本文為作者在 2013 數學年會大會演講 Surface Geometry and General Relativity 的講稿中譯。

在這個演講中我要談談兩個關於三維空間 $\mathbf R^3$ 中曲面的古典定理, 以及它們在 Minkowski 時空空間 $\mathbf R^{3,1}$ 中的推廣。 這些推廣與廣義相對論中一些基本的問題緊密相關, 例如： 重力能量 (gravitational energy) 以及宇宙審查 (cosmic censorship)。 所以我們討論它們不僅是對上面的數學感興趣, 更是因為它們與物理的關連。

本文中我們假設所有的2維曲面都和球面有相同拓樸型態(也就是二者之間有一個可逆的連續映射)。

考慮一個經由 $X: \Sigma\hookrightarrow \mathbf R^3$ 嵌入 $\mathbf R^3$ 的曲面 $\Sigma$, $X=(X^1,X^2,X^3)$ 代表嵌入(embedding) 的座標函數。 令 ${u^a}$, ${a=1,2}$ 代表 $\Sigma$ 上的局部座標系統, 所以每個 $X^i$, $i=1,2,3$ 都看成在局部定義的 $u^a$ 的函數。 由此導出此嵌入的度量或其第一基本形式(first fundamental form) 如下： $$ \sigma_{ab} =\sum^3_{i=1} \frac{\partial X^i}{\partial u^a} \frac{\partial X^i}{\partial u^b} $$

這是曲面上正定的對稱 2-張量, 這個度量決定了曲面所有的內在幾何。

以 $S^2$ 為例

取 $u^1=\theta$, $u^2=\phi$, $0\lt \theta \lt \pi$, $0\lt \phi\lt 2\pi$, $X^1(\theta, \phi)=\sin\theta\sin\phi$, $X^2(\theta, \phi)=\sin\theta\cos\phi$, $X^3(\theta, \phi)=\cos\theta$, 則 $\sigma_{11}=1$, $\sigma_{12}=\sigma_{21}=0$, $\sigma_{22}=\sin^2\theta$.

所以是正定的對稱2-張量。

對於 $\mathbf R^3$ 裡的曲面 $\Sigma$, 最重要的外在幾何量是均曲率 $H$, 它與面積的變動有關。 假設 $\Sigma$ 是一個閉嵌入曲面, $|\Sigma|= \int_{\Sigma}d\mu$ 代表它的面積, 如果沿著這個曲面的向外法線方向, 以 $s$ ($s$ 是 $\Sigma$ 上的函數)為速度將 $\Sigma$ 變形, 面積的變化是 $$ \int_{\Sigma} sH \ d\mu $$ 這裡 $d\mu$ 是 $\Sigma$ 上的度量導出的面積元素。 $H=0$ 對應到最小曲面, $H=$常數對應到均曲率曲面 (CMC), 這是面積泛函的臨界點。

對於嵌入 $\mathbf R^{3,1}$ Minkowski時空中的曲面 $X: \Sigma \hookrightarrow \mathbf R^{3,1}$, $X=(X^0,X^1,X^2,X^3)$ 由此導出的度量為 $$ -\frac{\partial X^0}{\partial u^a}\frac{\partial X^0}{\partial u^b} + \sum^3_{i=1} \frac{\partial X^i}{\partial u^a} \frac{\partial X^i}{\partial u^b} $$

當上面的度量為正定時, 我們稱 $\Sigma$ 為類空間 (spacelike) 曲面。

另外還有均曲率向量場 $\vec{H}$, 這是一個法向量場, 量度曲面變形時面積的變化。 明確地說, 對於任意法變分場 $\vec{V}$ (normal variational field), 均曲率向量場滿足第一變分公式 (first variational formula) $$ \delta_{\vec{V}} |\Sigma| =- \int_{\Sigma}\lt \vec{H}, \vec{V}\gt \ d\mu .$$ $\delta_{\vec{V}} |\Sigma|$ 代表曲面沿著方向 $\vec{V}$ 的面積變化, 而 $d\mu$ 是 $\Sigma$ 上的度量導出的面積元素。

在相對論中, 光在虛空中行進, 從時空中的曲面發射出來的光束可以發散也可以匯聚。 在廣義時空中存在所謂的囚陷曲面(trapped surface), 所有發出的光束都會收斂, 顯示在這個曲面附近有很強的重力場。 Penrose 奇異點定理 [, , ] 主張囚陷曲面的存在可引致未來時空奇異點的形成。

所以科學家們希望可以用均曲率向量場得到好的重力能量的測量。 事實上, 有數個已知的想法, 如 Hawking 能量, Brown-York 能量 以及 Liu-Yau , Wang-Yau 能量, 都是以均曲率向量來定義的準局部能量 (quasilocal energy)。

讓我們先回顧 $\mathbf R^3$ 的 Weyl 等度量嵌入問題：在2維球面 $\Sigma$ 上給定一個正定的對稱 2-張量 $\sigma_{ab}$, 是否存在一個嵌入 $ X: \Sigma \rightarrow \mathbf R^3$ 使其導出的度量 $\sum^3_{i=1} \frac{\partial X^i}{\partial u^a} \frac{\partial X^i}{\partial u^b}$ 和 $\sigma_{ab}$ 一樣？ 這裡有三個未知的座標函數 $X^1,\ X^2,\ X^3$, 是 $u^1,\ u^2$ 的函數, 還有對應於 $\sigma_{ab}$ 分量的三個方程。 $$ \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} \end{bmatrix} $$ 注意 $\sigma_{12} =\sigma_{21}$。 \begin{equation*} \begin{cases} \sigma_{11} & = \sum^3_{i=1} \frac{\partial X^i}{\partial u^1} \frac{\partial X^i}{\partial u^1} \\ \sigma_{12} & = \sigma_{21} = \sum^3_{i=1} \frac{\partial X^i}{\partial u^1} \frac{\partial X^i}{\partial u^2} \\ \sigma_{22} & = \sum^3_{i=1} \frac{\partial X^i}{\partial u^2} \frac{\partial X^i}{\partial u^2} \end{cases} \end{equation*}

當 $\sigma_{ab}$ 的高斯曲率為正時, 這是一個非線性橢圓偏微分方程組, 由 Nirenberg 和 Pogorelov 解決。 解集合在剛體運動的對稱之下不變, 也就是曲面在 $\mathbf R^3$ 中經旋轉、反射或平移, 其解集合不變。 將此方程線性化, 對於變量 $\delta X^i$ 其線性化的方程為 $$ \sum^3_{i=1} \frac{\partial \delta X^i}{\partial u^a} \frac{\partial X^i}{\partial u^b} + \sum^3_{i=1} \frac{\partial X^i}{\partial u^a} \frac{\partial \delta X^i}{\partial u^b} =0. $$ 顯然, $\delta X^1 = \Sigma_{j=1}^3 a_j^i X^j,\ \ a_j^i=- a_i^j $ 是對應於旋轉的解。

但當我們試著將曲面經映射等度量嵌入 $\mathbf R^{3,1}$ 時, 立即面臨方程是「不足決定」系統 (under-determined system) 的問題, 有四個未知座標函數卻只有三個方程, 要得到任何形式的解的唯一性, 必須加上至少一個條件, 我們將加上從考量廣義相對論中準局部能量, 自然而來的一個條件。

在牛頓重力學中 $\Delta\Phi=4\pi\rho$, 其中 $\Phi$ 是位勢 (potential), 而 $\rho$ 是質量密度, 總質量可以由積分 $\rho$ 得到, 即 $\int_{\Omega}\rho$ 。 但是廣義相對論中的重力有個根本的難題, 它與其它物理理論不同的是, 沒有質量或能量密度。 想當然耳的將質量密度積分得到質量, 這個式子對廣義相對論的重力而言沒有意義。 另一方面, 由散度定理(divergence theorem), 牛頓重力中的總質量等於邊界曲面 $\partial\Omega$ 上的流量積分。 因此推想在類空間的域 $\Omega$ 上的重力或能量可以經由邊界 $\partial\Omega$, 這個二維的曲面上的積分來估算。 1982 年 Penrose 將廣義相對論中未解決的主要問題列表, 第一個問題就是, 為廣義時空中的曲面 $\Sigma = \partial\Omega$ 恰當地定義出準局部的能量 --- 動量 (質量) (quasi-local energy-momentum(mass))。

Einstein-Hilbert 作用的 Hamilton-Jacobi 分析暗示了下面的作法 (Brown-York , Hawking-Horowitz )： 對於廣義時空 $N$ 中的 $\Sigma$ 找一個基地狀態(ground state), 即最能與 $\Sigma$ 在 $N$ 中的幾何「匹配」將 $\Sigma$ 嵌入 $\mathbf R^{3,1}$ 的等度量嵌入。 這個嵌入在 $\mathbf R^{3,1}$ 中的像稱為參考曲面, 目的在於希望能經由等度量嵌入來操控內具的幾何, 從物理曲面及參考曲面兩種外在幾何的差異, 判讀出「重力能量」。

Wang-Yau 的作法是考慮廣義時空 $N$ 中的2維類空間閉曲面 $\Sigma$ 上的幾何數據, 這些數據包括其上由 $N$ 上度量導出的度量 $\sigma_{ab}$ 以及均曲率向量 $\vec H$, 針對每一個將 $\Sigma$ 等度量嵌入 $\mathbf R^{3,1}$ 所導出的 $\sigma_{ab}$ 定義其準局部能量。 這個定義滿足重要的正質量及剛性的性質, 並且與一般為人接受的其它觀念一致。

至於準局部質量, 我們知道在特殊相對論中, 能量取決於觀測者, 而質量則是所有觀測到的能量的最小值。 類比於此, 在定義準局部質量時, 我們對所有等度量嵌入所得的準局部能量取其最小。 這個 Euler-Lagrange 方程就是「最佳嵌入方程(optimal embedding equation)」, 這是一個對時間座標的四階偏微分方程, 再加上等度量嵌入的方程, 最後我們得到四個方程, 四個未知的偏微分方程組。

我們在這一節討論廣義相對論中守恆量的應用。 Penrose 列出來的問題中, 第二個問題是： 為準局部角動量下一個恰當的定義。 在特殊相對論中, 守恆量是由 Killing 場導出 (Killing 場是黎曼流形或擬黎曼流形上, 保持度量的向量場, 以德國數學家 Wilhelm Killing(1847-1923)命名), 這些場對應於 $\mathbf R^{3,1}$ 中的連續對稱(等度量)。 舉例來說, 旋轉 Killing 場 $X^1\frac{\partial}{\partial x^2}- X^2\frac{\partial}{\partial x^1}$ 定出對 $X^3$ 軸的角動量。 但是, 在廣義時空中沒有連續對稱也沒有 Killing 場。

對於物理時空中的曲面 $\Sigma$, Chen-Wang-Yau 的想法是藉助 $\Sigma$ 嵌入 $\mathbf R^{3,1}$ 的最佳等度量嵌入將 $\mathbf R^{3,1}$ 上的 Killing 場帶回 $\Sigma$ 上, 所有守恆量如能量, 線性動量, 角動量和重心都可以如此定義, 更重要的是探討了這些守恆量的動力以及愛因斯坦方程的關係。

愛因斯坦方程是時空中 Lorentzian 度量 $g_{\mu\nu}, \mu, \nu=0, 1, 2, 3$ 的二階偏微分方程組。 最簡單的真空愛因斯坦方程為 $R_{\mu\nu}=0, \mu, \nu=0, 1, 2, 3$ 其中 $R_{\mu\nu}$ 為 $g_{\mu\nu}$ 的 Ricci 張量。

愛因斯坦方程可以寫成雙曲偏微分方程組的初始值問題。 給定初始值 $(M,\ g(0),\ k(0))$ 其中 $M$ 為流形, $g(0)$ 代表其上導出的度量, $k(0)$ 表第二基本型(second fundamental form), 對於每一個愛因斯坦方程的解 $(M,\ g(t),\ k(t))$ 我們賦予守恆量 $e(t)$, $p^i(t)$, $J_i(t)$ 和 $C^i(t)$ 分別對應能量, 線性動量, 角動量和重心。 中證明在愛因斯坦演化方程的非線性脈絡之下, 下式成立 \begin{eqnarray*} e(\partial_t C^i(t))&=&p^i\\ \end{eqnarray*} 以及 \begin{eqnarray*} \partial_t J_i(t) &=&0 \end{eqnarray*}

第一式是熟悉的古典公式 $m\dot{x} =p$ 的相對論版本, 就我們所知這是第一次證明出它與愛因斯坦方程一致。

在下半部的講演中我要討論和 Brendle, Hung 合作的 [, ]中的二個不等式： 古典微分幾何的 Minkowski 不等式以及廣義相對論中的 Penrose 不等式。

令 $\Sigma$ 為嵌入 $\mathbf{R^3}$ 中的閉曲面。 前面提到 $\int_{\Sigma} H \,d\mu$ 對應面積在單位速度 ($s=1$)之下的改變, 對於 $\mathbf{R^3}$ 中的曲面 Minkowski 不等式 敘述如下： $$\text{對於} \mathbf{R^3}\ \text{中的閉凸曲面}\ \Sigma,\quad \int_{\Sigma} H \ d\mu \ge \sqrt{16\pi |\Sigma|}, $$ $|\Sigma|$ 代表 $\Sigma$ 的面積。 這個定理在高維也成立, 而且由 Huisken, Guan-Li 推廣到均凸, 星形的超曲面。 對於 $\mathbf{R^3}$ 中以 $R$ 為半徑的 2-維球面, 上式左手邊為 $$ \int H \ d\mu =\frac d{dR}(4\pi R^2)=8\pi R. $$ 另一方面, 上式右手邊為 $\sqrt{16\pi \cdot 4\pi R^2} =8\pi R$。 此時不等式是等式, 若且唯若 $\Sigma$ 是圓球面, 不論半徑為何。

現在考慮時空中的類空間2維曲面, 我們曾定義均曲率向量場 $\vec{H}$ 如下： $$ \delta_{\vec{V}} |\Sigma| = -\int_{\Sigma} \lt \vec{H},\vec{V}\gt \ d\mu. $$

就如前面提到的, 在廣義相對論的脈絡下, 人們感興趣的是量度從 $\Sigma$ 上射出的光線發散的程度。 我們可以取 $\Sigma$ 上的兩個零法向量場 (null normal vector field) $L$ 及 $\underline{L}$ 即 $\lt L, L\gt =0$, $\lt \underline{L}, \underline{L}\gt =0$, $\lt L, \underline{L}\gt = -2$。 我們稱 $-\int_{\Sigma} \lt \vec{H}, L\gt \ d\mu $ 及 $-\int_{\Sigma} \lt \vec{H}, \underline{L}\gt \ d\mu $ 為 2-維曲面 $\Sigma$ 在廣義時空中的零展開 (null expansion)。

舉例來說, 對於曲面 $\Sigma \subset \mathbf R^3 \subset \mathbf R^{3,1}$, 若 $\nu$ 為 $\Sigma$ 指向外部的單位法向量, 可以取 $L=$ $\frac{\partial}{\partial t}$ $+$ $\nu$ (向外), $\underline{L}=$ $\frac{\partial}{\partial t}$ $-$ $\nu$ (向內), 在這個情況一個 (向外) 展開為正, 另一(向內)則為負。 對於彎曲時空中的囚陷曲面, 兩種展開都是負的。

Penrose 在他原先關於宇宙審查(亦即時空的每一個奇異點都隱身在黑洞之後, 因此看不到)的論文中提出下面的猜想：

猜想1(Penrose ) 對於一個 $\mathbf R^{3,1}$ 中「過去零凸的」閉嵌入類空間 2-維曲面 $\Sigma$, 經過正規化使得 $\lt \frac{\partial}{\partial t}, \underline{L}\gt =-1$,則 $$ \int_{\Sigma} \lt \vec{H}, \underline{L}\gt \ d\mu \ge \sqrt{16\pi |\Sigma|}\ \quad (*) $$ 在此「過去零凸的」是指 $\Sigma$ 的過去光錐(past null cone, or past light cone) 可以沿著 $-\underline{L}$ 的方向平滑地延伸到無窮遠。 而在 Minkowski 時空中的光錐為 $\{(t, x, y, z) | -t^2+x^2+y^2+z^2=0\}$.

Minkowski 不等式給出曲面面積變化率和曲面面積的關係。 Penrose 不等式原來是給出黑洞質量和黑洞面積的關係。 在特別的 null dust 時空中, 黑洞可為 Minkowski 時空中的一般曲面, 而黑洞質量可與面積變化率(或均曲率積分)聯結, 因此有了上面的不等式。

Gibbons 觀察到若 $\Sigma \subset \mathbf R^3 \subset \mathbf R^{3,1}$, 且選擇上述的 $L$, $\underline{L}$, 那麼 (*) 就是古典的 Minkowski 不等式。

黎曼幾何中在漸近平坦的情形下有 Penrose 不等式 (Huisken-Ilmanen ,Bray) $$ 16\pi (ADM mass) \ge \sqrt{16\pi |\Sigma|} $$ 的確, 在漸近零的情形之下, (*)對應於上式。

Tod 證明 (*) 對於 $\mathbf R^{3,1}$ 中(一點的)光錐上的曲面成立。 另外也有些推廣, 見 Mars 和 Mars-Soria 。 但是對於 Minkowski 時空中的一般曲面, (*)仍只是一個猜想。

回到 Minkowski 不等式, 微分幾何學家對於將不等式推廣到其它空間形式 (space form) 的曲面極感興趣。 其中 Gallego 和 Solanes 研究雙曲空間的情形, 證明對於 $\mathbf H^3$ 中的凸曲面 $$ \int_{\Sigma} H\ d\mu \ge 2|\Sigma| $$

在此, $\mathbf H^3$ 代表三維常負曲率 $-1$ 的雙曲空間, 其黎曼度量為 $dr^2+\sinh^2 r(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$。

在 $\mathbf{H^3}$ 中, 半徑為 $r$ 的測地球其面積為 $4\pi\sinh^2 r$ , 所以 $\int_{\Sigma} H \ d\mu=\frac{d}{dr} (4\pi \sinh^2 r)=8\pi\sinh r\cosh r$, 而右手邊則是 $2|\Sigma|=8\pi\sinh^2 r$。這是一個漂亮的不等式, 但等號永遠無法企及。

另一方面, 我們可以將雙曲空間 $\mathbf{H^3}$ 等度量地嵌入 $\mathbf R^{3,1}$ 成為 $\{(t,x,y,z)| t\gt 0\ , -t^2 +x^2 +y^2 +z^2= -1\}$。 但是對於 $\mathbf{H^3}$ 中的 2-維曲面, 甚至連 $\int_{\Sigma} \lt \vec{H}, L\gt \ d\mu$ 為什麼應該為正都不清楚, 不過 Penrose 不等式可以為 $\Sigma$ 預測一個 Minkowski 類型的最佳不等式 (sharp inequality)。

更一般以及高維的不等式見 。 其證明涉及「反均曲率流 (inverse mean curvature flow)」, 一個新的在靜止真空時空的單調公式 (monotonicity formula), Brendle 的一個 Heintze-Karcher 類型的不等式, 以及 Beckner 在球面上的最佳 Sobolev 不等式。

這個證明讓我們可以將不等式推廣到更有物理意涵的時空, 並且做出下面的猜測：

猜想2() 對於在 Schwarzschild 時空中的任意類空間過去零凸的2-維曲面 $\Sigma$, 下列不等式成立: $$ -\frac 1{16\pi} \int_{\Sigma} \lt \vec{H}, L\gt \ d\mu \ + \ m \ge \sqrt{\frac{|\Sigma|}{16\pi}} $$ 這裡 $m$ 是 Schwarzschild 時空的總質量。 $L$ 則是經過選取使其對偶零法線 (dual null normal) $\underline{L}$ 滿足 $\lt \underline{L},\frac{\partial}{\partial t}\gt =-1$, $\frac{\partial}{\partial t}$ 是 Killing 場。

Schwarzschild 時空是以德國物理學家及天文學家 Karl Schwarzschild (1873$\sim$1916) 命名的時空。 他在愛因斯坦發表廣義相對論後不久, 發表現在所稱的 Schwarzschild 度量, 這是愛因斯坦方程的解, 描述在一個球形的質量外部真空狀態 (即電荷、角動量及宇宙常數均為零)下的重力場。 它能用來描述緩慢轉動的天文物體, 例如許多星球包括地球和太陽。

裡證明了這個猜測在數個重要的情形成立, 但是一般的情形仍有待證明。 總之, $\mathbf{R^3}$ 的曲面幾何與時空中 (餘維為2) 的曲面關係密切。 物理的預測啟發了數學上的成果, 另一方面, 數學的結果又自然地賦予物理新的樣貌。

---本文作者任教美國哥倫比亞大學數學系---