試題： 如圖 1, 在梯形 $ABED$ 中, $\angle D=\angle E=90^\circ$, $\triangle ABC$ 是等邊三角形, 且點 $C$ 在 $DE$ 上, 如果 $AD=7$, $BE=11$, 求 $\triangle ABC$的面積。 (第24屆"希望杯"全國初中數學邀請賽初二第 2 試)

分析： 本題涉及的基本圖形是直角梯形、直角三角形和等邊三角形。 欲求 $\triangle ABC$ 的面積, 只需求出等邊三角形 $\triangle ABC$ 的邊長, 或求出等邊三角形 $\triangle ABC$ 的邊長的平方, 或求出圖形中直角三角形的斜邊的長。

求解這類問題的最基本的方法是利用直角三角形求解。

思路1： 直接在 ${\rm Rt}\triangle ADC$ 和 ${\rm Rt}\triangle BCE$ 中利用畢氏定理列方程或方程組求解, 即可得到命題組提供的求解方法。

解法1： 如圖 2, 過點 $A$ 作 $AF\bot BE$, 垂足為 $F$。 設 $CD=x$, $CE=y$。 因為 $\triangle ABC$ 是等邊三角形, 則 \begin{equation} 7^2+x^2=11^2+y^2.\label{1} \end{equation} 在 ${\rm Rt}\triangle ABF$ 中, 由畢氏定理知, \begin{equation} 7^2+x^2=4^2+(x+y)^2.\label{2} \end{equation}

令 $x=ky$, 代入 \eqref{1}, \eqref{2} 得, $k=5$, 即 $x=5y$, 所以 $y^2=3$。 所以 $BC^2=11^2+3=124$。

由等邊三角形的面積公式知, $$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt 3}{4}BC^2=\frac{\sqrt 3}{4}\times 124=31\sqrt 3.$$

點評： 這種解法利用畢氏定理列方程組求解, 解法自然, 通俗易懂。 這種解法的難點是所列方程組是二元二次方程組, 對初中學生具有非常大的挑戰性, 大部分學生難以正確求解。 這裏令 $x=ky$, 極大地簡化了二元二次方程的求解過程, 也是正確求解本題的關鍵。

解法2： 如圖2, 過點 $A$ 作 $AF\bot BE$, 垂足為 $F$。

設等邊 $\triangle ABC$ 的邊長為 $a$, 由畢氏定理, 得 $$AF=\sqrt{a^2-16},\quad CD=\sqrt{a^2-49},\quad CE=\sqrt{a^2-121}.$$ 因為 $AF=CD+CE$, 所以 $\sqrt{a^2-16}=\sqrt{a^2-49}+\sqrt{a^2-121}$。

兩邊平方, 整理得 $154-a^2=2\sqrt{(a^2-49)(a^2-121)}$。

方程兩邊再次平方, 整理得 $a^2(a^2-124)=0$。

因為 $a\gt 0$, 所以 $a^2=124$。 由等邊三角形的面積公式知, $$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt 3}{4}a^2=\frac{\sqrt 3}{4}\times 124=31\sqrt 3.$$

點評： 這種解法也是利用畢氏定理列方程組求解, 解法自然, 通俗易懂。 這種解法的難點是所列方程組是無理方程, 已經超越了初中學生的能力, 初中學生難以正確求解。 正確化簡無理方程是這種求解過程遇到的最大障礙, 也是正確求解本題的關鍵。

思路2： 通過圖形的旋轉變換, 將已知線段 $AD$ 和 $BE$ 轉化到同一個直角三角形中, 然後利用畢氏定理或直角三角形中的邊角關係求解； 或通過構造相似三角形, 建立已知線段 $AD$ 和 $BE$ 與所求線段之間的關係, 從而通過列方程求解。

基於以上考慮, 本題在如下較為自然的解法。

解法3： 如圖 3, 將 $\triangle ADC$ 繞點 $C$ 沿順時針方向旋轉 $60^\circ $, 得到 $\triangle BGC$, 點 $D$ 的對應點為 $G$。 過點 $G$ 作 $GM\bot BE$, $GN\bot DE$, 垂足分別為 $M$、$N$。

由旋轉的性質易知 $GB=AD=7$, $\angle BGC=\angle ADC=90^\circ$,

$\angle DCG=60^\circ$, 所以 $\angle CGN=30^\circ$, $\angle BGM=30^\circ$。

在 ${\rm Rt}\triangle BGM$ 中, $BM=BG\sin 30^\circ=7\times \dfrac 12=\dfrac 72$, 所以 $$GN=ME=BE-BM=11-\dfrac 72=\dfrac {15}2.$$ 在 ${\rm Rt}\triangle CGN$ 中, $$GC=\dfrac{GN}{\cos 30^\circ}=\frac{15}2\times \frac 2{\sqrt 3}=5\sqrt 3.$$ 在 ${\rm Rt}\triangle BGC$ 中, $BC^2=GB^2+GC^2=7^2+(5\sqrt 3)^2=124$。

由等邊三角形的面積公式知 $$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt 3}{4}BC^2=\frac{\sqrt 3}{4}\times 124=31\sqrt 3.$$

點評： 這種解法借助於圖形的旋轉變換, 構造得到 ${\rm Rt}\triangle BGM$、 ${\rm Rt}\triangle CGN$ 及 ${\rm Rt}\triangle BGC$, 然後利用畢氏定理, 得到了等邊 $\triangle ABC$ 的邊長的平方, 從而求出等邊 $\triangle ABC$ 的面積。 這種解法避免了求解二元二次方程組或無理方程, 通俗易懂, 平實自然, 是一種比較完美的解法。

解法4： 如圖 4, 將 $\triangle ADC$ 繞點 $C$ 沿順時針方向旋轉 $60^\circ $, 得到 $\triangle BGC$, 點 $D$ 的對應點為 $G$。 延長 $GC$, 交 $BE$ 的延長線於點 $F$。

由旋轉的性質易知 $GB=AD=7$, $\angle BGC=\angle ADC=90^\circ$,

$\angle GBE=60^\circ$, 所以 $\angle GCE=120^\circ$, 所以 $\angle GBF=60^\circ$, $\angle F=30^\circ$。

在 ${\rm Rt}\triangle BGF$ 中, $BF=2BG=2\times 7=14$, 所以 $EF=BF-BE=14-11=3$。

在 ${\rm Rt}\triangle CEF$ 中, $CE=EF\tan 30^\circ=3\times \dfrac {\sqrt 3}{3}=\sqrt{3}$。

在 ${\rm Rt}\triangle BCE$ 中, $BC^2=BE^2+CE^2=11^2+(\sqrt 3)^2=124$。

由等邊三角形的面積公式知 $$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt 3}{4}BC^2=\frac{\sqrt 3}{4}\times 124=31\sqrt 3.$$

點評： 這種解法借助於圖形的旋轉變換, 得到四邊形 $BECG$。 在四邊形 $BECG$ 中, $\angle G=\angle BEC=90^\circ $, $\angle GBE=60^\circ $, $GB=7$, $BE=11$, 根據四邊形的這些特徵, 易想到通過延長 $GC$ 與 $BE$ 構造直角三角形, 然後根據直角三角形的邊角關係及畢氏定理求解。 這種解法通俗易懂, 平實自然, 是一種非常完美的解法, 可以視為求解這類問題的通法。

基於解法 4, 也可將 $\triangle BCE$ 繞點 $E$ 沿逆時針方向旋轉 $60^\circ $。 因此, 有如下解法 5。

解法5： 如圖 5, 將 $\triangle BCE$ 繞點 $C$ 沿逆時針方向旋轉 $60^\circ $, 得到 $\triangle ACG$, 點 $E$ 的對應點為 $G$。 延長 $AG$, 交 $DE$ 的延長線於點 $F$。

由旋轉的性質易知 $AG=BE=11$, $\angle AGC=\angle BEC=90^\circ$, $\angle GCE=60^\circ$, 所以 $\angle F=30^\circ$。

在 ${\rm Rt}\triangle ADF$ 中, $AF=2AD=2\times 7=14$, 所以 $GF=AF-AG=14-11=3$。

在 ${\rm Rt}\triangle CFG$ 中, $CG=GF\cdot \tan 30^\circ=3\times \dfrac{\sqrt 3}{3}=\sqrt 3$。

在 ${\rm Rt}\triangle ACG$ 中, $AC^2=AG^2+CG^2=11^2+(\sqrt 3)^2=124$。

由等邊三角形的面積公式知 $$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt 3}{4}AC^2=\frac{\sqrt 3}{4}\times 124=31\sqrt 3.$$

解法6： 如圖 6, $BA$, $ED$ 的延長線相交於點 $G$, 過點 $C$ 作 $CF\bot AB$, 垂足為 $F$。

由 $\triangle ADG \sim \triangle BEG$ 可知, $\dfrac{AG}{BG}=\dfrac{AD}{BE}=\dfrac 7{11}$。

令 $AG=7a$, 則 $BG=11a$,

所以 $AB=11a-7a=4a$。

因為 $\triangle ABC$ 是等邊三角形,

所以 $CF=\sqrt{(4a)^2-(2a)^2}=2\sqrt 3 a$。

由 $\triangle ADG\sim \triangle CFG$, 得 $\dfrac{CF}{AD}=\dfrac{GF}{GD}$, 即 $\dfrac{2\sqrt 3 a}{7}=\dfrac{7a+2a}{GD}$, 解得 $GD=\dfrac{21\sqrt 3}{2}$。

在 ${\rm Rt}\triangle CFG$ 中, 由畢氏定理知 $AG^2=AD^2+GD^2$,

即 $(7a)^2=7^2+\Big(\dfrac{21\sqrt 3}{2}\Big)^2$, 所以 $a^2=\dfrac{31}4$。 所以 $AC^2=16a^2=124$。

由等邊三角形的面積公式知 。 $$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt 3}{4}AC^2=\frac{\sqrt 3}{4}\times 124=31\sqrt 3.$$

點評： 根據已知四邊形 $ABED$ 的特徵, 易想到通過延長 $BA$ 與 $ED$ 構造直角三角形, 為了構架等邊 $\triangle ABC$ 與已構造的直角三角形之間的聯繫, 易想到過點 $C$ 作 $\triangle ABC$ 的高。 這種解法通過構造直角三角形, 利用相似三角形的性質、 畢氏定理、 等邊三角形的性質等知識求解, 通俗易懂, 解法自然, 對初中生而言, 不失為一種好方法。

思路3： 從教師的角度出發, 利用三角函數求解。

解法7： 如圖 7, 過點 $B$ 作 $DE$ 的平行線, 交 $DA$ 的延長線於點 $F$, 則 $\triangle ABF$ 是直角三角形。

設等邊 $\triangle ABC$ 的邊長為 $a$, 則 $AF=4$, $CD=\sqrt{a^2-49}$。

在 ${\rm Rt}\triangle ADC$ 中, $\cos \angle DAC\!=\!\dfrac 7a$, $\sin\angle DAC\!=\!\dfrac{\sqrt{a^2-49}}{a}$。

在 ${\rm Rt}\triangle ABF$ 中, $\cos \angle BAF=\dfrac 4a$, $\angle BAF=180^\circ-\angle DAC-60^\circ=120^\circ-\angle DAC$。

所以 $\cos\angle BAF=\cos(120^\circ-\angle DAC)=\cos 120^\circ\cos\angle DAC+\sin 120^\circ\sin \angle DAC$,

所以 $\dfrac 4a=-\dfrac 12\cdot \dfrac 7a+\dfrac{\sqrt{3}}2\cdot\dfrac{\sqrt{a^2-49}}{a}$, 解得 $a^2=124$。

由等邊三角形的面積公式知 $$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt 3}{4}AC^2=\frac{\sqrt 3}{4}\times 124=31\sqrt 3.$$

解法8： 設等邊 $\triangle ABC$ 的邊長為 $a$。 設 $\angle BCE=\alpha$, 則 $\angle ACD=120^\circ-\alpha$。

在 ${\rm Rt}\triangle BCE$ 中, $\sin \alpha=\dfrac{BE}{BC}=\dfrac {11}a$, $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{a^2-11^2}}{a}$。

在 ${\rm Rt}\triangle ADC$ 中, $\sin(120^\circ-\alpha)=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac 7a$。

因為 $\sin(120^\circ-\alpha)=\sin 120^\circ\cos\alpha-\cos 120^\circ\sin\alpha$,

所以 $\dfrac{\sqrt 3}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{a^2-11^2}}{a}+\dfrac 12\cdot \dfrac{11}a=\dfrac 7a$, 解得 $a^2=124$。

由等邊三角形的面積公式知 $$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt 3}{4}AC^2=\frac{\sqrt 3}{4}\times 124=31\sqrt 3.$$

點評： 以上兩種解法利用直角三角形的邊角關係及兩角差的三角函數公式較為簡潔的求得了等邊 $\triangle ABC$ 的邊長。 這兩種解法不需要添加複雜的輔助線, 對教師或高中學生而言, 是比較實用的求解方法。

致謝： 解法 8 是編輯部老師提出的解法, 在此表示誠摯的謝意！

參考文獻

---本文作者任教中國寧夏回族自治區中衛市沙坡頭區宣和鎮張洪學校---