如圖一所示, 微分是求函數 $y = g(x)$ 圖形上一點切線的斜率 $g'(x)$。

而當 $f(x) \gt 0$ 時, 積分則是求 $y = f(x)$ 函數圖形下方, $x$ 軸上方之間的面積, 如圖二所示, 陰影部份代表介於 $x = a$, $x = b$, $x$ 軸和函數圖形之間的面積 (註一)。 在圖一的情形, 求一條直線的斜率, 需要知道兩點, 因此作法是在圖形上除了點 $P(x,g(x))$ 之外, 另在附近取一點 $Q(x + \Delta x,g(x + \Delta x))$, 如圖三所示 (註二)。

先求 $PQ$ 線的斜率 \begin{align} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{(x+\Delta x)-x}=\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}.\label{1} \end{align} 然後再令 $\Delta x$ 趨近於 $0(\Delta x \to 0)$, 將所得的極限定為切線的斜率 $g'(x)$。 式 \eqref{1} 一方面是圖三中割線 $PQ$ 的斜率, 另一方面式 \eqref{1} 也代表當 $x$ 變動到 $x + \Delta x$ 時, $g(x)$ 的平均變率 (average rate of change), 而當 $\Delta x \to 0$ 時, 式 \eqref{1} 的極限便是 $g(x)$ 在 $x$ 點的瞬間變率 $g'(x)$ (Instantaneous rate of change at $x$)。

平均或是瞬間變率的考量可以針對任意的函數 $g(x)$, 一旦能夠掌握 $\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$ 在 $\Delta x\to 0$ 的極限 $g'(x)$ 便可以從 $g'(x)$ 反求 $g(x)$, 這正是牛頓當年發現微積分基本定理的切入點。牛頓首先將圖二改成圖四 (註三)。

圖四是連續函數 $y = f(x)$ 的圖形從 $a$ 到 $x$ 這一段與 $x$ 軸之間的面積, 在 $x$ 這一點, 函數 $y = f(x)$ 是高度, 面積以函數 $z = z(x)$ 表。 牛頓的想法是求面積函數 $z(x)$ 在 $x$ 點的瞬間變率。 欲求 $z(x)$ 的瞬間變率, 必須先求平均變率, 因此牛頓考慮下面的圖五 (並見註三)。 當 $x$ 變化到 $x + \Delta x$ 時, 從 $a$ 到 $x \!+\! \Delta x$ 的面積是 $z(x \!+\! \Delta x)$ 而 $z(x \!+\! \Delta x) \!-\! z(x)$ 就是圖五中在 $[x,x \!+\! \Delta x]$ 上方的面積, 因此平均變率等於 $\dfrac{z(x\!+\!\Delta x)\!-\!z(x)}{\Delta x}$。 如果函數 $y$ 在 $[x,x \!+\! \Delta x]$ 上是常數的話, 則 $z(x + \Delta x) - z(x)$ 這塊面積是一個以 $y$ 為高度的長方形, 如圖六所示：

在圖六的情形, 不論 $\Delta x$ 的大小, $\dfrac{z(x+\Delta x)-z(x)}{\Delta x}$ 都等於長方形面積 $z(x + \Delta x) - z(x)$ 的高, 令 $\Delta x \to 0$, 自然得到 $z(x)$ 對 $x$ 的瞬間變率是此長方形的高, 即 $f(x)$。

一般而言面積 $z(x + \Delta x)-z(x)$ 這一塊並非長方形而是形如圖七：

在圖七中, 令 $H$ 和 $h$ 分別是函數 $y = f(x)$ 在 $[x,x + \Delta x]$ 上的最大值和最小值, 則顯然有 (註四) $$h\le \frac{z(x+\Delta x)-z(x)}{\Delta x}\le H.$$

當 $\Delta x \to 0$ 時, $H$ 和 $h$ 都會趨近 $f(x)$, 因此 $\dfrac{z(x+\Delta x)-z(x)}{\Delta x}$ 也會趨近 $f(x)$, 亦即 $z(x)$

對 $x$ 的瞬間變率是 $f(x)$, 或者說 $z'(x) = y = f(x)$。 這就是當年牛頓發現的微積分基本定理 (註五)。

根據此一定理, 我們有下列結論：

如圖二所示, 令 $F(x)$ 滿足 $F'(x) = f(x)$, 則圖二中的面積等於 $F(b) - F(a)$。 原因是, 因為如圖四, $z'(x) = f(x)$, 如果 $F'(x)$ 也等於 $f(x)$, 則 $z(x) = F(x) + c$, $c$ 是一個常數 (註六)。 圖二中的面積等於 $z(b)$, 注意到 $z(a) = 0$, 所以 $$z(b) = z(b) - z(a) = F(b) + c - (F(a) + c) = F(b) - F(a).$$

雖然滿足微分是 $f(x)$ 的函數並不唯一, 但是因為這些「反微分」彼此只差一個常數, 在計算 $F(b) - F(a)$ 時, 所差的常數自然會對消, 因此並不重要 (註七)。

以下, 我們補充當 $f(x)$ 不一定恆正時圖四中的面積函數 $z(x)$ 應該如何定義。 如圖八, 當 $f(x)$ 在某一區段小於 0 時, 從 $x$ 到 $x+\Delta x$, 陰影部份的面積若是除以 $\Delta x$, 得到的「高度」是正的, 而非 $y = f(x)$ (此處 $f(x) \lt 0$), 因此一個合理的面積函數 $z(x)$ 在圖八中應該計以負值, 如此 $z(x + \Delta x) - z(x) \lt 0$, 而 $\dfrac{z(x+\Delta x)-z(x)}{\Delta x}$ 也小於 0, 並且 當 $\Delta x \to 0$ 時, $\dfrac{z(x+\Delta x)-z(x)}{\Delta x}$ 會趨近於 $y = f(x)$, $f(x)$ 也小於 0。

如此一來, 只要將 $f(x) \lt 0$ 時的「面積」計以負值, 則微積分基本定理仍然成立, 如圖九

函數 $f$ 有正有負, 當 $f(x) \gt 0$ 時陰影部份面積以正計之, 而 $f(x) \lt 0$ 時陰影部份面積以負計之, 則總面積仍然會等於 $F(b) - F(a)$, $F(x)$ 是 $f(x)$ 的反微分 (註八)。

換句話說, 只要將 $f(x) \lt 0$ 的部份, 面積以負計, 則微積分基本定理仍然成立 (利用 $f(x)$ 的任一個反微分 $F(x)$, 圖九的陰影部份「面積」皆等於 $F(b) - F(a)$)。 讀者不妨試試下面這個函數 $y = x^2 - 1$, 其在 $[-1,1]$ 這一段的「面積」計算。

若以反微分 $\dfrac 13 x^3-x=F(x)$ 代 1 和 -1 相減, \begin{align} F(1)=&\,\frac 13-1,\\[-3pt] F(-1)=&\,-\frac 13+1,\\[-3pt] F(1)-F(-1)=&\,-2+\frac 23=-\frac 43, \end{align} $-\dfrac 43$ 恰是圖十中陰影部份面積取負號。

總之, 微分是求函數圖形切線的斜率, 積分是求圖形與 $x$ 軸之間的「面積」, 這面積兩字需要打一引號「\ 」, 來說明「面積」是要考慮正負的。 唯有如此, 微積分基本定理才會廣泛的成立。 因此, 可能如註八, 得到「面積」為 0 時, 原因不過是正的面積和負的面積對消, 一點也不奇怪。

註一： 此處暫時假設 $f(x) \gt 0$, 以便處理 $y = f(x)$ 函數圖形與 $x$ 軸之間的面積, 將來, 當 $f(x) \lt 0$ 時, 會引進「負的面積」的概念。 並見註八。

註二： $\Delta x$ 代表一個微小的量, 可正可負, 但是不能等於 0, 本文為了方便說明, $\Delta x$ 均大於 0。

註三： 莫里斯 $\cdot$ 克萊因著古今數學思想 (Morris Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times) 中譯本 69 頁重現了牛頓所畫的圖

圖中的記號 "0" 相當於現在的 $\Delta x$。

註四： 此處用到連續函數 $f$ 在閉區間 $[x,x + \Delta x]$ 上有最大值和最小值, 並且當 $\Delta x \to 0$ 時, 最大和最小值均趨近 $f(x)$。

註五： 一般認為萊布尼茲亦獨立發現此定理。

註六： 微分等於 $f(x)$ 的函數統稱是 $f(x)$ 的反微分或反導函數, $f(x)$ 的所有反微分彼此只差一個常數, 圖五中的面積函數 $z(x)$ 是 $f(x)$ 的一個特別的反微分, 它滿足 $z(a) = 0$。

註七： 多項式 $x^n$ 的反微分是 $\dfrac 1{n+1}x^{n+1}+c$, $c$ 是任意常數。 三角函數 $\sin x$ 的反微分是 $-\cos x+c$, $c$ 是任意常數。 下面二個函數圖形陰影部份的面積分別是 $\dfrac 13b^3-\dfrac 13 a^3$ 和 $\cos a-\cos b$。

註八： 簡言之, 若面積在 $x$ 軸上方以正計, 在 $x$ 軸下方以負計, 則「面積」仍然等於 $F(b) - F(a)$。 式中 $F(x)$ 是函數 $f(x)$ 的反微分。 以 $f(x) = x$ 為例, 下圖的面積 0。 此時若取 $F(x)=\dfrac 12 x^2+c$, 則 $F(a)-F(-a)$ 亦等於 0。

---本文作者為台大數學系退休教授---