1. Dido 問題

『為了用列舉法證明圓的周長比任何具有相同面積的其他圖形的周長都小, 我們不必考察所有可能的圖形, 只需對幾個特殊圖形進行證明, 結合運用歸納法, 就可以得到與對所有其他圖形都進行證明得出的相同結論。』

--- René Descartes (1596 $\sim$ 1650) ---

等周長問題可推溯至古希臘。 根據傳奇 ^{1 1} 從聖經文學的角度而言所謂 傳奇(legend) 意思是一個傳統的故事, 有時被普遍認為是歷史的, 但未經過認證。 它介於神話(mythology)與歷史(history)之間, 傳奇是以歷史的事實作為其根據, 而神話卻並非如此。 一個傳奇並不一定是不可靠的, 它可能也會提示出歷史的要點。 故事, 古 Phoenicia(腓尼基) (位在現在的敘利亞)的 Tyre 城的 Dido 公主 (B.C.900) ^{2 2} 話說迦太基的創始者狄多 (Dido) 公主 Queen Elissa, 成為迦太基女王後, 改名為『Dido』, 意思是『流浪者』。 著名史詩《埃涅阿斯(Aeneid)》 使她得以名垂千古。 , 她在國王被謀殺之後, 逃至北非地中海, 在那裡她成為迦太基創立者的繼承人, 據傳說她是迦太基第一個女王。當她抵達北非地中海海岸時, 當地居民給她一塊獸皮, 並答應獸皮所圍的部分之土地就屬於她的。 Dido 公主將獸皮切成條, 沿著海岸邊圍成半圓。 她的方法是正確的, 如此可得最大面積。

西元前 814 年, 迦太基城在今日的突尼斯城附近誕生, 比羅馬建城還早了 61 年, 『迦太基(Carthage)』是從腓尼基語『Qart-hadašt』蛻變而來, 意思是『新城』。 腓尼基人是住在地中海東岸的中東人, 擅長海上貿易, 更是優秀軍事家, 因此控制了地中海沿岸。 他們對人類文化最大的貢獻是發明字母, 這些字母被其他國家和民族學習引進後, 成為希臘文、阿拉伯文、希伯來文的文字原形和基礎。

利用中學數學就可以推得固定周長 $L$ 的矩形以正方形所圍的面積為最大 \begin{equation} x\bigg({L\over 2}-x\bigg)= - x^2 + 2{L\over 4} x= -\bigg(x - {L\over 4}\bigg)^2 + {L^2\over 16} \le {L^2\over 16}; \label{1.1}\tag*{1.1} \end{equation} 這是因為正方形比矩形更對稱 (旋轉 90 度比旋轉 180 度有更多的對稱性)。 我們可以模仿古希臘 Eudoxus 的窮盡法(Method of exhaustion), 將正方形擴充為正八邊形然後正十六邊形 $\ldots$。 令$D_{2^n}$表示周長等於$L$的正$2^n$邊形之面積則簡單的計算可得 \begin{equation} D_4\le D_8\le D_{16}\le \cdots \le D_{2^n}\le \cdots \label{1.2}\tag*{1.2} \end{equation} 邊越多就有越多的對稱性, 因此所圍面積越大。 這是一個遞增數列有上界因此極限存在 (是一個周長等於 $L$ 的圓$B_2(r)$!) 而且 \begin{equation} D_{2^n}\le D_\infty = \lim_{n\to \infty} D_{2^n}=|B_2(r)|=\pi r^2 = \pi \bigg({L\over 2\pi}\bigg)^2 ={L^2\over 4\pi}, \label{1.3}\tag*{1.3} \end{equation} 現在將正 $2^n$ 邊形換為一般區域。 若 $L$ 為封閉曲線 $C=\partial \Omega$ 之長度、 $A$ 為其所圍區域 $\Omega$ 之面積, 則 $L$ 與 $A$ 之關係為 $4\pi A \leq L^{2}$, 這就是著名的等周長不等式 (isoperimetric inequality):

定理 1.1(等周長不等式 : 二維平面曲線)： 平面上具有固定長度的簡單封閉曲線 (simple close curve) 中, 圓所圍之面積為最大。 換言之, 若 $L$ 是簡單封閉曲線 $C=\partial \Omega$ 的長度、 $A$ 是曲線 $C$ 所圍區域 $\Omega$ 的面積, 則面積 $A$ 與周長 $L$ 滿足關係式; \begin{equation} 4\pi A \le L^2; \label{1.4}\tag*{1.4} \end{equation} 更且等號成立時, 封閉曲線 $C=\partial \Omega$ 必定是一個圓 $($看到 $\pi$ 就應聯想到圓$)$。

如果我們先入為主認定這個事實的話, 則容易精確地猜出 \eqref{1.4} 這個不等式 \begin{equation} L = 2\pi r \quad\Longrightarrow\quad A=|\Omega|\le |B_2(r)|= \pi r^2 = \pi \bigg({L\over 2\pi}\bigg)^2= {L^2\over 4\pi}, \label{1.5}\tag*{1.5} \end{equation} 而且 \eqref{1.4} 兩邊是量綱平衡 (dimensional balance), 至於 $\pi$ 則暗示了圓的存在 (有 $\pi$ 就有圓、 有圓就有 $\pi$)。 西元前 200 年左右, 古希臘數學家 Zenodorus 證明: 在固定周長、 相同邊數的多邊形中正多邊形所圍的面積最大。 如果 $n$ 是固定, 給定 $\Omega\subset \Bbb R^2$ 是一 $n$ 邊形, 則等周長不等式 \eqref{1.4} 為 \begin{equation} 4n |\Omega|\tan {\pi\over n} \le |\partial\Omega|^2; \label{1.6}\tag*{1.6} \end{equation} 等式成立的話若且唯若 $\Omega$ 是一個正 $n$ 邊形。 \eqref{1.6} 左邊是一遞增數列有上界因此極限存在 (是該數列的最小上界), 令 $n\to \infty$ 也可推得 \eqref{1.4} $$ \lim_{n\to \infty}4n |\Omega|\tan {\pi\over n} = \lim_{n\to \infty} 4\pi |\Omega| {\sin {\pi\over n}\over {\pi\over n}}{1\over \cos {\pi\over n}} = 4\pi |\Omega| \le |\partial\Omega|^2. $$

具有固定長度的所有封閉曲線中, 以圓所圍的面積最大。 這是數學中"顯而易見" 的事實之一, 但只有用近代的分析才能得到嚴格的證明。 第一個嚴謹的數學證明直到 19 世紀才出現。 其中 Jakob Steiner (1796$\sim$1863) ^{3 3} Jakob Steiner人們稱他是瑞士的牧羊人, 在 14 歲以前都還沒有正式到學校就讀, 到了 18 歲抑制不了內心對於求知的渴望, 離家出走追尋他自己的人生, 最終由牧羊人(農夫)成為 19 世紀上半葉最重要的幾何學家之一。 等周問題聽說他給出了五個純幾何(對稱)的證明, 關於他的生平可以參考 。 在 1838 年以純幾何的方法證明: 若答案存在, 則必然是圓形。 之後, 數學家們陸續給出了不同的證明, 其中有不少是非常簡單的。

等周長問題 (isoperimetric problem) ^{4 4} 等周長(isoperimetric)由兩個字 iso (相同) perimeter (周長) 組合而成; {iso-perimetric}$=${same}$+${boundary}。 是促進數學中變分法 (Calculus of Variations) 早期發展的一個重要問題。 在 17$\sim$18 世紀曾經被瑞士 Bernoulli 家族的數學家們作為一個課題研究過。 其中最著名的是最速下降曲線 (極速線) 問題 (Brachistochrone problem), 這是由 Johann Bernoulli (1667$\sim$1748)所提的。 當時這個問題吸引了 全歐洲居領導地位的數學家： 牛頓、 Leibniz、 Jacob Bernoulli、 L'Hospital、 $\cdots $。 儘管 Bernoulli 兄弟, 牛頓及同時代的其他人利用特殊的技巧解決了最速下降曲線問題, 但要到了十八、 十九世紀 L. Euler (1707$\sim$1783), J. Lagrange (1736$\sim$1813), Karl Weierstrass (1815$\sim$1897), Ostrogradskii (1801$\sim$1862) 等人之努力才發展成完整的理論。

2. 幾何對稱的證明

如圖所示, 設 $g$、 $g'$ 為兩條平行直線, 與 $C=\partial \Omega$ 相切於 $P$、 $Q$ 兩點, 而 $s=0$、 $s_0$ 則分別是 $P$、 $Q$ 之參數。 另外我們作一半徑為 $r$ 的圓 $\bar C=\partial B_r$ 與直線 $g$、 $g'$ 分別相切於 ${\bar P}$、 ${\bar Q}$ 兩點, 假設其圓心為原點。 命 $C$ 之參數式為 \begin{equation} \varphi(s)=(x(s),y(s)),\qquad (x(0),y(0))=(x(L),y(L)); \label{2.1}\tag*{2.1} \end{equation} 因為 $s$ 是弧長所以 $$ (x')^2 + (y')^2 = \bigg({dx\over ds}\bigg)^2 + \bigg({dy\over ds}\bigg)^2 = {dx^2 +dy^2\over ds^2} ={ds^2\over ds^2}= 1, $$ 而 $\bar C$ 之參數式為 $ {\bar \varphi}(s)=({\bar x}(s),{\bar y}(s)) $ 其中 ${\bar x}(s)= x(s)$ \begin{equation} {\bar y}(s)=\begin{cases} -\sqrt{r^2 -x^2(s) }\,,\qquad 0\le s\le s_0, \\[2mm] \quad \sqrt{r^2 -x^2(s) }\,,\qquad s_0\le s\le L. \end{cases} \label{2.2}\tag*{2.2} \end{equation} 根據 Green's 定理長度為 $L$ 之封閉曲線所圍的面積可利用線積分來表示 \begin{equation} \hbox{面積}=\int_{y(0)}^{y(L)} x dy =\int_0^L xy' ds =-\int_0^L y x' ds ={1\over 2} \int_0^L (xy' -x' y) ds. \label{2.3}\tag*{2.3} \end{equation} 將此公式應用到 $C=\partial \Omega$ 與 $\bar C=\partial B_r$ 得 \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} |\Omega|&= \int_0^L xy' ds, \\ |B_r|&=\pi r^2 =-\int_0^L {\bar y} {\bar x}' ds = -\int_0^L {\bar y} x' ds. \end{aligned} \right. \label{2.4}\tag*{2.4} \end{equation} 兩式相加 \begin{equation} |\Omega| + |B_r|= A+\pi r^2 = \int_0^L (xy' -x' {\bar y}) ds = \int_0^L \sqrt{(xy' -x' {\bar y})^2 }\, ds. \label{2.5}\tag*{2.5} \end{equation} 但由 Cauchy-Schwarz 不等式 \eqref{2.5} 最後一項根號內部可以估計為 \begin{equation} (x y' - \bar{y} x')^2= [(x, -\bar{y})\cdot (y', x')]^2 \le (x^2 +\bar{y}^2)((y')^2 +(x')^2)= x^2 +\bar{y}^2. \label{2.6}\tag*{2.6} \end{equation} 因此由 \eqref{2.5} 得 \begin{equation} A+\pi r^2 \le \int_0^L \sqrt{(x^2 +{\bar y}^2)[(x')^2 +(y')^2] }\, ds \le \int_0^L \sqrt{x^2 + {\bar y}^2 }\, ds = Lr. \label{2.7}\tag*{2.7} \end{equation} 因為兩個正數的幾何平均小於或等於它們的算術平均, 所以 \begin{equation} \sqrt{A} \sqrt{\pi r^2} \le {1\over 2}( A+\pi r^2) \le {1\over 2} L r, \label{2.8}\tag*{2.8} \end{equation} 取平方就是等周長不等式 \eqref{1.4} $$ 4\pi A \le L^2. $$ 現在假設等周長不等式 \eqref{1.4} 的等號成立, 則 $A$ 與 $\pi r^2$ 的幾何平均與算術平均相等 $A=\pi r^2$、 $L=2\pi r$, 因為直線 $g$、 $g'$ 的方向是任意的, 因此 $C$ 在所有的方向都有相同之寬度, 因此比較 \eqref{2.5}、 \eqref{2.7} 兩式 \begin{equation} A+\pi r^2 =\int_0^L \sqrt{(xy' -x' {\bar y})^2 }\, ds = \int_0^L \sqrt{x^2 + {\bar y}^2 }\, ds \label{2.9}\tag*{2.9} \end{equation} 必處處成立, 特別地 \begin{equation} (xy' -x'{\bar y})^2 =(x^2 +{\bar y}^2) \quad\Longrightarrow\quad (x, -\bar{y})\parallel (y', x'), \label{2.10}\tag*{2.10} \end{equation} 於是 $$ {x\over y'} = -{ {\bar y} \over x'} = \pm \sqrt{ x^2 +{\bar y}^2}= \pm r. $$ 由 \eqref{2.5} 知其比值為 $r$, 即 $x= ry'$、 ${\bar y} =-r x'$, $x$、 $y$ 交換上式亦成立 $y= rx'$ 因此可得 $$ x^2 +y^2 = r^2, $$ 於是證明了 $C=\partial \Omega$ 是一個圓。 $\Box$

註解：

1. 關係式 \eqref{2.10} 雖然是由幾何平均等於算術平均而得, 但事實上也正是 Cauchy-Schwarz 不等式 \eqref{2.6} 之等號成立時, 向量 $\{(x, -\bar{y})$, $(y', x')\}$是線性相依 (linearly dependent) 因此是兩個平行的向量。
2. 對稱(symmetry)出現在變動直線 $g$、 $g'$ 的方向, 由此得出 $C=\partial \Omega$ 在所有的方向都有相同之寬度, 所以必定是一個圓。 一個極值問題必定與對稱性有關。

3. 變分學: 極值問題

等周長問題簡單描述為: 試求一封閉曲線, 其長度固定而所圍面積為最大? 不失一般性可假設曲線為凸函數, 且可被 $x$ 軸所平分。 所以問題化為底下積分之極值的問題 \begin{equation} \max_y \int_0^\xi y(x) dx, \qquad y(0)=y(\xi)=0,\qquad \int_0^\xi \sqrt{ 1+(y')^2 } dx = L. \label{3.1}\tag*{3.1} \end{equation}

解法一： 根據 Lagrange multiplier 可取 \begin{equation} F=F(y,y', \lambda)=y+\lambda \sqrt {1+(y')^{2}}, \label{3.2}\tag*{3.2} \end{equation} 因此 Euler-Lagrange 方程為 \begin{equation} {d\over dx} \bigg({\partial F\over \partial y'}\bigg) -{\partial F\over \partial y}= {d\over dx} \bigg({\lambda y' \over \sqrt {1+(y')^{2}}}\bigg) -1= 0, \label{3.3}\tag*{3.3} \end{equation} 微分展開得 \begin{equation} \kappa={y'' \over [1+(y')^2]^{3\over 2}}={1\over\lambda}. \label{3.4}\tag*{3.4} \end{equation} 這是一條曲率 (curvature) 等於 $\kappa={1\over\lambda}$ 之曲線, 而這顯然是圓的一部份。 將 \eqref{3.4} 視為 $y'$ 的一階微分方程直接積分 $$ {y' \over \sqrt {1+(y')^{2}}}={x-c_{1} \over\lambda},\qquad c_1\in \Bbb R, $$ 解得 $y'$ 之後再積分 \begin{equation} (x-c_{1})^{2}+(y-c_{2})^{2}=\lambda ^{2}, \qquad c_2\in \Bbb R. \label{3.5}\tag*{3.5} \end{equation} 這個曲線是圓心等於 $(c_1, c_2)$ 半徑為 $\lambda$ 之圓的一部份, 而且 $1 \lt L \lt {\pi\over 2}$。 如果將限制條件 $y(0)=y(\xi)=0$ 代入得 $$ \pi \xi = L,\qquad c_1={L\over 2\pi},\qquad c_2=0,\qquad \lambda= {\xi\over 2}. $$

解法二： 利用參數式 $x=x(t)$、 $y=y(t)$ 則問題化為求積分之極值 \begin{equation} \max {1\over 2} \int_{t_{1}}^{t_{2}} (x\dot y-y\dot x)dt, \qquad \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt {{\dot x}^{2}+{\dot y}^{2}}dt = L, \label{3.6}\tag*{3.6} \end{equation} 一樣仿解法一 Lagrange multiplier 可取 \begin{equation} F=F(x,y,\dot x, \dot y, \lambda)={1\over 2} (x\dot y-y\dot x)+ \lambda \sqrt {{\dot x}^{2}+{\dot y}^{2}}, \label{3.7}\tag*{3.7} \end{equation} 因此 Euler-Lagrange 方程為(此時有兩個變數、 兩個方程式) $$ {d\over dt}\bigg( {\partial F\over \partial \dot x}\bigg) - {\partial F\over \partial x} =0,\qquad {d\over dt}\bigg( {\partial F\over \partial \dot y}\bigg) - {\partial F\over \partial y} =0, $$ 展開得 \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} {d\over dt} \bigg(-{1\over 2}y+{\lambda\dot x \over \sqrt {{\dot x}^{2}+{\dot y}^{2}}}\bigg) - {1\over 2}\dot y &= 0, \\[2mm] {d\over dt} \bigg({1\over 2}x+{\lambda\dot y \over \sqrt {{\dot x}^{2}+{\dot y}^{2}}}\bigg) + {1\over 2}\dot x &= 0, \end{aligned} \right. \label{3.8}\tag*{3.8} \end{equation} 積分得 $$ -y+{\lambda\dot x\over\sqrt {{\dot x}^{2}+{\dot y}^{2}}}=-c_2\,, \qquad x+{\lambda\dot y\over\sqrt {{\dot x}^{2}+{\dot y}^{2}}}= c_1, $$ 或者 $$ y-c_2 = {\lambda \dot x \over \sqrt{\dot x^2 +\dot y^2}}\,, \qquad x-c_1 = {\lambda \dot y \over \sqrt{\dot x^2 +\dot y^2}}; $$ 取平方得(我們並不需要解$x-c_1$、$y-c_2$!) \begin{equation} (x-c_1)^{2}+(y-c_2)^{2}=\lambda ^{2}, \label{3.9}\tag*{3.9} \end{equation} 因此曲線是以 $(c_1, c_2)$ 為圓心半徑等於 $\lambda$ 的圓。

解法三： 這個事實也可透過極座標來看 ($r=r(\theta)$): $$ \max_r {1\over 2} \int_{0}^{2\pi} r^{2} d\theta, \qquad L =\int_{0}^{2\pi} \sqrt {r^{2}+(r')^{2}} d\theta, $$ 此時 $$ F=F(r,r')={1\over 2}r^{2}+\lambda \sqrt{r^{2}+(r')^{2}}, $$ 其 Euler-Lagrange 方程為 \begin{eqnarray} {\partial F\over \partial r} - {d\over d\theta}\bigg( {\partial F\over \partial r'}\bigg) =0.\qquad \hskip 1cm~\nonumber\\ {\hbox{展開得}} r+\lambda r \Big[r^{2}+(r')^{2}\Big]^{-{1\over 2}}- {d\over d\theta} \Big[\lambda r' (r^{2}+(r')^{2})^{-{1\over 2}}\Big] &=& 0,\nonumber\\ {\hbox{或}} \kappa={rr''-2(r')^{2}-r^{2} \over (r^{2}+(r')^{2})^{3\over 2}}={1\over\lambda};\qquad \hskip .4cm~ \label{3.10}\tag*{3.10} \end{eqnarray} 此曲線為曲率 $\kappa$ 等於常數${1\over\lambda}$是半徑為$\lambda$之圓。 $\Box$

註解：

1. Lagrange 乘子 $\lambda$ 的幾何意義是所得曲率等於 $\kappa={1\over\lambda}$ 的圓之半徑, 而積分常數 $(c_1, c_2)$ 正好是圓心。
2. 等周問題之Euler-Lagrange方程是二階微分方程, 積分兩次所得之常數$c_1$、$c_2$之幾何意義是決定 圓心所在之位置。
3. 嚴格地推導 Euler-Lagrange 方程 \eqref{3.3} 需要變分(Calculus of Variations)或泛函分析(Functional Analysis)的知識, 但是我們可以藉由全微分與分部積分(不嚴格)直觀地看 \begin{equation} \begin{aligned} dF(y, y')&= {\partial F\over \partial y} dy+ {\partial F\over \partial y'} dy' \\[2mm] &= {\partial F\over \partial y} dy -{d\over dx} {\partial F\over \partial y'} dy=0\qquad \hbox{(分部積分).} \end{aligned} \label{3.11}\tag*{3.11} \end{equation} 將 $dy$ 視為廣義函數的測試函數(test function), 所以得 Euler-Lagrange 方程 $$ {\partial F\over \partial y} -{d\over dx} \bigg({\partial F\over \partial y'}\bigg)=0; $$ 這裡負號表示分部積分一次, 而且Euler-Lagrange方程是量綱平衡 $$ {[F]\over [y]} = {1\over [x]} {[F]\over [y]/[x]}, $$ 如此就可猜出 $\dfrac{d}{dx}$ 是作用到 $\dfrac{\partial F}{\partial y'}$。

4. Fourier分析: Wirtinger 不等式

藉由 Fourier 分析可以證明等周長不等式, 這是 Hurwitz (1859$\sim$1919) ^{5 5} Adolf Hurwitz 是猶太裔的德國數學家, 師從 Felix Klein 主要研究橢圓函數。 他於 1884 年受邀前往柯尼斯堡大學擔任傑出教授； 在那裡他遇見並影響了 David Hilbert 與 Hermann Minkowski。 這三位偉大數學家每週固定的散步並分享一週來研究數學的心得構築了數學史上最美的畫面。 的想法, 這是一個純分析的方法。 但是我們必須先證明 Wirtinger 引理 ^{6 6} Wilhelm Wirtinger (1864$\sim$1945) 是奧地利數學家, 我們對他比較陌生, 但實際上他在研究與教學上都是有非凡成就的數學家。 。

引理 4.1 (Wirtinger Lemma)： 已知 $f(t)$ 是一週期為 $2\pi$ 之連續函數, 具有連續的導數 $f'(t)$, 且平均值等於 $0$ \begin{equation} {1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} f(t) dt = 0, \label{4.1}\tag*{4.1} \end{equation} 則底下不等式成立 \begin{equation} \int_0^{2\pi} \vert f(t)\vert ^2 dt \le \int_0^{2\pi} \vert f'(t) \vert ^2 dt, \label{4.2}\tag*{4.2} \end{equation} 且等號成立之條件是 \begin{equation} f(t) = a\cos t + b \sin t,\qquad a, b\in \Bbb R. \label{4.3}\tag*{4.3} \end{equation}

證明： 將 $f(t)$ 展開成 Fourier 級數, \begin{equation} f(t)= {a_0\over 2} +\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nt + b_n \sin nt ), \label{4.4}\tag*{4.4} \end{equation} 其中 Fourier 係數為 \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} a_n &= {1\over \pi} \int_0^{2\pi} f(t) \cos nt dt,\qquad n=0,1,2,\ldots, \\[2mm] b_n &= {1\over \pi} \int_0^{2\pi} f(t) \sin nt dt,\qquad n=1,2,\ldots. \end{aligned} \right. \label{4.5}\tag*{4.5} \end{equation} 因為 $f(t)$ 是連續函數, 其 Fourier 級數可逐項微分 (因為一致收斂) \begin{equation} f'(t)= \sum_{n=1}^\infty (n b_n \cos nt - n a_n \sin nt ). \label{4.6}\tag*{4.6} \end{equation} 因為 $$ a_0={1\over \pi}\int_0^{2\pi} f(t) dt = 0, $$ 由 Parseval 公式 (Fourier 級數的畢氏定理)可得 (分別作用到 \eqref{4.4}, \eqref{4.6}) \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \int_0^{ 2\pi} \vert f(t)\vert^2 dt &= \pi{a_0^2\over 2}+\pi\sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2)= \pi\sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2), \\[2mm] \int_0^{ 2\pi} \vert f'(t)\vert^2 dt &= \pi\sum_{n=1}^\infty n^2(a_n^2 + b_n^2). \end{aligned} \right. \label{4.7}\tag*{4.7} \end{equation} 因此 \eqref{4.7} 兩式相減得 \begin{equation} \int_0^{ 2\pi} \vert f'(t)\vert^2 dt - \int_0^{ 2\pi} \vert f(t)\vert^2 dt = \pi\sum_{n=1}^\infty (n^2 -1) (a_n^2 + b_n^2)\ge 0. \label{4.8}\tag*{4.8} \end{equation} 上式 \eqref{4.8} 等於零的條件是 $a_n =b_n =0$, $n=2,3,\ldots$, 所以 \begin{equation} f(t) = a_1 \cos t + b_1 \sin t. \label{4.9}\tag*{4.9} \end{equation} $\Box$

註解：

1. 看到週期函數直接就聯想到 Fourier 級數, 這是對數學稍有認識的人該有的常識 (common sense)。
2. Wirtinger 引理也可以由變分的角度來看。 考慮積分 \begin{equation} F(f, f')= \int {1\over 2}\Big[ |f'(x)|^2 -|f(x)|^2\Big] dx, \label{4.10}\tag*{4.10} \end{equation} 則其 Euler--Lagrange 方程為 \begin{equation} {\partial F\over \partial f} - {d\over dx}\left( {\partial F\over \partial f'}\right) =0, \label{4.11}\tag*{4.11} \end{equation} 這是一個二階常微分方程其解正是 \eqref{4.9} \begin{equation} f'' + f=0\quad \Longrightarrow\quad f(x) = a\cos x + b\sin x,\qquad a,b\in \Bbb R. \label{4.12}\tag*{4.12} \end{equation}
3. Wirtinger不等式 \eqref{4.2} 可視為一維的 Poincaré 不等式, 有時也稱為 Poincaré-Wirtinger 不等式, 事實上就是 Sobolev 不等式的變形。 另一類型的 Wirtinger 不等式為 $f\in C^1 [a,b]$、 $f(a)=f(b)=0$, 則 \begin{equation} \int_a^b |f(x)|^2 dx \le {(b-a)^2 \over \pi^2} \int_a^b |f'(x)|^2 dx, \label{4.13}\tag*{4.13} \end{equation} 而且 $\dfrac{(b-a)^2}{\pi^2}$ 是最佳的常數, 這個不等式可視為一維的 Friedrich 不等式。 (參考 )

Hurwitz 之證明 (等周長不等式)： 假設曲線參數方程式為 $x=x(t)$、 $y=y(t)$, $t={2\pi s \over L}$ 其中 $s$ 是弧長 (arc length) 而且$x(0)=x(2\pi), y(0)=y(2\pi)$。 將 $x(t)$、 $y(t)$ 展開成 Fourier 級數: \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x(t) \sim & {1\over 2} a_0 +\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nt +b_n \sin nt), \\ y(t) \sim & {1\over 2} c_0 +\sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nt +d_n \sin nt), \end{aligned} \right. \label{4.14}\tag*{4.14} \end{equation} 則 $\dot x(t)$、 $\dot y(t)$ 之 Fourier 級數為 (我們假設微分與無窮級數之順序可以互換!) \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \dot x(t) &\sim \sum_{n=1}^\infty (nb_n \cos nt -na_n \sin nt), \\ \dot y(t) &\sim \sum_{n=1}^\infty (nd_n \cos nt -nc_n \sin nt), \end{aligned} \right. \label{4.15}\tag*{4.15} \end{equation} 再由 Parseval 公式得 \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} {1\over \pi}\int_0^{2\pi} (\dot x^2 +\dot y^2) dt &=\sum_{n=1}^\infty n^2 (a_n^2 +b_n^2 +c_n^2 +d_n^2), \\[2mm] {1\over \pi}\int_0^{2\pi} x\dot y dt &=\sum_{n=1}^\infty n (a_n d_n - b_n c_n), \end{aligned} \right. \label{4.16}\tag*{4.16} \end{equation} 另外由已知的邊長可得 \begin{equation} \dot x^2 +\dot y^2 = \bigg({L \over 2\pi}\bigg)^2 \quad \Longrightarrow\quad \int_0^{2\pi}({\dot x}^2 +{\dot y}^2) dt={L^2 \over 2\pi}. \label{4.17}\tag*{4.17} \end{equation} 根據 Green 定理, 面積可以轉換為線積分 \begin{equation} A=|\Omega|=\oint_{\partial\Omega} xdy = -\oint_{\partial\Omega} ydx =\oint_{\partial\Omega} {1\over 2}(xdy-ydx) =\int_0^{2\pi} x \dot y dt, \label{4.18}\tag*{4.18} \end{equation} 因此由單位法向量得 \begin{equation} 2A = \oint_{\partial \Omega} (x,y)\cdot\bigg(-{dy\over ds}, {dx\over ds}\bigg)ds \le \oint_{\partial \Omega} |(x,y)|ds. \label{4.19}\tag*{4.19} \end{equation} 再由 Cauchy-Schwarz 不等式得 \begin{equation} \begin{aligned} 2A&\le \bigg(\oint_{\partial \Omega} |(x,y)|^2ds\bigg)^{1\over 2}\bigg(\oint_{\partial \Omega} 1^2ds\bigg)^{1\over 2} \\[2mm] &= |\partial \Omega|^{1\over 2}\bigg(\oint_{\partial \Omega} (x^2+y^2)ds\bigg)^{1\over 2} \\[2mm] &= L^{1\over 2}\bigg(\int_0^{2\pi} (x^2+y^2){L\over 2\pi}dt \bigg)^{1\over 2} \qquad \hbox{(變數變換 $t= {2\pi \over L} s$)} \\[2mm] &={L\over \sqrt{2\pi}}\bigg(\int_0^{2\pi} (x^2+y^2)dt \bigg)^{1\over 2} \\[2mm] &\le {L\over \sqrt{2\pi}}\bigg(\int_0^{2\pi} ({\dot x}^2+{\dot y}^2)dt \bigg)^{1\over 2} \qquad \hbox{(Wirtinger不等式 \eqref{4.2} )} \\[2mm] &={L\over \sqrt{2\pi}}{L\over \sqrt{2\pi}}= {L^2\over 2\pi} \qquad \hbox{(根據(4.17)).} \end{aligned} \label{4.20}\tag*{4.20} \end{equation} 這就證明了等周長不等式 \eqref{1.4} 。另外由 \eqref{4.16} 可以將 \eqref{4.20} 表示為 \begin{equation} \begin{aligned} 0\le {L^2 \over 4\pi}-A &= {\pi\over 2}\sum_{n=1}^\infty\Big[n^2 (a_n^2 +b_n^2 +c_n^2 +d_n^2) -2n (a_n d_n -b_nc_n)\Big] \\[2mm] &= {\pi\over 2}\sum_{n=1}^\infty\Big[(na_n-d_n)^2 +(nb_n +c_n)^2 +(n^2-1)(c_n^2 +d_n^2)\Big]; \end{aligned} \label{4.21}\tag*{4.21} \end{equation} 若等號成立則必須是 $$ a_1=d_1,\qquad b_1=-c_1,\qquad a_n=b_n=c_n=d_n=0,\qquad n\gt 1, $$ 於是待求之曲線為 \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x&={1\over 2} a_0 + a_1 \cos t + b_1\sin t, \\[2mm] y&={1\over 2} c_0 - b_1 \cos t + a_1\sin t, \end{aligned} \right. \label{4.22}\tag*{4.22} \end{equation} 或者表示為 \begin{equation} \Big(x-{1\over 2} a_0\Big)^2 + \Big(y-{1\over 2} c_0\Big)^2 = a_1^2 +b_1^2; \label{4.23}\tag*{4.23} \end{equation} 這是以 $\Big(\dfrac 12 a_0, \dfrac 12 c_0\Big)$ 為圓心、 半徑等於 $r=\sqrt{a_1^2+b_1^2}$ 的圓。$\Box$

5. 複變函數論的方法

等周長不等式也可以利用複變 (Complex Analysis) 的方法來證明, 其實這也是合理、 自然的。 只要是二維的問題(例如二維無旋、 不可壓縮流體)都可以化為複數利用成熟、 漂亮的複變函數論來證明。 我們先介紹複數與共軛複數 \begin{equation} z= x+iy,\qquad \bar{z} = x-iy \quad\Longrightarrow\quad x={1\over 2}( z +\bar{z}),\qquad y={1\over 2i}( z - \bar{z}). \label{5.1}\tag*{5.1} \end{equation} 由連鎖律得 \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} {\partial \over \partial x} &= {\partial \over \partial z}{\partial z\over \partial x} +{\partial \over \partial \bar{z}}{\partial \bar{z}\over \partial x} ={\partial \over \partial z}+ {\partial \over \partial \bar{z}} \\[2mm] {\partial \over \partial y} &= {\partial \over \partial z}{\partial z\over \partial y} +{\partial \over \partial \bar{z}}{\partial \bar{z}\over \partial y} =i\bigg({\partial \over \partial z}- {\partial \over \partial \bar{z}}\bigg), \end{aligned} \right. \label{5.2}\tag*{5.2} \end{equation} 所以 \begin{equation} {\partial \over \partial z} ={1\over 2}\bigg({\partial \over \partial x}- i{\partial \over \partial y}\bigg), \qquad {\partial \over \partial \bar{z}} ={1\over 2}\bigg({\partial \over \partial x}+i {\partial \over \partial y}\bigg). \label{5.3}\tag*{5.3} \end{equation} 面積元素 (area element) 可以表示為 \begin{equation} dA = dx \wedge dy = {1\over 2}( dz +d\bar{z})\wedge {1\over 2i}( dz - d\bar{z}) = {i\over 2} dz \wedge d\bar{z}; \label{5.4}\tag*{5.4} \end{equation} 這裡我們默認 \begin{equation} dz\wedge dz = d\bar{z}\wedge d\bar{z} =0. \label{5.5}\tag*{5.5} \end{equation} 另外我們也需要 Green 定理, 考慮全微分 \begin{equation} \begin{aligned} d[f dz]&= {\partial f\over \partial z} dz\wedge dz + {\partial f\over \partial \bar{z}} d\bar{z}\wedge dz = {\partial f\over \partial \bar{z}} d\bar{z}\wedge dz \\ &={\partial f\over \partial \bar{z}} (dx-idy)\wedge (dx+idy) = 2i {\partial f\over \partial \bar{z}} dx\wedge dy, \end{aligned} \label{5.6}\tag*{5.6} \end{equation} \eqref{5.6} 積分就是複數形式的Green定理 \begin{equation} \oint_{\partial \Omega} f(z) dz = \int\!\!\!\int_\Omega {\partial f\over \partial \bar{z}} d\bar{z} \wedge dz = 2i \int\!\!\!\int_\Omega {\partial f\over \partial \bar{z}} dx \wedge dy. \label{5.7}\tag*{5.7} \end{equation} 其次是繞數 (winding number) \begin{equation} {1\over 2\pi i} \oint_{\partial \Omega} {1\over w -z} d w=1,\qquad z\in \Omega; \label{5.8}\tag*{5.8} \end{equation} 因為 $\partial \Omega$ 是單純曲線所以 \eqref{5.8} 這個積分等於 1, 實際上這個積分可以是任何的整數。 將面積表為積分 \begin{equation} \begin{aligned} 4\pi A &=4 \pi |\Omega| =4\pi \int\!\!\!\int_{\Omega} dA = \int\!\!\!\int_{\Omega} 2\pi i\, dz \wedge d\bar{z} \\[2mm] &= \int\!\!\!\int_{\Omega} dz \wedge d\bar{z} \oint_{\partial \Omega} {1\over w-z} d w \qquad\hbox{(利用 \eqref{5.8} 刻意將$2\pi i$表示為積分)} \\[2mm] &= \oint_{\partial \Omega} d w \int\!\!\!\int_{\Omega} {1\over w-z} dz \wedge d\bar{z} \qquad\hbox{(變換積分順序)} \\[2mm] &= \oint_{\partial \Omega} d w \oint_{\partial\Omega} {\bar{w}-\bar{z}\over w-z} dz \qquad\qquad\hbox{(複數形式的Green定理(5.7))} \\[2mm] &\le \oint_{\partial \Omega} d w \oint_{\partial\Omega} dz =|\partial \Omega|^2 = L^2 \qquad \bigg(\bigg|{\bar{w}-\bar{z}\over w-z}\bigg|\le 1\bigg), \end{aligned} \label{5.9}\tag*{5.9} \end{equation} 這就證明了等周長不等式 \eqref{1.4} 。 $\Box$

註解：

1. 由 \eqref{5.8} 所定義的繞數(winding number)除了複變函數論之外在流體力學與代數拓樸 (Algebraic Topology) 也扮演重要的角色。它一定是一個整數而且與積分的路徑無關, 這可以透過量綱分析 (dimensional analysis) 來看: $$ {1\over 2\pi i} \oint_{\partial \Omega} {1\over w -z} d w\approx {1\over [w-z]} [w]={1\over [w]} [w]=1; $$ 這個積分是無量綱(dimensionless)! 所以與 $\partial \Omega$ 無關。 另外 $2\pi i$ 這個量則告訴我們: 繞了一圈的意思。
2. 通常我們有一個笑話: 『複變要讀兩遍, 但是實變就要讀十遍。』這還真有道理! 複變由其來源: A. Cauchy (1789$\sim$1857) 計算特殊的積分或 B. Riemann (1826$\sim$1866) 想解決流體力學的問題, 都是比較具體直觀的。 而實變就抽象多了, 使得人們覺得它困難。 但根本原因是學習的方法有問題, 還有教的人的素養不足導致 對她沒有感覺! 讀數學一定要有例子 (Example), 我們是透過例子來理解定理。

『 在做數學證明的時候, 心中要有個瞭如指掌、 non-trivial 的例子, 然後用這個例子去檢驗證明上出現的每個公式。 一旦你的例子與公式有所出入, 公式就是錯的。』

---費曼的方法（Method of Feynman） ---

6. Sobolev 不等式

我們先介紹幾個量： 令 $\omega_n=S^{n-1}(1)$ 是 $n$ 維單位球 $B_n(1)$ 之表面積 \begin{equation} \omega_n=|\partial B_n(1)|=S^{n-1}(1)= {\pi^{n\over 2}\over {1\over 2}\Gamma({n\over 2})}, \label{6.1}\tag*{6.1} \end{equation} 其中 $\Gamma$ 則是 gamma 函數 \begin{equation} \Gamma(x) =\int_0^\infty e^{-t} t^{x-1} dt,\qquad x\gt 0, \label{6.2}\tag*{6.2} \end{equation} $S^{n-1}(r)$ 是半徑等於 $r$ 之 $n$ 維球 $B_n(r)$ 之表面積, 則由均勻性 (homogeneity) 可得 \begin{equation} |\partial B_n(r)|=S^{n-1}(r)=r^{n-1}S^{n-1}(1)= r^{n-1}\omega_n. \label{6.3}\tag*{6.3} \end{equation} 其次 $V_n(r)$ 代表半徑等於 $r$ 之 $n$ 維球 $B_n(r)$ 的體積: \begin{equation} |B_n(r)|=V_n(r)=r^{n}V_n(1)= {r^n\over n} \omega_n. \label{6.4}\tag*{6.4} \end{equation} 比較 \eqref{6.3}, \eqref{6.4} 兩式得知 \begin{equation} V_n'(r)= S^{n-1}(r),\qquad \hbox{(球體積對半徑的微分等於表面積!).} \label{6.5}\tag*{6.5} \end{equation} 正是這個緣故我們以 $\partial \Omega$ 表示 $\Omega$ 之邊界, 這裡 $\partial$ 是有微分的意義。 藉由 \eqref{6.5} 這個關係式與高斯積分可以得到 $n$ 維球之體積與表面積, 或者先推導出 $V_n(1)$ 與 $V_{n-1}(1)$ 之遞迴關係, 此時 $\Gamma$-函數與 Beta-函數自然而然會出現。 總之 $n$ 維球體積與表面積的本質就是 Gamma 與 Beta 函數。 我強烈鼓勵讀者一生至少要算過一次, 其實連大學教授少說也有一半不曾算過, 有的甚至是不會算。

仿 \eqref{1.5} 的想法可以將 \eqref{1.6} 推廣為三維空間的等周長不等式, 這是 H. Schwarz (1843 $\sim$1921) 的貢獻 \begin{eqnarray} |\partial \Omega| &=&S^2(r)= 4\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad |\Omega|\le V_3(r)={4\pi\over 3} r^3 ={4\pi\over 3} \bigg({|\partial \Omega|\over 4\pi}\bigg)^{3\over 2},\nonumber\\ && 36\pi |\Omega|^2 \le |\partial \Omega|^3,\qquad ({\rm L}^3)^2= ({\rm L}^2)^3. \label{6.6}\tag*{6.6} \end{eqnarray} 同理可推論 $n$ 維空間的等周長不等式, 這是 E. Schmidt (1876$\sim$1959) 的貢獻 \begin{eqnarray} |\partial \Omega| &=& S^{n-1}(r)=\omega_n r^{n-1} \quad\Longrightarrow\quad |\Omega|\le V_n(r)={\omega_n\over n} r^n ={\omega_n\over n} \bigg({|\partial \Omega|\over \omega_n}\bigg)^{n\over n-1}, \nonumber\\ &&\hskip -25pt n^{n-1}\omega_n |\Omega|^{n-1} \le |\partial \Omega|^n,\qquad ({\rm L}^n)^{n-1}=({\rm L}^{n-1})^n. \label{6.7}\tag*{6.7} \end{eqnarray}

定理 6.1 (等周長不等式:高維空間)： 已知 $\Omega\subset \Bbb R^n$ 是一有界區域, 邊界為 $\partial \Omega$, $\Omega$ 之體積為 $|\Omega|$、表面積為 $|\partial\Omega|$, 則體積 $|\Omega|$ 與表面積 $|\partial\Omega|$ 滿足關係式 \begin{equation} |\Omega|^{n-1\over n} \le C_n |\partial \Omega|,\qquad C_n= {1\over n} \bigg({n\over \omega_n}\bigg)^{1\over n}, \label{6.8}\tag*{6.8} \end{equation} 而且等式成立的話若且唯若 $\Omega$ 是一個球。

我們先介紹特徵函數(characteristic function) \begin{equation} \chi_\Omega(x)=\left\{ \begin{aligned} 1,\qquad & x\in \Omega, \\ 0,\qquad & x\not\in \Omega. \end{aligned} \right. \label{6.9}\tag*{6.9} \end{equation} 這是研究 Lebesgue 積分的基本函數: $$ \hbox{特徵函數} \quad \Longrightarrow \quad \hbox{單純函數(simple function)} \quad \Longrightarrow \quad \hbox{可積函數。} $$ 此時刻意將體積與表面積表示為特徵函數的積分 $$ |\Omega|^{n-1\over n}\to \Vert \chi_\Omega\Vert_{n\over n-1},\qquad |\partial\Omega|\to \Vert \nabla\chi_\Omega\Vert_{1}, $$ 所以等周長不等式 \eqref{6.8} 本質上就是一個積分不等式 \begin{equation} \Vert \chi_\Omega\Vert_{n\over n-1}\le C_n \Vert \nabla\chi_\Omega\Vert_{1}, \qquad \forall \Omega. \label{6.10}\tag*{6.10} \end{equation} 因為任意(可測集合) $\Omega\subset \Bbb R^n$ 都成立, 所以對於可積分的函數 $f$ 也成立, 也就是可以將 \eqref{6.10} 中的特徵函數 $\chi_\Omega$ 換為 $f$: ^{7 7} 這裡的討論方式就是數學分析的稠密性論證 (density argument); 《一個可積函數差不多就是一個特徵函數》。 我在台大讀碩士班的時候有一次與指導教授張秋俊老師聊天, 他告訴我在芝加哥大學讀書時曾上過 A. Zygmund (1900$\sim$1992) 的實變 (Real Analysis) 的課。 任何一個定理 Zygmund 都會說我們先看看《特徵函數》對不對? 如果對了那麼就對了, 細節就留給學生。『與師一席談, 勝讀十年書。』那次聊天好比使徒保羅在往大馬士革的路上被光照的經驗, 之後我就理解甚麼是實變! 甚麼是分析。 \begin{equation} \Vert f\Vert_{n\over n-1}\le C \Vert \nabla f\Vert_{1}\qquad (\chi_\Omega \to f); \label{6.11}\tag*{6.11} \end{equation} 這就是大名鼎鼎的 Sobolev 不等式 ($p=1$ 的情形)。

定理 6.2 (Sobolev不等式: 全空間)： 已知 $ n\ge 2$、 $1\le p\lt n$, 則 $\forall f\in C^\infty_0(\Bbb R^n)$ \begin{equation} \Vert f\Vert_{p^*} \le C \Vert \nabla f\Vert_p, \qquad {n\over p^*}= {n\over p} -1, \label{6.12}\tag*{6.12} \end{equation} \begin{equation} W^{1,p}(\Bbb R^n)\subset L^{p^*}(\Bbb R^n),\qquad p^* ={np\over n-p}. \label{6.13}\tag*{6.13} \end{equation}

這就是 S. L. Sobolev (1938), L. Nirenberg (1959) 與 E. Gagliardo (1958) 的貢獻。 實際上 Sobolev 只證明了 $p\gt 1$ 的情形, 而 $p=1$ 則是 Nirenberg 與 Gagliardo 的工作。 由 $p=1$ 的結果可推得 $p\gt 1$ 的情形 (請參考 , )。 另外 $p=1$ 的 Sobolev 不等式就是等周長不等式 $$ \hbox{ 等周長不等式等價於 Sobolev 不等式。} $$ 事實上等周長不等式還給的更多, 它告訴我們最佳的情形: 等號成立時則有界區域 $\Omega$ 必定是一個球(或圓)。 這裡引發一個有趣的問題: 為何 19 世紀甚至 20 世紀初期的幾何學家們沒有從等周長不等式得出 Sobolev 不等式? 反而要等到 20 世紀由於理論物理的蓬勃發展, 特別是改變人類思維的量子力學促進偏微分方程之研究。 最早是 S. L. Sobolev 利用 Riesz 位勢 (Riesz potential), 而後 L. Nirenberg 與 E. Gagliardo 藉由微積分基本定理得到現在耳熟能詳的 Sobolev 不等式。 我想其中一個主要原因是 H. Lebesgue (1875$\sim$1941) 的測度與積分理論是在 1904 年才出現, 另外幾何學家對於不等式並不像分析學家那麼敏感。 分析本質上是不等式: $$ \hbox{ 分析} \quad\Longleftrightarrow\quad \hbox{ 極限} \quad\Longleftrightarrow\quad \hbox{ 逼近} \quad\Longleftrightarrow\quad \hbox{ 不等式。} $$ 註解：

1. Sobolev 不等式 \eqref{6.12} 的指數 $(p, p^*)$ 必須滿足量綱關係 ${n\over p^*}= {n\over p} -1$, 這是不需要死背的。 $L^p$ 空間的量綱是 ${n\over p}$, 微分一次量綱少一次, 然後根據量綱平衡的原則可得 \eqref{6.12} 的量綱關係 $$ \Vert f\Vert_{p^*} \to {n\over p^*}, \quad \Vert \nabla f\Vert_p \to {n\over p} -1 \quad\Longrightarrow\quad {n\over p^*}= {n\over p} -1. $$ 有興趣的讀者可參考 , , , 。
2. Sobolev不等式在偏微分方程的應用是先考慮方程的弱解, 也就是先設法利用泛函分析的方法證明方程式屬於 Sobolev 空間 $W^{m+j,p}(\Omega)$ 之某種意義下的弱解(廣義解)的存在性之後, 再利用 Sobolev 不等式 $$ W^{m+j,p}(\Omega)\hookrightarrow C^j(\bar \Omega) $$ 斷定弱解是 $C^j(\bar \Omega)$ 的函數, 如果 $j$ 比方程式的階數高, 那麼我們就可以得到古典意義下解的存在性。
3. 真正嚴格證明 Sobolev 不等式與等周長不等式是等價的需要共面積公式 (co-area formula), 有興趣的讀者可以參考 , 。
4. 在數學中特徵(characteristic)這個名詞出現的非常頻繁, 線性代數、 微分方程、 機率、 實變 $\cdots$ 到處都看的見, 根本就是氾濫成災, 讀者要弄清楚自己是 身在何處。但是 Character 原文是希臘文, 有兩個意思: 一個是印章; 另一個是指 印章在臘上所捺印下來的印痕, 而印痕與印章是完全一致的。 聖經裡面說耶穌是上帝的 真像 這個字就是 character。 如果從希臘文的角度來看特徵值 (characteristic value) 這個名詞是取的非常精確而且深具文學涵養。

例題 6.3： 已知正實數 $x_1, x_2,\ldots, x_n \gt 0$, 證明 \begin{eqnarray} (x_1^3+x_2^3+\cdots +x_n^3)^2 &\le&(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^3, \label{6.14}\tag*{6.14}\\ {\hbox{或}} (x_1^3+x_2^3+\cdots +x_n^3)^{1\over 3} &\le& (x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{1\over 2}.\nonumber \end{eqnarray}

解： 我們將利用 \eqref{6.6} 來證明。 假設有 $n$ 個半徑等於 $x_1, x_2,\ldots, x_n$ 的球, 則其表面積與體積為 \begin{eqnarray*} |\partial \Omega|&=& 4\pi x_1^2 + 4\pi x_2^2 +\cdots 4\pi x_n^2 =\sum_{i=1}^n 4\pi x_i^2,\\ |\Omega|&=& {4\over 3} \pi x_1^3 + {4\over 3}\pi x_2^3 +\cdots {4\over 3}\pi x_n^3 =\sum_{i=1}^n {4\over 3}\pi x_i^3. \end{eqnarray*} 再根據等周長不等式 \eqref{6.6} 得 $$ 36\pi |\Omega|^2 \le |\partial \Omega|^3 \quad\Longrightarrow\quad 36\pi \bigg(\sum_{i=1}^n {4\over 3}\pi x_i^3\bigg)^2 \le \bigg(\sum_{i=1}^n 4\pi x_i^2\bigg)^3; $$ 這就是 \eqref{6.14}。$\Box$

註解：

1. 等周長不等式(或 Sobolev 不等式)也提供我們關於體積的增長情形: 首先球體積對半徑 $r$ 的微分等於球之表面積 $$ {d\over dr} V_n(r) = |\partial V_n(r)| = S^{n-1}(r). $$ 令 $\Omega = V_n(r)$ 則等周長不等式 \eqref{6.7} 是一個微分不等式 \begin{equation} {d\over dr} V_n(r) \ge C_n^{-1} \Big(V_n(r)\Big)^{(n-1)/n} \quad\Longrightarrow\quad V_n(r) \ge {\omega_n \over n} r^n. \label{6.15}\tag*{6.15} \end{equation} 換句話說, Sobolev 不等式 (或等周長不等式) 等價於 $V_n(r)$ 之體積成長條件 $V_n(r) \ge c r^n$。

誌謝： 本文是作者於 2009 年暑假在中研院數學所 《數學名題及其故事》 一系列演講之一, 在此特別謝謝李志豪教授的鼓勵與安排。

參考資料

---本文作者為國立交通大學應用數學系退休教授---