這個題目聽起來有點像繞口令, 大部分人從小學五年級起就知道 ： 『9 的倍數的數字和一定是 9 的倍數』, 也知道它的充要條件『數字和是 9 的倍數的數一定是 9 的倍數』。 可是一定還有很多像我這樣一個學數學、 教數學合起來超過 50 年的人, 卻從來不曾考慮這個問題 --- 『9 的倍數的數字和到底是 9 的幾倍？』
對一個大數 $n$, 如果能在 $n\times 9$ 尚未算出積之前, 就有一套公式或方法來直接判斷 $9n$ 的數字和是 9 的幾倍, 也許就比較像個能掌握整數的人了。 譬如有人先預告說 ： $123456789\times 9$ 的積的數字和只有 9； 而 $987654321\times 9$ 的積的數字和是 81； 不知道會不會先引起你的懷疑, 再激起你的興趣, 這事兒值得拿起計算機驗證一下：
$123456789\times 9=1111111101$, 數字和正好是 9；
$987654321\times 9=8888888889$, 數字和 81 正好是 9 的 9 倍。
顯然 9 的倍數的數字和大小, 和被乘數字串的遞增或遞減有很大的關係。 可是人生際遇的數常不是如此單調。 例如有名的 Martin Gardner 九位數 381654729, (指 1 到 9 數字各用一次, 使得前兩位是 2 的倍數, 前三位是3的倍數 $\cdots$ 依此類推到 9 的唯一解。) 高低起伏變化大, 乘以 9 的積的數字和恐怕就不太容易掌握了。 好在現代手機的計算器功能強大, 能處理三十位左右的有效數字； 加上已知這個積的數字和原數字串的遞增或遞減大有關係, 萬事俱備, 應該可以找到一個公式或通則來嚇大家一跳吧！
為了研究及表達的統一與方便, 我們先定義一個函數： $$f(n) = \frac{n\times 9\,\hbox{的數字和}}9.$$ 所以 $f(n)$ 是一個正整數對應到正整數的函數。 例如 $$f(1957) = \frac{1957\times 9\hbox{的數字和}}9 = \frac{17613\hbox{的數字和}}9 = \frac{1+7+6+1+3}9=2.$$
現在我們可以由簡到繁逐步來建立一套規則：
規則一： $n$ 是常數字串。 (即形如 5, 22, 3333, 777777, 888888888 $\cdots$ 等等)。 則 $f(a\cdots a)= a$ 的字串個數。
顯然 $f(5)=\dfrac{4+5}9=1$, $f(22)=\dfrac{1+9+8}9=2$,
$f(3333)=\dfrac{2+9+9+9+7}9=4$,
$f(777777)=\dfrac{6+9+9+9+9+9+3}9=6$,
$f(8888888888)=\dfrac{7+9+9+9+9+9+9+9+9+9+2}9=10$。
證明如下： 設 $a$ 大於 0, 因為 $aa\cdots aa\times 9=aa\cdots aa\times (10-1)=aa\cdots aa0-aa\cdots aa$, 寫成直式為： \begin{align*} \begin{array}{cccccccc} &~~a~~&~~a~~&~~a~~&\cdots&\cdots&~~a~~&0\\ -&&a&a&\cdots&\cdots&a&a\\\hline &(a-1)&9&9&\cdots&\cdots&9&(10-a) \end{array} \ . \end{align*}
所以當 $n$ 是連續 $k$ 個相同的非 0 字串 $aa\cdots aa$ 時, 上列算式除了最高位之外, 每一位都必須借位來減, 必有中間連續 $k-1$ 個 9, 加上首位數 $a-1$ 及個位數 $10-a$, 消去 $a$ 之後, 數字和正好是 $k$ 個 9, 所以 $f(a\cdots a)= a$ 的字串個數。
規則二： $n$ 是遞增數列字串 (不必嚴格遞增), (即形如 123, 255566, 677789999 $\cdots$ 等等)。 則 $f(n)=n$ 的最大數字字元的個數。 即
$f(123)=1$, 最大數字 3 有 1 個；
$f(255566)=2$, 最大數字 6 有 2 個；
$f(677789999)=4$, 最大數字 9 有 4 個；
簡單的證明如下： 設 $n=abcde\cdots rs\cdots s$ 為遞增字串, 最大數字 $s$ 連續 $k$ 個。
即 $a\le b\le c\le d\le \cdots \le rt s$, 也因 $rt s$ 則 $s-1-r\ge 0$,
所以 $n\times 9=n\times (10-1)=n\times 10-n$, 寫成直式為： \begin{align*} \begin{array}{cccccccccccccc} &~~a~~&~~b~~&~~c~~&~~d~~&\cdots&\cdots&~~r~~&~~s~~&~~s~~&\cdots&\cdots&~~s~~&0\\ -&&a&b&c&d&\cdots&\cdots&~~r~~&~~s~~&\cdots&\cdots&~~s~~&s\\\hline &a&(b-a)&(c-b)&(d-c)&\cdots&\cdots&\cdots&(s\!-\!1\!-\!r)&9&\cdots&\cdots&9&(10-s) \end{array} \ . \end{align*}
因為 $a\le b\le c\le d\le \cdots \le rt s$, 所以除了個位數之外, 其餘每一位數都不需借位來減。 因此這個算式結果的數字和, 自左到右為 $(a)+(b-a)+(c-b)+(d-c)+\cdots+(s-1-r)+9+\cdots+9+(10-s)=9+9+\cdots+9=9\times k$, 恰好消去所有符號, 只留下和s的個數相等的 $k$ 個 9 相加, 所以 $f(n)=\dfrac{9\times k}9=k=$ 最大數字字元的個數。
規則三： $n$ 是遞減數列字串 (不必嚴格遞減), (即形如 321, 6642211, 9865222000 $\cdots$ 等等)。 則 $f(n)= n$ 的非 0 字串位數, 即
$f(321)=3$, 3 位遞減；
$f(6642211)=7$, 7 位遞減；
$f(9865222000)=7$, 非 0 的 7 位遞減。
證明如下： 設 $n=abcd\cdots xy$, $a\ge b\ge c\ge d\ge \cdots \ge x\ge ygt 0$, 為遞減的 $k$ 位數, (末尾的 0 或連續的 0 不用考慮, 應該是很明顯的吧。)
因為 $9\times n=n\times (10-1)=n\times 10-n$, 寫成直式 \begin{align*} \begin{array}{cccccccccc} &~~a~~&~~b~~&~~c~~&~~d~~&\cdots&\cdots&~x~~&~~y~~&0\\ -&&a&b&c&d&\cdots&\cdots&~~x~~&y\\\hline &(a\!-\!1)&(10\!+\!b\!-\!1\!-\!a)&(10\!+\!c\!-\!1\!-\!b)&(10\!+\!d\!-\!1\!-\!c)&\cdots&\cdots&\cdots&(10\!+\!y\!-\!1\!-\!x)&(10\!-\!y) \end{array}. \end{align*} 因為 $a\ge b\ge c\ge d\ge \cdots \ge x\ge ygt 0$, 所以除了最高位的 $a$ 之外, 每一位都必須進行借位減法, 因此差的數字和自左到右為為 $(a-1)+(10+b-1-a)+(10+c-1-b)+(10+d-1-c)+\cdots+(10+y-1-x)+(10-y) =9+9+\cdots+9=9\times k$, 恰好消去所有符號, 所以 $f(abcd\cdots xy)=\dfrac{9\times k}9=k$。
到此為止, 你大概可以發現 ： 規則一其實就是規則二和規則三的特例, 也是兩條規則的交集, 實際運用起來才不會產生矛盾。
規則四： 當 $n$ 同時有遞增及遞減字串。 將 $n$ 視為字串的折線, 依遞增及遞減分段, 利用規則二和規則三, 決定每段的數字和是 9 的幾倍, 逐段累加, 再用規則一減去每一段重疊部分 (包括只重疊一位數的), 即可求出 $f(n)$ 的值。
舉 $n=1234321$ 為例說明一下, 是一個倒 V 型的折線, 其中 1234 遞增, 4321 遞減, 重疊的 4 有 1 位, 所以 $f(1234321)=f(1234)+f(4321)-f(4)=1+4-1=4$ 。
實際驗證 $1234321\!\times\! 9\!=\!11108889$, 3 個 1, 3 個 8, 1 個 9, 所以 $f(1234321)\!=\!4$, 正確無誤。
又如 $n=87655557899$, 是一個 U 型的折線, 其中 8765555 遞減, 55557899 遞增, 重疊的 5555 有 4 位, 所以 $f(87655557899)=f(8765555)+f(55557899)-f(5555)=7+2-4=5$, 實際驗證 $87655557899\times 9=788900021091$, 兩個 9, 兩個 8 和 1, 1 個 7 和 2, 好 5 個 9, 正確無誤。
再舉一個更複雜的例子, $n=12533338999$, 是 $N$ 型的折線, 其中 125 遞增, 53333 遞減, 33338999 遞增, 重疊的 5, 3333 兩段；所以 $$f(12533338999)=f(125)+f(53333)+f(33338999)\!-\!f(5)\!-\!f(3333)=1\!+\!5\!+\!3\!-\!1\!-\!4\!=\!4.$$ 驗證 $12533338999\times 9=112800050991$, $9+9+ (8+1)+ (5+2+1+1)=36$, 所以 $f(12533338999)=4$, 正確無誤。
規則四當然應該證明, 可是 $n$ 的遞增、 遞減、 重疊的各段長度都是不定的, 折線折了幾次也是不定的, 本應該像數學歸納法的證明那樣, 先證明 $n$ 只有一段折線時, 無論是常數或遞增或遞減, 都可依規則一、 二、 三之一, 使 $f(n)$ 成立； 並假設 $n$ 有 $k$ 段折線時, $f(n)$ 依規則四成立； 最後證明當 $n$ 再多出一段折線時, 也能依規則四, 分已完成的 $k$ 段折線和新增的第 $k+1$ 段折線, 使得 $f(n)$ 成立。 但表達起來太麻煩了, 所以偷懶一下, 這裡只證明由遞增轉為遞減, 及由遞減轉為遞增這兩種基本形式, 為何都要減去中間重疊的那一段。 請特別注意這兩種基本問題大不一樣, 一種是重複計算要扣除, 另一種是只算一次的也要扣除。
假設 $ABC$ 是由遞增轉為遞減的字串, 其中 $B$ 是重疊的常數字串, 則因為 $f(AB)=f(B)$； 且 $BC$ 是遞減字串, 所以 $f(BC)=f(B)+f(C)$, 顯然 $f(ABC)=f(B)+f(C)$ 而已, 否則若 $f(ABC)=f(B)+f(BC)=f(B)+f(B)+f(C)$, $f(B)$ 重複計算極不合理, 將有可能使 $f(ABC)$ 大於字串ABC的位數, 造成矛盾, 所以 $f(ABC)=f(B)+f(C)=f(B)+f(BC)-f(B)$。
若 $BCD$ 是由遞減轉為遞增字串, 其中$C$是重疊的常數字串, 因為$BC$遞減, 則 $f(BC)=$ $f(B)+f(C)$； 且 $CD$ 是遞增字串, 則, $f(CD)=f(D)$, 原以為 $f(BCD)=f(B)+f(C)+f(D)$ 會成立, 沒想到舉幾個實例計算都失敗了。 例如 $f(5433367)=\dfrac{48900303\, \hbox{的數字和}}9=3\not=f(54)+f(333)+f(67)$ 而是等於 $f(54)+f(67)$, 可見重疊的 $f(333)$ 必須扣除, 這將是本研究最困難的部分, 只好回到最原始的方法了。
設 $BCD$ 為由遞減轉為遞增的字串, 其中 $B=b_1 b_2\cdots b_s$, $C=cc\cdots c$ ($k$ 個 $c$), $D=d_1 d_2\cdots d_t$。 所以 $b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_sgt ct d_1\le d_2\le \cdots\le d_t$。
因為 $BCD\times 9=BCD\times (10-1)=BCD\times 10-BCD$, 將字串展開寫成直式為： \begin{align*} \begin{array}{cccccccccccccccc} &~~b_1~~&b_2&\cdots&\cdots&~~b_s~~&~c~&~c~&\cdots&~c~&~~d_1~~&d_2&\cdots&\cdots&~~d_t~~&0\\ -&&b_1&b_2&\cdots&~~b_{s-1}~~&b_s&~c~&\cdots&~c~&~c~&d_1&~~d_2~~&\cdots&d_{t-1}&d_t\\\hline &(b\!-\!1)& &\cdots&\cdots&&(10\!+\!c\!-\!b_s)&0&\cdots&0&(d_1\!-\!1\!-\!c)&&\cdots&\cdots&&(10\!-\!d_t) \end{array} \ . \end{align*} 觀察上列算式 $B$ 部分是遞減字串, 由規則三得知此段數字和為 $9\times f(B)+c$；
觀察上列算式 $D$ 部分是遞增字串, 由規則二得知此段數字和為 $9\times f(D)-c$；
觀察上列算式 $C$ 部分是常數字串, 但因為 $d_1gt c$, 所以 $d_1-1-c\ge 0$, 此項之後的 $c-c$ 都不必被借位, 將會出現連續 $k-1$個 0。
所以 $BCD\times 9$ 的數字和為 $9\times f(B)+c+9\times f(D)-c=9\times f(B) +9\times f(D)$,
所以 $f(BCD)=f(B)+f(D)=f(BC)+f(CD)-f(C)$。
其實由遞增轉為遞減字串也可以用上面的方法來證明, 只是中間重疊的 $B$ 部分, 每一位都需要借位相減, 將會有 $k-1$ 個 9, 所以 $f(ABC)=f(B)+f(C)=f(B)+f(BC)-f(B)$ 才得證。 現在我們終於弄明白了, 由遞增轉為遞減的字串, 重疊的常數字串是因為重複計算所以要扣除； 由遞減轉為遞增的字串, 重疊的常數字串是因為錯一位相減時不必借位, 造成連續的 0 才要扣除。 所以重疊的部分, 不論是波峰或波谷都必須扣除。
規則五： 當 $n$ 的字串中有 0 時, 無論 0 連續幾個, 將每一段的 0 視為斷點, 直接分段再依前述四條規則計算。 例 \begin{align*} f(202003211145)=\,&f(2)+f(2)+f(3211145)\\ =\,&f(2)+f(2)+f(32111)+f(11145)-f(111)\\ =\,&1+1+5+1-3=5 \end{align*} 驗證 $202003211145\times 9=1818028900305$, 所以 $f(202003211145)=5$, 正確無誤。
這個規則比較容易明白, 如果 $n=A0B$, 其中 $A$ 和 $B$ 是字串, 假設 0 是在 10 的 $k$ 次方位置上, 那麼 $B\times 9$ 進位到 10 的 $k$ 次方位的數最多是 8, 和 $A\times 9$ 的最低位 (10 的 $k+1$ 次方位) 毫不相干, 當然數字和可以分段計算了。 不過若不是 0, 就不能當斷點分開； 若不是遞增或遞減的折線的端點, 也不能用規則四來處理, 否則就不正確了。 例如 $f(1233888652)$ 若拆成 $f(1233)+f(888652)$ 兩相比較一下：
正確解法 $f(1233888652)=f(1233888)+f(888652)-f(888)=3+6-3=6$,
錯誤解法 $f(1233888652)=f(1233)+f(888652) =2+6=8$,
驗算 $1233888652\times 9=11104997868 $, 所以 $f(1233888652)=6$。
綜合上述的規則, 我們也可以採取 step by step 的方式, 來觀察 $f(n)$ 的變化： \begin{align*} &f(1)=1\\[-2pt] &f(12)=1\\[-2pt] &f(123)=1\\[-2pt] &f(1235)=1\\[-2pt] &f(12355)=2\\[-2pt] &f(123555)=3\\[-2pt] &f(1235556)=1 \hbox{--- 這裡會變小, 也是令人討厭的地方}\\[-2pt] &f(12355566)=2\\[-2pt] &f(123555665)=3\\[-2pt] &f(1235556654)=4\\[-2pt] &f(12355566548)=4\\[-2pt] &f(123555665489)=4 \end{align*} 設 $n$ 的字串為 $N$, 在 $N$ 的末尾再加一個字元 $x$, 觀察 $f(Nx)$ 的變化, 可以歸納出一些規律。 對 $N$ 的最後一個字元 $s$ 而言, $x$ 和 $s$ 的大小關係, 將是 $f(Nx)$ 變化的關鍵： \begin{align*} \hbox{若 $x=0$ 則} \ f(Nx)=\,&f(N),\\[-2pt] \hbox{若 $x=s$ 則} \ f(Nx)=\,&f(N)+1,\\[-2pt] \hbox{若 $xt s$ 則} \ f(Nx)=\,&f(N)+1. \end{align*} 都是很明顯的結果； 只有在 $xgt s$, 且 $N$ 的最後字元是連續的 $k$ 個 $s$ 時, $f(Nx)=f(N)-k+1$, 才是所有變化中的最大麻煩, 也是最令人不滿意的地方。
承蒙數學傳播審稿老師的指導, 我把這個 step by step 的方向反過來, 從最低位值的字元開始來觀察 $f(n)$ 的變化：
當 $a\not=0$ 時 $f(a)=1$, 且 $a\times 9=(a-1)\times 10+(10-a)$, 所以 $(a-1)$ 將進到下一位, 留下 $(10-a)$ 在原位值。 考慮 $f (ba)$ 因為 $b\times 9=(b-1)\times 10+(10-b)$, 如果進位過來的 $(a-1)$ 加上留在原位的 $(10-b)$ 小於或等於 9, 則 $f (ba)=2$。 意思是說 $a$ 和 $b$ 各乘以 9 的數字和, 因為未進位而保留兩個 9 的和； 如果 $(a-1)+ (10-b)\ge 10$, 則 $f (ba)=1$ 意思是說 $a$ 和 $b$ 各乘以 9 的數字和因進位而減少了一個 9。 回頭整理這個條件： \begin{align*} (a-1)\,+\,& (10-b)\le 9 \ \hbox{則}\ a-b\le 0,\\ &\hbox{即 $b\ge a$ 時}\ f (ba)=2;\\ &\hbox{所以 $bt a$ 時}\ f (ba)=1\hbox{。} \end{align*}
從這個分析過程, 我們得到一個重要的結論, 甚至可以稱為：
$9n$ 的數字和定理： \begin{align*} f(n) = (n\times 9\ \hbox{的數字和)/9} =\,& n\ \hbox{的非 0 字元個數減去加法的進位次數}\\ =\,&n \ \hbox{的非 0 字元自右向左不遞減的次數}\hbox{。} \end{align*}
這裡必須說明 ： 每一個 $n$ 的非 0 字元乘以 9, 都會得到兩個和為 9 的數, 如果都不進位, 數字和就是 9 的 ($n$ 的非 0 字元個數) 倍； 但因為位值的問題, 當兩個同位值的數的和大於或等於 10, 就必須進位。 例如 5+7 本來是 12, 進位以後的數字和是 1+2, 只等於 3, 相當於少了一個 9。 所以我們只要知道 $n$ 的字元個數, 減去 $n\times 9$ 過程中加法的進位次數, 就可以得到 $f(n)$ 了。 可是我們原來的目標是, 在不乘開 $n\times 9$ 的限制下求出 $f(n)$, 幸好上述 ： $b\ge a$ 時, $f (ba)= 2$； 及 $bt a$ 時, $f (ba)=1$ 的證明過程, 清楚的告訴我們, 進位的時機一定發生在『相鄰的高位值字元小於低位值字元』時, 所以還是可以在不乘開的條件下判斷出進位的次數。
因為 $n\times 9$ 的運算從右到左一固定就不再變動, 所以我們可以得到一個更簡單的方法來處理這個問題 ： 當 $f(aN)=k$ 為已知, 其中 $aN$ 是一字串, $a$ 是此字串的最高位。 在 $aN$ 之前加一數字 $b$, 若 $bgt a$ 時, $f (baN)=k+1$, 若 $bt a$ 時, $f (baN)=k$。 若 $b=a$ 且 $a$ 在字串自右算起為遞增狀態, 則 $f(baN)=k+1$; 若 $b=a$ 且 $a$ 在字串自右算起為遞減狀態, 則 $f(baN)=k$。
這個定理的運作方式很簡單, 從 $f(n)$ 的 $n$ 的右邊先加個 0 (個位), 開始向左計數, 每遇到一位遞增或相等就加 1, 如果左邊的數字比較小就不加, 直到最後一位, 計數到多少 $f(n)$ 就是多少了。 以前一個問題為例： $$f(123555665489)= f(123555{\bigcirc\hskip -9pt 6}\ {\bigcirc\hskip -9pt 6}\ {\bigcirc\hskip -9pt 5}\ 48{\bigcirc\hskip -9pt 9}\ 0)=4,$$ 其中 0 到 9 遞增一次, 4 到 5 遞增一次, 5 到 6 遞增一次, 6 到 6 相等(視為)遞增一次, 所以計數為 4。 被圈起來的 6659 四個數, 只是作為遞增或相等的記號而已, 你可以用自己喜歡的方式來標記。
現在我們可以來計算一下, 有名的 Martin Gardner 九位數 381654729 乘以 9 的數字和是 9 的幾倍了。 $$f(381654729)= f(3{\bigcirc\hskip -9pt 8}\ 1{\bigcirc\hskip -9pt 6}\ {\bigcirc\hskip -9pt 5}\ 4{\bigcirc\hskip -9pt 7}\ 2{\bigcirc\hskip -9pt 9}\ 0) =5.$$ 驗證 $381654729\times 9=3434892561$, 就算用計算機按出這個答案, 恐怕你也懶得加起來了吧！
回顧這個定理『$f(n)=n$ 的非 0 字元個數減去加法的進位次數』, 你會發現原來的規則一、 二、 三、 四、 五, 都只是它的推論而已, 而我卻花了很多工夫在這些規則的證明, 這是研究時出發點的問題。 在數學發展的歷史上, 這應該是常見的現象, 不能視為徒勞無功, 就像有了餘弦定理, 卻沒有人忘記畢氏定理的證明一樣。 所以我還是保留這些只是推論的規則, 讓讀者知道這個問題發展的過程。
9的倍數的種種性質一直都是數論中有趣的問題, 如果不想玩得太複雜, 只用規則二和規則三就可以設計出很有趣的數學遊戲。 例如 $f(11223344556677889)=1$, 意味著 $$11223344556677889\times 9=101010101010101001,$$ 就能使中小學生睜大眼睛了 (好多 101 阿！)。 讓高中生用 1 到 8 隨機寫一個遞增的 29 位數, 老師再加上一個 9 到末尾, 乘以 9 之前, 全班來估計這個有 31 位數的積, 0 到 9 各個數字各出現多少次, (這裡恐怕不隨機了)。 別懷疑！ 當然很不平均, 數字 0 出現的比率會大得出乎意料, 其餘數字少的可憐, 還可以保證不會出現 9 這個數字。 (因為數字和只有 9 嘛！)如果改玩遞減的字串, 老師甚至可以連一個數字都不加, 哪一個數字出現的機率最高應該很清楚了吧！ \begin{align*} \hbox{再如}\quad f(6777777777)=\,&9,\\ f(7777777776)=\,&10 ,\\ f(7777777777)=\,&10,\ \hbox{但}\\ f(7777777778)=\,&1,\ \hbox{意味著}\\ 6777777777\times 9=\,&60999999993\ \hbox{數字和很大,}\\ 7777777776\times 9=\,&69999999984\ \hbox{數字和很大, 6 在頭在尾只差一個 9；}\\ 7777777777\times 9=\,&69999999993\ \hbox{數字和很大,}\\ 7777777778\times 9=\,&70000000002\ \hbox{數字和很小, 為何一落千丈？}\\ &\hbox{(其實看成上一式的 69999999993 加 9 還比較清楚),}\\ &\hbox{或者可以當一個數學問題中『差之毫釐失之千里』的例子。} \end{align*}
從證明過程中還可發現, 規則二有一個有趣的性質, 例如 $f(123555555)=6$, 不只知道 $123555555\times 9$ 的數字和是 54, 還能確定積的倒數 2 到 6 位數字都是 9, 累加數字和的時候其實是很快的。 請看 $123555555\times 9=1111999995$, 是不是一切都在掌握之中呢！
希望你可以利用這個結果, 設計更多有趣的遊戲來提高學生對數學的興趣。
後記與推論
本文的主題『9 的倍數的數字和是 9 的幾倍』決定於 $n$ 的字串的遞增遞減位數及序列。 根據定理, 如果 $n$ 和 $m$ 的遞增遞減位數及序列完全相同, 則 $f(n)=f(m)$ 必然是成立的。 例如 $f(1232)=f(1573)=2$。 感謝數學傳播審稿老師的指正, 使這些證明更精簡。 但這個定理只限於 9 的倍數嗎？ 顯然關鍵在我們用的是十進位, 所以當我們把問題推廣到任意 $k$ 進位 (當然 $k\in N$, $k\ge 2$), 在 $k$ 進位的系統下, $n$ 的 $(k-1)$ 倍的數字和當然是 $(k-1)$ 的倍數, 而且這個倍數是幾倍的算法, 應該準用本文的定理和五個規則。 經推廣後可以下這樣的結論 ： 『在 $k$ 進位系統中, $n$ 的 $(k-1)$ 倍的數字和是 $(k-1)$ 的幾倍, 決定於 $n$ 字串由右向左的遞增次數。』因為在本文的證明中, 最重要的借位減法過程, 或加法的進位情形, 對所有的 $k$ 進位系統都是成立的。 例如我們可以說 ： 在八進位的系統中, $n$ 的 7 倍的數字和一定是 7 的倍數, 而且是 7 的 ($n$ 的非 0 字元個數減去加法進位的次數) 倍。
參考資料
---本文作者為高雄市中正高中退休教師---