1. 前言

我國的高中數學課程, 近十年來, 無論是 99 課綱還是 108 課綱, 平面向量的內積 (Dot Product) 的引入, 都是以物理學中的「功 (Work)」 為引子, 常見的是以一力 $\overrightarrow{F}$ 拖曳地面上的某物前進距離 (位移) $\overrightarrow{d}$, 假定力 $\overrightarrow{F}$ 與地面夾角為 $\theta$, 此時有效拉力為 $\overrightarrow{F} \cos \theta$, 則外力做功之大小為 $$\left| \overrightarrow{F} \cos \theta \right| \cdot \left| \overrightarrow{d} \right|.$$ 於是便定義向量 $\overrightarrow{F}$ 與 $\overrightarrow{d}$ 的內積為 $$\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = \left| \overrightarrow{F} \right| \cdot \left| \overrightarrow{d} \right| \cos \theta.$$ 或是更一般地 ： 向量 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 的內積定義為 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right).$$

說實話, 從以前到現在, 我一直不滿意如此的定義。 可能是一種數學人的偏見, 總感覺一個數學概念建立於物理的觀念上, 似乎不太踏實。 另一方面, 無論是理組還是文組的學生, 都要學習向量內積, 我在教學時, 發現文組的學生對於這樣用物理概念來引進定義, 通常都是草草吸收, 最後只是死記 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right)$, 因為不少文組的學生早在國中就開始放棄了理化, 所以一見到「力」這個字眼就心裡忐忑不安, 自然難以領會這概念的動機。 教學現場中, 除了少數學生, 大部分都沒辦法說明為何 $$\left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right) = a_1b_1 + a_2b_2.$$

2. 衝突

在大學的線性代數課程, 特別是以矩陣導向為主旨編寫的教科書, 比如 MIT 的 G. Strang, 在定義內積時都是直接採取代數的方式： $${\bf a} \cdot {\bf b} = a_1b_1 + \cdots + a_nb_n.$$ 某些學生就會產生困擾 ： 「到底定義是從哪開始？」、 「為何要這樣定義？」幸運者可能會遇到熟稔中學數學與大學數學課程的教授, 從而有機會通過銜接的補救教學弭平這個知識的間隙。 不幸的是, 大多數人的遭遇並非如此。 所以最後就變成, 要不生吞活剝這個概念, 直接去記憶； 不然就是自己生出一套似是而非的解釋, 比如「因為 $n$ 維空間沒法直接定義角度, 不知道 cos 要怎樣算, 而因為在平面上 $\left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right) = a_1b_1 + a_2b_2$, 所以就乾脆把定義置換成$a_1b_1 + \cdots + a_nb_n$, 這樣任意維度空間都可以討論內積。」 這個解釋相當地牽強, 既然大學數學會遇到無法定義高維空間角度的問題, 而 $a_1b_1 + \cdots + a_nb_n$ 在計算上相對容易, 為何中學數學不直接定義內積就是 $a_1b_1 + \cdots + a_nb_n$？

某些人會說, 我們什麼動機都不要, 直接定義一個線性空間中配備了內積函數, 構成一個內積空間, 滿足 $\cdots$ 公理。 我認為這種講法是最無意義的, 只是以抽象語言把自然的幾何事實重述一遍, 對於觀念的建立毫無幫助 (但可以釐清)。

3. 一個新方式

經過多年思考, 我最近想出了一條路子, 首先避開了引用物理「功」的概念, 從國小就熟知的基本事實「三角形兩邊和大於第三邊」, 直接用大學課程的 $a_1b_1 + \cdots + a_nb_n$ 來定義內積, 接著使用三角函數的疊合公式來證明 $$\left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right) = a_1b_1 + a_2b_2,$$ 讓學生可以見識到在前頭所學的種種三角公式與後續課程的連結 (在 108 新課綱中, 三角函數疊合公式通常擺在平面向量之前)。 一旦建立了內積的兩種 (代數與幾何) 計算方式的橋樑, 後續相關的正射影、 Cauchy 不等式等, 都與過去的教學方式相同。

以下開始論述這個新路子的每一步。

一、基本事實

我們承認幾個基本事實 ：

1. 直角坐標系中的距離公式為$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
2. 小學數學已學過的「三角不等式」：三角形兩邊和大於第三邊。 (小學數學採用的是實驗的方式來確認, 國中數學可用Euclid幾何公理給出此性質的證明)。

二、從三角不等式引出的一種特殊代數形式 (Algebraic Form)：內積

首先, 若 $O = (0, 0), A = (a_1, a_2), B = (b_1, b_2)$ 三點不共線, 則由三角不等式有 $$\overline{OA} + \overline{OB} \gt \overline{AB}.$$ 而當三點共線, 且 $O$ 在 $A, B$ 之間, 則 $$\overline{OA} + \overline{OB} = \overline{AB}.$$ 以向量形式來寫, 則是 $$\left| \overrightarrow{OA} \right| + \left| \overrightarrow{OB} \right| \ge \left| \overrightarrow{AB} \right|,$$ 等號成立於 $\overrightarrow{OA}$ 與 $\overrightarrow{OB}$ 夾角為π。

代入距離公式, 得 $$\sqrt{a_1^2 + a_2^2} + \sqrt{b_1^2 + b_2^2} \ge \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}.$$ 化簡後得到 $$\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2} \ge a_1b_1 + a_2b_2.$$ 此時出現了一個特殊的代數量$a_1b_1 + a_2b_2$, 我們將之稱為內積。

定義： 向量 $\overrightarrow{a} = \left[ \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right]$ 與 $\overrightarrow{b} = \left[ \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right]$ 的內積 (Dot Product) 定義為 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 +a_2b_2.$$

我們還可以給內積一個非正式的字面上的解釋 ：內部座標的乘積。

三、內積的性質

通過計算數個具體的例子, 可以發現向量 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 的內積,

1. (絕對)大小顯然與兩向量的長度有關。
2. 正負與兩向量的夾角 $\angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right)$ 有關。

四、用三角函數疊合公式研究內積的幾何意義

按新課綱各版本課本的安排, 在學習內積時, 學生們都已經學會三角函數的疊合

\begin{eqnarray*}a \sin \theta + b \cos \theta &=& \sqrt{a^2 + b^2} \left( \sin \theta \cdot \frac{a} {\sqrt{a^2 + b^2}}+ \cos \theta \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right) \\ &=& \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left( \theta + \varphi \right) , \end{eqnarray*}

其中角度 $\varphi$ 滿足 $\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$。

現在, 對於內積 $a_1b_1 + a_2b_2$, 我們也能模仿過去處理三角函數疊合的情況的手法, 計算如下：

\begin{eqnarray*} a_1b_1 + a_2b_2 &=& \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \left( b_1 \cdot \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} + b_2 \cdot \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right) \\ &=& \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2} \left( \frac{b_1}{\sqrt{b_1^2 + b_2^2}} \cdot \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} + \frac{b_2}{\sqrt{b_1^2 + b_2^2}} \cdot \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right) \\ &=& \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \left( \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha \right) \\ &=& \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \left( \beta - \alpha \right). \end{eqnarray*}

其中 $\alpha, \beta$ 分別是 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 與正 $x$ 軸所夾的有向角, 滿足 $\cos \alpha = \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \sin \alpha = \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}$ 與 $\cos \beta = \frac{b_1}{\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}, \sin \beta = \frac{b_2}{\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$。

不難分析, 無論 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 的相對位置如何, 總有 $$\cos \left( \beta - \alpha \right) = \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right).$$ 所以我們得到

定理： 向量 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 的內積也等於 $\left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right)$。

五、結論

向量 $\overrightarrow{a} = \left[ \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right]$ 與 $\overrightarrow{b} = \left[ \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right]$ 的內積有兩種計算方式：

1. 代數：$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2$。
2. 幾何：$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right)$。

後記

本文之完成, 感謝我的朋友, 任教於金門高中的許淵智老師, 每日與我討論如何精進教學, 從而讓我有動機去進行此探究。 也感謝連威翔學長, 常常督促我把文章完成, 讓我明白我還沒到達孔子「述而不作」的程度。

附註

中國大陸最近行將實施的高中新課程標準, 也是用物理做功的概念來引進內積。

---本文作者任教於台北市私立鵬展文理補習班, 並主持「宇宙數學教室」部落格---