演講者: Keonhee Lee 教授 (韓國國立中南大學)
時間: 民國 108 年 11 月 21 日
地點: 中研院數學所6樓演講廳

數學無所不在, 它讓我們更深入地了解世界。

數學的世界

根據維基百科, 動力系統 (dynamical system) 可定義如下。

定義： 動力系統是描述相空間 (phase space) $X$ 裡的點如何隨時間變動的系統； $X$ 可以是拓樸空間、 平滑流形、 測度空間或函數空間等等。

根據選取時間的不同方式, 動力系統可分類為 ： 離散動力系統、 連續動力系統 (或稱流 (flow)), 及群作用 (group action) 動力系統。

動力系統由微分方程驅動, 而微分方程包括常微分方程 ODE 及偏微分方程 PDE。 考慮 ${\Bbb R}^n$ 上的微分方程組： $$(A)\ x=X(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} x_1=X_1(x)\\ \vdots\\ x_n=X_n(x),\\ x(0)=x_0\in {\Bbb R}^n \end{array} \right.$$ 要找到給定之方程組的精確解 (exact solution) 並不容易。 即使能找到精確解, 要推導解曲線的週期性、 遞迴性等長期行為 (long time behavior) 仍極其困難。

19世紀末, Poincaré 引介新方法, 在無法找到方程組的精確解的情況下, 仍可獲致解曲線的定性資訊； 亦即, 設向量場 $X$ 夠平滑, 使得方程組的解有存在唯一性：

$$\forall\ x_0\in {\Bbb R}^n,\ \exists ! \ x: {\Bbb R}\to {\Bbb R}^n,\ \hbox{使得}\ x(0)=x_0,$$ 且解連續地依賴於初始值, 則可將方程組 $(A)$ 所有的解寫為一個函數： $$\phi:{\Bbb R}^n\times {\Bbb R}\to {\Bbb R}^n, \ \phi(x_0,t)=x_0(t),$$ 其中 $x_0 (t)$ 是通過 $x_0$ 的唯一解。 如此的函數 $\phi:{\Bbb R}^n\times {\Bbb R}\to {\Bbb R}^n$ 是連續的, 滿足

1. $\phi(x,0)=x$, $\forall\ x\in {\Bbb R}^n$,
2. $\phi(\phi(x,s),t)=\phi(x,s+t)$, $\forall\ s,t\in {\Bbb R}$.

我們稱 $\phi$ 為方程組 $(A)$ 所誘發 (induce) 的 ${\Bbb R}^n$ 上的動力系統。 將這些想法抽象化後, 可建構出拓樸空間的動力系統。

動力系統的理論被應用到非常廣泛的領域, 涵蓋物理、 生物、 化學、 工程、 經濟、 醫學等。 但這些應用主要侷限於 ODE 誘發的有限維度動力系統。 始自 1980 年代初期, 類似的技巧系統地應用到 PDE 誘發的無限維度動力系統。 我們希望援用有限維度動力系統的技巧及洞見, 來研究無限維度動力系統。

考慮 $\Omega \in{\Bbb R}^n$ 上的偏微分方程 $$(B)\ \left\{\begin{array}{lcl} \partial_t u-\Delta u=f(x,u),&\quad~&\hbox{於}\ \Omega\times (0,\infty),\\ u=0,&&\hbox{於}\ \partial \Omega\times (0,\infty),\\ u(x,0)=0,&&\hbox{於}\ \Omega, \end{array} \right.$$ 其中 $u_0\in L^2 (\Omega)$。 要找到給定之方程組的解很不容易, 要推斷解曲線的漸進行為 (asymptotic behavior) 更是困難。 我們考慮下列根本性問題：

• 適定性 (well-posedness)
  • - 解的存在性
  • - 解的唯一性
  • - 解連續依賴於初始值
• 解的正則性 (regularity)

假設 PDE $(B)$ 具有適定性, 亦即,

• - $\forall\ u_0\in L^2 (\Omega)$, PDE $(B)$ 存在唯一的大域解 $u(t)$ 使得 $u(0)=u_0$
• - 弱解 (weak solution) 連續依賴於初始值,

則可將 PDE $(B)$ 所有的解寫成一個函數： $$ S:L^2 (\Omega)\times [0,\infty)\to L^2 (\Omega),\quad S(u_0,t)=u(t),$$ 其中 $u(t)$ 是通過 $u(0)=u_0$ 的 PDE $(B)$ 的唯一解。 我們知道

1. $S$ 對每個變數都為連續,
2. $S(t)\circ S(s)=S(t+s),\quad \forall\ t,s\in [0,\infty)$,
3. $S(0)=id$,

且稱 $S$ 為 PDE $(B)$ 所誘發的 $L^2 (\omega)$ 上的無限維動力系統。 將這些想法抽象化, 可建構出 Banach 空間的無限維動力系統。 我們有：

動力系統的抽象定義： 拓樸空間 $X$ 上的動力系統是一個具有下列性質的映射 $\phi: X\times {\Bbb R}\to X$

• - $\phi$ 為連續,
• - $(x,0)=x$, $\forall \ x\in X$,
• - $\phi(\phi(x,s),t)=\phi(x,s+t)$, $\forall\ s,t\in {\Bbb R}$.

而集合 $\{\phi(x,t),t\in {\Bbb R}\}$ 是 $\phi$ 通過 $x\in X$ 的軌道 (orbit)。

主要目標、基礎知識

動力系統理論的主要目標, 是由下列觀點了解 $\phi$ 的軌道的長期行為

• - 拓樸觀點 ： 拓樸動力學,
• - 幾何觀點 ： 可微動力學,
• - 測度論觀點 ： 可測動力學,
• - 數值觀點 ： 數值動力學,
• - 統計觀點 ： 統計動力學,
• - 保測映射之動力學 ： 遍歷理論。

預備知識包括 ： 拓樸、 微分方程、 線性代數、 微分拓樸及微分流形、 測度論、 泛函分析、 偏微分方程、 數值分析、 統計學。

可微 (differentiable) 動力系統

動力系統的軌道的長期行為可用多種方式來描述。 1960 年代 Steve Smale 提出其中一種方式。 他援用微分拓樸的基本知識, 提出可微動力系統的理論。 他的想法是 ： 在微積分裡, 若要了解一個函數 $f:{\Bbb R}\to {\Bbb R}$, 往往藉助於 $f$ 的微分 $f'$ 或積分 $\int f$。 據此, 他用微分映射 (the derivative map) $$D\phi_t:TM\to TM$$

來理解動力系統 $\phi:M\times {\Bbb R}\to M$, 其中 $M$ 為 ${\cal C}^\infty$ 流形。

定義： 設 $M$ 為 ${\cal C}^\infty$ 流形, 且令 ${\cal X}^1 (M)$ 為 $M$ 上的所有 ${\cal C}^1$ 向量微分場在 ${\cal C}^1$ 拓樸下形成的空間, 則向量場 $X\in {\cal X}^1 (M)$ 的可積曲線誘導出動力系統 $\phi$； 這裡 $\phi: M\times {\Bbb R}\to M$ 為滿足下式的 ${\cal C}^1$ 映射： $$\frac{\partial \phi}{\partial t}(x,t)=X(\phi(x,t)),\quad \forall\ (x,t)\in M\times {\Bbb R}.$$ 向量場 $X$ 所生成的動力系統, 被稱為 $M$ 上的可微動力系統, 記為 $X_t$。

S. Smale 援用切線叢 $TM$ 上的動力系統, 來了解 $M$ 上的動力系統。 就此而言, 切線叢動力學裡的雙曲性 (hyperbolicity) 最為有用且重要。

切線叢動力學的雙曲性 (hyperbolicity, HYP)

定義： 稱一個緊緻不變集 (invariant set) $\Lambda \subset M$ 對向量場 $X\in {\cal X}^1 (M)$ 具雙曲性, 若且唯若下述的連續分拆 (continuous splitting) 存在：

$\forall\ p\in \Lambda$, $T_p M=E_p^s \oplus E_p^u \langle X(p)\rangle$, 其中 $\langle X(p)\rangle $ 是 $X(p)$ 所生成的一維空間, $DX_t$ 在 $E_p^s$ 是收縮的 (contractive), 亦即, 存在常數 $0\lt \lambda \lt 1$ 及 $C\gt 0$ 使得 $$\forall\ v\in E_p^s,\quad \|DX_t (v)\|\le Ce^{-\lambda t} \|v\|,\quad t\gt 0,$$ $DX_t$ 在 $E_p^u$ 是擴張的 (expansive), 亦即, 存在常數 $0\lt \lambda \lt 1$ 及 $C\gt 0$ 使得 $$\forall\ v\in E_p^s,\quad \|DX_{-t} (v)\|\le Ce^{-\lambda t} \|v\|,\quad t\gt 0.$$

例一： 雙曲環體自同構 (Hyperbolic toral automorphism) 設 $A=(a_{ij})\in GL_N({\Bbb Z})$ 有 $\det A=\pm 1$, 且設 $A$ 沒有任何模 1 (modulus 1) 的固有值, 則 $A$ 誘導出環體自同構 (toral automorphism) $L_A:T^n\to T^n$。 此 $n$ 維環體 $T^n$ 對 $L_A$ 具雙曲性。

例二： Smale 的馬蹄 (horseshoe) ^{1 1} 編註 ： 該映射在 $x$-軸方向收縮, 在 $y$-軸方向上展開並折疊, 如圖所示, 將正方形映射成馬蹄形：

令 $f:[0,1]\times [0,1]\to [0,1]\times [0,1]$ 為馬蹄微分同胚 (horseshoe diffeomorphism), 且令 $\Lambda=\cap_{n\in {\Bbb Z}}f^n(D)$, 則 $\Lambda$ 對 $f$ 是雙曲的。

藉由拓樸及遍歷理論的論點, 雙曲型動力系統已被深入理解。

雙曲性之外的動力學 (dynamics beyond hyperbolicity, BHYP)

雙曲性之外的動力學是近日的新研究題材。 此中一位關鍵人物是 Jacob Palis。 他是 Steve Smale 的學生, 1999 至 2002 年擔任國際數學聯盟 (IMU) 主席, 現任職於巴西 Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA)。 另一位關鍵人物 Arthur Avila師承 J. Palis 及 De Melo, 在 2014 年獲費爾茲獎。

動力系統領域的費爾茲獎得主

動力系統領域的費爾茲獎得主包括：

• 2010 ICM 的 Lindenstrauss ： 遍歷理論及數論
• 2014 ICM 的
  • - Arthur Avila ： 主要研究動力系統
  • - Mirzakhani ： 黎曼曲面的動力學及幾何學
• 2018 ICM 的 Venkatesh ： 遍歷理論、 表示論等等。

J. Palis的猜想

動力學世界

存在稠密集合 $D\subset BHYP$ 使得 $\forall\ \phi\in D$,

• - 允許同宿相切 ^{2 2} 編註 ： 具相同雙曲周期的穩定流形及不穩定流形的交點被稱為「同宿」, 而如果該相交不是橫向的 (transverse), 則稱之為「同宿相切」。 (homoclinic tangency)
• - 允許異質維度 cycle ^{3 3} 編註 ： 由具有不同indices的雙曲周期鞍 (saddle) 組成的 cycle。 (hetero dimensional cycle)。

可測度動力學

C. A. Morales (IMPA) 於 2013 年提出可擴張測度 (expansive measure) 的想法。 他嘗試以測度論的觀點來描述拓樸動力系統, 箇中概念涵蓋可擴張性(expansiveness)、 跟蹤性 ^{4 4} 編註 ： 設 $(X,d)$ 為緊緻度量空間, 且設 $f:X\to X$ 為同胚。 序列 $(y_n )\subset X$ 為 $f$ 的 $\delta$-擬軌道($\delta$-pseudo-orbit), 若且唯若 $d(f(y_n ),y_{n+1})\le \delta$, $\forall\ n\in {\Bbb Z}$。 而 $f$ 具跟蹤性, 若且唯若 $\forall\ \epsilon\gt 0$, $\exists\ \delta \gt 0$, 使得任意 $f$ 的 $\delta$-擬軌道都存在軌道 $(x_n )\subset X$ 具 $d(x_n,y_n)\lt \epsilon$, $\forall\ n\in {\Bbb Z}$。 (shadowing property)、 拓樸穩定性 (topological stability)、 結構穩定性 (structural stability)、 鍊回歸性 ^{5 5} 編註 ： 設 $(X,d)$ 為緊緻度量空間。 點 $x\in X$ 具鍊回歸性, 若且唯若 $\forall\ \epsilon , T\gt 0$, 存在某個以 $x$ 為起始點的 $\epsilon$-軌跡, 在某個大於 $T$ 的時刻 $T_\epsilon$ 返回 $x$。 (chain recurrence) 及傳遞性 (transiveness) 等等。

可擴張流 (expansive flow) 的定義

Bowen 及 Walters 的定義 (1972)： 稱流 $\phi$ 是可擴張流, 若且唯若 $\forall\, \epsilon \gt 0$, $\exists\, \delta\gt 0$ 使得 $$\Gamma_\delta^\phi(x)\subset \phi_{(-\epsilon,\epsilon)}(x),\qquad\forall\ x\in X,$$ 其中 $\Gamma _\delta ^\phi (x)=\Big\{y\in X\mid d\Big(\big(\phi_t (x),\phi_{c(t)}(y)\big)\Big)\le \delta,\ \forall\, t\in {\Bbb R}\Big\}$, 而 $c:{\Bbb R}\to {\Bbb R}$ 為連續的且 $c(0)=0$。

Ruggiero 的定義 (1994)： 稱流 $\phi$ 是 ${\Bbb R}$-可擴張流, 若且唯若 $\exists\, \delta\gt 0$ 使得 $$\Gamma _\delta ^\phi (x)\subset \phi_{\Bbb R} (x), \quad\forall\ x\in X.$$

測度可擴張流 (measure expansive flow) 的定義

Carasco-Olivera 及 Morales的定義 (2014)： 設 ${\cal M}(X)$ 為 $X$ 上的所有 Borel 機率測度所成的集合, 具弱$^*$拓樸。 我們稱流 $\phi$ 是測度可擴張的, 若且唯若 $\exists\, \delta\gt 0$, 使得所有使軌道測度為 0 的 $\mu\in{\cal M}(X)$, 亦即 $\mu(\phi_{\Bbb R}(x))=0$, $\forall\, x\in X$, 都有 $\mu(\Gamma_\delta^\phi(x))=0$, $\forall\, x\in X$。

注意： 可擴張性 $\Rightarrow$ 測度可擴張性。

流的奇異點(singularities)： 測度可擴張流的奇異點為孤立的 (isolated)。 因此, 在緊緻流形上, 測度可擴張流不具奇異點。

我們將介紹另一類型的可擴張性, 使得流在測度觀點下可包含非孤立的奇異點。

擴張測度的(measure expanding)流的定義： 我們稱流 $\phi$ 是擴張測度的流, 若且唯若 $\exists\, \delta \gt 0$ 使得 $\forall\,\mu\in {\cal M}(X)$, $$\mu \big(\Gamma_\delta ^\phi (x)\backslash \phi_{\Bbb R} (x)\big)=0,\quad \forall\, x\in X.$$

擴張不變測度(invariant measure expanding)的流： 我們稱 $\mu\in {\cal M}(X,\phi)$, 若且唯若 $\mu \in{\cal M}(X)$ 且 $\mu$ 與流 $\phi$ 的弱跟蹤性相容。 我們稱流 $\phi$ 是擴張不變測度的, 若且唯若 $\exists\, \delta \gt 0$ 使得 $\forall\,\mu\in {\cal M}(X,\phi)$, $$\mu (\Gamma_\delta ^\phi (x)\backslash \phi_{\Bbb R} (x))=0,\quad \forall\, x\in X.$$

注意： 可擴張性 $\Rightarrow$ 擴張測度的 $\Rightarrow$ 擴張不變測度的。

例 (擴張測度的 $\not\Rightarrow$ 可擴張性)： 對所有 $n\in{\Bbb N}$, 令 $A_n=\{a_{n_0},a_{n_1}\}$ 為 ${\Bbb R}^+$ 上的兩點所成的集合, 使得 $n\not=m$ 時, $A_n\cap A_m=\emptyset$, 且在 Hausdorff 度量下 $A_n\to\{0\}$, 令 $$X=\Big(\bigcup_{n\in {\Bbb Z}}\{-n,\ldots,n\}\times A_n \Big)\bigcup ({\Bbb Z}\times \{0\})\bigcup\{\infty\}.$$ 則 $X$ 是球 ${\Bbb R}^2\cup\{\infty\}$ 的子空間。

$$X=\Big(\bigcup_{n\in {\Bbb Z}}\{-n,\ldots,n\}\times A_n \Big)\bigcup ({\Bbb Z}\times \{0\})\bigcup\{\infty\}.$$

設 $f:X\to X$ 為下圖的位元移動映射 (shift map)

可證明 ： 同胚 $f$ 的懸架流 ^{6 6} 編註 ： 設 $X$ 為度量空間, $f:X\to X$ 為連續函數, $r:X\to {\Bbb R}^+$ 取值遠離 0。 考慮商空間 $X_r:=\{(x,t),0\le t\le r(x),x\in X\}/(x,r(x))\sim (f(x),0)$。 懸架流 $(X,f)$ 是時間位移 $T_t:(x,s)\to (x,s+t)$ 誘導出的半流 (semiflow) $f_t:X_r\to X_r$。 (suspension flow) $\phi$ 是擴張測度的。 但因為 $f$ 不是擴張的, 所以 $\phi$ 不是擴張的。

新特點 ： 擴張不變測度的流可包含非孤立的奇異點

例： 令 $\phi$ 為球面 $S^2$ 上的流 $$\phi(x,y,z)=(xz,yz,-x^2-y^2),$$ 則對任意 $x\in S^2\backslash\{p,q\}$, 奇異點集合 $$\hbox{Sing}(\phi)=\{p,q\},\quad \omega(x)=\{q\},\ \hbox{且}\ \alpha(x)=\{p\}.$$ 我們注意到 ： 任意 $\phi$-不變測度 $\mu \in {\cal M}(S^2)$ 都有 supp$(\mu)=\{p,q\}$。 因此, $${\cal M}(S^2,\phi)=\big\{\lambda\delta_p+(1-\lambda) \delta_q;\ \lambda\in [0,1]\big\}$$ 其中 $\delta_p$ 為位於 $p$ 點的 Dirac 測度。 而對任意 $\mu\in {\cal M}(X,\phi)$, 我們都有 $$\mu\big(\Gamma_\delta^\phi\backslash \phi_{\Bbb R} (x)\big)=0,\quad x\in S^2.$$ 因此流 $\phi$ 是擴張不變測度的流。

近期的研究主題

我們近期的研究主題, 首先是要經由測度論的觀點, 來了解及發展拓樸動力系統或可微動力系統的結構。 其次是藉由所謂的大域吸子 (global attractor) 或慣性流形 (inertial manifold), 來了解無限維動力系統的軌跡之長期漸進行為。

回顧下述定理。

Smale 的譜分解定理(1967)： 設 $f$ 是緊緻 ${\cal C}^\infty$ 流形上的公設 $A$ 微分同胚 (Axion A diffeomorphism), 亦即, 非遊蕩集 ^{7 7} 編註 ： 設 $(X,\Sigma,\mu)$ 為測度空間。 點 $x\in X$ 被稱為非遊蕩點 (nonwandering point), 若且唯若對所有包含 $x$ 的開集合 $U$ 及所有正整數 $N$, 存在 $n\gt N$ 使得 $\mu(f^n (U),U)\gt 0$。 (nonwandering set) $\Omega (f)$ 具雙曲性且 $\Omega (f)=\overline{\{f\, \hbox{的週期點}\}}$, 則存在 $f$ 的譜分解 $\Omega (f)=$ 互斥聯集 $\Omega_1\cup\cdots\cup \Omega_n$, 其中 $\Omega_i$, $1\le i\le n$, 為封閉且的不變集, 且 $f$ 在拓樸上傳遞 $\Omega _i$, $1\le i\le n$。

注意： 若 $f$ 是公設 $A$ 微分同胚, 則 $f$ 是可擴張的且在 $\Omega(f)$ 具跟蹤性。

我們將對流提出上述定理的測度論版本。 拓樸上, 我們有如下的推廣：

Akoi 的定理 (1983)： 若 $f:X\to X$ 是可擴張的且在 $\Omega(f)$ 具跟蹤性, 則存在 $f$ 的譜分解。

Komuro 的定理 (1984)： 若 $\phi: X\times {\Bbb R}\to X$ 是可擴張的且在 $\Omega(\phi)$ 具跟蹤性, 則存在 $\phi$ 的譜分解。

這兩個定理的證明有疏失； 若圖補救, 可用鍊回歸集 $CR(\phi)$ 來取代非遊蕩集 $\Omega(\phi)$。 事實上, 我們有 $$\hbox{Sing}\, (\phi)\subset \{\phi\, \hbox{的週期點}\}\subset \Omega(\phi)\subset CR(\phi).$$

主要定理(Lee-Nguyen)： 若流 $\phi$ 是擴張不變測度的且在 $CR(\phi)$ 具跟蹤性, 則存在 $\phi$ 的譜分解。

系理： 若 $\phi$ 是可擴張的且在 $CR(\phi)$ 具跟蹤性, 則存在 $\phi$ 的譜分解。

注意： 測度可擴張性 $+ CR(\phi)$ 的跟蹤性 $\not\Rightarrow$ 譜分解。

例： 令 $\Sigma_2=\{0,1\}^{\Bbb Z}$, 且 $\sigma:\Sigma_2\to \Sigma_2$ 為位元移動映射。 對任意 $n\in {\Bbb N}$, 選取週期為 $n$ 的週期點 $p_n$, 記其軌道為 $O_\sigma(p_n)$。 令 $$E=\bigcup_{n\in{\Bbb Z}}O_\sigma(p_n).$$ 複製 $E$ 得到副本 $F$ 使得 $\Sigma_2\cap F=\emptyset$, 令 $X=\Sigma _2\cup F$。

定義 $X$ 上的度量 $D$ 為 $$D=\left\{\begin{array}{ccl} d_0(x,y)&\quad~&\hbox{若}\ x,y\in \Sigma_2,\\[7pt] \dfrac 1n+d_0\big(x,\sigma^k(p_n)\big)&\quad~&\hbox{若}\ x\in \Sigma_2,\ y\in q_{n,k},\\[7pt] \dfrac 1n+\dfrac 1m+d_0\big(\sigma^k(p_n),\sigma^\ell(p_m)\big)&\quad~&\hbox{若}\ x\in q_{n,k},\ y\in q_{m,\ell}, \end{array}\right. $$ 在此度量之下, 度量空間 $(X,D)$ 為緊緻的且 $f:X\to X$ 為同胚。 可證明 $f$ 可跟蹤, $f$ 的懸架流是測度可擴張且可跟蹤的, 但不存在 $f$ 的譜分解。

若要證明主要定理, 需要下述結果。

命題 1： 若 $\phi$ 在 $CR(\phi)$ 上是擴張不變測度的, 則它在 $X$ 上是擴張不變測度的。

命題 2： 若 $\phi$ 在 $CR(\phi)$ 上是擴張不變測度的且可跟蹤的, 則 $\phi$ 的奇異點在 $CR(\phi)$ 上俱為孤立； 亦即， $$\forall\ p\in \hbox{Sing}(\phi),\quad \exists\, \epsilon\gt 0, \ \hbox{使得}\ B(p,\epsilon)\cap CR(\phi)=\{p\}.$$

備註： $\phi$ 在 $\Omega(\phi)$ 上為擴張不變測度的 $\not\Rightarrow$ 在 $X$ 上為擴張不變測度的。

例： 對任意 $n\in {\Bbb N}$, 令 $S_n$ 為 ${\Bbb R}^2$ 上以 $(0,1/n)$ 為圓心、 半徑為 $1/n$ 的圓, 且令 $X=\bigcup_{n=1}^\infty S_n$, 令 $\phi$ 為滿足下列條件的流: $$\hbox{Sing}(\phi)=\{0\},\ \hbox{且}\ \omega(x)=\alpha(x)=\{0\},\quad \forall\ x\in X\backslash\{0\}.$$

則 $\phi$ 在 $\Omega(\phi)$ 上是擴張不變測度的, 但在 $X$ 上不是擴張不變測度的。 (證明 ： 令 $x_n=(0,1/n)$, $\forall n\in {\Bbb N}$, 則 $\forall\, \delta\gt 0$, $\exists$ 夠大的 $n\in {\Bbb N}$ 使得 ${\bf 0}\in \Gamma_\delta^\phi (x_n)$, 則 $\delta_0 \big(\Gamma_\delta^\phi(x_n )\backslash \phi_{\Bbb R}(x_n)\big)\gt 0$, 其中 $\delta_0$ 是 $\phi$-不變的Dirac測度。)

在可微動力系統的應用

令 $M$ 為緊緻 ${\cal C}^\infty$ 黎曼流形, 且令 \begin{align*} {\frak X}^1 (M)=\,&\{M\ \hbox{上的}\ {\cal C}^1\ \hbox{向量場}\},\ \hbox{具}\ {\cal C}^1\hbox{-拓樸},\\ {\frak X}_*^1(M)=\,&\{X\in {\frak X}^1 (M):\hbox{Sing}(X)=\emptyset\},\hskip 4cm~\\ &\ X_t\ \hbox{為}\ X\in {\frak X}^1 \ \hbox{的積分流。} \end{align*} 我們稱 $X_t$ 為 ${\cal C}^1$- 穩定地擴張測度 (${\cal C}^1$-stably measure expanding), 若且唯若存在 $X\in {\frak X}^1 (M)$ 的 ${\cal C}^1$- 鄰域 ${\cal U}(X)$ 使得所有 $Y\in{\cal U}(X)$ 都有擴張測度的 $Y_t$。

定理2： $X\in {\frak X}^1 (M)$ 的積分流 $X_t$ 為 $C^1$- 穩定且不變地擴張測度, 若且唯若 $X$ 為 $\Omega$- 穩定。

定理3： ${\cal C}^1$ 下一般來說, $X\!\in\! {\frak X}^1 (M)$ 的積分流 $X_t$ 不變地擴張測度, 若且唯若 $X$ 為 $\Omega$- 穩定。

相關工作

---本文演講者任教韓國國立中南大學---