mathbb{Q}(i)$. 因為 $\mathfrak{o}_k^{\times} = \{\pm 1, \pm i\} = {}_{N}{\mathfrak{o}_k^{\times}}$, $(\mathfrak{o}_k^{\times})^{1 - \sigma} = \{\pm 1\}$, 所以 $H^1(\mathfrak{o}_k^{\times})$ 的階數是 $2$。
假設 $k = \mathbb{Q}(\sqrt{-3}) = \mathbb{Q}(\rho)$. 因為 $\mathfrak{o}_k^{\times} = \{ \pm 1, \pm \rho, \pm \rho^2 \} = {}_{N}{\mathfrak{o}_k^{\times}}$ 且 $(\mathfrak{o}_k^{\times})^{1 - \sigma} = \{1, \rho^2, \rho\}$, 所以 $|{H^1(\mathfrak{o}_k^{\times})}| = 2$。
假設 $\Delta_k \gt 0$ 且 $N\epsilon = 1$. 此時 $\mathfrak{o}_k^{\times} = \{\pm 1\} \times \langle \epsilon \rangle = {}_{N}{\mathfrak{o}_k^{\times}}$ 且 $(\mathfrak{o}_k^{\times})^{1 - \sigma} = \{1\} \times \langle \epsilon \rangle^{1- \sigma}$. 因為 $1 = \epsilon \epsilon^{\sigma}$, 我們有 $\dfrac{\epsilon}{\epsilon^{\sigma}} = \epsilon^2$, 因此 $\langle \epsilon \rangle^{1 - \sigma} = \langle \epsilon^2 \rangle$。所以 $|{H^1(\mathfrak{o}_k^{\times})}| = 4$
假設 $\Delta_k \gt 0$ 且 $N \epsilon = -1$. 此時 $\mathfrak{o}_k^{\times} = \{\pm 1\} \times \langle \epsilon \rangle$ 且 ${}_{N}{\mathfrak{o}_k^{\times}} = \{ \pm 1\} \times \langle \epsilon^2 \rangle$, 因為 $\dfrac{\epsilon}{\epsilon^{\sigma}} = -\epsilon^2$, 所以 $\langle \epsilon \rangle^{1 - \sigma} = \langle -\epsilon^2 \rangle$, 因此 $|{H^1(\mathfrak{o}_k^{\times})}| = 2$。
$\Box$

3. 高斯虧格理論

在第三節中, 對於一個二次體 $k$, 我們將定義 $(\mathbb{Z} / \Delta_k \mathbb{Z})^{\times}$ 上的數個特徵標 (character), 並且討論這些特徵標和二次體的上同調群間的關係。

3.1. 二次體上的 Kronecker 特徵標

假設 $k = \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ 是二次體, 其中 $m$ 是一個整數, 不被大於 $1$ 的平方數整除。記 $S = \{p \, \text{是質數} \, : p \mid \Delta_k \}$。則對於 $p \notin S$, $p$ 在 $k$ 中沒有分歧 (unramified)。記

\begin{align*} I_{\mathbb{Q}}(\Delta_k) = I_{\mathbb{Q}}(S) = \left\{ a \in \mathbb{Q}^{\times} : a \gt 0, \, \gcd(a, \Delta_k) = 1 \right\}. \end{align*}

我們知道 Artin 映射 $\alpha_{k/\mathbb{Q}}: I_{\mathbb{Q}(\Delta_k)} \to Gal(k/\mathbb{Q})$ 由以下方式給定：

\begin{align*} \alpha_{k/\mathbb{Q}}(p) = \left( \frac{k/\mathbb{Q}}{p} \right), \end{align*}

其中 $\left( \frac{k/\mathbb{Q}}{p} \right)$ 是 Artin 符號, $\sigma$ 是 $ Gal(k/\mathbb{Q})$ 中的元素使得對任何 $x \in \mathfrak{o}_k$, $\sigma(x) \equiv x^p \mod \mathfrak{p}_p$。我們有唯一的同構映射 $\varphi: Gal(k/\mathbb{Q}) \rightarrow \{\pm 1\}$, 而且 Kronecker 特徵標 (Kronecker character) $\chi_k$ 被定義成 $\alpha_{k/\mathbb{Q}}$ 和 $\psi$ 的合成

我們接下來決定 $\chi_k(p)$ 的值。首先, 對 $p \nmid \Delta_k$, $\chi_k(p) = 1$ 若且唯若 $\alpha_{k/\mathbb{Q}}(p) = 1$ 若且唯若 $p$ 在 $k/\mathbb{Q}$ 中完全分歧 (split completely)。接著, 如果 $p \neq 2$, 則

\begin{align*} \left( \frac{\Delta_k}{p} \right) = 1 \Longleftrightarrow p \text{ 在 $k$ 中完全分歧。} \end{align*}

如果 $p = 2$, 注意到這時 $m \equiv 1 \pmod{4}$ 且 $\Delta_k = m$, 則

\begin{align*} \Delta_k \equiv 1 \pmod{8} \Longleftrightarrow 2 \text{ 在 $k$ 中完全分歧。} \end{align*}

最終我們得到

\begin{align*} \chi_k(p) = \begin{cases} \left(\frac{\Delta_k}{p}\right), & p \neq 2; \\ (-1)^{\frac{\Delta_k^2 - 1}{8}}, & p = 2. \end{cases} \end{align*}

Artin 映射 $\alpha_{k/\mathbb{Q}}$ 是個滿射。我們將探討它的核 $\ker \alpha_{k/\mathbb{Q}} = \ker \chi_k$。對 $a, a' \in I_{\mathbb{Q}}(\Delta_k)$ 我們記 $a = \dfrac{b}{c}, a' = \dfrac{b'}{c'}$, 其中 $b, c, b', c'$ 是使得 $(\Delta_k, c) = (\Delta_k, c') = 1$ 的自然數。接著我們定義

\begin{align*} &a \equiv a' \pmod{\Delta_k} \text{ 若} \, bc' \equiv b'c \pmod{\Delta_k}. \\ {\hbox{記}} &S(\Delta_k) = \{a \in I_{\mathbb{Q}}(\Delta_k) : a \equiv 1 \pmod{\Delta_k} \}. \end{align*}

則 $S(\Delta_k)$ 是 $I_{\mathbb{Q}}(\Delta_k)$ 的一個子群。

現在令 $I_k$ 為 $k$ 的分式理想群, 並記

\begin{align*} I_k(\Delta_k) = \left\{ \mathfrak{a} \in I_k : (\mathfrak{a}, \Delta_k) = 1 \right\}. \end{align*}

範數映射 $\mathrm{N}_k$ 導出了一個同態 $I_k(\Delta_k) \longrightarrow I_{\mathbb{Q}}(\Delta_k)$。我們也將導出的映射記為 $\mathrm{N}_k$。

使用 Dirichlet 的等差數列定理 (Dirichlet's Theorem on arithmetic progressions), 我們可以證明

定理 3.1. 對任何二次體 $k$ 我們有 $\ker \chi_k = S(\Delta_k) \mathrm{N}_k(I_k(\Delta_k))$。

3.2. 高斯虧格理論

如果 $\Delta_k \equiv 1 \pmod{4}$, 則 $\Delta_k = m = \pm l_1 l_2 \dotsb l_t$, 其中 $l_i$ 是質數。對於和 $\Delta_k$ 互質的整數 $n$, 我們有

\begin{align*} \chi_k(n) = \left( \frac{n}{l_1} \right) \dotsb \left( \frac{n}{l_t} \right). \end{align*}

如果 $\Delta_k \equiv 0 \pmod{4}$, 我們記

\begin{align*} \Delta_k = 4m = 2^{\beta} \Delta'_k, \beta = \begin{cases} 3, & m \equiv 2 \pmod{4}; \\ 2, & m \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases} \end{align*}

則對於和 $\Delta_k$ 互質的整數 $n$, 我們有

\begin{align*} \chi_k(n) = (-1)^{\frac{n-1}{2}\frac{\Delta'_k - 1}{2} + \left(\frac{n^2 - 1}{8}\right) \beta} \left( \frac{n}{l_2} \right) \dotsb \left( \frac{n}{l_t} \right). \end{align*}

我們可以驗證

\begin{align*} (-1)^{\frac{n-1}{2}\frac{\Delta'_k - 1}{2} + \left(\frac{n^2 - 1}{8}\right) \beta} = \begin{cases} (-1)^{\frac{n-1}{2}}, & m \equiv 3 \pmod{4}; \\ (-1)^{\frac{n^2 - 1}{8}}, & m \equiv 2 \pmod{8}; \\ (-1)^{\frac{n^2 - 1}{8} + \frac{n - 1}{2}}, & m \equiv 6 \pmod{8}. \end{cases} \end{align*}

總結一下, 我們得到

定理 3.2. 設 $l_1, l_2, \dotsc, l_t$ 為 $\Delta_k$ 的相異質因數, 而且如果 $2 \mid \Delta_k$ 則令 $l_1 = 2$。對任何 $i = 1, \dotsc, t$, 我們用以下方式定義群 $\left( \mathbb{Z}/\Delta_k \mathbb{Z} \right)^{\times}$ 上的特徵標 $\chi_i$：

(i) 如果 $2 \mid \Delta_k$, 則

\begin{align*} \chi_1(n) &= \begin{cases} (-1)^{\frac{n-1}{2}}, & m \equiv 3 \pmod{4}; \\ (-1)^{\frac{n^2 - 1}{8}}, & m \equiv 2 \pmod{8}; \\ (-1)^{\frac{n^2 - 1}{8} + \frac{n - 1}{2}}, & m \equiv 6 \pmod{8}, \\ \end{cases} \\ \chi_i(n) &= \left(\frac{n}{l_i}\right), \text{ 對 } \, 2 \leq i \leq t. \end{align*}

(ii) 如果 $2 \nmid \Delta_k$, 則

\begin{align*} \chi_i(n) &= \left(\frac{n}{l_i}\right), \text{ 對 } \, 1 \leq i \leq t. \end{align*}

則 Kronecker 特徵標 $\chi_k$ 可以被寫成

\begin{align*} \chi_k(n) = \chi_1(n) \chi_2(n) \dotsb \chi_t(n), \text{ 對任何和 $\Delta$ 互質的整數 } n. \end{align*}

定理 3.3. 等式 $\chi_k(n) = 1$ 成立, 若且唯若存在一個理想 $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{o}_k$ 使得 $(\mathfrak{a}, \Delta_k) = 1$ 且 $n \equiv \mathrm{N} \mathfrak{a} \pmod{\Delta_k}$。

證明： 定理 3.1 可以推得 ($\Leftarrow$) 方向。

($\Rightarrow$) 根據 Dirichlet 的等差數列定理, 存在奇質數 $p$ 使得 $n \equiv p \pmod{\Delta_k}$。因為 $\chi_k(p) = \chi_k(n) = 1$ 且 $p \nmid \Delta_k$, 我們有 $p = \mathrm{N} \mathfrak{p}$, 其中 $\mathfrak{p}$ 是 $k$ 中對應 $p$ 之上 (lying over $p$) 的質理想。因此 $n \equiv \mathrm{N} \mathfrak{p} \pmod{\Delta_k}$。

$\Box$

命題 3.4. 給定一個 $\mathfrak{o}_k$ 中的理想 $\mathfrak{m}$。則 $H_k^+$ 中的每個狹義理想類都有一個和 $\mathfrak{m}$ 互質的理想。

證明： 固定任何一個狹義理想類 $C \in H^+_k$, 並從 $C^{-1}$ 取一個理想 $\mathfrak{a}$。令整除 $\mathfrak{m}$ 的不同質理想為 $\mathfrak{p}_1, \dotsc, \mathfrak{p}_l$。我們只須找到一個理想 $\mathfrak{b}$, 使得 $\mathfrak{ab} ⨦ 1$ 且 $(\mathfrak{b}, \mathfrak{p}_1 \dotsb \mathfrak{p}_l) = 1$。對任何 $i = 1, \dotsc, l$, 取 $\alpha_i \in \mathfrak{o}_k$ 使得

\begin{align*} \alpha_i \in \mathfrak{a} \mathfrak{p}_1 \dotsb \mathfrak{p}_{i-1} \mathfrak{p}_{i+1} \dotsb \mathfrak{p}_l \text{ 且 } \, \alpha_i \notin \mathfrak{a} \mathfrak{p}_1 \dotsb \mathfrak{p}_l, \end{align*}

並記 $\alpha = \alpha_1 + \dotsb + \alpha_l$。則 $\alpha \in \mathfrak{a}$, 但對任何 $j = 1, \dotsc, l$ 我們有 $\alpha \notin \mathfrak{a} \mathfrak{p}_j$。現在令 $a = \mathrm{N} \mathfrak{a}$ 和 $b = \mathrm{N} \mathfrak{m}$。將 $\beta$ 記為 $\beta = \alpha + abt$, 其中 $t$ 是待定的正整數。那麼由 $a \in \mathfrak{a}$ 可推得 $\beta \in \mathfrak{a}$。但是, 對所有 $1 \leq j \leq l$, $\beta \notin \mathfrak{a} \mathfrak{p}_j$：如果對某個 $j$ 我們有 $\beta \in \mathfrak{a} \mathfrak{p}_{j}$, 則因為 $abt \in \mathfrak{a} \mathfrak{p}_j$ 我們得到 $\alpha \in \mathfrak{a} \mathfrak{p}_j$, 矛盾。除此之外, $N(\alpha + abt) = N\alpha + \mathrm{Tr}_{k/\mathbb{Q}}(\alpha) abt + a^2 b^2 t^2$。我們取足夠大的 $t$ 使得 $N\beta \gt 0$。最後, 因為 $\beta \in \mathfrak{a}$, 我們能找到一個理想 $\mathfrak{b}$ 使得 $\mathfrak{ab} = (\beta)$。這個理想 $\mathfrak{b}$ 滿足

\begin{align*} \mathfrak{ab} ⨦ 1 \text{ 且 } \, (\mathfrak{b}, \mathfrak{p}_1 \dotsb \mathfrak{p}_l) = 1.\tag*{$\Box$} \end{align*}

命題 3.5. 考慮 $\mathfrak{o}_k$ 中滿足 $(\alpha, \Delta_k) = 1$ 的元素 $\alpha$。對任何 $1 \leq i \leq t$ 我們有 $\chi_i(N\alpha) = 1$。

證明： 假設 $l = l_i \neq 2$。$l$ 在 $k$ 中分歧, 所以對於整除 $l$ 的質理想 $\mathfrak{l}$, $\left[\mathfrak{o}_k/\mathfrak{l} : \mathbb{Z}/l\mathbb{Z} \right] = 1$。因此存在整數 $a$ 使得 $(a, \Delta_k) = 1$ 且 $\alpha \equiv a \pmod{\mathfrak{l}}$。因為 $\sigma(\mathfrak{l}) = \mathfrak{l}$, 我們有 $N\alpha = \alpha \sigma(\alpha) \equiv a^2 \pmod{l}$。因此 $\chi_i(N\alpha) = 1$。

當 $l = 2$, 我們有 $\Delta_k = 4m$, 其中 $m \equiv 2, 3 \pmod{4}$。記 $\alpha = x + y\sqrt{m}$, 則 $N\alpha = x^2 - my^2$.

如果 $m \equiv 3 \pmod{4}$, 則 $N\alpha \equiv x^2 + y^2 \equiv 1 \pmod{4}$. $\chi_1(N\alpha) = (-1)^{\frac{N\alpha - 1}{2}} = 1$。
如果 $m \equiv 2 \pmod{4}$, 則因為 $m$ 是偶數, 當 $N\alpha$ 是奇數時 $x$ 必也是奇數。
- 當 $m \equiv 2 \pmod{8}$, 則 $N\alpha \equiv x^2 - 2y^2 \equiv 1, 7 \pmod{8}$. $$\chi_1(N\alpha) = (-1)^{\frac{(N\alpha)^2 - 1}{8}} = 1.$$
- 當 $m \equiv 6 \pmod{8}$, 則 $N\alpha \equiv x^2 + 2y^2 \equiv 1, 3 \pmod{8}$. $$\chi_1(N\alpha) = (-1)^{\frac{(N\alpha)^2 - 1}{8} + \frac{N\alpha - 1}{2}} = 1.$$
$\Box$

由命題 3.4, 任何 $H^+_k$ 中的狹義理想類都可以被寫成 $[\mathfrak{a}]$, 其中理想 $\mathfrak{a}$ 滿足 $(\mathfrak{a}, \Delta_k) = 1$。若 $[\mathfrak{a}] = [\mathfrak{b}]$, 則存在 $\alpha, \beta \in \mathfrak{o}_k$ 使得

\begin{align*} (\beta) \mathfrak{a} = (\alpha) \mathfrak{b}, (\alpha, \Delta_k) = (\beta, \Delta_k) = 1, \text{ 還有 } \, N\alpha N\beta \gt 0. \end{align*}

我們說明為何 $N \alpha N \beta \gt 0$：這時 $\mathfrak{b} = (\gamma) \mathfrak{a}$ 對某個 $\gamma$ 使得 $N\gamma \gt 0$, 取一個理想 $\mathfrak{c}$ 滿足 $\mathfrak{a} \mathfrak{c} = (\alpha)$ 和 $(\mathfrak{c}, \Delta_k) = 1$, 則

\begin{align*} (\gamma) = \frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}} = \frac{\mathfrak{bc}}{\mathfrak{ac}} = \frac{\mathfrak{bc}}{(\alpha)}, \mathfrak{bc} = (\alpha \gamma) \text{ 且 } \, \beta = \alpha \gamma, \end{align*}

因此 $N\alpha N\beta = (N\alpha)^2 N\gamma \gt 0$。對 $(\beta) \mathfrak{a} = (\alpha) \mathfrak{b}$ 兩邊取範數, 我們有 $|{N\beta}| \mathrm{N}\mathfrak{a} = |{N\alpha}| \mathrm{N} \mathfrak{b}$。因為 $N\alpha N\beta \gt 0$, 我們有 $N\beta \mathrm{N} \mathfrak{a} = N \alpha \mathrm{N} \mathfrak{b}$。由命題 3.5 我們知道 $\chi_i(N\alpha) = \chi_i(N\beta) = 1$, 所以 $\chi_i(\mathrm{N} \mathfrak{a}) = \chi_i(\mathrm{N} \mathfrak{b})$。我們因此可以對 $i = 1, \dotsc, t$ 良好地定義以下映射

\begin{align*} \chi_i^+: H^+_k &\longrightarrow \{\pm 1\}, \\ [\mathfrak{a}] &\longmapsto \chi_i(\mathrm{N} \mathfrak{a}). \end{align*}

定理 3.6. 映射 $\chi_i^+: H_k^+ \rightarrow \{\pm 1\}$ 是一個 $H^+_k$ 的特徵標。而且我們有

\begin{align*} \prod\limits_{i = 1}^t \chi_i^+ = 1 (\text{平凡特徵標}) \text{ 且 } \bigcap\limits_{i = 1}^t \ker \chi_i^+ = (H^+_k)^2. \end{align*}

證明： 我們驗證 $\chi^+_i$ 是個特徵標：

\begin{align*} \chi_i^+([\mathfrak{a}][\mathfrak{b}]) = \chi_i^+([\mathfrak{ab}]) = \chi_i(\mathrm{N}(\mathfrak{ab})) = \chi_i(\mathrm{N} \mathfrak{a}) \chi_i(\mathrm{N} \mathfrak{b}) = \chi_i^+([\mathfrak{a}]) \chi_i^+([\mathfrak{b}]). \end{align*}

由定理 3.3,

\begin{align*} \prod\limits_{i = 1}^t \chi_i^+([\mathfrak{a}]) = \prod\limits_{i = 1}^t \chi_i(\mathrm{N} \mathfrak{a}) = \chi_k(\mathrm{N} \mathfrak{a}) = 1. \end{align*}

因此 $\chi_i^+$ 的乘積正是平凡特徵標。

對於定理的第二部分, 因為 $\chi_i^2 = 1$, 顯然我們有

\begin{align*} \bigcap\limits_{i = 1}^t \ker \chi_i^+ \supset (H_k^+)^2. \end{align*}

現在我們考慮同態

\begin{align*} \psi: H_k^+ &\longrightarrow \{ \pm 1\} \times \dotsb \times \{\pm 1\}, \\ [\mathfrak{a}] &\longmapsto \left( \chi_1^+([\mathfrak{a}]), \dotsc, \chi_t^+([\mathfrak{a}]) \right). \end{align*}

因為 $\prod_i\chi_i^+ = 1$, $\psi$ 並非滿射。不過, 我們將會證明 $\prod_i\chi_i^+ = 1$ 是特徵標 $\chi_i$ 之間唯一的關係式。假設 $\epsilon = (\epsilon_1, \dotsc, \epsilon_t) \in \{\pm 1\}^t$ 滿足關係式 $\epsilon_1 \dotsb \epsilon_t = 1$。我們的目標是找到 $[\mathfrak{a}] \in H_k^+$ 使得 $\psi([\mathfrak{a}]) = \epsilon$。對每個 $i = 1, \dotsc, t$, 因為 $\chi_i$ 不是模 $\Delta_k$ 上的平凡特徵標, 所以存在整數 $n_i$, $(n_i, \Delta_k) = 1$ 使得 $\chi_i(n_i) = \epsilon_i$。接下來我們分情況討論如下：

如果 $\Delta_k = l_1 l_2 \dotsb l_t$ 且 $m \equiv 1 \pmod{4}$, 我們取整數 $n$ 使得 \begin{align*} n \equiv n_i \pmod{l_i} \, \text{ 對任何 } \, 1 \leq i \leq t. \end{align*}
如果 $\Delta_k = 2^{\beta} l_2 l_3 \dotsb l_t$ 且 $m \equiv 2, 3 \pmod{4}$, 我們取 $n$ 使得 \begin{align*} n \equiv n_1 \pmod{2^{\beta}}, n \equiv n_i \pmod{l_i} \, \text{ 對 } \, 2 \leq i \leq t. \end{align*}

由 Dirichlet 的等差數列定理, 我們能找到奇質數 $p$ 使得 $p \equiv n \pmod{\Delta_k}$。則

\begin{align*} \chi_i(p) = \chi_i(n) = \chi_i(n_i) = \epsilon_i, 1 \leq i \leq t. \end{align*}

因為

\begin{align*} \chi_k(p) = \prod\limits_{i = 1}^t \chi_i(p) = \epsilon_1 \dotsb \epsilon_t = 1, \end{align*}

由定理 3.3 我們有 $p = \mathrm{N} \mathfrak{p}$, 因此

\begin{align*} \chi_i^+([\mathfrak{p}]) = \chi_i(\mathrm{N} \mathfrak{p}) = \chi_i(p) = \epsilon_i \text{ 且 } \, \psi([\mathfrak{p}]) = \epsilon. \end{align*}

我們證明了 $[H_k^+: \ker \psi] = 2^{t-1}$。另一方面, 我們有

\begin{align*} \ker \psi = \bigcap\limits_{i = 1}^t \ker \chi_i^+ \supset (H_k^+)^2 \text{ 和 } [H_k^+: (H^+_k)^2] = 2^{t-1}. \end{align*}

因此 $\ker \psi = (H^+_k)^2$.

$\Box$

備註 3.7. 對於狹義等價類 $[\mathfrak{a}], [\mathfrak{b}]$, 其中 $\mathfrak{a}, \mathfrak{b} \subset \mathfrak{o}_k$ 且 $(\mathfrak{a}, \Delta_k) = (\mathfrak{b}, \Delta_k) = 1$, 我們在 $H_k^+$ 上定義等價關係：

\begin{align*} [\mathfrak{a}] \approx [\mathfrak{b}] \text{ 若且唯若 } \text{ 對任何 } \, i = 1, \dotsc, t, \text{ 我們有 }\, \chi_i^+([\mathfrak{a}]) = \chi_i^+([\mathfrak{b}]). \end{align*}

$H_k^+$ 中由這個關係定義出的一個等價類, 稱作一個狹義理想類的虧格 (genus)。由定理 3.6, 上述條件等價於

\begin{align*} \text{ 對任何 } \, i = 1, \dotsc, t \text{ 我們有 } \, \chi_i(\mathrm{N} \mathfrak{a}) = \chi_i(\mathrm{N} \mathfrak{b}), \end{align*}

也等價於

\begin{align*} [\mathfrak{a}] \equiv [\mathfrak{b}] \mod (H_k^+)^2. \end{align*}

因此 $\approx$ 在 $H_k^+$ 中只是模 $(H_k^+)^2$ 而已；也就是說, 一個虧格就是 $H_k^+/(H_k^+)^2$ 的一個陪集。另外

\begin{align*} \text{ 一個虧格中狹義理想類的數量 } = |{(H_k^+)^2}| = [H_k^+: {}_{2}{H_k^+}]. \end{align*}

因此如果我們記 $h_k^{*} = |{(H_k^+)^2}|$ 則 $h_k^+ = 2^{t-1} h_k^{*}$。

例 3.8. 令 $m = -14$, $k = \mathbb{Q}(\sqrt{-14})$。則 $\omega = \sqrt{-14}$, $\Delta_k = -2^3 \cdot 7$, 以及 $M_k = \frac{2}{\pi} \sqrt{|{\Delta_k}|} \approx 4.76$。在這個例子中, $H_k = H_k^+$ 而且等價類群由 $\mathfrak{p}_2, \mathfrak{p}_3$ 的等價類生成。$\omega$ 的最小多項式是 $f_{\omega}(X) = X^2 + 14$。

當 $p = 2$, $f_{\omega}(X) \equiv X^2 \pmod{2}$。因此 $2 = \mathfrak{p}_2^2$, 其中 $\mathfrak{p}_2 = (2, \omega) = [2, \omega]$。
當 $p = 3$, $f_{\omega}(X) \equiv X^2 - 1 \equiv (X+1)(X-1) \pmod{3}$。因此 $3 = \mathfrak{p}_3 \mathfrak{p}'_3$, 其中 $\mathfrak{p}_3 = (3, \omega+1) = [3, 1 + \omega]$ 且 $\mathfrak{p}'_3 = (3, -1 + \omega) = [3, 2 + \omega]$。

現在 $N(2 + \omega) = 18 = 2 \cdot 3^2$, 所以

\begin{align*} 1 \sim (2 + \omega) = \left[ N(2 + \omega), 2 + \omega \right] = [2, 2+\omega][3, 2 + \omega]^2 = \mathfrak{p}_2 (\mathfrak{p}'_3)^2 \sim \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_3^{-2}, \end{align*}

故 $\mathfrak{p}_2 \sim \mathfrak{p}_3^2$。因此 $H_k^+$ 是由 $\mathfrak{p}_3$ 的等價類生成的循環群。

我們有 $\mathfrak{p}_2^2 = 2 \sim 1$ 但 $\mathfrak{p}_2 \nsim 1$：如果 $\mathfrak{p}_2 = (x + y \omega)$ 則存在整數 $x, y \in \mathbb{Z}$ 使得 $2 = N(x + y\omega) = x^2 + 14y^2$, 但這是不可能的。因此 $H_k^+$ 是階數為 $4$, 由 $\mathfrak{p}_3$ 的等價類生成的循環群。我們有

\begin{align*} (H_k^+)^2 = \left\{ [\mathfrak{o}_k], [\mathfrak{p}_3^2] \right\}, \, t = 2, \, h_k^{*} = 2, \end{align*}

所以狹義理想類群有兩個虧格。

註：本文取材於。第二節及第三節根據 4.6 及 4.7 章節直接整理撰寫。第一節介紹文中計算類群的方法, 並選一些例子依其方法重新計算。

參考文獻

Daniel Marcus, Number Fields, Universitext, Springer, 2018. Takashi Ono, An Introduction to Algebraic Number Theory, The University Series in Mathematics. New York: Plenum Press, 1990.

---本文作者余家富為中央研究院數學研究所研究員, 洪梵雲投稿時為台灣大學數學系四年級學生---