牛頓 (1642$\sim$1727)認為存在絕對 (靜止的)空間, 和絕對時間, 因此在互以等速 $v$ 運動的兩個慣性系統之間, 對事件所觀察的數據 $(x,t)$ 和 $(x',t')$ 應該服從伽利略變換： \begin{eqnarray*} x'&=&x-vt, \\ t'&=&t, \end{eqnarray*} 式中 $t=t'$ 代表絕對時間, $x,x'$ 分別是兩個系統對同一事件觀察到的位置 1 1 見牛頓《自然哲學之數學原理》中譯本第 28 頁, 台灣大塊文化出版股份有限公司。 。
愛因斯坦 (1879-1955)在 1905 提出的論文 2 2 愛因斯坦論文原名《論動體的電動力學》 發表在德國物理學雜誌 Annalen der Physik, 17 卷 891-921 頁, 中譯本請見《愛因斯坦文集, 第二卷》新竹凡異出版社。 否定了絕對空間和絕對時間, 他認為互以等速運動的兩個慣性系統對事件所觀察的數據 $(x,t)$ 和 $(x',t')$ 應該服從勞倫茲變換 3 3 見本文第 1 節。 。 後者與伽利略變換不同之處, 主要在於愛因斯坦提出光速恆定原理 4 4 見高湧泉《光速為什麼是固定的？》 科學人雜誌 2016 年 6 月號。 即光速在任一慣性系統中所見均為常數, 而導致必須放棄絕對時間和空間。 本文將在第 3 節嘗試不先假設光速恆定原理, 而從對稱的角度來同時探討伽利略或勞倫茲變換, 最後將此二變換的區分歸結於在慣性系統中, 質點的速度是否有上限, 如果沒有上限, 就是伽利略, 而有上限的情形就是勞倫茲 5 5 見 Jackson, Classical Electrodynamics, 第三版第 568 頁, 習題 11.1。 。
1. 勞倫茲變換
在此先引李怡嚴教授所著《大學物理學》第二冊 449 頁中的一段課文 6 6 《大學物理學》 一書於民國五十七年二月由東華書局出版, 此處所引為七十六年一月之 14 版, 作者李怡嚴當時為台灣清華大學物理系教授, 現已退休。 ：
在愛因斯坦發表特殊相對論前不久, 羅倫茲 (Lorentz)做了一個很有趣的純數學工作, 他發現若在有相對運動的兩個慣性坐標間作下列的轉換： \begin{eqnarray*} x' &=& \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\\[-4pt] y' &=& y,\\[-4pt] z' &=& z,\\[-4pt] t' &=& \frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \end{eqnarray*} 則馬克士威爾方程式不變, 此種時空轉換稱為羅倫茲轉換 (Lorentz transformation), 因此馬克士威爾方程式具有羅倫茲不變性 (Lorentz invarience); 7 7 此式所包含的物理意義, 羅倫茲並不了解, 一直到特殊相對論發表之後, 其中奧妙才為人所知曉。 公式中 $x-vt$ 項之 $v$, 代表兩慣性系統互以 $v$ 進行等速運動, 李所著教科書所用的符號是 $u$。式中 $c$ 代表光速, 注意到勞倫茲變換和伽利略變換的差異, 如果 $c$ 以無窮大代入, 兩者相同。特殊相對論 (special relativity)現在通譯為狹義相對論, 羅倫茲譯為勞倫茲。
以下, 我們將以 LT 代表上述四個式子, 或省略 $y'=y,z'=z$, 只論 $x,x',t,t'$ 的關聯。
愛因斯坦在他 1905 年有關狹義相對論的論文中從相對性原理和光速恆定原理同樣得到 LT 公式 (見註二)。
我們先略介紹 LT 公式中的符號。假設月台和火車是兩個互以等速 $v$ 運動的慣性系統, 並且月台前的 (直線)鐵軌是月台的 $x$ 軸, 也是火車的 $x'$ 軸, 均以右邊為正向, 如圖所示：
假設月台觀察火車的速度為 $v$ (火車若向右前進 $v$ 為正, 向左後退 $v$ 為負), 並且在運動中, 兩個系統的 $y$ 和 $y'$ 軸, $z$ 和 $z'$ 軸均保持平行。 進一步, 假設時間 $t=0$, 位置 $x=0,y=0,z=0$ 對應火車的 $t'=0$, 位置 $x'=0,y'=0,z'=0$。 結論是, 同一個事件, 若從月台觀察為 $(x,t,y,z)$, 從火車觀察為 $(x',t',y',z')$, 則 LT 告訴我們這兩個觀察結果的關聯。 8 8 見張海潮, 《狹義相對論劄記》數學傳播 37 卷 1 期, 第 41-47 頁。
愛因斯坦在他 1905 年的論文中首先認為聯繫 $(x,y,z,t)$ 和 $(x',y',z',t')$ 的方程本應是線性的, 他說 (見註二、註八)：
這些方程顯然應當都是線性的, 因為我們認為空間和時間是具有均勻性的。
注意到, 本文一開始所呈現的 LT, 不只是線性的, 並且, 基本上只涉及 $x,t$ 和 $x',t'$ 之間的聯繫, 這樣一個最基本的 LT, 稱為一個 ($x$ 方向的)勞倫茲推進 (Lorentz boost) (參考註二、 註八), 如此一來, 我們只要決定四個 $v$ 的函數 $a,b,\tau,\xi$： \begin{eqnarray} x' &=& a(v) x + b(v) t, \label{1.1}\\ t' &=&\tau(v) t + \xi(v) x;\label{1.2} \end{eqnarray} 記得, 我們約定 $(x,t)=(0,0)$ 對應 $(x',t')=(0,0)$。
2. 勞倫茲變換的證明
在介紹愛因斯坦的 LT 證明之前, 先略整理 \eqref{1.1}, \eqref{1.2} 兩式 9 9 以下的證明, 基本上, 遵照愛因斯坦 1905 年論文的想法, 但是作了適當的簡化 ：
引理1: 上節 \eqref{1.1} 式可調整為 $x'=a(v)(x-vt)$, 並且如果月台看火車的速度是 $v$, 火車看月台的速度是 $-v$ 的話, 則 $a(v) = \tau(v)$。
證明: 在 \eqref{1.1} 中, $x'=0$ (即火車), 對月台而言是 $x=vt$ 或 $x-vt=0$, 因此 \eqref{1.1} 式其實就是 $x'=a(v)(x-vt)$。
綜觀 \eqref{1.1}, \eqref{1.2} 兩式, $x'=0$ 代表火車, 此時 $ax+bt=0$, 即 $v=\frac{x}{t}=-\frac{b}{a}$, 再考慮月台 $x=0$, 則 $x'=bt,\ t'=\tau t,\ -v =\frac{x'}{t'}=\frac{b}{\tau}$, 所以有 $\frac{b}{\tau} = \frac{b}{a}$ 或 $a(v) = \tau(v)$。$\Box$
接著, 我們將一個基本原則寫成引理 2：
引理2: 若將 \eqref{1.1}, \eqref{1.2} 式中的 $v$ 以 $-v$ 代入, 並且將 $x,t$ 與 $x',t'$ 互換, 就會得到 \eqref{1.1}, \eqref{1.2} 的逆變換。
證明: 這只是月台和火車角色的互換, 最簡單的例子是伽利略變換 \begin{align*} x' &= x-vt,\\ t' &= t,\\ {\hbox{的逆變換是}} x &= x'+vt',\\ t &= t'. \tag*{$\Box$} \end{align*}
引理3: 承引理 1 與引理 2, $a(v) = a(-v)$。
證明: $x-vt$ 是月台觀察火車與事件的距離, 乘上 $a(v)$ 表示火車對此一距離的修正倍數, 因此有 $$ x' = a(v)(x-vt). $$ 由引理 2, 若將 $v$ 以 $-v$ 代, 並且將 $x',t'$ 與 $x,t$ 互換, 便得 $$ x = a(-v) (x'+vt'), $$ 其中 $x'+vt'$ 是火車觀察月台與事件的距離, 乘上 $a(-v)$ 表示月台對此一距離的修正倍數, 由於對稱, 這兩個修正倍數必須相等, 即 $a(-v) = a(v)$。$\Box$
因此, 我們可以稍稍簡化 LT 的形式如下 10 10 此時尚未引入光速恆定原理的假設, 因此在 $a(v)=1,\ \xi(v)=0$ 的情形, 就是伽利略變換。 \begin{eqnarray} x' &=& a(v)(x-vt), \label{2.1}\\ t' &=& a(v)t + \xi(v) x,\label{2.2}\\ a(v) &=& a(-v).\label{2.3} \end{eqnarray}
愛因斯坦在光速恆定的假設下, 參考下面的情形 (如圖二)
火車尾 $x'=0$ 在 $t=t'=0$ 時通過月台的原點 $x=0$。 在火車尾的旅客在 $t'=0$ 時從 $x'=0$ 向火車頭射出一束光, 光速為 $c$。 這束光到達車頭後, 被車頭的鏡子反射回到車尾。
假設月台觀察火車的長度為 $l$, 則因光速恆定, 月台紀錄光的行程如下：
- 光從車尾射出的事件： $$(x,t)=(0,0)=(x',t').$$
- 光到達車頭的事件： $$(x,t) = \left(l+v\cdot \frac{l}{c-v},\frac{l}{c-v}\right),$$ 即在月台的時間 $\frac{l}{c-v}$ 到達車頭, 而車尾走到 $v\cdot \frac{l}{c-v}$, 車頭走到 $l+v\cdot \frac{l}{c-v}$。
- 光反射回到車尾的事件： $$(x,t)=\left(v\cdot (\frac{l}{c-v} +\frac{l}{c+v} ), \frac{l}{c-v}+\frac{l}{c+v} \right),$$
另一方面, 從 \eqref{2.3}, \eqref{2.4} 解 $x$ (由克拉馬公式)得： \begin{equation*} x=\left| \begin{array}{cc} x' & -a(v)v\\ t' & a(v) \end{array} \right| \Bigg/ \left| \begin{array}{cc} a(v) & -a(v)v \\ -a(v)v/c^2 & a(v) \end{array} \right| =\frac{x'+vt'}{a(v)\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)}. \end{equation*} 與 \eqref{2.3a} 比較, 得 $a(v)=\dfrac{1}{a(v)(1-v^2/c^2)}$, 亦即 12 12 在 \eqref{2.1} 式中, $a\gt 0$, 所以此處 $a$ 取正號 $\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$。 $$ a(v)=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. $$
我們注意到 \eqref{2.3}, \eqref{2.4} 的結果, 因為是在光速恆定的假設下得出, 絕對時間和絕對空間均不存在 \begin{eqnarray*} x' =& \dfrac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2 }}, \\ t' =& \dfrac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \end{eqnarray*}
上述基本上是愛因斯坦在 1905 論文 (見註二)中的證明, 看來有些繁複, 到了 1916 年, 愛因斯坦已經完成了廣義相對論的基礎, 此時他為一般讀者寫了一本科普書 《相對論入門》 13 13 英文名為《Relativity:The Special and the General Theory》 中譯《相對論入門》譯者李精益, 台灣商務印書館。 在這本書的附錄一, 愛因斯坦補了一段《勞倫茲變換的簡單推導》, 主要內容如下：
因為光速恆定, 因此月台所見光的行徑 $x-ct=0$ 和火車所見 $x'-ct'=0$ 是一樣的, 我們不妨把 $x,t$ 和 $x',t'$ 換變數為 $x-ct,x+ct$ 和 $x'-ct',x'+ct'$, 所以光速恆定告訴我們 \begin{eqnarray} x'-ct' &=& \lambda (x-ct),\label{2.6}\\ x'+ct' &=& \mu (x+ct).\label{2.7} \end{eqnarray} 將 \eqref{2.6}, \eqref{2.7} 兩式相加除以 $2$ 得
\begin{equation*} x' = \frac{\lambda + \mu}{2}x - \frac{\lambda - \mu}{2}ct. \end{equation*} 將 \eqref{2.7}, \eqref{2.6} 兩式相減除以 $2c$ 得 \begin{equation*} t' = \frac{\lambda + \mu}{2}t - \frac{ \lambda -\mu}{2c}x. \end{equation*} 令 $a=\frac{\lambda +\mu}{2},\ b=\frac{\lambda -\mu}{2}c$ 則有 \begin{eqnarray*} x' &=& ax-bt,\\ t' &=& at -\frac{b}{c^2}x. \end{eqnarray*} 由引理 1 知 $b=av$, 所以 \begin{eqnarray*} x' &=& a(x-vt), \\ t' &=& a(t-\frac{v}{c^2}x). \end{eqnarray*} 此與 \eqref{2.4}, \eqref{2.5} 一致, 因此同樣引入 \eqref{2.3a} 即得 $a=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 而證出 LT 公式 14 14 引入變數 $x-ct,x+ct$ 和 $x'-ct',x'+ct'$ 大大化簡 LT 公式的證明, 並可以看出光速恆定原理所扮演的角色。此一想法應為愛因斯坦原創, 並見註八。 。
3. 不用光速恆定來思考 LT 的證明
本節不用光速恆定, 但是要用到空間、時間的對稱性, 不妨假設 LT 是下面的形式： \begin{eqnarray} x' =& a(v)(x-vt),\label{3.1}\\ t' =& a(v)t - d(v) x,\label{3.2} \end{eqnarray} 其中 $a(v)=a(-v)$, $(x,t)$ 和 $(x',t')$ 分別是月台和火車觀察某一事件的數據, 而火車的 $x'$ 軸和月台的 $x$ 軸重合並同樣指向右方, $v$ 是火車對月台的速度, 前進向右行駛 $v\gt 0$, 後退 (向左)行駛 $v\lt 0$, 如圖一。
從 \eqref{3.1}, \eqref{3.2} 以克拉瑪公式解 $t$ 得 \begin{equation} t=\left| \begin{array}{cc} a & x' \\ -d & t' \end{array} \right| / \left| \begin{array}{cc} a & -av\\ -d & a \end{array} \right| =\frac{at'+dx'}{a^2-avd},\label{3.3} \end{equation} 其中 $a=a(v),\ d=d(v)$。
又由引理 2, 將 \eqref{3.2} 式 $v$ 以 $-v$ 代入, 得 $t'=a(-v)t-d(-v)x$, 再將 $x,t$ 與 $x',t'$ 互換得 $t=a(-v)t'-d(-v)x'$, 與 \eqref{3.3} 比較 (且 $a(-v)=a(v)$)得 \begin{eqnarray} &a(v)^2 - a(v)vd(v) =1, \label{3.4}\\ &d(v) = -d(-v).\label{3.5} \end{eqnarray} 我們將上面的討論暫時總結為引理 4：
引理4: 在不假設光速恆定原理下, 月台與火車兩個慣性系統之間的變換 \begin{eqnarray*} x' =& a(v)(x-vt), \\ t' =& a(v)t-d(v)x, \end{eqnarray*} 滿足 $a(v)=a(-v),\ a\gt 0$, $d(-v)=-d(v)$ 及 $a(v)^2-a(v)vd(v)=1$。
我們注意, $a(v)=1,\ d(v)=0$ 時就是伽利略變換, 而 $a=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\ d=\frac{v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 是勞倫茲變換, $c$ 是光速。
以下討論 \eqref{3.1}, \eqref{3.2} 的變換之下, 速度的轉換。 假設一質點對火車以 $u'\gt 0$ 作等速運動, 對月台以 $u\gt 0$ 作等速運動, 從 $(0,0)$ 走到 $(x,t)$ 及 $(x',t')$, 則 \begin{eqnarray} u' = \frac{x'}{t'} = \frac{x-vt}{t-\frac{d}{a}x} &=& \frac{\frac{x}{t} -v }{1- \frac{d}{a} \frac{x}{t}} = \frac{u-v}{1-\frac{d}{a}u},\nonumber\\ {\hbox{或}} &&\hskip -40pt u = \frac{u'+v}{1+\frac{d}{a}u'}.\label{3.6} \end{eqnarray}
引理5: 若 $\frac{d}{a} = \frac{d(v)}{a(v)} \neq 0$, 則 $u'$ 必有上限。
證明: 若 $u'\to \infty$, 則 $$ u= \frac{1+v/u'}{1/u' + d/a} \to \frac{a}{d}, $$ 其中 $a/d$ 是定值, 這表示雖然火車觀察質點的速度 $u'$ 越來越大, 但月台所見卻是接近 $a(v)/d(v)$, 與常識違背。$\Box$
根據上述, 我們有下面的結論：
結論 1：若 $u'$ 無上限, 則 $d(v)/a(v)=0$ 即 $d(v)=0$, 由 \eqref{3.4} 得 $a=1$, 此即伽利略變換。
結論 2：若 $d/a\neq 0$, 則質點的速度有上限。
如果對某一個慣性系統 (如月台)所觀察到質點的速度, 有一最小上界 $L$, 則 $L$ 也是其他慣性系統 (如火車)所觀察到質點速度的最小上界。 現仍假設火車與月台的 $x'$ 軸和 $x$ 軸重合且指向右方, 火車對月台的速度 $v\gt 0$, 假設 $u'\gt 0,\ u\gt 0$, 則由 \eqref{3.6}： $$ u =\frac{u'+v}{1+\frac{d}{a}u'}. $$ 注意到, $u$ 對 $u'$ 的微分 $$ \frac{du}{du'} = \frac{(1+\frac{d}{a}u')-(u'+v)\frac{d}{a} }{(1+\frac{d}{a}u')^2} = \frac{1-v\frac{d}{a}}{(1+\frac{d}{a}u')^2}. $$ 但是由 \eqref{3.4}, $a^2-avd =1$, 所以 $1-vd/a = 1/a^2 \gt 0$, 換句話說, $u$ 對 $u'$ 是嚴格遞增, 亦即當 $u'\to L$ 時, $u\to L$, 因此取極限後 \eqref{3.6} 變成 $$ L = \frac{L+v}{1+\frac{d}{a}L}, $$ 或 $L+\frac{d}{a}L^2 = L+v$, 因此得出 $d/a = v/L^2$。將此式代入 $a^2-avd=1$, 得 $$ a^2 -\frac{a^2v^2}{L^2}=1, $$ 或 $a= \frac{1}{\sqrt{1-v^2/L^2}}$, 因此 \eqref{3.1}, \eqref{3.2} 變成 \begin{eqnarray} x' =& \dfrac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/L^2}},\label{3.7}\\ t' =& \dfrac{t-\frac{v}{L^2}x}{\sqrt{1-v^2/L^2}}.\label{3.8} \end{eqnarray}
4. 結論
愛因斯坦在 1905 年 (見註二)提出光速恆定原理 (The principle of the constancy of the velocity of light)並且從此出發得到 LT 的公式 \begin{eqnarray*} x' &=& \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\\ t' &=& \frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \end{eqnarray*} 當時, 光速恆定只是一個假說, 一直要到 1964 年才在瑞士 CERN 實驗室證實 (見註五, 523頁), 而此一光速值, 現在公認為 299,792,458 公尺每秒。 值得注意的是 1983 年的十七屆國際度量衡大會決議採用光在真空中於 299,792,458 分之一秒時間間隔所行經的距離為 1 公尺, 在公尺的最新定義下, 等於是宣告光速恆定。
本文在第 3 節嘗試先不假設光速恆定, 來處理 $(x,t)$ 和 $(x',t')$ 變換的可能形式, 最後得到如果在慣性系中質點的速度無上限的話, 則有伽利略變換： \begin{eqnarray*} x' &=& x-vt,\\ t' &=& t. \end{eqnarray*} 另一方面, 如果有上限, 且最小上限是 $L$, 則有勞倫茲變換： \begin{eqnarray*} x' &=& \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/L^2}},\\ t' &=& \frac{t-vx/L^2}{\sqrt{1-v^2/L^2}}, \end{eqnarray*} 但是需要從實驗上確定 $L$ 就是光速 $c$。
在證明的過程中, 有引理 1 至引理 5, 這些引理或多或少引入了基於對稱出發的直觀, 因此也許不是邏輯最嚴謹的工作, 但是希望能用一個另類的視野來聯繫伽利略和勞倫茲。
---本文作者為台大數學系退休教授---