定角對定邊類問題在各地的中考試題中屢見不鮮, 且多以壓軸題的形式出現, 在此基礎上, 進一步思考： 當問題中出現"定角定高"、"定角定中線"、 "定角定角平分線"時, 又該如何轉化？

為使讀者清楚問題的背景, 先給出定角對定邊的基本問題。 如圖 1, 線段 $AB$ 的長是定長, 在平面內一點 $C$, $\angle ACB$ 度數為定值, 則點 $C$ 的運動軌跡是三角形 $ABC$ 外接圓上的圓弧, 解決與之相關的問題, 通常做法是作出三角形 $ABC$ 的外接圓 ,, 外接圓的位置和半徑是固定不變的。 這個結論在諸多文獻都有討論, 文獻 和文獻 說明了這種方法的正確性, 本文嘗試探索"定角定高求最值"、 "定角定中線求最值"、 "定角定角平分線求最值"的轉化思路。

1. 定角定高求最值

1.1. 定角為直角

如圖 2, $\angle ACB=90^\circ$ 恒定不變, 點 $C$ 到直線 $AB$ 的距離 $CD=a$ 為定值, 角的兩邊與直線交於 $A$、 $B$ 兩點, 在 $\angle ACB$ 繞點 $C$ 旋轉過程中, 求線段 $AB$ 長度的最小值和 $\triangle ABC$ 面積的最小值。

分析： 如圖 3, 因為 $\angle ACB=90^\circ$ 保持不變, 容易想到作 $\triangle ABC$ 的外接圓 $O$, 設半徑為 $r$。

在 $\angle ACB$ 繞點 $C$ 旋轉的過程中, 外接圓 $O$ 的位置和大小也隨之改變。

連接 $OC$, 則 $OC=r$, $AB=2r$, 要計算 $AB$ 的最小值, 可以計算 $r$ 最小值。

在圓 $O$ 的變化過程中, 始終有 $CD\le CO$, 即始終有 $r\ge a$。

所以 $AB\ge 2a$, $AB$ 的最小值為 $2a$。

計算出 $AB$ 的最小值後, 因為 $CD$ 的長度不變, 計算出 $\triangle ABC$ 面積的最小值為 $a^2$。

1.2. 定角為銳角

如圖 4, $\angle ACB=\alpha$ 為銳角且為定值, $CD\perp AB$, $CD=a$ 為定值, 在 $\angle ACB$ 繞點 $C$ 旋轉過程中, 求 $AB$ 的最小值和 $\triangle ABC$ 面積的最小值。

分析： 在定角為直角時作出三角形的外接圓來探索解題思路, 定角為銳角的情況下, 不妨也作出 $\triangle ABC$ 的外接圓 $O$, 設其半徑為 $r$。

連接 $OC$, $OA$, $OB$, 則 $OA=OB=OC=r$, 可以在圓 $O$ 中計算 $AB$ 的最小值。

作 $OE\perp AB$, 根據垂徑定理, 有 $BE\!=\!\dfrac 12 AB$, 只需要計算 $BE$ 的最小值即可, 線段 $BE$ 的長可以用外接圓半徑 $r$ 表示為 $BE=r\cdot \sin\alpha$, $BE$ 的最小值轉化為計算 $r$ 的最小值。

在 $\angle ACB$ 繞點 $C$ 旋轉過程中, 外接圓 $O$ 的位置和半徑隨之變化, 在外接圓 $O$ 變化的過程中總有 $OC+OE\ge CD$, $r+r\cdot \cos\alpha\ge a$,

有 $r \ge \dfrac{a}{1+\cos\alpha}$, 進而 $BE\!\ge\! \dfrac{a\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$, 所以 $AB \ge \dfrac{2a\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$, $S_{\triangle ABC} \ge \dfrac{a^2\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$。

1.3. 定角為鈍角

如圖 5, $\angle ACB=\alpha$ 為鈍角且為定值, $CD\perp AB$, $CD=a$ 為定值, 在 $\angle ACB$ 繞點 $C$ 旋轉過程中, 求 $AB$ 的最小值和 $\triangle ABC$ 面積的最小值。

分析： 與前文定角為直角和銳角的思路相同, 作出 $\triangle ABC$ 的外接圓 $O$, 其半徑為 $r$, 如圖 5。

連接$OB,OC$, 則$OB\!=\!OC\!=\!r$, 作 $OE\!\perp\! AB$, 有 $BE=\dfrac 12 AB$, 計算 $AB$ 的最小值轉化為計算 $BE$ 的最小值, 由銳角三角函數計算出 $BE=r\cdot \sin(180^\circ-\alpha)$。

在圓 $O$ 變化的過程中, 只需要計算出半徑 $r$ 的最小值, 問題即可解決。

在圓 $O$ 變化的過程中, $OE+CD\le OC$, 過點 $C$ 作 $OE$ 延長線的垂線, 垂足為 $F$, $OE+CD\le OC$ 變化為 $OF\le OC$, 計算得 $r\cdot\cos(180^\circ-\alpha)+a\le r$, 有 $r\ge \dfrac a{1-\cos(180^\circ-\alpha)}$。 進而 $BE\!\ge\! \dfrac {a\cdot\sin(180^\circ-\alpha)}{1-\cos(180^\circ-\alpha)}$, 所以 $AB\!\ge\! \dfrac {2a\cdot\sin(180^\circ-\alpha)}{1-\cos(180^\circ-\alpha)}$,

$S_{\triangle ABC}\!\ge\! \dfrac {a^2\sin(180^\circ-\alpha)}{1-\cos(180^\circ-\alpha)}$。

明晰方法： 定角對定邊類問題一般的做法是作出三角形的外接圓, 定角定高求最值類問題, 也是作出三角形的外接圓, 但外接圓的半徑和位置是變化的, 在此變化過程中, 利用垂線段最短計算出外接圓半徑的最小值, 由半徑再計算出定角所對邊的最小值。 圖 4 和圖 5 中, 因為點 $C$ 到 $AB$ 的距離是定值, 當 $AB$ 最小時, $\triangle ABC$ 的面積也最小。

2. 定角定中線求最值

2.1. 定角為直角

在 $\triangle ABC$ 中, $\angle ACB=90^\circ$, 三角形的中線 $CD$ 長度為定值 $a$, 在 $\angle ACB$ 位置變化的過程中, 求 $\triangle ABC$ 面積的最大值。

分析： 因為 $\angle ACB$ 恒為 $90^\circ $, 作出 $\triangle ABC$ 的外接圓 $D$, 點 $C$ 在圓 $D$ 上運動, $DC=r$, 如圖 6。

在直角三角形 $\triangle ABC$ 中, 斜邊上的中線 $CD=a$ 為定值, 則 $AB=2a$ 為定值, 計算 $\triangle ABC$ 面積的最大值, 只需要求出 $AB$ 邊上的高 $CE$ 的最大值。

在 $\angle ACB$ 在圓 $O$ 上運動過程中, 總有 $CD\ge CE$, 也就是始終有 $CE\le a$, $CE$ 的最大值為 $a$。 所以 $\triangle ABC$ 面積的最大值為 $a^2$。

2.2. 定角為銳角

在 $\triangle ABC$ 中, $\angle ACB=\alpha$ 為銳角且是定值, 三角形的中線 $CD$ 長度為定值 $a$, 在 $\angle ACB$ 位置變化的過程中, 求 $\triangle ABC$ 面積的最大值。

分析： 如圖 7, 因為中線 $CD$ 的長度為定值, 可以想到延長 $CD$ 到 $E$, 使得 $CD=DE$, 連接 $AE$, 有 $\triangle BCD\simeq \triangle AED$, $\triangle ABC$ 等積變形為 $\triangle ACE$。

在 $\triangle ACE$ 中, $\angle CAE=180-\alpha$ 為定值, $CE=2a$ 為定值, 轉化為定角對定邊類問題, 作出 $\triangle ACE$ 的外接圓 $O$, 連接 $OA$, $OA=r$; 連接 $OD$ 有 $OD\perp CE$。

因為線段 $CE$ 的長度為 $2a$, 作出 $CE$ 上的高 $AG$, 在 $\angle ACB$ 位置變化的過程中, $\angle ACB=\alpha$ 始終不變, $\angle CAE=180-\alpha$ 始終不變。 在圓 $O$ 變化過程中, 有 $OA\ge OD+AG$, 觀察圖 11 發現 $AG//CD$, 延長 $OD$ 後作 $AF\perp OD$, 就可以將線段 $AG$ 和線段 $OD$ 合併成為線段 $OF$。

所以 $OA\ge OF$, 即 $r\ge AG+OD$。

根據垂徑定理可以計算出 $OD=\dfrac{a}{\tan\alpha}$, $r=\dfrac a{\sin\alpha}$, 所以 $AG\le \dfrac{a}{\sin\alpha}-\dfrac{a}{\tan\alpha}$。

所以 $\triangle ACE$ 的面積最大值為 $a^2\Big(\dfrac{1}{\sin\alpha}-\dfrac 1{\tan\alpha}\Big)$, $\triangle ABC$ 的面積最大值為 $a^2\Big(\dfrac{1}{\sin\alpha}-\dfrac 1{\tan\alpha}\Big)$。

2.3. 定角為鈍角

在 $\triangle ABC$ 中, $\angle ACB=\alpha$ 為鈍角且是定值, 三角形的中線 $CD$ 長度為定值 $a$, 在 $\angle ACB$ 位置變化的過程中, 求 $\triangle ABC$ 面積的最大值。

分析： 如圖 8, 與 2.2 思路類似, 先倍長中線 $CD$ 到 $E$, 連接 $AE$。 作出 $\triangle ACE$ 的外接圓 $O$, 連接 $OA$ 和 $OD$, 則 $OA=r$, $OD\perp CE$, 且有 $r=\dfrac a{\sin (180^\circ-\alpha)}$。

計算 $\triangle ABC$ 的面積轉化為 $\triangle ACE$ 的面積, 作 $AF\perp CE$ 於 $F$。

在圓 $O$ 變化的過程中, 總有 $OA+OD\ge AF$, $r+r\cdot \cos(180^\circ-\alpha)\ge AF$, 得 $$AF\le \frac{a\cdot[1+\cos(180^\circ-\alpha)]}{\sin(180^\circ-\alpha)},\ \hbox{有}\ S_{\triangle ACE} \le \frac{a^2\cdot[1+\cos(180^\circ-\alpha)]}{\sin(180^\circ-\alpha)}.$$ 所以 $\triangle ABC$ 面積的最大值為 $\dfrac{a^2\cdot[1+\cos(180^\circ-\alpha)]}{\sin(180^\circ-\alpha)}$。

明晰方法： 定角定中線類問題, 通過倍長中線, 將原三角形等積變形, 變形後的新三角形是定角對定邊三角形, 作出新三角形的外接圓後, 在圓 $O$ 變化過程中, 根據垂線段最短可以求出新三角形底邊上高的最大值, 進而能求出新三角形面積的最大值, 也就是原三角形面積的最大值. 圖 13 中, 在 $\triangle ABC$ 轉化為 $\triangle ACE$ 後, 屬於定角對定邊問題, 在文獻 中提及可以求出 $AE+AC$ 的最大值 , 而 $AE=CB$, 所以在定角定中線的原問題中, 不僅可以求出 $\triangle ABC$ 的面積最大值, 還可以求出 $CA+CB$ 的最大值 $2a\sqrt{\dfrac 2{1-\cos(180^\circ-\alpha)}}$。

3. 定角定角平分線求最值

在 $\triangle ABC$ 中, $\angle ACB=\alpha$ 為銳角且是定值, 角平分線 $CD$ 的長度為定值 $a$, 在 $\angle ACB$ 位置變化的過程中, 求 $CA+CB$ 的最小值和 $\triangle ABC$ 面積的最小值。

分析： 如圖 9, 因為 $CD$ 是角平分線, 可以想到過點 $D$ 作 $DE\perp AC$, $DF\perp CB$, 垂足分別為 $E$、 $F$, 有 $\triangle CDE\simeq\triangle CDF$, $CE=CF=a\cdot\cos\dfrac 12\alpha$, $DE=DF=a\cdot \sin \dfrac 12\alpha$。

現在只需要計算 $AE+BF$ 的最小值。

線段 $AE$ 和 $BF$ 不在同一直線上, 故, 在 $EC$ 上截取 $EG=BF$, 得到 $AG=AE+BF$, $\triangle DGE\simeq\triangle DBF$, 進而 $\angle GDE=\angle BDF$, 所以 $\angle ADG=\alpha$。

在 $\triangle ADG$ 中, $\angle ADG=\alpha$ 為定值, $DE\perp AG$, $DE=a\cdot\sin\dfrac 12\alpha$ 為定值, 問題轉化為定角定高問題, 根據前文 1.2 的敘述, 容易計算出 $AG$ 的最小值, 進而可以計算出 $CA+CB$ 的最小值, 餘下的計算與 1.2 類似, 略。

明晰方法： 從以上的分析過程看出, 在解答定角定角平分線求最值時, 根據角平分線的性質將問題轉化為定角定高類問題, 定角定高類問題前文已經分為"定角為直角"、 "定角為銳角"、 "定角為鈍角"三種情況詳細敘述, 在此只給出定角定角平分線問題中定角為銳角的情況, 其餘的兩種情況, 有興趣的讀者可自行補充。

4. 聯繫與區別

從前文的敘述和"明晰方法"知道, 與"定角對定邊"有關的問題, 通常是作出三角形的外接圓, 且外接圓的位置和半徑是固定的； 與"定角定高"、"定角定中線"、"定角定角平分線"有關的問題也是作出三角形的外接圓, 但此時外接圓的位置和半徑是變化的, 在動態的變化中, 利用垂線段最短求最值。 "定角定中線"類問題通過倍長中線將原問題轉化為"定角對定邊"問題；"定角定角平分線"類問題通過作角兩邊的垂線, 轉化為"定角定高"類問題。 這兩類問題的轉化時所用到的輔助線都是常見的輔助線, 解法比較自然。 輔助線的不同引起轉化後的問題類型不同, 不同輔助線是由原問題中不同的條件產生, 所以這兩類問題有明顯的區別, 不能一概而論。

5. 應用

例1(2019陝西中考壓軸題)： 如圖10, 有一座塔 $A$, 按規劃, 要以塔 $A$ 為對稱中心, 建一個面積盡可能大的形狀為平行四邊形的景區 $BCDE$。 根據實際情況, 要求頂點 $B$ 是定點, 點 $B$ 到塔 $A$ 的距離為 50 米, $\angle CBE=120^\circ $。 那麼是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行四邊形景區 $BCDE$? 若可以, 求出滿足要求的平行四邊形 $BCDE$ 的最大面積; 若不可以, 請說明理由。 (塔 $A$ 的占地面積忽略不計)

分析： 如圖 10, 因為點 $A$ 為平行四邊形 $BCDE$ 的對稱中心, 所以點 $A$ 是 $BD$ 和 $CE$ 的交點。 在 $\triangle CBE$ 中, $\angle CBE=120^\circ $, 中線 $BA=50$ , 是定角定中線問題。

因為 $\angle CBE=120^\circ$ 恒定不變, 所以 $\angle BCD=60^\circ$ 恒定不變； 因為 $BA$ 長度是 50, 所以 $BD$ 長度是 100 恒定不變。 在 $\triangle BCD$ 中, $\angle BCD$ 是定角, 線段 $BD$ 是定線段, 計算出 $\triangle BCD$ 的面積最大值, 就可以得出平行四邊形 $BCDE$ 的面積最大值。

要計算 $\triangle BCD$ 的面積最大值, 可以作出 $\triangle BCD$ 的外接圓, 下面的計算過程較易, 略。

例2 (2018成都中考第27題)： 在直角三角形 $\triangle ABC$ 中, $\angle ABC=90^\circ$, $AB=\sqrt{7}$, $AC=2$, 過點 $B$ 作直線 $m//AC$, 將 $\triangle ABC$ 繞點 $C$ 順時針得到 $\triangle A'B'C$ (點 $A,B$ 的對應點分別為 $A',B'$) 射線 $CA'$, $CB'$ 分別交直線 $m$ 於點 $P,Q$。

1. 如圖 11, 當 $P$ 與 $A'$ 重合時, 求 $\angle ACA'$ 的度數；
2. 如圖 12, 設 $A'B'$ 與 $BC$ 的交點為 $M$, 當 $M$ 為 $A'B'$ 的中點時, 求線段 $PQ$ 的長；
3. 在旋轉過程時, 當點 $P,Q$ 分別在 $CA'$, $CB'$ 的延長線上時, 試探究四邊形 $PA'B'Q$ 的面積是否存在最小值。 若存在, 求出四邊形 $PA'B'Q$ 的最小面積； 若不存在, 請說明理由。

分析： (1)(2)略。

(3) 因為 $\triangle A'B'C$ 的面積是定值, 計算四邊形 $PA'B'Q$ 的最小面積可以通過計算 $\triangle CPQ$ 的面積最小值得出。

$\angle PCQ$ 的度數是定值, 點 $C$ 到直線 $PQ$ 的距離是定值, 這是定角定高問題, 在 $\triangle ABC$ 繞點 $C$ 旋轉過程中, 線段 $PQ$ 的長度存在最小值。

如圖 13 作出 $\triangle CPQ$ 的外接圓 $O$, 連接 $OC$, $OC=r$, $PQ=2r$。 $PQ$ 的最小值轉化為 $OC$ 的最小值, 也就是圓 $O$ 半徑的最小值, 在 $\triangle ABC$ 繞點 $C$ 旋轉過程中, 始終有 $CO\ge CB$。 接下來的計算, 略。

參考文獻

---本文作者任教中國山東高青縣實驗中學---