一、楊輝『聚五圖』
2017 年 10 月李信明教授發送郵件一則趣題 --- 幻圖, 千奇百怪的圖形, 琳琅滿目。 其中介紹了楊輝的『聚五圖』, 但不知道這個聚五圖是『非連續數』所組成的。 此前, 在 1981 年到大連拜謁梁宗巨教授時, 在梁教授那裏看到過楊輝的幻方及幻圖。 當時認為是絕對經典的著作, 奉若神明, 不敢有絲毫疑惑與懈怠。 而且只顧研究『和、 積幻方』(雙重幻方)也未曾深入研究聚五圖。 李教授郵件發送了楊輝聚五圖, 並且謙虛的說 : 『修改錯誤』。 這個聚五圖是他出版書籍中所用的篇章, 這麼重要的事情, 交給了『半路出家』的無名之輩, 我誠惶誠恐, 不敢有絲毫謬誤。 所以重新開始認識、研究『聚五圖』。 這時, 才發現楊輝的聚五圖不是連續自然數所組成。 由於年輪的增加, 現在對於文獻和經典書籍中所載的問題, 凡力所能及的都要探索一番, 以求真實, 不以訛傳訛, 不誤導後人。 古人曰 : 「學貴有疑, 小疑則小進, 大疑則大進。」
1275 年楊輝的《續古摘奇算法》成書, 至今已有七百多年的歷史, 楊輝在文中注『21 子作 25 子用』, 所使用的 21 個元素如下表:
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 11 | 12 | 13 |
| 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 23 | 24 |
楊輝為什麼不用連續自然數呢? 筆者不便妄加揣測。
能不能用連續自然數 $1,2,3, \ldots, 21$ 構成這類圖, 並且滿足上述性質呢?
經過仔細揣摩, 造出 3 個聚五圖, 其幻和分別是 57、 55、 53 (圖 2、 3、 4)。
七百年來, 難道就沒有人發現嗎?
造出連續數聚五圖 (上面三個圖) 之後, 把這三個圖連同楊輝的聚五圖一併交給『Z 君』審閱, 求他找找『毛病』, 提提意見。 『Z 君』文學水準較高, 筆鋒犀利, 伶牙俐齒, 素以『挑毛病』為樂趣。 發現報紙、 雜誌、 電視臺有錯別字, 立刻發函批評, 不留一點情面, 人送綽號『挑毛病』先生。 筆者非常敬仰他一絲不苟、不徇私情的認真精神, 素有往來。 遇到某些字句不理想的時候, 就找他挑毛病, 一般能如願以償。
二、 Z 君提出第一次建議
『Z 君』在我的幻方氣氛薰陶下, 開始有些感染, 審核之後, 他提出, 楊輝聚五圖的中間行與中間列關於中心點對稱的 4 個數之和都相等。 你的三個圖不具有這個性質。
很好！能有人認真的提意見是非常難得的事情。
小時候很喜歡老師表揚, 很喜歡看老師批改作業的好批語。而現在呢, 只想找人提出不同的意見, 甚至相反的意見。 直到現在才體會到古人的至理名言 : 「道吾好者是吾賊; 攻吾惡者是吾師！」的深切含義。
於是, 把 3 個聚五圖, 修改為下面的圖 4、 圖 5、 圖 6。
這 3 個聚五圖的性質如下 :
- 每圓上 5 個元素之和都相等。
- 中間行、 中間列相對稱位置 4 數與中心數之和相等。
- 中心圓(雙線所圍) 5 個元素都是奇數。
三、Z 君的第二次建議
Z 君真是知心好友, 知無不言, 並且提出非常尖銳的問題。 Z 君又提出 : 楊輝的聚五圖是把『5』排列在『中心點』的位置上, 其餘的數字以『5』為中心而『聚攏』, 具有『朝拱』之勢, 所以叫『聚五圖』。 而你的圖沒有把『5』排列在中心點上, 是否與古賢聖典相悖呢? 或者說你這個圖與楊輝『聚五圖』的定義不吻合。
好哇！找到不足就是前進的動力！
根據連續自然數 $1,2,3, \ldots, 21$ 是不能構成『5』在中心點聚五圖的(證明略), 所以楊輝利用加大數字的方法得到『聚五圖』, 難道楊輝的方法是唯一解嗎?
俗話說 : 「聽話聽音, 出(挖)樹刨根」。
於是, 開始第三次修改, 下面是 5 在中心的聚五圖。
再交 Z 君挑毛病。
四、 Z 君第三次建議
Z 君提出一個更加一般性的問題 : 既然5能在中心, 那麼『1』能否在中心呢?
再次修改。 得到『1』在中心點位置上的聚五圖。
掌握了這個方法, 任意元素都可以排列在中心點的位置上, 從而解決了中心點排放任意元素的問題。
第 4 次交 Z 君挑毛病。
五、 Z 君第四次建議
能否用 21 個不從 1 開頭的連續數, 並且組成『5 在中心點』的聚五圖呢?
我們用 $3,4,5, \ldots, 23$ 構作聚五圖, 幻和為 67。
利用上述改變元素值的方法, 我們可以得到 21 個連續數(不從 1 開始)組成的任意元素為中心點的聚五圖。
在這裏, 我們引入一個『共軛聚五圖』的定義 :
如果用一個數減去聚五圖 $A$ 中的各個元素, 而得到另一個聚五圖 $B$, 我們稱 $A$ 與 $B$ 互為『共軛聚五圖』, 下面兩個幻和分別是 56 與 54 的就是一對『共軛聚五圖』。 用 22 減去 $A$ 圖的各個元素, 就得到對應的圖 $B$。 反之, 用 22 減去圖 $B$ 的各個元素, 就得到 $A$。 所以稱這樣的 $A$ 與 $B$ 互為『共軛聚五圖』。 前面列出的各個聚五圖, 都可以用這個方法得到他們的共軛聚五圖, 讀者不妨一試, 這是一種很簡捷的方法。 這就好像『對偶解』一樣, 找到一個就立馬得到另一個。 也難怪, 我國古代聖賢幾千年前就指出 : 有陰必有陽, 陰陽不可偏廢。 『萬物負陰而抱陽。』
六、 Z 君第五次建議
Z 君提出 : 除了連續數1,2,3, $\ldots$, 21 構成的 3 種幻和的聚五圖, 是否還有其他的解呢?
我們構作出幻和等於 56 的聚五圖, 中心點元素是 7 (下圖 A)。 它的共軛聚五圖的幻和等於 54, 中心點元素是 15 (下圖 B)。
七、 Z 君第六次建議
Z 君 : 據說質數在數論中的地位非常顯赫, 能否用質數構作聚五圖?
好一個 Z 君, 竟然進入數論中來了！ 感謝您提出這個有趣的問題。 我們使用了 21 個連續質數排列出兩個不同幻和的聚五圖如下。 另外, 左圖的幻和 193 也是質數。
有興趣的讀者, 不妨排列出更多不同幻和的質數聚五圖, 祝你成功！
八、 Z 君第七次建議
Z 君說: 能否造出性質最多, 而且中心圓全部是『5』為尾數的元素?
要想解決這個問題, 就誕生了下面這個『優化聚五圖』(性質最多的聚五圖)。
在上圖中有 5 個尾數是 5 的元素 : 5, 15, 25, 35, 45 被全部收入『囊中』(中心圓)。
應當說明的是, 用 60 減去上圖各個元素所得到的共軛聚五圖, 同樣具有末位數是 5 的性質, 並且具有與上圖相同的其他性質。 中心圓的 5 個元素分別是 : 55, 45, 35, 25, 15。 所不同的是, 其幻和等於 175。
優化聚五圖的構造方法 :
為便於敘述, 我們把下圖 4 個基本圓(上,左,右,下)依次稱為 $A$, $B$, $C$, $D$ 圓(紅色字母所示)。
| $T_1$ | 4個基本圓的元素 | |||||
| $\color{blue}{A}$ | 1 | 9 | 5 | 51 | 59 | $\color{red}{125}$ |
| $\color{blue}{B}$ | 2 | 8 | 15 | 47 | 53 | $\color{red}{125}$ |
| $\color{blue}{C}$ | 3 | 7 | 35 | 38 | 42 | $\color{red}{125}$ |
| $\color{blue}{D}$ | 4 | 6 | 45 | 34 | 36 | $\color{red}{125}$ |
| $T_2$ | 1 | 53 | 42 | 4 | $\color{red}{100}$ |
| 59 | 2 | 3 | 36 | $\color{red}{100}$ | |
| 5 | 15 | 35 | 45 | $\color{red}{100}$ | |
| 9 | 47 | 38 | 6 | $\color{red}{100}$ | |
| 51 | 8 | 7 | 34 | $\color{red}{100}$ | |
| $\color{red}{125}$ | $\color{red}{125}$ | $\color{red}{125}$ | $\color{red}{125}$ |
構造方法 :
步驟1 : 填寫 4 行 5 列矩陣 $T_1$, 使得每行 5 元素之和都等於定值 125。
步驟2 : 變換 $T_1$ 元素的位置, 填寫 5 行 4 列矩陣 $T_2$, 把 $T_2$ 的 1, 2, 3, 4 列上的元素, 填入 4 個基本圓 $A$, $B$, $C$, $D$ 中。 使得關於『中心點』對稱的 4 元素之和都等於 100。
優化聚五圖的性質如下 :
性質1 : 4 個基本圓 $A$, $B$, $C$, $D$ 各圓 5 元素之和都等於 125。
| 4個基本圓的元素 | 和 | |||||
| $\color{blue}{A}$ | 1 | 9 | 5 | 51 | 59 | $\color{red}{125}$ |
| $\color{blue}{B}$ | 2 | 8 | 15 | 47 | 53 | $\color{red}{125}$ |
| $\color{blue}{C}$ | 3 | 7 | 35 | 38 | 42 | $\color{red}{125}$ |
| $\color{blue}{D}$ | 4 | 6 | 45 | 34 | 36 | $\color{red}{125}$ |
性質2 : 從 $A$, $B$, $C$, $D$ 每圓中各取 1 個元素, 這 4 元素之和都等於 100, 加上中心點元素 25, 其 5 元素之和都等於 125。 我們把 4 元素之和等於 100 的列出來。
| 每圓各選1個元素 | ||||
| 1 | 4 | 53 | 42 | $\color{red}{100}$ |
| 59 | 2 | 3 | 36 | $\color{red}{100}$ |
| 5 | 15 | 35 | 45 | $\color{red}{100}$ |
| 9 | 47 | 6 | 38 | $\color{red}{100}$ |
| 51 | 7 | 8 | 34 | $\color{red}{100}$ |
| 1 | 45 | 47 | 7 | $\color{red}{100}$ |
| 5 | 45 | 47 | 3 | $\color{red}{100}$ |
| 5 | 45 | 8 | 42 | $\color{red}{100}$ |
| 8組 | ||||
性質3 : 從 $A$, $B$, $C$, $D$ 選取兩個圓, 從這兩個圓中各取 2 個元素, 這 4 元素之和等於 100, 加上中心點元素 25, 其 5 元素之和都等於 125。 我們把 4 元素之和等於 100 的列出來。
| 每圓各選2個元素 | ||||
| 9 | 51 | 34 | 6 | $\color{red}{100}$ |
| 9 | 51 | 36 | 4 | $\color{red}{100}$ |
| 47 | 8 | 7 | 38 | $\color{red}{100}$ |
| 47 | 8 | 3 | 42 | $\color{red}{100}$ |
| 53 | 2 | 3 | 42 | $\color{red}{100}$ |
| 53 | 2 | 7 | 38 | $\color{red}{100}$ |
| 47 | 15 | 34 | 4 | $\color{red}{100}$ |
| 47 | 15 | 35 | 3 | $\color{red}{100}$ |
| 47 | 2 | 45 | 6 | $\color{red}{100}$ |
| 42 | 7 | 45 | 6 | $\color{red}{100}$ |
| 8 | 15 | 35 | 42 | $\color{red}{100}$ |
| 1 | 59 | 36 | 4 | $\color{red}{100}$ |
| 53 | 2 | 3 | 42 | $\color{red}{100}$ |
| 13組 | ||||
性質4 : 由 5, 15, 25, 35, 45 組成的『中心圓』 5 個元素, 全部由末位數是 5 的數字所組成。
至此, 已經滿足 25 組解, $25\times 5=125$, 也就是說 21 子可以作 125 子用。
另外, 還有從 A (或 B) 圓中選 2 個元素, 再從其他 2 個圓中各選 1 個元素, 其 4 元素之和等於 100, 加上中心點 25 之和等於 125 的例子(略)。
九、 Z 君第8次建議 : 平方和相等的聚五圖
Z 君; 據說有平方數組, 能否造出 5 個圓的和及平方和分別相等的聚五圖呢?
問題越來越『刁鑽』, 難度越來越大。那就試一試吧 :
中心點元素都是 15, 它們的 1 次幻和 $=75$; 2 次幻和 $=1499$。
在上面這個圖中, 除了五個圓的平方和相等之外, 還有 5 元 2 次平方數組, 但是只滿足兩圈, 剩下 17, 11, 9, 13 與 15 的平方和不等於 1499, 實乃美中不足也。 這個問題留給有興趣的讀者, 完成之後, 告訴我們, 將在《幻方與幻圖》一書中, 專題重點介紹。
十、 Z 君第九次建議
看到你構作聚五圖非常輕鬆, 能否告訴大家到底這類聚五圖的謎底在哪裡?
聚五圖大揭秘
規律 : 其實楊輝聚五圖是由上、 下、 左、 右 4 個 5 元組與 1 個中心數所組成的。 中間圓的 5 個元素, 其外邊的 4 個數分別是上、 下、 左、 右 4 個圓的公用元素。
所以, 我們先求出楊輝聚五圖其 21 個元素的總和等於 231, 而 231 不能被 4 整除。 要想滿足被 4 整除均分為 4 組的條件, 必須減去餘數, 有 5 種情形 :
- $(231-3)\div 4=57$, 那麼, 3 就是中心數, 幻和是 57。
- $(231-11)\div 4=55$, 那麼, 11 就是中心數, 幻和是 55。
- $(231-19)\div 4=53$, 那麼, 19 就是中心數, 幻和是 53。
- $(231-7)\div 4=56$, 那麼, 中心點數是 7, 幻和是 56。
- $(231-15)\div 4=54$, 那麼, 中心點數是 15, 幻和是 54。
由於最大元素是 21, 所以只有這 5 種解。
1275 年楊輝的《續古摘奇算法》成書, 至今已有七百多年的歷史, 難道就沒有人發現嗎?
結語
寫完這篇文章之後, 感慨良多, 在 700 年前楊輝竟然做到這麼好的結果, 實屬不易, 況且當時沒有電腦, 只有人腦和算盤, 楊輝真是偉大的數學家！ 我們在此提出這個問題, 絲毫沒有吹毛求疵, 貶低楊公的意思, 即使我們不提出這個問題, 日後一定會有人提出來, 所以既然發現了就告訴大家, 並告慰遙居極樂世界的楊公之靈, 此問題已經找到了答案, 並在他的基礎上移動了一步！
楊輝聚五圖真相大白
我們把楊輝聚五圖所使用的 20 個元素 (除了中心點元素之外, 剩下 20 個元素), 排列成 4 行 5 列的矩陣, 就立見分曉 :
行文至此, 不禁想起兩個字『方, 法』 :
君請看 : 把 20 個元素排列到上面的『方』陣裡, 辦『法』就出來了, 所以叫『方, 法』呀！
至此, 真相大白。
Z 君滿臉堆笑說 : 「哈哈, 受益匪淺, 承教了！」
看到 Z 君一反常態稀有的燦爛笑容, 筆者誠懇地說 : 「不敢當啊！今後還有找您麻煩的時候, 但願多挑毛病, 可不能打退堂鼓啊！」
Z 君高興的說 : 「挑毛病是我的老本行, 只要發現, 照『挑』不誤！」
附注 : 李信明教授筆名李學數, 生於新加坡, 在馬來西亞和新加坡讀中、小學, 高中進入中文學校。 留學加拿大獲得數學博士學位, 又在美國哥倫比亞大學攻取電腦碩士學位, 1984年獲得史蒂文斯理工大學數學博士。 之後, 師從 20 世紀最偉大的數學家格羅滕迪克 (A.Grothendieck, 1928$\sim$2014), 他的研究範圍橫跨數學、電腦、圖論、數學史等各個領域, 學識淵博, 文理兼優, 才貫中西, 發表論文 200 餘篇。 李學數教授撰寫的《數學和數學家的故事》, 1-10 冊(上海科學技術出版社), 錄入了古今中外數學家攻克數學難題的故事, 並且深入淺出的介紹了數學家所使用的方法、技巧。 為後人持續研究架起了橋樑, 提供了線索。 是一本充滿正能量, 激勵後人從事數學研究, 不可多得的好書。
參考資料
---本文作者任職中國河南省封丘縣科協---