40409 超級正交拉丁方與超級雙重幻方系
超級正交拉丁方與超級雙重幻方系
梁培基, 邱荷生, 　 2016年 12月(160) PDF
◀
章
節
close section ▶

一、前言

在 中, 談祥柏介紹了 中的一個 8 階雙重幻方。 在 中梁培基構造了一個 8 階雙重幻方和一個 16 階雙重幻方。

我們首先定義了超級雙重幻方和超級拉丁方。 並說明如何由兩個正交的超級拉丁方構造出一個超級雙重幻方, 以及如何由一個超級雙重幻方構造一個超級雙重幻方系。 並指出由兩個階次分別為 $m$ 和 $n$ 的超級雙重幻方有可能構造出階次為 $m^kn^e$ 階的超級雙重幻方。 並且給出兩個 8 階超級雙重幻方的例子及一個 32 階超級雙重幻方的例子。 還證明了不存在 4 階超級雙重幻方, 最後並提出了一些遺留的問題。

二、基本定義

如果一個 $n$ 階方陣 $A=(a_{ij})$ 的元素是由 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 這 $n$ 個元素組成, 而且此方陣的每一行 (列) 的元素都互不相同, 我們稱此方陣為一 $n$ 階拉丁方。

對一個 $2n$ 階的方陣 $A=(a_{ij})$, 我們稱它的元素 $a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}$ 為 $A$ 的主對角線元素; $a_{1,2n}, a_{2,2n-1},\ldots, a_{2n,1}$ 為 $A$ 的副對角線元素。

而元素: $a_{n,1}, a_{n-1,2}, a_{n-2,3},\ldots,a_{1,n}$ 及 $a_{n+1,2n}, a_{2n+2,2n-1}, a_{n+3,2n-2},\ldots,a_{2n,n+2}$ 為 $A$ 的第二副對角線。

而元素: $a_{1,n+1}, a_{2,n+2}, a_{3,n+3},\ldots, a_{n,2n}$ 及 $a_{n+1,1}, a_{n+2,2}, a_{n+3,3},\ldots,a_{2n,n}$ 為 $A$ 的第二主對角線。 以 $n=4$ 為例 $2n$ 階的各個對角線如下：

如果一個 $2n$ 階的拉丁方, 它的主對角線上的各元素, 副對角線上的各元素, 第二主對角線上的各元素及第二副對角線上的各元素都互不相同, 則稱此拉丁方為超級拉丁方。

而兩個拉丁方 $A=(a_{ij})$ 與 $B = (b_{ij})$ 的階次相同時則稱它們為正交的, 如果每一個有序二元集 $(a_{ij}\ b_{ij} )$ 在此 $n^2$ 個有序二元集 $(a_{ij} b_{ij} )$, $i=1,2,\ldots,n$, $j=1 ,2,\ldots,n$ 中恰出現一次。

兩個矩陣 $A=(a_{ij})$ 與 $B= (b_{ij})$ 的階次相同時, 它們的點積 $C= (c_{ij})$ 是指 $$ (c_{ij} )=C=A\cdot B=(a_{ij})\cdot (b_{ij})=(a_{ij}\ b_{ij} ).$$

一個 $2n$ 階方陣 $C= (c_{ij})$ 叫做超級和 (積) 幻方, 如果 $C$ 的各個元素互不相等, 而且 $C$ 的每行上元素的和 (積), 每列上元素的和 (積), 主對角線上元素的和 (積) , 副對角線上元素的和 (積) , 第二主對角線上元素的和 (積) 及第二副對角線上元素的和 (積), 都相等, 若 $C$ 的各個元素有相等的, 則稱為亞超級和幻方。

如果 $C$ 既是超級和幻方, 又是超級積幻方, $C$ 叫做超級雙重幻方。

三、基本定理

定理1： 若 $A=(a_{ij})$ 與 $B= (b_{ij})$ 是兩個正交超級拉丁方。 當它們的點積 $C=A\cdot B= (a_{ij}\ b_{ij} )$ 是超級和幻方時, 則 $C$ 必是超級雙重幻方。

證： 已知 $C$ 是超級和幻方, 又因 $A$ 與 $B$ 都是超級拉丁方, 故 $C$ 也是超級積幻方。 故 $C$ 是超級雙重幻方。

定理2： 若正交拉丁方 $A$ 與 $B$ 的點積 $C=A\cdot B$ 是超級雙重幻方, 則 \begin{eqnarray*} A_1&=& (a+ga_{ij} )\\ B_1&=& (b+hb_{ij} ) \end{eqnarray*} 也是兩個正交超級拉丁方, 而且它們的點積 $$C_1=[ (a+ga_{ij} ) (b+hb_{ij} ) ]$$ 可以有無限多種 $a$、 $b$、 $g$ 和 $h$ 的値使得 $C_1$ 是超級雙重幻方。

證： $A_1$ 與 $B_1$ 也是兩個正交超級拉丁方是很顯然的。

因 $C=A$ 與 $B= (a_{ij}\ b_{ij} )$ 是超級雙重幻方。 所以 $C$ 的所有元素都互不相等。 又因 $C_1$ 可表為 $$C_1=\Big[gh\Big(\frac ag+a_{ij}\Big)\Big(\frac bh+ b_{ij} \Big) \Big]$$ 對於任意給定的 $a$ 與 $b$, 必可使 $g$ 和 $h$ 取的足夠大, 使得 $C_1$ 的所有元素都互不相等。 這是因為當 $a$、 $b$ 給定後, 可使 $g$, $h$ 趨向無窮大, 使得 $$gh\Big(\frac ag+a_{ij}\Big)\Big(\frac bh+ b_{ij} \Big) \to gha_{ij}b_{ij}$$ 由 $C$ 的元素都互不相等, 可知 $C_1$ 的元素也都可以互不相等。 當 $C_1$ 的元素都互不相等時, 我們說 $C_1$ 是超級積幻方是很容易的, 因為這是明顯的事實。 我們現在來證明 $C_1$ 也是超級和幻方。 由 $$(a+ga_{ij} ) (b+hb_{ij} ) =ab+ahb_{ij} +bga_{ij} +gha_{ij} b_{ij}$$ 可知 $C_1$ 的第 $i$ 行各元素的和為 $$2nab+ah\sum_{j=1}^{2n}b_{ij} +bg\sum_{j=1}^{2n}a_{ij} +gh\sum_{j=1}^{2n}a_{ij} b_{ij}=2nab+ahb_o +bga_o +ghc_o$$ 這裏 $a_o$, $b_o$, $c_o$ 分別是 $A$, $B$, $C$ 的各行, 各列各對角線的元素之和。

所以 $C_1$ 各行, 各列的元素之和是相等的。 同理可以說明 $C_1$ 的主對角線上的元素之和, 副對角線, 第二主對角線及第二副對角線上各元素之和也是相等的。 所以 $C_1$ 既是超級積幻方, 也是超級和幻方, 即 $C_1$ 是超級雙重幻方。

如果我們用 $j$ 表每個元素都是 1 的方陣, 則可把定理 2 中的 $C$ 表為 $$C_1=(a_j+ga)\cdot (b_j+hb)$$ 當 $C=A\cdot B$ 是超級雙重幻方時, 存在無限多組 $a$、 $b$、 $g$ 及 $h$ 的値使 $C_1$ 為超級雙重幻方, 因而我們稱這樣的 $C_1$ 為超級雙重幻方系。

下面我們來談如何由兩個已知的超級雙重幻方構造出一個階次更大的超級幻方。

定理3： 若 $A=(a_{ij} )$ 及 $B=(b_{ij})$ 是兩個階次相同的超級拉丁方, $E=(e_{ij})$ 及 $F= (f_{ij})$ 是兩個階次相同的超級拉丁方。 且 $A\cdot B$ 及 $E\cdot F$ 都是超級雙重幻方, 假設存在常數 $g$、 $h$、 $e$ 和 $m$ 使 $$D=[(e_{ij}e_j+gA)\cdot (f_{ij}m_j+hB)]$$ 的各個元素都互不相等, 則 $D$ 為一個階次更大的超級雙重幻方。

證： 我們假設已取了一組 $g$、 $h$、 $e$、 和 $m$ 的値使 $D$ 的所有的元素都互不相等。 那麼很顯然, $D$ 是一個超級積幻方。 這是因為 $D$ 是一個分塊矩陣, 每一個子塊都是一個超級雙重幻方。 它的超級積幻方的性質是非常明顯的。 由 $$D=[(me_{ij}\ f_{ij}+he_{ij}\ B+mgf_{ij}\ A+ghA\cdot B]$$ 令 $a_o$, $b_o$, $c_o$ 分別表 $A$, $B$, $C$ 的各行 (各列) 元素之和, 且 $A$ 與 $B$ 的階次為 $h$, 則 $D$ 的第 $ij$ 個分塊的各行 (各列及各種對角線) 上元素之和為 $$mne_{ij}f_{ij} + hb_o\ e_{ij}+mga_of_{ij}+ghc_o$$ 又由 $E$、 $F$ 是超級拉丁方及 $E$、 $F$ 是超級雙重幻方可知： 上式無論對 $i$ 求和或對 $j$ 求和其値都相等。 類似的也可以得出 $D$ 的各種對角線上各元素之和也相等。 所以在這種情況下, $D$ 是一個超級雙重幻方。

四、兩個 8 階超級雙重幻方的例

定理4： 存在 8 階超級雙重幻方系。

證： 只要我們能把它們構造出來就行了。 先構造兩個超級拉丁方為： $$A=\left[\begin{array}{cc} ~A_{11}~&~A_{12}~\\ A_{21}&A_{22} \end{array}\right]\hskip 3cm B=\left[\begin{array}{cc} ~B_{11}~&~B_{12}~\\ B_{21}&B_{22} \end{array}\right]$$ $$A_{11}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} a_1\!-\!3a_2&~a_1\!-\!3a_2&~a_1\!+\!4a_2&~a_1\!+\!a_2\\ a_1\!-\!4a_2&~a_1\!-\!a_2&~a_1\!+\!3a_2&~a_1\!+\!2a_2\\ a_1\!+\!3a_2&~a_1\!+\!2a_2&~a_1\!-\!4a_2&~a_1\!-\!a_2\\ a_1\!+\!4a_2&~a_1\!+\!a_2&~a_1\!-\!3a_2&~a_1\!-\!2a_2 \end{array}\right]\hskip .1cm A_{12}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} a_1\!-\!4a_2&~a_1\!-\!a_2&~a_1\!+\!3a_2&~a_1\!+\!2a_2\\ a_1\!-\!3a_2&~a_1\!-\!2a_2&~a_1\!+\!4a_2&~a_1\!+\!a_2\\ a_1\!+\!4a_2&~a_1\!+\!a_2&~a_1\!-\!3a_2&~a_1\!-\!2a_2\\ a_1\!+\!3a_2&~a_1\!+\!2a_2&~a_1\!-\!4a_2&~a_1\!-\!a_2 \end{array}\right]$$ $$A_{21}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} a_1\!+\!a_2&~a_1\!+\!4a_2&~a_1\!-\!2a_2&~a_1\!-\!3a_2\\ a_1\!+\!2a_2&~a_1\!+\!3a_2&~a_1\!-\!a_2&~a_1\!-\!4a_2\\ a_1\!-\!a_2&~a_1\!-\!4a_2&~a_1\!+\!2a_2&~a_1\!+3\!a_2\\ a_1\!-\!4a_2&~a_1\!-\!a_2&~a_1\!+\!a_2&~a_1\!+\!4a_2 \end{array}\right]\hskip .1cm A_{22}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} a_1\!+\!2a_2&~a_1\!+\!3a_2&~a_1\!-\!a_2&~a_1\!-\!4a_2\\ a_1\!+\!a_2&~a_1\!+\!4a_2&~a_1\!-\!2a_2&~a_1\!-\!3a_2\\ a_1\!-\!2a_2&~a_1\!-\!3a_2&~a_1\!+\!a_2&~a_1\!+\!4a_2\\ a_1\!-\!a_2&~a_1\!-\!4a_2&~a_1\!+\!2a_2&~a_1\!+\!3a_2 \end{array}\right]$$ $$B_{11}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!-\!4b_2&~b_1\!-\!b_2\\ b_1\!-\!b_2&~b_1\!-3\!b_2&~b_1\!+\!4b_2&~b_1\!+\!2b_2\\ b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!-\!2b_2&~b_1\!-\!4b_2\\ b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!+\!2b_2&~b_1\!+\!4b_2 \end{array}\right]\hskip .4cm B_{12}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!+\!2b_2&~b_1\!+\!4b_2\\ b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!-\!2b_2&~b_1\!-\!4b_2\\ b_1\!-\!b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!+\!4b_2&~b_1\!+\!2b_2\\ b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!-\!4b_2&~b_1\!-\!2b_2 \end{array}\right]$$ $$B_{21}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!+\!2b_2&~b_1\!+\!4b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!b_2\\ b_1\!-\!2b_2&~b_1\!-\!4b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!b_2\\ b_1\!+\!4b_2&~b_1\!+\!2b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!-3\!b_2\\ b_1\!-\!4b_2&~b_1\!-\!2b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!3b_2 \end{array}\right]\hskip .4cm B_{22}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!-\!4b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!3b_2\\ b_1\!+\!4b_2&~b_1\!+\!2b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!-\!3b_2\\ b_1\!-\!2b_2&~b_1\!-\!4b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!b_2\\ b_1\!+\!2b_2&~b_1\!+\!4b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!b_2 \end{array}\right]$$

容易證明我們這樣所構造的方陣 $A$ 和 $B$ 都是超級拉丁方, 而且它們是正交的。 我們令 $C$ 為方陣 $A$ 與 $B$ 的點積, 而： $$C=A\cdot B=(a_{ij}\cdot b_{ij})$$ 由 $A$ 及 $B$ 的超級拉丁方的性質可知, 只要 $C$ 的各個元素互不相同, 那麼它就是一個超級積幻方。

由 $a_{ij} = a_1+a'_{ij}\cdot a_2b_{ij} = b_1+b_{ij}\cdot b_2$

可得 $a_{ij}\cdot b_{ij} = a_1b_1+b'_{ij}\cdot a_1b_1+a'_{ij}a_2b_1+a'_{ij}\cdot b'_{ij}\cdot a_2b_2$

又由 \begin{eqnarray*} &&\sum_{i=1}^8b'_{ij}=\sum_{i=1}^8a'_{ij}\sum_{j=1}^8b'_{ij}\sum_{j=1}^8a'_{ij}=0 \end{eqnarray*} 可知 \begin{eqnarray*} &&\sum_{i=1}^8a_{ij}\cdot b_{ij}=8a_1b_1+a_2b_2\sum_{i=1}^8a'_{ij}\cdot b'_{ij}\\ &&\sum_{j=1}^8a_{ij}\cdot b_{ij}=8a_1b_1+a_2b_2\sum_{j=1}^8a'_{ij}\cdot b'_{ij}\end{eqnarray*}

由兩條對角線及另外兩個和式所得的結果也是類似的。 因此 $C$ 是否超級和幻方完全取決於矩陣 $$D=(a'_{ij}\cdot b'_{ij})$$ 的各行各列的元素之和是否相等了。 我們把 $D$ 詳細的寫出為

D=
-3 -6 -16 -2 12 1 6 8
4 3 12 4 -9 -2 -8 -4
9 2 8 4 -4 -3 -12 -4
-12 -1 -6 -8 3 6 16 2
2 16 6 3 -8 -6 -1 -12
-4 -12 -3 -4 4 8 2 9
-4 -8 -2 -9 4 12 3 4
8 6 1 12 -2 -16 -6 -3

容易證明： $D$ 的各行的元素之和, 各列的元素之和, 兩條對角線上各元素之和以及 $D_{12}$ 與 $D_{21}$ 的主對角線上的元素之和等等都是 0。 故只要C的各個元素互不相同, 它就是一個超級和幻方。

我們現在來證明： 對於任意給定的 $a_1$ 與 $a_2$, 必存在 $b_1$ 與 $b_2$, 使得 $C$ 的各個元素互不相同。

對於 $C$ 的任意一個元素 $a_{ij}\cdot b_{ij}\ $。 其他元素若與它相等的話, 必是形如 $(a_{ij} +k_1a_2) (b_{ij} -k_2b_2)$ 或 $(a_{ij} -k_1a_2) (b_{ij} +k_2b_2)$ 這裏 $1\le k_1\le 8$, $1\le k_2\le 8\ $。

第一式若與 $a_{ij} b_{ij}$ 相等, 必是 $k_1a_2b_{ij} =k_2b_2(a_{ij} +k_1a_2)\ $。

當 $a_1$、 $a_2$ 都取定以後, 再取定 $b_2$, 我們必可使 $b_1$ 取得足夠大, 使它不能成為等式。 對於後一式的討論也是類似的。 因 $a_1$ 與 $a_2$ 之値取法有無限多。 故使 $C$ 的値互不相等的取法也有無限多。 這就證明了我們的定理。

由此我們可得一個一般的定理

定理5： 若 $A=(a_1+a_2a'_{ij})$, $B=(b_1+b_2b'_{ij})$ 是兩個正交的超級拉丁方。 且 $C'= (a'_{ij} b'_{ij})$ 為一個亞超級和幻方, 則 $C=A\cdot B=[(a_1+a_2a_{ij}) (b_1+b_2b_{ij})]$ 是超級雙重幻方系。

下面我們再給出一個 8 階超級雙重幻方系的例。 在此例中 $$A=\left[\begin{array}{cc} ~A_{11}~&~A_{12}~\\ A_{21}&A_{22} \end{array}\right]\hskip 3cm B=\left[\begin{array}{cc} ~B_{11}~&~B_{12}~\\ B_{21}&B_{22} \end{array}\right]$$ 這裏A仍上述。 若令 $$B_{11}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!5b_2&~b_1\!-\!7b_2&~b_1\!-\!3b_2\\ b_1\!-\!b_2&~b_1\!-5\!b_2&~b_1\!+\!7b_2&~b_1\!+\!3b_2\\ b_1\!+\!5b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!7b_2\\ b_1\!-\!5b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!7b_2 \end{array}\right]\hskip .4cm B_{12}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!-\!5b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!7b_2\\ b_1\!+\!5b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!7b_2\\ b_1\!-\!b_2&~b_1\!-\!5b_2&~b_1\!+\!7b_2&~b_1\!+\!3b_2\\ b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!5b_2&~b_1\!-\!7b_2&~b_1\!-\!3b_2 \end{array}\right]$$ $$B_{21}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!7b_2&~b_1\!-\!5b_2&~b_1\!-\!b_2\\ b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!7b_2&~b_1\!+\!5b_2&~b_1\!+\!b_2\\ b_1\!+\!7b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!-5\!b_2\\ b_1\!-\!7b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!5b_2 \end{array}\right]\hskip .4cm B_{22}\!\!=\!\!\left[\begin{array}{cccc} b_1\!-\!7b_2&~b_1\!-\!3b_2&~b_1\!+\!b_2&~b_1\!+\!5b_2\\ b_1\!+\!7b_2&~b_1\!+\!3b_2&~b_1\!-\!b_2&~b_1\!-\!5b_2\\ b_1\!-\!3b_2&~b_1\!-\!7b_2&~b_1\!+\!5b_2&~b_1\!+\!b_2\\ b_1\!+\!3b_2&~b_1\!+\!7b_2&~b_1\!-\!5b_2&~b_1\!-\!b_2 \end{array}\right]$$

此時所得的 $D$ 為

D=
-3 -10 -28 -3 20 1 9 14
4 5 21 6 -15 -2 -12 -7
15 2 12 7 -4 -5 -21 -6
-20 -1 -9 -14 3 10 28 3
3 28 10 3 -14 -9 -1 -20
-6 -21 -5 -4 7 12 2 15
-7 -12 -2 -15 6 21 5 4
14 9 1 20 -3 -28 -10 -3

這裏 $D$ 的各行元素, 各列元素, 各主副對角線上的元素之和都為 0。 所以由這一組 $A$、 $B$ 陣得到的也是一個超級雙重幻方系。

對後者來說, 當 $a_1\!=\!5$, $a_2\!=\!1$, $b_1\!=\!18$ 及 $b_2\!=\!1$ 時就可以得到一個 8 階超級雙重幻方。

五、一個 32 階超級雙重幻方的例

定理6： 存在 32 階超級雙重幻方系。

證： 我們來把他構造出來： $A$ 陣, $B$ 陣(略)

32 階雙重幻方分為第 1 列至第 16 列與第 17 列至第 32 列兩部分, 如下：

32 階雙重幻方 (1) , 第 1 列至 16 列

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 前半行和
33 898 2115 3204 7497 6730 4587 780 3825 4626 9747 19860 22425 15834 9531 3612 115304
2403 2820 449 66 715 5004 6057 8330 18867 10260 4369 4050 3483 9884 15225 23322 115304
1796 99 1602 705 8076 9163 650 3753 5140 4275 17874 8721 17052 24219 3354 8825 115304
1410 801 132 1347 4170 585 9996 7403 9234 16881 4500 4883 9178 3225 25116 16443 115304
29 14430 22847 24608 18165 14102 8855 2328 2509 4046 8175 15376 4645 3462 2247 1288 147112
23839 23584 13949 30 2231 9240 13461 19030 14415 8720 3757 2702 1127 2568 2885 5574 147112
15392 31 23070 21373 15384 19895 2134 8085 4624 2895 13454 7085 4616 6503 966 1605 147112
22110 22301 32 14911 8470 2037 20760 14743 7630 12493 3088 4335 1926 805 7432 4039 147112
1737 2890 5995 11532 929 1154 963 644 25 12506 19899 21532 14705 11538 7315 1940 115304
10571 6540 2601 1930 483 1284 577 1858 20763 20636 12025 26 1843 7700 10897 15570 115304
3468 2123 9610 4905 2308 2787 322 321 13468 27 19994 18425 12820 16435 1746 6545 115304
5450 8649 2316 3179 642 161 3716 1731 19162 19225 28 12987 6930 1649 17300 12179 115304
4725 5654 11799 23832 26013 18270 10943 4128 165 2694 4935 6408 10829 9422 6255 1040 147112
22839 12312 5397 4950 3999 11296 17661 26910 5607 5640 2245 198 975 6672 8749 11662 147112
6168 5175 21846 10773 19488 27807 3870 10237 3592 231 4806 3525 10768 12495 910 5421 147112
11286 20853 5400 5911 10590 3741 28704 18879 4230 4005 264 3143 5838 845 13328 10095 147112
4485 3654 2471 1032 2925 3598 7695 15888 17493 14806 9591 1560 957 13470 21855 25632 147112
903 2824 3045 5382 14895 8208 3341 3150 1495 10008 14133 18326 24831 22560 13021 990 147112
4872 6279 774 1765 4112 3375 13902 6669 16152 19159 1430 8757 14368 1023 24030 20445 147112
2118 645 7176 4263 7182 12909 3600 3855 9174 1365 19992 15479 21150 23229 1056 13919 147112
23225 15002 8667 4508 3281 5202 10355 19220 7785 6410 4235 1164 1 962 2211 3076 115304
4347 8988 14425 24154 18259 10900 4913 3474 1067 4620 5769 8650 2307 2948 481 2 115304
16156 25083 4186 8025 5780 3667 17298 9265 7692 9515 970 3465 1924 3 1538 737 115304
8346 4025 26012 15579 9810 16337 3860 5491 3850 873 10380 7051 1474 769 4 1443 115304
11245 8974 5775 1552 5 2886 5159 6152 26941 17310 9951 5152 4053 6358 12535 23064 147112
1455 6160 8333 12110 5383 5896 2405 6 4991 10272 16733 27870 22103 13080 6069 4246 147112
10256 12975 1358 5005 3848 7 4614 3685 18464 28799 4830 9309 6936 4439 21142 11445 147112
5390 1261 13840 9615 4422 3845 8 3367 9630 4669 29728 17887 11990 20181 4632 6647 147112
14161 12114 7923 1300 825 11674 19035 22428 897 1218 1059 516 2025 2570 5643 11916 115304
1235 8340 11441 14994 21627 19740 11225 858 387 1412 609 1794 10923 6156 2313 2250 115304
13460 15827 1170 7089 12572 891 20826 17625 2436 2691 258 353 3084 2475 9930 4617 115304
7506 1105 16660 12787 18330 20025 924 12123 706 129 3588 1827 5130 8937 2700 2827 115304
262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416

32階雙重幻方 (2), 第 17 列至 32 列

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 後半行和
21 10582 16951 18456 25085 19230 11935 3104 965 1734 3815 7688 12077 8078 4815 2576 147112
17687 17688 10101 22 3007 12320 18589 25950 6727 4360 1445 1158 2415 5136 7501 13006 147112
11544 23 16918 15477 20512 26815 2910 11165 2312 1351 5766 2725 9232 13935 2254 4173 147112
16214 16149 24 11063 11550 2813 27680 19871 3270 4805 1544 2023 4494 2093 14864 8655 147112
297 4490 7755 9612 833 1346 1291 260 5625 6682 13851 27804 15249 10962 6707 2580 115344
8811 8460 4041 330 195 1668 673 1666 26811 14364 6425 5850 2451 7060 10353 16146 115304
5388 363 8010 6345 2692 2499 130 417 7196 6075 25818 12825 12180 17043 2322 6001 115304
7050 7209 396 4939 834 65 3332 2019 13338 24825 6300 6939 6354 2193 17940 11571 115304
6525 7710 15903 31776 18837 13398 8119 3096 429 6286 10575 12816 4165 4038 2919 520 147112
30783 16416 7453 6750 2967 8472 12789 19734 12015 11280 5837 462 455 3336 3365 4998 147112
8224 6975 29790 14877 14616 20631 2838 7413 7184 495 11214 9165 5384 5831 390 2085 147112
15390 28797 7200 7967 7766 2709 21528 14007 9870 10413 528 6735 2502 325 6664 4711 147112
193 578 1635 3844 8361 5770 3531 1932 17 8658 14003 15380 21625 16666 10395 2716 115304
2883 2180 289 386 1771 3852 5193 9290 14611 14740 8177 18 2619 10780 16025 22490 115304
1156 579 1922 545 6924 10219 1610 2889 9620 19 13842 12529 17948 23355 2522 9625 115304
1090 961 772 867 3210 1449 11148 6347 13266 13073 20 9139 10010 2425 24220 17307 115304
15793 10386 6099 3220 4825 7514 14715 26908 865 1282 1155 388 9 4810 8107 9228 115304
3059 6420 9809 16722 25947 15260 7225 5018 291 1540 641 1730 8459 8844 4329 10 115304
11540 17651 2898 5457 8092 5211 24986 13625 2564 2595 194 385 5772 11 7690 6633 115304
5778 2737 18580 10963 14170 24025 5404 7803 770 97 3460 1923 7370 6921 12 5291 115304
11661 8526 5295 2064 1125 1542 3591 7944 24157 20190 12927 2080 693 9878 16215 19224 147112
1935 5648 7917 12558 6951 4104 1285 1350 2015 13344 19517 24990 18423 16920 9429 726 147112
9744 13455 1806 4589 2056 1575 5958 2565 21536 25823 1950 12093 10776 759 17622 14805 147112
4942 1677 14352 9135 3078 4965 1800 1799 12510 1885 26656 20863 15510 16821 792 10327 147112
20825 17498 11259 1820 561 8082 13395 16020 8073 6090 3883 1548 225 514 1539 3972 115304
1755 11676 16825 21658 15219 14100 7633 594 1419 4236 5481 8970 2979 2052 257 450 115304
18844 22491 1690 10425 8980 627 14418 11985 7308 9867 1290 3177 1028 675 1986 513 115304
10842 1625 23324 18171 12690 13617 660 8531 3530 1161 10764 6699 1026 993 900 771 115304
4325 3846 2695 776 13 6734 11055 12304 19509 12694 7383 3864 5597 8670 16895 30752 147112
679 3080 3205 5190 11535 11792 6253 14 3703 7704 12117 20438 29791 17440 8381 5790 147112
5128 6055 582 1925 7696 15 10766 9581 13848 21367 3542 6741 9248 5983 28830 15805 147112
2310 485 6920 4487 10318 9997 16 7215 7062 3381 22296 13271 16350 27869 6176 8959 147112
262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416 262416
幻和 $S_{32} = 262416$. \begin{eqnarray*} \hbox{幻積}\ \Pi_{32}\!&\!=\!&\!1119856,8910693992,9258498195,6494611566,2254659894,8481526637,\\ &&1583038089,4301041900,0214950216,2829984601,0798080000,0000000000. \end{eqnarray*} 可以驗證 $C_{ij}$ 的各行、 各列及各個對角線上元素之和 (之積) 都分别等于它们的定值, 所以 $C$ 是一個超級雙重幻方。

六、不存在 4 階超級雙重幻方

下面我們將說明階次為 4 的矩陣恰有一對正交拉丁方。 但它們卻不能構造出超級雙重幻方系。即

定理7： 階次為 4 的矩陣一對正交超級拉丁方。 但用它們構造不出超級雙重幻方系。

證： 我們構造一對正交超級拉丁方

$a_1$ $a_2$ $a_3$ $a_4$
$a_3$ $a_4$ $a_1$ $a_2$
$a_4$ $a_3$ $a_2$ $a_1$
$a_2$ $a_1$ $a_4$ $a_3$

$b_1$ $b_2$ $b_3$ $b_4$
$b_4$ $b_3$ $b_2$ $b_1$
$b_2$ $b_1$ $b_4$ $b_3$
$b_3$ $b_4$ $b_1$ $b_2$

在上表中, 因為第一行我們可以任意填寫, 就令它們是 $a_1$、 $a_2$、 $a_3$、 $a_4$ 及 $b_1$、 $b_2$、 $b_3$、 $b_4$。 按超級拉丁方的要求第二行的第一個元素只能有兩種取法, 或取 $a_3(b_3)$, 或取 $a_4(b_4)$, 當這個元素取定後, 按超級拉丁方的要求, 以下的元素都是依次唯一確定的。 這樣我們就造出了這兩個超級拉丁方, 而它們恰是正交的。 因為我們只能造出這兩個, 所以 4 階的超級拉丁方就是只有這兩個 (同構者我們看作相同)。

我們現在來證明由這兩個正交超級拉丁方構造不出超級雙重幻方。

假設由它們能造出超級雙重幻方。那麼它們的點積

$a_1b_1$ $a_2b_2$ $a_3b_3$ $a_4b_4$
$a_3b_4$ $a_4b_3$ $a_1b_2$ $a_2b_1$
$a_4b_3$ $a_3b_1$ $a_2b_4$ $a_1b_3$
$a_2b_3$ $a_1b_4$ $a_4b_1$ $a_3b_2$

令第一行的各元素之和與其它各行、 各列及各對角線上元素之和分別相等可得到 11 個等式, 其中 8 個是： \begin{eqnarray*} (a_2-a_4)b_2+(a_3-a_2)b_3+(a_4-a_3)b_4&=&0\\ (a_2-a_3)b_2+(a_3-a_4)b_3+(a_4-a_1)b_4&=&0\\ (a_1-a_3)b_1+(a_3-a_4)b_3+(a_4-a_1)b_4&=&0\\ (a_1-a_4)b_1+(a_3-a_1)b_3+(a_4-a_3)b_4&=&0\\ (a_1-a_4)b_1+(a_2-a_1)b_2+(a_4-a_2)b_4&=&0\\ (a_1-a_2)b_1+(a_2-a_4)b_2+(a_4-a_1)b_4&=&0\\ (a_1-a_2)b_1+(a_2-a_3)b_2+(a_3-a_1)b_3&=&0\\ (a_1-a_3)b_1+(a_2-a_1)b_2+(a_3-a_2)b_3&=&0 \end{eqnarray*} 要使 $b_1$、 $b_2$、 $b_3$、 $b_4$ 有非 0 解, 由上列各式可得

$0$ $a_2\!-\!a_4$ $a_3\!-\!a_2$ $a_4\!-\!a_1$ $=0$
$0$ $a_2\!-\!a_3$ $a_3\!-\!a_4$ $a_4\!-\!a_2$
$a_1\!-\!a_3$ $0$ $a_3\!-\!a_4$ $a_4\!-\!a_1$
$a_1\!-\!a_1$ $0$ $a_3\!-\!a_1$ $a_4\!-\!a_3$

$0$ $a_2\!-\!a_4$ $a_3\!-\!a_2$ $a_4\!-\!a_1$ $=0$
$0$ $a_2\!-\!a_3$ $a_3\!-\!a_4$ $a_4\!-\!a_2$
$a_1\!-\!a_4$ $a_2\!-\!a_1$ $0$ $a_4\!-\!a_2$
$a_1\!-\!a_2$ $a_2\!-\!a_4$ $0$ $a_4\!-\!a_1$

$0$ $a_2\!-\!a_4$ $a_3\!-\!a_2$ $a_4\!-\!a_1$ $=0$
$0$ $a_2\!-\!a_3$ $a_3\!-\!a_4$ $a_4\!-\!a_2$
$a_1\!-\!a_2$ $a_2\!-\!a_3$ $a_3\!-\!a_1$ $0$
$a_1\!-\!a_3$ $a_2\!-\!a_1$ $a_3\!-\!a_2$ $0$

由上面三個行列式分別可得 \begin{eqnarray*} (a_2-a_1)(a_2-a_3)(a_ 2 1+a_ 2 3+a_ 2 4-a_1a_3-a_1a_4-a_3a_4)&=&0\\ (a_3-a_1)(a_3-a_4)(a_ 2 1+a_ 2 2+a_ 2 4-a_1a_2-a_1a_4-a_2a_4)&=&0\\ (a_3-a_1)(a_4-a_2)(a_ 2 1+a_ 2 2+a_ 2 3-a_1a_2-a_1a_3-a_2a_3)&=&0 \end{eqnarray*} 因為不能有 $a_i=a_j$, $i\not=j\ $。 所以必有 \begin{eqnarray*} a_ 2 1+a_ 2 3+a_ 2 4-a_1a_3-a_1a_4-a_3a_4 &=&0\\ a_ 2 1+a_ 2 2+a_ 2 4-a_1a_2-a_1a_4-a_2a_4 &=&0\\ a_ 2 1+a_ 2 2+a_ 2 3-a_1a_2-a_1a_3-a_2a_3 &=&0 \end{eqnarray*} 由上列前兩式和後兩式分別可得 \begin{eqnarray*} (a_2-a_3)(a_2+a_3-a_1-a_4) &=&0\\ (a_3-a_4)(a_3+a_4-a_1-a_2) &=&0 \end{eqnarray*} 同前, 由上兩式只可能有 $$a_2+a_3-a_1-a_4 = 0 \qquad a_3+a_4-a_1-a_2 = 0$$ 由上列兩式只能有 $$a_2 = a_4$$ 這是不允許的。

所以由這兩個超級正交拉丁方不能構造出超級雙重幻方。

七、問題

對於超級雙重幻方的研究只是一個開端, 需要研究的問題還很多, 我們現在想到的有以下幾點： (以下所說的 $n$ 都是矩陣的階次) 。

  1. 對於什麼樣的 $n$ 存在超級拉丁方？
  2. 對於什麼樣的 $n$ 存在正交超級拉丁方？
  3. 若對某個階次 $n$ 存在正交超級拉丁方, 這樣互相正交的超級拉丁方最多可有多少？
  4. 對於什麼樣的正交超級拉丁方可構造出雙重幻方系？
    目前解決了:
    1. $n= (2k+1)^m, \ (k=1,2,\ldots, m\ge 2)$;
    2. $n=2^m$ $(m\ge 3)$;
    3. $nk$ ($n\not=$3 的倍數, 且 $n>3$, $k>3$ 的奇數)
  5. 是否超級雙重幻方系都只能由一對正交超級拉丁方造出？
  6. 是否存在 6 階超級雙重幻方系？

附： 寫這篇文章的時候心情非常沉痛, 當年對我關心、支持、幫助的老前輩、老數學家 -- 邱荷生研究員已經離開了這個世界, 雖然離開了我們, 但他在學術研究方面功不可沒, 特別是在雙重幻方與反幻方方面, 孜孜不倦地指導我從 "0" 開始起步、學習、進展、發表文章, 取得一些成果。

筆者忠懇的感謝幫助、 指導我進步的已故的老數學家、 老前輩： 梁宗巨教授, 張忠輔教授、邱荷生研究員。 他們高尚尊貴的人格、純潔無瑕的品格、樂於助人的風格。 為我們矗立了學習的豐碑！

老教授, 老前輩, 永垂不朽！

參考文獻
談祥柏。《世界之最》(2)。上海科學技術出版社, 128-129, 1980。 W· W· Horner. Addition --- Mulirlieationmagic square of orcer 8, Scrirta Uattlematica, 21, 23-27, 1955. 梁培基。雙重幻方。數學研究與評論, 2(2), 14, 1982。 Liang Peiji, Sun Rongguo, Ku Tunghsin and Zhu Lie, A construction of addition-multiplication magic squares using orthogonal diagonal latin squares. Journal of Combin. Math., 1992. 梁培基、顧同新。平方幻方與雙重幻方的構造。數學傳播季刊, 13(3), 65-69, 1989。 [美]李學數。 數學與數學家的故事。 第7冊, 封丘農民數學家梁培基, 上海科學技術出版社。

---本文作者梁培基任職教河南省封丘縣科協, 邱荷生任職河南省數學會---