數學傳播 43 卷 2 期(108 年 6月)刊出一篇周伯欣老師的作品《抽籤的公平性》, 討論下列問題(見周文 p.50)。

籤筒中共有 $n$ 支籤($n\ge 1$), 其中 $k$ 支有獎($1\le k \le n$), 今有 $p$ 個人依序來抽籤($1\le p \le n$), 抽後不放回, 命第 $i$ 個人($1\le i \le p$) 中獎的事件為 $A_i$。

周老師詳細計算了 $P(A_i)$, 得到 $P(A_i )=\frac kn$, 對所有 $i$ 均成立(見周文 p.54), 也就是說, 先抽後抽並無區別。

周文刊出後, 高雄女中的退休老師吳建生告訴我一個直接的看法。 他的看法是 ： 只要證明這 $p$ 個人中, 任兩位前後抽籤者中獎的機率都一樣, 就可以得出第 $i$ 個人中獎的機率是 $\frac kn$ (因為第 1 個人中獎的機率是 $\frac kn$)。

證明方式如下： 假設在這 $p$ 個抽籤者中, 甲是第 $q$ 位, 乙是第 $q+1$ 位, 而前面 $q-1$ 位都已經抽過了, 這時, 籤筒中還剩下 $n-(q-1)$ 支籤。 前面這 $q-1$ 位也許抽到了一些有獎的籤, 不管如何, 籤筒中還剩下 $l$ 支有獎的籤 ($l$ 也許是 0)。 令 $n-(q-1)=m$, 因為甲和乙還沒抽, 所以當然 $m\ge 2$, 並且這 $m$ 支籤中有 $l$ 支有獎, $l\ge 0$。

(情形一)： 如果 $l=0$ , 則甲和乙抽中獎籤的機率都是 0。

(情形二)： 如果 $l\ge 1$, 則甲抽中獎的機率是 $\frac lm$, 甲抽不中的機率 $\frac{m-l}{m}$, 如果甲抽中, 則乙也抽中的機率是 $\frac{l-1}{m-1}$, 如果甲抽不中, 則乙抽中的機率是 $\frac l{m-1}$, 所以乙中獎的機率是 \begin{eqnarray*} \frac lm\cdot \frac{l-1}{m-1}+\frac{m-l}m\cdot \frac l{m-1}&=&\frac{l^2-l+ml-l^2}{m(m-1)}\\ &=&\frac{l(m-l)}{m(m-1)}\\ &=&\frac lm, \end{eqnarray*}

因此甲、 乙兩人中獎的機率相等, 都是 $\dfrac lm$。

因為這 $p$ 個抽獎者, 任兩位前後抽獎的中獎機率都相等, 因此所有 $p$ 位中獎的機率當然也相等, 都是 $\frac kn$, $\frac kn$ 其實也是第一位和第二位中獎的機率。

讀者也許困惑, 在上述的計算中, 甲、乙中獎的機是 $\frac lm$ 而非 $\frac kn$。 這是因為甲、乙來抽的時候, 前面的抽獎者已經讓籤的內容發生變化, 因此 $\frac lm$ 其實是對不同的 $l$ 所計算的條件機率。 重點是, 甲、乙兩人先抽後抽並無區別。

---本文作者吳建生為高雄女中的退休老師, 張海潮為台大數學系退休教授---