44305 從張進安老師的問題到 Riemann 的複變定理

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{F_n}{10^n}=\frac{10}{89}.\label{1}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{F_n}{10^{kn}}=\frac{10^k}{10^{2k}-10^k-1}.\label{2}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{F_n}{2^n}=2.\label{3}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{F_n}{r^{n}}=\frac{r}{r^2-r-1}.\label{4}$$

[在原文中, \eqref{4} 式右邊分母中的$r$被誤寫為 $r^k$。]

$$G(z)=\sum_{n=0}^{\infty}F_nz^n,\label{5}$$

\begin{align} G(z) &= \frac{z}{1 - z - z^2}.\label{6}\\ {\hbox{推理如下 ：}} G(z)&=\sum_{n=0}^{\infty}F_nz^n\nonumber\\ &=\sum_{n=2}^{\infty}F_nz^n+F_1 z+F_0\nonumber\\ &=\sum_{n=2}^{\infty}(F_{n-1}+F_{n-2})z^n+z\nonumber\\ &=z\Big(\sum_{n=2}^{\infty}F_{n-1}z^{n-1}\Big)+z^2\Big(\sum_{n=2}^{\infty}F_{n-2}z^{n-2}\Big)+z\nonumber\\ &=zG(z)+z^2G(z)+z.\nonumber\\ {\hbox{從而}} &G(z)(1-z-z^2)=z,\label{7} \end{align}

$$r_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\qquad r_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\label{8}$$

$$R=\Big(\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|c_n|}\Big)^{-1}\label{9}$$

$$\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{F_n}.$$

$$R=\min\{|r_1|,|r_2|\}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.\label{10}$$

\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}F_nz^n\,\,\text{收斂}&\iff|z|\lt\frac{\sqrt{5}-1}{2},\,\,\text{且此時有}\,\,\sum_{n=0}^{\infty}F_nz^n=\frac{z}{1-z-z^2}.\label{11}\\ {\hbox{於是在 \eqref{11} 中令 $z=\dfrac{1}{r},\ (r\neq0)$, 就得到}} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{F_n}{r^{n}}\,\,\text{收斂}&\iff|r|\gt \frac{\sqrt{5}+1}{2},\,\,\text{且此時有}\,\, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{F_n}{r^{n}} =\frac{r}{r^2-r-1}.\label{12} \end{align}

$$a_{n}=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\cdots+c_da_{n-d},\qquad n\geq d\label{13}$$

(其中 $c_1,\ldots, c_d$ 是常數) 給出的數列 $\{a_n\}$ 所對應的冪級數

$$\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\label{14}$$

\begin{align} G(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},\label{15} %G(z)=\,&\frac{\displaystyle \sum_{n=0}^{d-1} a_nz^n}{1-c_1z-c_2z^2-\cdots-c_{d}z^d}=\frac{P(z)}{Q(z)},\label{15} \end{align}

\begin{align*} P(z)&=a_0+(a_1-c_1a_0)z+(a_2-c_1a_1-c_2a_0)z^2+\cdots\\ &\quad +(a_{d-1}-c_1a_{d-2}-c_2a_{d-3}-c_{d-1}a_0)z^{d-1},\\ Q(z)&=1-c_1z-c_2z^2-\cdots-c_{d}z^d. \end{align*}

\begin{align*} G(z)&=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\\ &=\sum_{n=d}^{\infty}a_nz^n+\sum_{n=0}^{d-1}a_n z^n\\ &=\sum_{n=d}^{\infty}(c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\cdots+c_da_{n-d})z^n+\sum_{n=0}^{d-1}a_n z^n\\ &=c_1z\Big(\sum_{n=d}^{\infty}a_{n-1}z^{n-1}\Big)+c_2z^2\Big(\sum_{n=d}^{\infty}a_{n-2}z^{n-2}\Big) +\cdots+c_dz^d\Big(\sum_{n=d}^{\infty}a_{n-d}z^{n-d}\Big)\\ &\quad +\sum_{n=0}^{d-1}a_n z^n\\ &=c_1z\Big(G(z)-\sum_{n=0}^{d-2}a_n z^n\Big)+c_2z^2\Big(G(z)-\sum_{n=0}^{d-3}a_n z^n\Big)+\cdots+c_dz^dG(z)+\sum_{n=0}^{d-1}a_n z^n\\ &=(c_1z+c_2z^2+\cdots+c_{d}z^d)G(z)+\sum_{n=0}^{d-1}a_n z^n\\ &-\Big[c_1z\Big(\sum_{n=0}^{d-2}a_n z^n\Big)+c_2z^2\Big(\sum_{n=0}^{d-3}a_n z^n\Big)+\cdots+c_{d-1}z^{d-1}a_0\Big]\\ &=(c_1z+c_2z^2+\cdots+c_{d}z^d)G(z)+[a_0+(a_1\!-\!c_1a_0)z+(a_2\!-\!c_1a_1\!-\!c_2a_0)z^2+\cdots\\ &\quad+(a_{d-1}-c_1a_{d-2}-c_2a_{d-3}-c_{d-1}a_0)z^{d-1}] \end{align*}

\begin{align} \sum_{n=0}^\infty a_nz^n=&\,\{a_0+(a_1-c_1a_0)z+(a_2-c_1a_1-c_2a_0)z^2 +\cdots\nonumber\\ &+(a_{d-1}-c_1a_{d-2}-c_2a_{d-3}-c_{d-1}a_0)z^{d-1}\}/\{1-c_1z-c_2z^2-\cdots-c_{d}z^d\}.\label{16} \end{align}

$$|z|\lt R,\label{17}$$

$$R=\text{多項式 \frac{Q(x)}{d(x)} 各個根模長之最小者}.\label{18}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}f(n)z^n\,\,\text{收斂}\iff|z|\lt 1,\,\,\text{且此時有}\,\,\sum_{n=0}^{\infty}f(n)z^n=\sum_{k=0}^{d}\Delta^kf(0)\frac{z^k}{(1-z)^{k+1}},\label{19x}$$

$$\lim_{n\to \infty}f(n)z^n=0.$$

$$\lim_{n\to \infty}|z|^n=0,$$

$$f(n)=\sum_{k=0}^{d}\Delta^kf(0)\binom{n}{k}.\label{21x}$$

\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}f(n)z^n&=\sum_{n=0}^{\infty}\Big[\sum_{k=0}^{d}\Delta^kf(0)\binom{n}{k}\Big]z^n\nonumber\\ &=\sum_{k=0}^{d}\Delta^kf(0)\Big[\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n}{k}z^n\Big]\nonumber\\ &=\sum_{k=0}^{d}\Delta^kf(0)\Big[\sum_{n=k}^{\infty}\binom{n}{k}z^n\Big]\nonumber\\ &=\sum_{k=0}^{d}\Delta^kf(0)z^k\Big[\sum_{n=k}^{\infty}\binom{n}{k}z^{n-k}\Big].\label{22x} \end{align}

$$(1-z)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty z^n\label{23x}$$

$$k!(1-z)^{-1-k}=\left(\sum_{n=0}^\infty z^n\right)^{(k)}= \sum_{n=0}^\infty (z^n)^{(k)}=\sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k-1)z^{n-k},$$

$$\sum_{n=k}^{\infty}\binom{n}{k}z^{n-k}=(1-z)^{-1-k},\label{24x}$$

$\Box$

### 附記

$$\frac{P(z)}{Q(z)}=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n.\label{25}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\,\,\text{收斂}\iff|z|\lt r,\,\,\text{且此時有}\,\,\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n=\frac{P(z)}{Q(z)}.\label{26}$$

$$Q(z)=(1-r_1^{-1}z)^{m_1}\cdots (1-r_s^{-1}z)^{m_s}.\label{27}$$

$$Q_i(z)=\frac{Q(z)}{(1-r_i^{-1}z)^{m_i}}\qquad(i=1,\ldots,s)$$

\begin{align} &U_1(z)Q_1(z)+\cdots+U_s(z)Q_s(z)=1.\label{28}\\ {\hbox{對每個 $1\leq i\leq s$, 令}} &P(z)U_i(z)=q_i(z)(1-r_i^{-1}z)^{m_i}+R_i(z),\label{29} \end{align}

$$P(z)U_i(z)Q_i(z)=q_i(z)Q(z)+Q_i(z)R_i(z),$$

$$P(z)\left(\sum_{i=1}^sU_i(z)Q_i(z)\right)=\left( \sum_{i=1}^sq_i(z)\right) Q(z)+\sum_{i=1}^sQ_i(z)R_i(z),$$

$$P(z)=\left( \sum_{i=1}^sq_i(z)\right) Q(z)+\sum_{i=1}^sQ_i(z)R_i(z).\label{30}$$

$$\sum_{i=1}^sq_i(z)=0,$$

$$P(z)=\sum_{i=1}^sQ_i(z)R_i(z).\label{31}$$

$$\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{\sum_{i=1}^sQ_i(z)R_i(z)}{Q(z)}=\sum_{i=1}^s\frac{R_i(z)}{(1-r_i^{-1}z)^{m_i}}.\label{32}$$

$$R_i(z)=c_{0}^i+c_{1}^i(1-r_i^{-1}z)+\cdots+c_{m_i-1}^{i}(1-r_i^{-1}z)^{m_i-1}.\label{33}$$

$$c_{0}^i=R_i(r_i),\label{34}$$

$$\frac{P(r_i)}{Q_i(r_i)}=R_i(r_i).\label{35}$$

$$c_{0}^i=\frac{P(r_i)}{Q_i(r_i)}\neq 0.\label{36}$$

$$\frac{1}{(1-\rho z)^m}=\sum_{n=0}^\infty \binom{m+n-1}{m-1}\rho^n z^n,\qquad \left(|z|\lt\frac{1}{|\rho|}\right).\label{37}$$

\begin{align*} \frac{R_i(z)}{(1-r_i^{-1}z)^{m_i}}&=\sum_{j=0}^{m_i-1}\frac{c_j^i(1-r_i^{-1}z)^{j}}{(1-r_i^{-1}z)^{m_i}}\\ &= \sum_{j=0}^{m_i-1}c_j^i\frac{1}{(1-r_i^{-1}z)^{m_i-j}}\\ &=\sum_{j=0}^{m_i-1}c_j^i\left(\sum_{n=0}^\infty \binom{m_i-j+n-1}{m_i-j-1}r_i^{-n}z^n\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\underline{\sum_{j=0}^{m_i-1}c_j^i \binom{m_i-j+n-1}{m_i-j-1}}r_i^{-n}\right)z^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(f_i(n)r_i^{-n}\right)z^n,\quad\text{其中$f_i(n)$是次數為$m_i-1$的多項式, 此處用到$c_0^i\neq0$}. \end{align*}

\begin{aligned} \frac{P(z)}{Q(z)}&=\sum_{i=1}^s\frac{R_i(z)}{(1-r_i^{-1}z)^{m_i}}\\ &=\sum_{i=1}^s\left( \sum_{n=0}^\infty\left(f_i(n)r_i^{-n}\right)z^n\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{i=1}^s f_i(n)r_i^{-n}\right)z^n. \end{aligned}\label{38}

$$a_n=\sum_{i=1}^sf_i(n)r_i^{-n},\label{39}$$

$$\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{i=1}^sf_i(n)r_i^{-n}\right)z^n,\qquad \text{其中f_i(n) 是次數為 m_i-1 的多項式}\label{40}$$

$$a_n=\sum_{i=1}^sf_i(n)\left(\frac{z}{r_i}\right)^{n} \label{41}$$

$$a_n=f_1(n)\lambda_1^n+\cdots+c_s(n)\lambda_s^n,\qquad n=0,1,\ldots.\label{42}$$

(i) $a_n$ 以 $0$ 為極限。
(ii) 對每個 $i=1,\ldots,s$, $f_i(n)\lambda_i^n$ 以 $0$ 為極限。
(iii) 對每個 $i=1,\ldots,s$, $|\lambda_i|\lt 1$。

$$(T-\lambda_i)^{m_i} f_i(n)\lambda_i^n=0. \label{43}$$

$$\begin{cases} U_i(x)\equiv 0\pmod{(x-\lambda_j)^{m_j}},& j\neq i\\ U_i(x)\equiv 1\pmod{(x-\lambda_i)^{m_i}} \end{cases}\label{44}$$

$$U_i(T)a_n=f_i(n)\lambda_i^n. \label{45}$$

$$f_i(n)\lambda_i^n=U_i(T)a_n\to 0,\qquad i=1,\ldots,s.$$

\begin{align} |f_i(n)|\cdot |\lambda_i|^n\to 0. \label{46} \end{align}

$\Box$

### 再附記

(i) 對 $n=0,1,2,\ldots$ 有 $b_n\gt 0$;
(ii) $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_nz^n$ 對 $|z|\lt 1$ 收斂而對 $z=1$ 發散；
(iii) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=s$。

$$\lim_{z\to 1-0}\frac{\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nz^n}{\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_nz^n}=s.$$

$$\lim_{n\to \infty}\frac{F_n}{F_{n+1}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.\label{47}$$

$$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.\label{48}$$

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{\omega}=\frac{1}{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\neq \frac{\sqrt{5}-1}{2}.\label{49}$$

$$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=z_0.\label{50}$$

$$\frac{P(z)}{Q(z)}=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n.$$

$$1,a,1,a,\ldots\label{51}$$

$$\frac{1+az}{1-z^2}.$$

$$\frac{1}{a},a,\frac{1}{a},a,\ldots,$$

### 參考文獻

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---本文作者任教中國西北農林科技大學---