![]() | Mikhail Gromov 是挪威科學人文學院頒發的 Abel 獎 2009 年得主。 五月十八日領獎之前 Gromov 在奧斯陸接受 Martin Raussen (任教丹麥 Aalborg University) 和 Christian Skau (任教 Norwegian University of Science and Technology) 的訪問。 訪談內容刊登在歐洲數學學會(EMS) 2009 年九月份的 Newsletter, 本刊取得相關機構 1 1 歐洲數學學會(EMS)、 挪威科學人文學院 (The Norwegian Academy of Science and Letters)。 及人士 2 2 Mikhail Gromov 教授、 Martin Raussen 教授、 Christian Skau 教授。 的授權, 翻譯 3 3 文中括弧內細明斜體字為譯者所加, 非原文所有。--- 譯者識 成中文與讀者分享。 |
俄羅斯的教育
問:首先, 恭喜你得到 2009 年的 Abel 獎, 我們先從你早年的生活與生涯談起; 你是二次世界大戰進入尾聲時, 在聖彼得堡 (當時叫列寧格勒) 東邊 245 公里的小鎮 Boksitogorsk 出生的?
答:我的母親是戰鬥部隊的隨軍醫生, 為了生產必須調到離前線稍遠的地方。
問:請談談你的背景, 早年的教育, 什麼人或事啟發了你對數學的興趣?
答:除了學校之外, 我第一次接觸到數學是母親為我買的 Rademacher ( Hans Rademarcher,1892$\sim$1969, 德裔美國數學家) 和 Toeplitz ( Otto Toeplitz, 1881$\sim$1940, 德國數學家) 寫的「數與形 (Numbers and Figures)」, 對我影響很大。 雖然我對大部分的內容不甚了了, 仍然讀得津津有味, 直到現在我還是對任何讓我好奇, 但無法瞭解的神秘事物充滿了興趣。
問:你在中學就曉得自己將來要念數學?
答:中學中期以後有段時間我對化學比數學更感興趣, 然後我就上鉤了 --- 俄羅斯有些為青少年設計的、 很好的數學練習題本, 我有一年的時間沉迷其中難以自拔。 中學最後一年, 我參加所謂的數學圈 (mathematical circle), 這是為低年級大學生辦的, 由 Vasia Malozemov 和 Serezha Maslov 主持 (Maslov 後來成為一位邏輯學家, 就是他向 Matiasevic 建議 Hilbert 的第十問題。) ( Sergei Maslov, 1939$\sim$1982, 以發展出自動化理論的逆方法 $($inverse method) 著名) ( Yuri Matiasevic, 1947$\sim$, 數學家與電腦學家, 以提出 Hilbert 第十問題的反證著名) 為我們這些年輕孩子安排了引人入勝充實的課程活動。 這是 1959 年在聖彼得堡上大學的前一年, 主要就是因為這個活動讓我決定學數學。
問:你在列寧格勒大學攻讀數學, 請談談當時的環境、 接受什麼樣的數學養成教育, 還有對你重要的老師。
答:我覺得是愉快的, 雖然周遭的政治氛圍讓人不太舒服。 數學界和教授們, 士氣非常高昂。 記得我最初的老師包括, Isidor Pavlovich Natanson 教授 ( 1906$\sim$1964, 研究實分析), 我還上過 Boris Mikhailovich Makarov 的課( 研究數學分析)。 你可以感受到他們高度的熱情、 對科學的投入, 再加上和高年級學長之間的互動, 對我產生非常強烈的衝擊, 像年輕的代數學家 Tolia Yakovlev, 他在我們心中烙下獻身數學至死不渝的形象。 另一方面, 列寧格勒大學的一般趨勢是將數學與科學連結, 我想應該是受到 Kolmogorov ( Andrey Kolmogorov, 1903$\sim$1987, 在機率論、 拓樸學、 古典力學、 演算法、 邏輯、 渦流、 計算複雜度等等有重大貢獻) 和 Gelfand ( Israel Gelfand, 1913$\sim$2009, 在群論, 表現理論、 泛函分析等有重大貢獻) 來自莫斯科的影響。 Kolmogorov 對流體力學有根本的貢獻, 而 Gelfand 則從事與生物以及物理相關的研究。 基本上, 對於知識的普世認知 : 認為數學是知性思維與發展的中心, 這樣的想法塑造出當時那裡的每一個人, 包括我。 我也從與 Dima Kazhdan ( David Kazhdan, 1946$\sim$, 原名 Dmitry Aleksandrovich Kazhda, 1975 移民美國任教 Harvard 大學後改名, 研究表現理論) 不時見面學到不少莫斯科的數學風格。
問:你從什麼時候開始發現自己有特出的數學天分?如何發現的?
答:我不認為自己有什麼特出。 不過是我正好有你們欣賞的才具, 如此而已。 我從來沒有過這樣的念頭。
問:至少在學生時代的後期, Vladimir Rokhlin ( 1919$\sim$1984, 在代數幾何、 幾何、 測度論、 機率論、 遍歷理論等有重要貢獻)是你的指導老師。 你覺得自己做數學的方式是否到今天還受到他的影響?
答:說來 Rokhlin 是在莫斯科受教育的, 思考數學的方式與列寧格勒大異其趣, 莫斯科學派比較接近西方數學的走向。 列寧格勒比較封閉, 重心放在古典的問題; 莫斯科則對新的發展比較開放, Rokhlin 將這種風氣帶到列寧格勒來。 另外一位有相同態度的是代數幾何學家 Boris Venkov ( Boris Borisovich Venkov, 1934$\sim$2011), 從他以及 Rokhlin 身上, 我獲得比列寧格勒傳統學派更為寬廣的數學視野與見地。 另一方面, 傳統學派實力也很雄厚; 譬如, Aleksandr Danilovich Alexandrov ( 1912$\sim$1999, 數學家, 物理學家, 哲學家和登山家) 領導的幾何學派, 我大部分的幾何是從成員中的 Zalgaller ( 1920$\sim$, 研究幾何與最佳化) 和 Burago ( 1936$\sim$, 研究微分幾何與凸幾何) 那裡學的, Burago 是我的幾何啟蒙老師。
問:1970 年代初期你在列寧格勒大學研究做得非常成功, 但你仍然離開那裡, 而且不久就在 1974 離開蘇聯, 是什麼促使你這麼做?
答:很簡單, 我常說越是不可以做的事, 人越想做, 我們都知道上帝禁止夏娃吃蘋果的結果, 這是人性。 官方說不能離開這個國家, 離開是不可能的, 是錯的, 是糟糕透頂的事。就像從事科學研究: 就算不可能, 還是嘗試。
問:當時要離開蘇聯可能不是那麼容易?
答:對於我, 相對簡單, 我非常幸運。 不過一般來說很難, 同時風險很高。 我必須申請, 等待了好幾個月才獲得批准。
俄羅斯的數學
問:去年的 Abel 得主之一 Jacques Tits ( 1930$\sim$, 比利時出生法國數學家, 研究群論及 incidence 幾何) 提起俄羅斯數學教育和各個學派, 他非常稱許俄羅斯數學的強烈個性以及在動機、 應用與技巧方法上緊密的連結。 他更提到研討會和討論氣氛熱絡, 有時甚至可以延續好幾小時。 你的看法呢? 俄羅斯數學的風格和學派有什麼特別的地方?
答:就像我前面講的, 列寧格勒和莫斯科不太一樣, Tits 提到的可能是 Gelfand 在莫斯科的討論班, 我因為受邀演講參加過一次, 所以我的印象可能沒有什麼代表性。 不過那次, 在討論班即將開始前, Gelfand 花了將近兩個小時和聽眾討論不同的事情。 另一個討論班是 Piatetsky-Shapiro 主持的 ( Ilya Piatetsky-Shapiro, 1929$\sim$2009, 研究解析數論, 群表現及代數幾何), 就是一板一眼, 每當有人對黑板上的式子提問, Shapiro就會說, 什麼是學生理當知道的, 什麼是不該知道的, 該學這個、 這個或那個, 態度極為強勢, 甚至有些蠻橫, 非常強烈的展現出他的個性!
問:你是否依然能從自己的研究工作中感覺到特別的、 俄羅斯的數學背景?
答:當然, 毫無疑問, 這是一種對科學與數學非常浪漫的態度 : 覺得它們是值得生死以之的崇高志業。 因為學生時代我不曾到過其它國家, 不知道其它地方是否也是如此。 不過, 這是許多和我一樣出身俄羅斯的數學家傳承的情懷。
問:俄羅斯數學與目前西方的數學是否仍有很大的差異, 或是因為許多俄羅斯數學家現在到西方就業, 這些差異即將消失?
答:這點我不能判斷, 有那麼多俄羅斯人在西方工作, 我對目前俄羅斯的數學生態知道得不多。 許多事物一定已經發生巨大的變化。 我們那個時代對科學、數學的狂熱, 部分來自於對外面世界的反應。 學術生活是平靜美好的園地, 讓你離開外面頗為醜陋的政治世界。 當這些都改變了, 原先對學術強烈的專注也就退燒了也未可知, 這只是一個猜想。
問:你和俄羅斯數學家還有頻繁的接觸嗎?還偶而回去?
答:離開後回去過兩次, 還能感受到那裡的學術強度, 但是水準下滑, 部分原因是許多有天賦的人被更大的學術中心吸引, 到那邊去可以學得更多。
問:能不能告訴我們曾經影響你的還有哪些數學家, 像 Linnik ( Yuri Linnik, 1915$\sim$1972, 蘇聯數學家, 研究數論, 機率與統計)?
答:是的, Yuri Linnik 是列寧格勒大學一位偉大的科學家、教授和院士。 有一年他主持了一個代數幾何的學習班(educational seminar), 他讓人稱道的是, 總是知之為知之, 不知為不知, 承認自己的無知, 從不裝懂, 甚至還裝做不懂。 其次他與學生之間永遠平等對待。 有一次輪到我報告, 我睡過頭遲到了一小時, 他只一笑置之 --- 完全沒有生氣。 我想這展現出了他秉持的一種數學的精神 --- 數學大家庭中當有不分彼此同舟共濟的氛圍。
問:他的為人比起 Rokhlin 如何?
答:Rokhlin 因為過去際遇坎坷比較封閉。 他的個性極為強悍, 二次世界大戰時曾被俘, 他是猶太人, 不過設法隱瞞了身份。 獲釋之後被送進俄國的勞改營, 因為官方認定他沒有服完兵役, 淪為戰俘竟然不算服役! 經過一番奔走, 他來到莫斯科。很難看出他內心的想法, 他非常內向孤僻, 凡事都要維持高標準, 不像 Linnik 那麼自在、 開放。 起初不明白是什麼造成這樣的人格特質, 後來才瞭解是因為過去不堪的遭遇。
問:Linnik 是不是也是猶太人?
答:我想他有一半猶太血統, 但是他沒有投入戰爭。 他過的是另一種人生, 身為科學院的成員, 在學術生涯中有較好的地位等等。 Rokhlin 則因為我不清楚的原因一直受到官方的差別待遇。 我聽到的是他和莫斯科的某些官員有過節。
有段時間他是 Pontryagin ( Lev Pontryagin, 1908$\sim$1988, 14 歲因煤油爐爆炸失明, 仍然成為 20 世紀大數學家之一, 在代數拓樸、 微分拓樸等有重大發現) 的秘書。 Pontryagin 眼睛看不見, 身為院士他需要一位秘書, Rokhlin 擔任這個工作直到他通過第二次論文口試 (俄羅斯制度有第二個博士學位), 這時他的學歷超出了職位所需, 當局於是讓他走路。 A.D. Alexandrov 那時是列寧格勒大學校長, 極力設法延攬他, 他在 1960 年到列寧格勒大學, 對那裡的數學發展影響極大, 整個拓樸學派是依循他的構想建成。 Rokhlin 是一位非常好的老師並且善於組織規劃。
問:Pontryagin 反猶太, 是嗎?
答:我認為他是在第二次婚姻之後才開始反猶太。 他看不見, 對外界事務的認知能獨立到什麼程度, 我們並不清楚。 他晚年反猶太, 還寫了些荒唐透頂的小冊子, 不知道是受到什麼影響而有那樣的想法。
幾何的歷史
答:由於「在幾何上革命性的貢獻」而得到 Abel 獎的, 你是第一位。 從歐基里得( 西元前四世紀中到西元前三世紀中, 希臘數學家, 公認為幾何奠基者)時代開始, 幾何可說是數學的『門面』, 也是如何寫數學、教數學的典範。 從19世紀初, 經由高斯 ( Carl Friedrich Gauss, 1777$\sim$1855, 德國數學家, 在數論、 代數、 統計、 分析、 微分幾何、 地球物理、 電磁、 力學等許多領域有重要的貢獻)、 Bolyai(János Bolyai,1802$\sim$1860, 匈牙利數學家, 非歐幾何的奠基者), Lobachevsky ( Nikolai Lobachevsky, 1792$\sim$1856, 雙曲幾何及 Dirichlet 積分的奠基者) 的工作, 幾何大幅拓展。 對於從那時候到現在某些重要的發展, 請談談你的看法?
答:我只能給出部分答案以及我個人的觀點。 古人如何看待這門科目今人難以知悉。 現在看來, 幾何是人們觀察外在世界而觸發的數學; 歐基里得對觀察做了有系統的整理, 並形塑成公設的數學, 再推導後續的結果, 不過一旦超出原來的設計就不妙了。 比方說平行公設, 一直有人想證明它。
這裡摻雜了不同的因素 : 一方面人們相信我們看世界只能有唯一一種方式, 試著以公設的方式來證明這點, 卻不成功。 終於數學家理解到必須破繭而出打破對公設天真的想法, 公設曾經很有用, 但是有其侷限, 公設已經完成使命, 最終必須捨棄。從此, 數學往不同的方向行進, 從單純觀察、 描述人們看得到的東西, 轉為描述人們不能直接看到 --- 只能經由非常隱晦的方式得知的東西, Abel ( Niels Henrik Abel, 1802$\sim$1829, 挪威數學家, 在不同的領域有先驅的貢獻, 最著名的是證明一般五次方程沒有根式解) 是促成這個轉變的人之一。 現代數學在 19 世紀初期成形, 然後愈來愈結構化。 數學不僅處理眼睛看到的, 還包括在更基本的層面上處理事物的結構。 當時數學家面對的一個問題是嘗試瞭解歐氏幾何的侷限, 這個問題如果用現代( 數學) 語言來陳述非常簡潔明白, 卻經過數百年才發展出這樣的語言。 這個工作由 Lobachevsky, Bolyai 和高斯開端, 在不同的領域則是由 Abel 和 Galois 開始 ( Évariste Galois, 1811$\sim$1832, 法國數學家, 他的工作成為後世抽象代數 Galois 理論及 Galois 群的基礎)。
得獎人在幾何上的研究
問:大家公認你在 1970 年代後期革新了黎曼幾何。 請為我們解釋其中新穎的創見, 以及能夠突破的想法。
答:我不能解釋這個, 突破? 原創? 我從不做如是想。 每個數學家在探討某些新的東西時, 不會理會它是新的。 你相信大家都知道, 幾乎是當下分明, 只是別人沒說出來而已。 事實上許多數學證明都有這樣的情形; 證明的想法幾乎從沒被人說出來過。 有人認為顯而易見, 有人則不知不覺, 不同背景的人有不同的認知。
問:你的代表作之一被人形容為將幾何軟化(the softening of geometry) --- 以不等式或逼近或漸近方程來取代方程式。 例子包括以「疏略的觀點(coarse viewpoint)」研究黎曼幾何, 也就是同時考慮所有的黎曼結構。這是非常有創意的, 過去從來沒有人想到, 不是嗎?
答:也許是吧。 不過我還是不能確定是否有人有過同樣的想法。 對於我, 這個想法從一開始就是清楚的, 其實有很長一段時間我認為每個人都知道, 一直沒有將它說出來。 我相信有人知道它但是從來沒有機會大聲地公諸於世。 最終因為我在法國開課, 把它有系統地整理出來。
問:首先, 你有了這個新的視角, 基本的想法也許很簡單, 但是你是第一個在這個方向得到深刻結果的人。
答:不過, 還是有前人的工作。 黎曼幾何的這個趨勢從 Jeff Cheeger ( 1943$\sim$, 美國數學家, 研究微分幾何及其與拓樸、 分析間的連結) 的工作開始。 早先描述流形的語言頗為抽象, 有許多上、 下標, 很難入手。 我認為最先將黎曼幾何變得簡單的工作之一是 John Nash ( 1928$\sim$2015, 美國數學家, 在賽局理論、 微分幾何及偏微分方程有根本貢獻) 的結果。 事實上, 他對我的影響極大。 他只是把流形拿在手裡, 放到空間中, 把玩它們。 我從這裡初次學到非常實在的幾何, 簡單的東西, 但是必須將它投射到維度很高的空間。 然後是 Jeff Cheeger 的工作, 表面上是非常不同的主題, 卻有相同的態度 --- 事情可以經由正確的形式化變得頗為簡單。 所以我只是跟隨著他們的腳步。
問:所以你很早就研讀了Nash的工作而且深受影響?
答:是的, 我看得很用心, 而且我相信自己是唯一徹頭徹尾讀過他的論文的人。 從後來別人寫的論文判斷, 我不認為他們認真讀過。
問:何以見得?
答:起初, 看到 Nash 有篇文章, 我認為毫無道理, 但是 Rokhlin 教授說 : 「不, 不, 這篇你非看不可。」我還是覺得是天方夜譚; 不可能是對的。 但是之後再看, 簡直不可思議, 不可能對的竟然是正確的。 三篇論文中, 關於嵌入 (embedding) 的兩篇較難, 看起來很荒謬。 再細究嵌入的方式, 仍然覺得荒謬。 在瞭解其中的想法之後, 許多人嘗試找出更好的作法。 不過看了這些人做的, 還有自己試過的, 再回頭來看 Nash, 不得不承認他技高一籌, 他有高超強大的分析功力加上幾何直覺。 對於我這是一個奇特的發現 : 世界竟然可以這樣違背我們的認知。
問:John Nash獲得諾貝爾經濟獎, 也是電影美麗世界主角的原型。 許多人認為以他的工作應該得到菲爾茲獎, 你同意嗎?
答:是的, 撇開獎項, 當我們考慮他這個人, 他在科學上的成就, 他的發現真是匪夷所思。 他的思考方式極不尋常, 他在幾何上的工作, 包括結果、 技巧、 想法各方面來看都違背了一般的預期。 他用極其簡單的方式處理各種事, 簡單得每個人都可以理解, 但是沒人相信這樣行得通。 他還有巨大的執行能力 --- 以戲劇性的分析功力將想法付諸實現。 在我看來, 他在幾何上的成就遠遠超過在經濟上的好多好多倍, 兩者不能相提並論。 這是在如何思考流形的態度上, 一個不可置信的改變。我們可以徒手操弄流形, 結果卻可能比窮盡種種傳統手法還有威力。
問:所以你覺得 Nash 對你和你的工作有重要的影響?
答:絕對的。 他的工作以及 Smale 的工作 ( Stephen Smale, 1930$\sim$, 美國數學家, 研究拓樸、動力系統及數理經濟, 1966 菲爾茲獎得主), 這是 1960 年代初期 Sergei Novikov ( 1938$\sim$, 研究代數拓樸、孤立子理論, 1970 菲爾茲獎得主) 在暑期學校 (summer school) 中為我講解的, 一直是對我最重要而全面的影響。
問:你引入 h-principle, 這裡"h"代表同態(homotopy), 來探討一類源自微分幾何, 而不是自然科學的偏微分方程式, 如今這已是非常有力的工具, 請為我們解釋 h-principle 以及引入這個觀念背後的想法。
答:動機正是來自 Smale 和 Nash 的工作。 那時我理解到他倆處理的是大致相同的題材 --- 但在過去一直沒被釐清。 舉例來說, 如果用 Nash 的技巧, 不必用什麼高深的東西, 立刻可以一網打盡所有浸入(immersion)的結果。 Nash 的第一個引理就證明了拓樸裡所有的浸入定理! 這些讓我思索了好多年, 嘗試瞭解背後的機制。 我領悟到有個簡單通用的機制, 比較形式但可以把兩人的想法整合起來。 可以用到許多類型的方程式, 因為是橫跨兩個頗為遙遠數學主題的連結 (interpolation), 所以涵蓋的範圍很大。
問:你證明了一個著名的定理, 它綜合了 Milnor-Wolf 及 Tits 的定理。 這個定理告訴我們一個以多項式速率增長 (polynomial growth) 的有限生成群, 必定包含一個有限指標 (finite index) 的 nilpotent 子群。 你的證明最讓人稱道的是, 實際上你用了 Hilbert 第五問題。 顯然, 自從 Gleason ( Andrew M. Gleason, 美國數學家, 曾於二次大戰時破解德軍、 日軍密碼, 在李群、 量子力學、 組合等領域有根本的貢獻), Montgomery ( Deane Montgomery, 1909$\sim$1992, 美國數學家, 研究拓樸群) 和 Zippin ( Leo Zippin, 1905$\sim$1995, 俄裔美國數學家, 研究拓樸群) 解決它以來, 這是第一次意義重大的應用。 請為我們說明並加以引申?
答:我曾經想將這個定理在不同的脈絡下應用到黎曼幾何, 靈感來自 Margulis ( Grigory Margulis, 1946$\sim$, 研究李群的離散子群、 Diophantine 逼近等, 1978 菲爾茲獎得主) 1967 年關於 3 維 Anosov 流 (Anosov flow) 的論文和他 1970 年引入的準 --- 等度量 (quasi-isometries) 對 Mostow 剛性定理(rigidity theorem)的詮釋。 我想要證明一些東西, 不過卻是錯的。 我試著用拓樸動力學中某個版本的 Shub-Franks 建構, 也不行。 同時有一篇 Hirsch ( Morris Hirsch, 1933$\sim$, 美國數學家, 研究拓樸、 動力系統) 的文章, 考慮的正是多項式增長速率的問題 --- 是這個問題的特殊情形 --- 嘗試的方法是拓樸群的分類, 同樣不行, 所以我相信這個方法不管用。 我們大致明白很接近卻又還是行不通。 但是當我試著運用這套辦法將流形極限的想法形式化時, 我察覺到可能行得通。 對我可說是個驚喜。
問:當你發現這樣可行, 一定是個非常美好的經驗。
答:不過, 這並不真的是乍現的靈光。 我領悟到所需要的不過是觀念上一點點的改變, 接下來要做的不難。 在某種意義上, 證明極其簡單。 利用極限的一個顯然的觀念, 再藉助分析的威力, 可以多次趨近極限, 創造出前所未見的結構。 你不覺得做了什麼, 卻奇妙地達成了些事, 讓我很意外。
問:你引入了從無窮遠處考慮群的想法, 能恰當的描述群所連結的一串度量空間在所謂的 Gromov-Hausdorff 度量之下的極限。 這個技巧在你的運用下有深刻的效果, 請談談你的看法。
答:在用極限與這個想法證明了關於多項式速率增長的定理之後, Van den Dries ( Lou Van den Dries, 1951$\sim$, 荷蘭數學家, 研究模型理論) 和 Wilkie ( Alex Wilkie, 1948$\sim$, 英國數學家, 研究模型理論、 邏輯) 用 Ultrafilters 給出一個更好的證明。 於是我再回頭考慮它, 發現這個定理適用的範圍更廣, 包含極限雖不存在但 Ultralimits 存在的情形, 而且還對許多數學物體, 包含群, 提供了非常好的看法, 不過仍然沒達到雷霆萬鈞之力。
在群的方面, 我受到 Word Problems (1973) 書中 Paul Schupp ( 1937$\sim$, 美國數學家, 研究幾何群論、 計算複雜度等) 針對小消去理論 (the small cancellation theory) 總覽 (survey) 的影響, 他說「大家並不瞭解小消去群是什麼」, 我認為這是非常坦率, 非常有用的評語。 這話讓我覺得很舒坦, 因為我也不瞭解。 我開始思考到底什麼是小消去群, 後來就引出雙曲群的觀念。 我蠻開心的, 不過在寫出文章之前, 我有段時間無法處理一些技術上的問題, 例如證明一個類似 Cartan-Hadamard 的定理。
問:你什麼時候引進雙曲群的概念?
答:我最早學到群的幾何是在 1960 年代中期, Dima Kazhdan 為我解釋 Kurosh 子群定理的拓樸證明。 後來我讀了 1971 年 Inventiones 同一期中的兩篇文章 : Griffiths ( Phillip Griffiths, 1938$\sim$, 美國數學家, 研究幾何, 尤其是複流形的代數幾何) 關於複雙曲性 (complex hyperbolicity) 的論文,以及 Klingenberg ( Wilhelm Klingenberg, 1924$\sim$2010, 德國數學家, 研究微分幾何) 關於雙曲型流形的論文。 後者有雙曲性大致的想法, 雖然主要定理並不正確。 還有前面提到 Schupp 的論文。
1978 年在 Stony Brook 的會議我第一次提出雙曲群的定義, 命名為 Is(2) 群, 因為它滿足二維的線性等周不等式, 文章在三年後刊出。 記得我在 1977 年的 Arbeitstagung 也講過。 我試了大約十年, 想要證明每個雙曲群都可以成為(realizable)一個負曲率空間, 沒有成功, 到現在還不知道對錯。 後來 Steve Gersten ( 美國數學家, 研究代數)說服我把已知的結果寫下來, 我寫了但很不滿意, 因為不能確定是否真的需要這類群的理論; 如果它們真的如我所說是「幾何的」, 就不需要雙曲性的理論, 而且應該會有些更好的定理。
問:你說過幾乎所有的群都是雙曲群?
答:對, 這正是關鍵。 當我瞭解到在某些通用的建構 (generic constructions) 中, 不需要曲率就可以更清楚的看到雙曲性, 於是我接受雙曲性這個觀念, 認為它有存在的價值。 在這方面的第一篇文章中, 我建議了一個頗為技術性的定義和術語, 認為那是初步的概念。 但是最終我體認到, 不管我嘗試證明的「幾何化」定理是否成立, 這個概念可能都是正確的。 此外, 1980 年代初期 Ilya Rips ( 1948$\sim$, 拉托維亞出生以色列數學家, 研究幾何群) 在組合的框架下發展出雙曲群的理論, 遠遠超出當時我所知道的, 那時和他的討論以及正在發展中的 Thurston 的 3-D 理論 ( William Thurston, 1946$\sim$2012, 美國數學家, 是低維拓樸研究的先驅, 1982 菲爾茲獎得主), 還有 Cannon ( James W. Cannon, 1943$\sim$, 美國數學家, 研究低維拓樸、 幾何群) 對 Thurston 有理性猜測 (rationality conjecture) 的解, 這些都鼓勵了我。
問:讓我們換個領域, Symplectic Geometry, 你在這方面同樣有革命性的貢獻。 你引入複分析的方法, 也就是擬全純曲線 (pseudo-holomorphic curves), 請談談你的想法, 解釋如何得到這個新穎的切入方式, 還有與這個相關, 和弦論有關的Gromov-Witten不變量。
答:好的。 這個奇妙的發現我記憶鮮明, 到現在都歷歷在目。 那時我正在閱讀 Pogorelov ( Aleksei V. Pogorelov, 1919$\sim$2002, 蘇聯數學家, 研究凸幾何、微分幾何、幾何偏微分方程, 是多本幾何教科書的作者) 的凸曲面剛性性質的書, 書中用到 Bers ( Lipman Bers, 1914$\sim$1993, 美國數學家) 和 Vekua ( Ilya Vekua, 1907$\sim$1977, 喬治亞數學家) 發展的所謂準 --- 解析(quasi-analytic)函數, 他討論某些微分方程, 並且說它們的解是準-解析函數。 我無法理解兩者有什麼共通處, 我翻閱他的書以及這些人的文章, 但一點也不懂, 到現在都還是。 我非常不開心, 可是當我用幾何的語言來思考, 立刻看到那裡有個殆複結構 (almost complex structure), 而解就是這個殆複結構的全純曲線。 這沒什麼特別, 因為任何兩個變數的橢圓系統都有這個性質, 它與歌西-黎曼方程有相同的主要符號(principal symbol)。 一旦採用這樣的說法, 他用的定理就顯而易見。 不需要引用任何理論, 因為複數本身有個強制的定向(orientation), 就只需要這個。
問:你說顯而易見, 但是沒有多少數學家知道這事。
答:確實如此。 他們一頭鑽進定理的證明, 卻從不抬頭審視, 一旦換個語言檢視, 就清晰可見, 因為有代數幾何的經驗。 只要懂得代數幾何, 就會觀察到它們是同一回事。 如今複分析和代數幾何已經發展得很成熟, 知道這些理論, 就會覺察到沒什麼不同, 用到的只是其中的一部份, 不過是在更廣義的層次。 其次, 老實說有段時間我嘗試用它來重新瞭解 Donaldson 理論 ( Simon Donaldson, 1957$\sim$, 英國數學家, 以研究四維可微流形的拓樸著名, 1986 菲爾茲獎得主), 不過不成功, 因為有些技術上的困難無法克服。 其實, 它與四維流形是否是 Kählaer 的障礙 (obstruction) 類似。 我找 Pierre Deligne ( 1944$\sim$, 比利時數學家, 研究代數幾何, 1978 菲爾茲獎得主) 問他是否有不是 Kählaerian 同時具有某些糟糕性質的複曲面, 他說有, 並且舉出一些例子。 我轉而考慮 symplectic 的情形, 發現可以如法炮製。 所以再一次, 一旦知道該往哪裡走, 事情就很簡單, 簡單得讓我不敢相信竟然行得通。 因為過去只有 Donaldson 一個前例, 是 Donaldson 的理論告訴我們如此論證可以導出這樣的結論。 在 Donaldson 之前沒有, 如果不是 Donaldson 的發現給我莫大的鼓勵, 我可能不會認為這行得通。 此外, 1960 年代晚期我從 Dima Fuks ( Dmitry B. Fuks, 1939$\sim$, 蘇聯出生數學家, 研究無窮維李群表現理論) 那裡知道 Arnold 猜測, 還有 Eliashberg ( Yakov Eliashberg, 1946$\sim$, 蘇聯出生數學家, 研究辛幾何, 詳數播 162 期) 在 1970 年代發展 symplectic rigidity 的想法, 以及 Conley-Zehnder 定理, 這些背景讓我能夠做到上述的工作。
問:能不能談談 Perelman ( Grigori Perelman, 1966$\sim$, 俄羅斯數學家, 研究黎曼幾何、 拓樸, 2006 菲爾茲獎得主) 和 Hamilton ( Richard S. Hamilton, 1943$\sim$, 美國數學家, 研究微分幾何, 幾何分析) 關於 Poincaré 猜測的證明, 他們是否用了你的結果?
答:沒有, 即便有, 也只是非常簡單的東西。 那是完全不同的數學, 我知道它和幾何相關, 不過是次要的, 基本上是一類相當不同的數學, 我得承認我的瞭解僅止於皮毛。 但我必須說, 比起我們對廣義的歌西 --- 黎曼方程, 或是 Yang-Mills, Donaldson, Seiberg-Witten 等方程的瞭解, 這裡基本上是尚未開拓的領域。 有這個定理在這裡, 但是多少還是孤立的, 沒有以它為中心更廣的知識, 我們必須等等, 看看未來的變化。 當然我們期望它能蓬勃發展。
問:你和 Alain Connes ( 1947$\sim$, 法國數學家, 研究非交換幾何、算子代數, 1982 菲爾茲獎得主)有交流嗎?
答:喔, 當然。 我們頗有互動, 雖然我們思考的方式很不一樣。 他理解一半, 我理解另一半, 當中只有一丁點交集, 不可思議的, 有時候竟然得到管用的結果。 我和他以及 Moscovici ( Henri Moscovici, 研究非交換幾何、 大域分析) 已經合寫了兩篇文章, 證明 Novikov 猜測的一些特殊情形。
問:你想出來某些群上的 expanders 的例子, 造出 Baum-Connes 猜測的反例。
答:這個反例是由 Higson ( Nigel Higson, 1963$\sim$, 加拿大數學家, 研究非交換幾何、 算子代數、 K-理論), [Vincent] Lafforgue ( 1974$\sim$, 法國數學家, 研究算子代數的 K-理論)和 Skandalis ( Georges Skandalis, 1955$\sim$, 希臘和法國數學家, 研究非交換幾何、 算子代數)利用隨機群的建構得到的。
問:有沒有一個定理或結果是你最引以為傲的?
答:有。 毫無疑問, 就是引入擬全純曲線。 其它的都只不過是溫故而將已知的看起來像新發現。
問:你太謙虛了。
---本文譯者為中研院數學所退休研究人員---