Mikhail Gromov 是挪威科學人文學院頒發的 Abel 獎 2009 年得主。 五月十八日領獎之前 Gromov 在奧斯陸接受 Martin Raussen (任教丹麥 Aalborg University) 和 Christian Skau (任教 Norwegian University of Science and Technology) 的訪問。 訪談內容刊登在歐洲數學學會(EMS) 2009 年九月份的 Newsletter, 本刊取得相關機構 1 1 歐洲數學學會(EMS)、 挪威科學人文學院 (The Norwegian Academy of Science and Letters)。 及人士 2 2 Mikhail Gromov 教授、 Martin Raussen 教授、 Christian Skau 教授。 的授權, 翻譯 3 3 文中括弧內細明斜體字為譯者所加, 非原文所有。--- 譯者識 成中文與讀者分享。

問：首先, 恭喜你得到 2009 年的 Abel 獎, 我們先從你早年的生活與生涯談起； 你是二次世界大戰進入尾聲時, 在聖彼得堡 (當時叫列寧格勒) 東邊 245 公里的小鎮 Boksitogorsk 出生的？

答：我的母親是戰鬥部隊的隨軍醫生, 為了生產必須調到離前線稍遠的地方。

問：請談談你的背景, 早年的教育, 什麼人或事啟發了你對數學的興趣？

答：除了學校之外, 我第一次接觸到數學是母親為我買的 Rademacher ( Hans Rademarcher,1892$\sim$1969, 德裔美國數學家) 和 Toeplitz ( Otto Toeplitz, 1881$\sim$1940, 德國數學家) 寫的「數與形 (Numbers and Figures)」, 對我影響很大。 雖然我對大部分的內容不甚了了, 仍然讀得津津有味, 直到現在我還是對任何讓我好奇, 但無法瞭解的神秘事物充滿了興趣。

問：你在中學就曉得自己將來要念數學？

答：中學中期以後有段時間我對化學比數學更感興趣, 然後我就上鉤了 --- 俄羅斯有些為青少年設計的、 很好的數學練習題本, 我有一年的時間沉迷其中難以自拔。 中學最後一年, 我參加所謂的數學圈 (mathematical circle), 這是為低年級大學生辦的, 由 Vasia Malozemov 和 Serezha Maslov 主持 (Maslov 後來成為一位邏輯學家, 就是他向 Matiasevic 建議 Hilbert 的第十問題。) ( Sergei Maslov, 1939$\sim$1982, 以發展出自動化理論的逆方法 $($inverse method) 著名) ( Yuri Matiasevic, 1947$\sim$, 數學家與電腦學家, 以提出 Hilbert 第十問題的反證著名) 為我們這些年輕孩子安排了引人入勝充實的課程活動。 這是 1959 年在聖彼得堡上大學的前一年, 主要就是因為這個活動讓我決定學數學。

問：你在列寧格勒大學攻讀數學, 請談談當時的環境、 接受什麼樣的數學養成教育, 還有對你重要的老師。

答：我覺得是愉快的, 雖然周遭的政治氛圍讓人不太舒服。 數學界和教授們, 士氣非常高昂。 記得我最初的老師包括, Isidor Pavlovich Natanson 教授 ( 1906$\sim$1964, 研究實分析), 我還上過 Boris Mikhailovich Makarov 的課( 研究數學分析)。 你可以感受到他們高度的熱情、 對科學的投入, 再加上和高年級學長之間的互動, 對我產生非常強烈的衝擊, 像年輕的代數學家 Tolia Yakovlev, 他在我們心中烙下獻身數學至死不渝的形象。 另一方面, 列寧格勒大學的一般趨勢是將數學與科學連結, 我想應該是受到 Kolmogorov ( Andrey Kolmogorov, 1903$\sim$1987, 在機率論、 拓樸學、 古典力學、 演算法、 邏輯、 渦流、 計算複雜度等等有重大貢獻) 和 Gelfand ( Israel Gelfand, 1913$\sim$2009, 在群論, 表現理論、 泛函分析等有重大貢獻) 來自莫斯科的影響。 Kolmogorov 對流體力學有根本的貢獻, 而 Gelfand 則從事與生物以及物理相關的研究。 基本上, 對於知識的普世認知 : 認為數學是知性思維與發展的中心, 這樣的想法塑造出當時那裡的每一個人, 包括我。 我也從與 Dima Kazhdan ( David Kazhdan, 1946$\sim$, 原名 Dmitry Aleksandrovich Kazhda, 1975 移民美國任教 Harvard 大學後改名, 研究表現理論) 不時見面學到不少莫斯科的數學風格。

問：你從什麼時候開始發現自己有特出的數學天分？如何發現的？

答：我不認為自己有什麼特出。 不過是我正好有你們欣賞的才具, 如此而已。 我從來沒有過這樣的念頭。

問：至少在學生時代的後期, Vladimir Rokhlin ( 1919$\sim$1984, 在代數幾何、 幾何、 測度論、 機率論、 遍歷理論等有重要貢獻)是你的指導老師。 你覺得自己做數學的方式是否到今天還受到他的影響？

答：說來 Rokhlin 是在莫斯科受教育的, 思考數學的方式與列寧格勒大異其趣, 莫斯科學派比較接近西方數學的走向。 列寧格勒比較封閉, 重心放在古典的問題； 莫斯科則對新的發展比較開放, Rokhlin 將這種風氣帶到列寧格勒來。 另外一位有相同態度的是代數幾何學家 Boris Venkov ( Boris Borisovich Venkov, 1934$\sim$2011), 從他以及 Rokhlin 身上, 我獲得比列寧格勒傳統學派更為寬廣的數學視野與見地。 另一方面, 傳統學派實力也很雄厚； 譬如, Aleksandr Danilovich Alexandrov ( 1912$\sim$1999, 數學家, 物理學家, 哲學家和登山家) 領導的幾何學派, 我大部分的幾何是從成員中的 Zalgaller ( 1920$\sim$, 研究幾何與最佳化) 和 Burago ( 1936$\sim$, 研究微分幾何與凸幾何) 那裡學的, Burago 是我的幾何啟蒙老師。

問：1970 年代初期你在列寧格勒大學研究做得非常成功, 但你仍然離開那裡, 而且不久就在 1974 離開蘇聯, 是什麼促使你這麼做？

答：很簡單, 我常說越是不可以做的事, 人越想做, 我們都知道上帝禁止夏娃吃蘋果的結果, 這是人性。 官方說不能離開這個國家, 離開是不可能的, 是錯的, 是糟糕透頂的事。就像從事科學研究: 就算不可能, 還是嘗試。

問：當時要離開蘇聯可能不是那麼容易？

答：對於我, 相對簡單, 我非常幸運。 不過一般來說很難, 同時風險很高。 我必須申請, 等待了好幾個月才獲得批准。

問：去年的 Abel 得主之一 Jacques Tits ( 1930$\sim$, 比利時出生法國數學家, 研究群論及 incidence 幾何) 提起俄羅斯數學教育和各個學派, 他非常稱許俄羅斯數學的強烈個性以及在動機、 應用與技巧方法上緊密的連結。 他更提到研討會和討論氣氛熱絡, 有時甚至可以延續好幾小時。 你的看法呢？ 俄羅斯數學的風格和學派有什麼特別的地方？

答：就像我前面講的, 列寧格勒和莫斯科不太一樣, Tits 提到的可能是 Gelfand 在莫斯科的討論班, 我因為受邀演講參加過一次, 所以我的印象可能沒有什麼代表性。 不過那次, 在討論班即將開始前, Gelfand 花了將近兩個小時和聽眾討論不同的事情。 另一個討論班是 Piatetsky-Shapiro 主持的 ( Ilya Piatetsky-Shapiro, 1929$\sim$2009, 研究解析數論, 群表現及代數幾何), 就是一板一眼, 每當有人對黑板上的式子提問, Shapiro就會說, 什麼是學生理當知道的, 什麼是不該知道的, 該學這個、 這個或那個, 態度極為強勢, 甚至有些蠻橫, 非常強烈的展現出他的個性！

問：你是否依然能從自己的研究工作中感覺到特別的、 俄羅斯的數學背景？

答：當然, 毫無疑問, 這是一種對科學與數學非常浪漫的態度 : 覺得它們是值得生死以之的崇高志業。 因為學生時代我不曾到過其它國家, 不知道其它地方是否也是如此。 不過, 這是許多和我一樣出身俄羅斯的數學家傳承的情懷。

問：俄羅斯數學與目前西方的數學是否仍有很大的差異, 或是因為許多俄羅斯數學家現在到西方就業, 這些差異即將消失？

答：這點我不能判斷, 有那麼多俄羅斯人在西方工作, 我對目前俄羅斯的數學生態知道得不多。 許多事物一定已經發生巨大的變化。 我們那個時代對科學、數學的狂熱, 部分來自於對外面世界的反應。 學術生活是平靜美好的園地, 讓你離開外面頗為醜陋的政治世界。 當這些都改變了, 原先對學術強烈的專注也就退燒了也未可知, 這只是一個猜想。

問：你和俄羅斯數學家還有頻繁的接觸嗎？還偶而回去？

答：離開後回去過兩次, 還能感受到那裡的學術強度, 但是水準下滑, 部分原因是許多有天賦的人被更大的學術中心吸引, 到那邊去可以學得更多。

問：能不能告訴我們曾經影響你的還有哪些數學家, 像 Linnik ( Yuri Linnik, 1915$\sim$1972, 蘇聯數學家, 研究數論, 機率與統計)？

答：是的, Yuri Linnik 是列寧格勒大學一位偉大的科學家、教授和院士。 有一年他主持了一個代數幾何的學習班(educational seminar), 他讓人稱道的是, 總是知之為知之, 不知為不知, 承認自己的無知, 從不裝懂, 甚至還裝做不懂。 其次他與學生之間永遠平等對待。 有一次輪到我報告, 我睡過頭遲到了一小時, 他只一笑置之 --- 完全沒有生氣。 我想這展現出了他秉持的一種數學的精神 --- 數學大家庭中當有不分彼此同舟共濟的氛圍。

問：他的為人比起 Rokhlin 如何？

答：Rokhlin 因為過去際遇坎坷比較封閉。 他的個性極為強悍, 二次世界大戰時曾被俘, 他是猶太人, 不過設法隱瞞了身份。 獲釋之後被送進俄國的勞改營, 因為官方認定他沒有服完兵役, 淪為戰俘竟然不算服役！ 經過一番奔走, 他來到莫斯科。很難看出他內心的想法, 他非常內向孤僻, 凡事都要維持高標準, 不像 Linnik 那麼自在、 開放。 起初不明白是什麼造成這樣的人格特質, 後來才瞭解是因為過去不堪的遭遇。

問：Linnik 是不是也是猶太人？

答：我想他有一半猶太血統, 但是他沒有投入戰爭。 他過的是另一種人生, 身為科學院的成員, 在學術生涯中有較好的地位等等。 Rokhlin 則因為我不清楚的原因一直受到官方的差別待遇。 我聽到的是他和莫斯科的某些官員有過節。

有段時間他是 Pontryagin ( Lev Pontryagin, 1908$\sim$1988, 14 歲因煤油爐爆炸失明, 仍然成為 20 世紀大數學家之一, 在代數拓樸、 微分拓樸等有重大發現) 的秘書。 Pontryagin 眼睛看不見, 身為院士他需要一位秘書, Rokhlin 擔任這個工作直到他通過第二次論文口試 (俄羅斯制度有第二個博士學位), 這時他的學歷超出了職位所需, 當局於是讓他走路。 A.D. Alexandrov 那時是列寧格勒大學校長, 極力設法延攬他, 他在 1960 年到列寧格勒大學, 對那裡的數學發展影響極大, 整個拓樸學派是依循他的構想建成。 Rokhlin 是一位非常好的老師並且善於組織規劃。

問：Pontryagin 反猶太, 是嗎？

答：我認為他是在第二次婚姻之後才開始反猶太。 他看不見, 對外界事務的認知能獨立到什麼程度, 我們並不清楚。 他晚年反猶太, 還寫了些荒唐透頂的小冊子, 不知道是受到什麼影響而有那樣的想法。

答：由於「在幾何上革命性的貢獻」而得到 Abel 獎的, 你是第一位。 從歐基里得( 西元前四世紀中到西元前三世紀中, 希臘數學家, 公認為幾何奠基者)時代開始, 幾何可說是數學的『門面』, 也是如何寫數學、教數學的典範。 從19世紀初, 經由高斯 ( Carl Friedrich Gauss, 1777$\sim$1855, 德國數學家, 在數論、 代數、 統計、 分析、 微分幾何、 地球物理、 電磁、 力學等許多領域有重要的貢獻)、 Bolyai(János Bolyai,1802$\sim$1860, 匈牙利數學家, 非歐幾何的奠基者), Lobachevsky ( Nikolai Lobachevsky, 1792$\sim$1856, 雙曲幾何及 Dirichlet 積分的奠基者) 的工作, 幾何大幅拓展。 對於從那時候到現在某些重要的發展, 請談談你的看法？

答：我只能給出部分答案以及我個人的觀點。 古人如何看待這門科目今人難以知悉。 現在看來, 幾何是人們觀察外在世界而觸發的數學； 歐基里得對觀察做了有系統的整理, 並形塑成公設的數學, 再推導後續的結果, 不過一旦超出原來的設計就不妙了。 比方說平行公設, 一直有人想證明它。

這裡摻雜了不同的因素 : 一方面人們相信我們看世界只能有唯一一種方式, 試著以公設的方式來證明這點, 卻不成功。 終於數學家理解到必須破繭而出打破對公設天真的想法, 公設曾經很有用, 但是有其侷限, 公設已經完成使命, 最終必須捨棄。從此, 數學往不同的方向行進, 從單純觀察、 描述人們看得到的東西, 轉為描述人們不能直接看到 --- 只能經由非常隱晦的方式得知的東西, Abel ( Niels Henrik Abel, 1802$\sim$1829, 挪威數學家, 在不同的領域有先驅的貢獻, 最著名的是證明一般五次方程沒有根式解) 是促成這個轉變的人之一。 現代數學在 19 世紀初期成形, 然後愈來愈結構化。 數學不僅處理眼睛看到的, 還包括在更基本的層面上處理事物的結構。 當時數學家面對的一個問題是嘗試瞭解歐氏幾何的侷限, 這個問題如果用現代( 數學) 語言來陳述非常簡潔明白, 卻經過數百年才發展出這樣的語言。 這個工作由 Lobachevsky, Bolyai 和高斯開端, 在不同的領域則是由 Abel 和 Galois 開始 ( Évariste Galois, 1811$\sim$1832, 法國數學家, 他的工作成為後世抽象代數 Galois 理論及 Galois 群的基礎)。

問：大家公認你在 1970 年代後期革新了黎曼幾何。 請為我們解釋其中新穎的創見, 以及能夠突破的想法。

答：我不能解釋這個, 突破？ 原創？ 我從不做如是想。 每個數學家在探討某些新的東西時, 不會理會它是新的。 你相信大家都知道, 幾乎是當下分明, 只是別人沒說出來而已。 事實上許多數學證明都有這樣的情形； 證明的想法幾乎從沒被人說出來過。 有人認為顯而易見, 有人則不知不覺, 不同背景的人有不同的認知。

問：你的代表作之一被人形容為將幾何軟化(the softening of geometry) --- 以不等式或逼近或漸近方程來取代方程式。 例子包括以「疏略的觀點(coarse viewpoint)」研究黎曼幾何, 也就是同時考慮所有的黎曼結構。這是非常有創意的, 過去從來沒有人想到, 不是嗎？

答：也許是吧。 不過我還是不能確定是否有人有過同樣的想法。 對於我, 這個想法從一開始就是清楚的, 其實有很長一段時間我認為每個人都知道, 一直沒有將它說出來。 我相信有人知道它但是從來沒有機會大聲地公諸於世。 最終因為我在法國開課, 把它有系統地整理出來。

問：首先, 你有了這個新的視角, 基本的想法也許很簡單, 但是你是第一個在這個方向得到深刻結果的人。

答：不過, 還是有前人的工作。 黎曼幾何的這個趨勢從 Jeff Cheeger ( 1943$\sim$, 美國數學家, 研究微分幾何及其與拓樸、 分析間的連結) 的工作開始。 早先描述流形的語言頗為抽象, 有許多上、 下標, 很難入手。 我認為最先將黎曼幾何變得簡單的工作之一是 John Nash ( 1928$\sim$2015, 美國數學家, 在賽局理論、 微分幾何及偏微分方程有根本貢獻) 的結果。 事實上, 他對我的影響極大。 他只是把流形拿在手裡, 放到空間中, 把玩它們。 我從這裡初次學到非常實在的幾何, 簡單的東西, 但是必須將它投射到維度很高的空間。 然後是 Jeff Cheeger 的工作, 表面上是非常不同的主題, 卻有相同的態度 --- 事情可以經由正確的形式化變得頗為簡單。 所以我只是跟隨著他們的腳步。

問：所以你很早就研讀了Nash的工作而且深受影響？

答：是的, 我看得很用心, 而且我相信自己是唯一徹頭徹尾讀過他的論文的人。 從後來別人寫的論文判斷, 我不認為他們認真讀過。

問：何以見得？

答：起初, 看到 Nash 有篇文章, 我認為毫無道理, 但是 Rokhlin 教授說 : 「不, 不, 這篇你非看不可。」我還是覺得是天方夜譚； 不可能是對的。 但是之後再看, 簡直不可思議, 不可能對的竟然是正確的。 三篇論文中, 關於嵌入 (embedding) 的兩篇較難, 看起來很荒謬。 再細究嵌入的方式, 仍然覺得荒謬。 在瞭解其中的想法之後, 許多人嘗試找出更好的作法。 不過看了這些人做的, 還有自己試過的, 再回頭來看 Nash, 不得不承認他技高一籌, 他有高超強大的分析功力加上幾何直覺。 對於我這是一個奇特的發現 : 世界竟然可以這樣違背我們的認知。

問：John Nash獲得諾貝爾經濟獎, 也是電影美麗世界主角的原型。 許多人認為以他的工作應該得到菲爾茲獎, 你同意嗎？

答：是的, 撇開獎項, 當我們考慮他這個人, 他在科學上的成就, 他的發現真是匪夷所思。 他的思考方式極不尋常, 他在幾何上的工作, 包括結果、 技巧、 想法各方面來看都違背了一般的預期。 他用極其簡單的方式處理各種事, 簡單得每個人都可以理解, 但是沒人相信這樣行得通。 他還有巨大的執行能力 --- 以戲劇性的分析功力將想法付諸實現。 在我看來, 他在幾何上的成就遠遠超過在經濟上的好多好多倍, 兩者不能相提並論。 這是在如何思考流形的態度上, 一個不可置信的改變。我們可以徒手操弄流形, 結果卻可能比窮盡種種傳統手法還有威力。

問：所以你覺得 Nash 對你和你的工作有重要的影響？

答：絕對的。 他的工作以及 Smale 的工作 ( Stephen Smale, 1930$\sim$, 美國數學家, 研究拓樸、動力系統及數理經濟, 1966 菲爾茲獎得主), 這是 1960 年代初期 Sergei Novikov ( 1938$\sim$, 研究代數拓樸、孤立子理論, 1970 菲爾茲獎得主) 在暑期學校 (summer school) 中為我講解的, 一直是對我最重要而全面的影響。

問：你引入 h-principle, 這裡"h"代表同態(homotopy), 來探討一類源自微分幾何, 而不是自然科學的偏微分方程式, 如今這已是非常有力的工具, 請為我們解釋 h-principle 以及引入這個觀念背後的想法。

答：動機正是來自 Smale 和 Nash 的工作。 那時我理解到他倆處理的是大致相同的題材 --- 但在過去一直沒被釐清。 舉例來說, 如果用 Nash 的技巧, 不必用什麼高深的東西, 立刻可以一網打盡所有浸入(immersion)的結果。 Nash 的第一個引理就證明了拓樸裡所有的浸入定理！ 這些讓我思索了好多年, 嘗試瞭解背後的機制。 我領悟到有個簡單通用的機制, 比較形式但可以把兩人的想法整合起來。 可以用到許多類型的方程式, 因為是橫跨兩個頗為遙遠數學主題的連結 (interpolation), 所以涵蓋的範圍很大。

問：你證明了一個著名的定理, 它綜合了 Milnor-Wolf 及 Tits 的定理。 這個定理告訴我們一個以多項式速率增長 (polynomial growth) 的有限生成群, 必定包含一個有限指標 (finite index) 的 nilpotent 子群。 你的證明最讓人稱道的是, 實際上你用了 Hilbert 第五問題。 顯然, 自從 Gleason ( Andrew M. Gleason, 美國數學家, 曾於二次大戰時破解德軍、 日軍密碼, 在李群、 量子力學、 組合等領域有根本的貢獻), Montgomery ( Deane Montgomery, 1909$\sim$1992, 美國數學家, 研究拓樸群) 和 Zippin ( Leo Zippin, 1905$\sim$1995, 俄裔美國數學家, 研究拓樸群) 解決它以來, 這是第一次意義重大的應用。 請為我們說明並加以引申？

答：我曾經想將這個定理在不同的脈絡下應用到黎曼幾何, 靈感來自 Margulis ( Grigory Margulis, 1946$\sim$, 研究李群的離散子群、 Diophantine 逼近等, 1978 菲爾茲獎得主) 1967 年關於 3 維 Anosov 流 (Anosov flow) 的論文和他 1970 年引入的準 --- 等度量 (quasi-isometries) 對 Mostow 剛性定理(rigidity theorem)的詮釋。 我想要證明一些東西, 不過卻是錯的。 我試著用拓樸動力學中某個版本的 Shub-Franks 建構, 也不行。 同時有一篇 Hirsch ( Morris Hirsch, 1933$\sim$, 美國數學家, 研究拓樸、 動力系統) 的文章, 考慮的正是多項式增長速率的問題 --- 是這個問題的特殊情形 --- 嘗試的方法是拓樸群的分類, 同樣不行, 所以我相信這個方法不管用。 我們大致明白很接近卻又還是行不通。 但是當我試著運用這套辦法將流形極限的想法形式化時, 我察覺到可能行得通。 對我可說是個驚喜。

問：當你發現這樣可行, 一定是個非常美好的經驗。

答：不過, 這並不真的是乍現的靈光。 我領悟到所需要的不過是觀念上一點點的改變, 接下來要做的不難。 在某種意義上, 證明極其簡單。 利用極限的一個顯然的觀念, 再藉助分析的威力, 可以多次趨近極限, 創造出前所未見的結構。 你不覺得做了什麼, 卻奇妙地達成了些事, 讓我很意外。

問：你引入了從無窮遠處考慮群的想法, 能恰當的描述群所連結的一串度量空間在所謂的 Gromov-Hausdorff 度量之下的極限。 這個技巧在你的運用下有深刻的效果, 請談談你的看法。

答：在用極限與這個想法證明了關於多項式速率增長的定理之後, Van den Dries ( Lou Van den Dries, 1951$\sim$, 荷蘭數學家, 研究模型理論) 和 Wilkie ( Alex Wilkie, 1948$\sim$, 英國數學家, 研究模型理論、 邏輯) 用 Ultrafilters 給出一個更好的證明。 於是我再回頭考慮它, 發現這個定理適用的範圍更廣, 包含極限雖不存在但 Ultralimits 存在的情形, 而且還對許多數學物體, 包含群, 提供了非常好的看法, 不過仍然沒達到雷霆萬鈞之力。

在群的方面, 我受到 Word Problems (1973) 書中 Paul Schupp ( 1937$\sim$, 美國數學家, 研究幾何群論、 計算複雜度等) 針對小消去理論 (the small cancellation theory) 總覽 (survey) 的影響, 他說「大家並不瞭解小消去群是什麼」, 我認為這是非常坦率, 非常有用的評語。 這話讓我覺得很舒坦, 因為我也不瞭解。 我開始思考到底什麼是小消去群, 後來就引出雙曲群的觀念。 我蠻開心的, 不過在寫出文章之前, 我有段時間無法處理一些技術上的問題, 例如證明一個類似 Cartan-Hadamard 的定理。

問：你什麼時候引進雙曲群的概念？

答：我最早學到群的幾何是在 1960 年代中期, Dima Kazhdan 為我解釋 Kurosh 子群定理的拓樸證明。 後來我讀了 1971 年 Inventiones 同一期中的兩篇文章 : Griffiths ( Phillip Griffiths, 1938$\sim$, 美國數學家, 研究幾何, 尤其是複流形的代數幾何) 關於複雙曲性 (complex hyperbolicity) 的論文,以及 Klingenberg ( Wilhelm Klingenberg, 1924$\sim$2010, 德國數學家, 研究微分幾何) 關於雙曲型流形的論文。 後者有雙曲性大致的想法, 雖然主要定理並不正確。 還有前面提到 Schupp 的論文。

1978 年在 Stony Brook 的會議我第一次提出雙曲群的定義, 命名為 Is(2) 群, 因為它滿足二維的線性等周不等式, 文章在三年後刊出。 記得我在 1977 年的 Arbeitstagung 也講過。 我試了大約十年, 想要證明每個雙曲群都可以成為(realizable)一個負曲率空間, 沒有成功, 到現在還不知道對錯。 後來 Steve Gersten ( 美國數學家, 研究代數)說服我把已知的結果寫下來, 我寫了但很不滿意, 因為不能確定是否真的需要這類群的理論； 如果它們真的如我所說是「幾何的」, 就不需要雙曲性的理論, 而且應該會有些更好的定理。

問：你說過幾乎所有的群都是雙曲群？

答：對, 這正是關鍵。 當我瞭解到在某些通用的建構 (generic constructions) 中, 不需要曲率就可以更清楚的看到雙曲性, 於是我接受雙曲性這個觀念, 認為它有存在的價值。 在這方面的第一篇文章中, 我建議了一個頗為技術性的定義和術語, 認為那是初步的概念。 但是最終我體認到, 不管我嘗試證明的「幾何化」定理是否成立, 這個概念可能都是正確的。 此外, 1980 年代初期 Ilya Rips ( 1948$\sim$, 拉托維亞出生以色列數學家, 研究幾何群) 在組合的框架下發展出雙曲群的理論, 遠遠超出當時我所知道的, 那時和他的討論以及正在發展中的 Thurston 的 3-D 理論 ( William Thurston, 1946$\sim$2012, 美國數學家, 是低維拓樸研究的先驅, 1982 菲爾茲獎得主), 還有 Cannon ( James W. Cannon, 1943$\sim$, 美國數學家, 研究低維拓樸、 幾何群) 對 Thurston 有理性猜測 (rationality conjecture) 的解, 這些都鼓勵了我。

問：讓我們換個領域, Symplectic Geometry, 你在這方面同樣有革命性的貢獻。 你引入複分析的方法, 也就是擬全純曲線 (pseudo-holomorphic curves), 請談談你的想法, 解釋如何得到這個新穎的切入方式, 還有與這個相關, 和弦論有關的Gromov-Witten不變量。

答：好的。 這個奇妙的發現我記憶鮮明, 到現在都歷歷在目。 那時我正在閱讀 Pogorelov ( Aleksei V. Pogorelov, 1919$\sim$2002, 蘇聯數學家, 研究凸幾何、微分幾何、幾何偏微分方程, 是多本幾何教科書的作者) 的凸曲面剛性性質的書, 書中用到 Bers ( Lipman Bers, 1914$\sim$1993, 美國數學家) 和 Vekua ( Ilya Vekua, 1907$\sim$1977, 喬治亞數學家) 發展的所謂準 --- 解析(quasi-analytic)函數, 他討論某些微分方程, 並且說它們的解是準-解析函數。 我無法理解兩者有什麼共通處, 我翻閱他的書以及這些人的文章, 但一點也不懂, 到現在都還是。 我非常不開心, 可是當我用幾何的語言來思考, 立刻看到那裡有個殆複結構 (almost complex structure), 而解就是這個殆複結構的全純曲線。 這沒什麼特別, 因為任何兩個變數的橢圓系統都有這個性質, 它與歌西-黎曼方程有相同的主要符號(principal symbol)。 一旦採用這樣的說法, 他用的定理就顯而易見。 不需要引用任何理論, 因為複數本身有個強制的定向(orientation), 就只需要這個。

問：你說顯而易見, 但是沒有多少數學家知道這事。

答：確實如此。 他們一頭鑽進定理的證明, 卻從不抬頭審視, 一旦換個語言檢視, 就清晰可見, 因為有代數幾何的經驗。 只要懂得代數幾何, 就會觀察到它們是同一回事。 如今複分析和代數幾何已經發展得很成熟, 知道這些理論, 就會覺察到沒什麼不同, 用到的只是其中的一部份, 不過是在更廣義的層次。 其次, 老實說有段時間我嘗試用它來重新瞭解 Donaldson 理論 ( Simon Donaldson, 1957$\sim$, 英國數學家, 以研究四維可微流形的拓樸著名, 1986 菲爾茲獎得主), 不過不成功, 因為有些技術上的困難無法克服。 其實, 它與四維流形是否是 Kählaer 的障礙 (obstruction) 類似。 我找 Pierre Deligne ( 1944$\sim$, 比利時數學家, 研究代數幾何, 1978 菲爾茲獎得主) 問他是否有不是 Kählaerian 同時具有某些糟糕性質的複曲面, 他說有, 並且舉出一些例子。 我轉而考慮 symplectic 的情形, 發現可以如法炮製。 所以再一次, 一旦知道該往哪裡走, 事情就很簡單, 簡單得讓我不敢相信竟然行得通。 因為過去只有 Donaldson 一個前例, 是 Donaldson 的理論告訴我們如此論證可以導出這樣的結論。 在 Donaldson 之前沒有, 如果不是 Donaldson 的發現給我莫大的鼓勵, 我可能不會認為這行得通。 此外, 1960 年代晚期我從 Dima Fuks ( Dmitry B. Fuks, 1939$\sim$, 蘇聯出生數學家, 研究無窮維李群表現理論) 那裡知道 Arnold 猜測, 還有 Eliashberg ( Yakov Eliashberg, 1946$\sim$, 蘇聯出生數學家, 研究辛幾何, 詳數播 162 期) 在 1970 年代發展 symplectic rigidity 的想法, 以及 Conley-Zehnder 定理, 這些背景讓我能夠做到上述的工作。

問：能不能談談 Perelman ( Grigori Perelman, 1966$\sim$, 俄羅斯數學家, 研究黎曼幾何、 拓樸, 2006 菲爾茲獎得主) 和 Hamilton ( Richard S. Hamilton, 1943$\sim$, 美國數學家, 研究微分幾何, 幾何分析) 關於 Poincaré 猜測的證明, 他們是否用了你的結果？

答：沒有, 即便有, 也只是非常簡單的東西。 那是完全不同的數學, 我知道它和幾何相關, 不過是次要的, 基本上是一類相當不同的數學, 我得承認我的瞭解僅止於皮毛。 但我必須說, 比起我們對廣義的歌西 --- 黎曼方程, 或是 Yang-Mills, Donaldson, Seiberg-Witten 等方程的瞭解, 這裡基本上是尚未開拓的領域。 有這個定理在這裡, 但是多少還是孤立的, 沒有以它為中心更廣的知識, 我們必須等等, 看看未來的變化。 當然我們期望它能蓬勃發展。

問：你和 Alain Connes ( 1947$\sim$, 法國數學家, 研究非交換幾何、算子代數, 1982 菲爾茲獎得主)有交流嗎？

答：喔, 當然。 我們頗有互動, 雖然我們思考的方式很不一樣。 他理解一半, 我理解另一半, 當中只有一丁點交集, 不可思議的, 有時候竟然得到管用的結果。 我和他以及 Moscovici ( Henri Moscovici, 研究非交換幾何、 大域分析) 已經合寫了兩篇文章, 證明 Novikov 猜測的一些特殊情形。

問：你想出來某些群上的 expanders 的例子, 造出 Baum-Connes 猜測的反例。

答：這個反例是由 Higson ( Nigel Higson, 1963$\sim$, 加拿大數學家, 研究非交換幾何、 算子代數、 K-理論), [Vincent] Lafforgue ( 1974$\sim$, 法國數學家, 研究算子代數的 K-理論)和 Skandalis ( Georges Skandalis, 1955$\sim$, 希臘和法國數學家, 研究非交換幾何、 算子代數)利用隨機群的建構得到的。

問：有沒有一個定理或結果是你最引以為傲的？

答：有。 毫無疑問, 就是引入擬全純曲線。 其它的都只不過是溫故而將已知的看起來像新發現。

問：你太謙虛了。

---本文譯者為中研院數學所退休研究人員---