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前言: 大家都知道電腦的計算速度相當的快, 藉助這個特性, 可以用來模擬一些複雜的事物, 並從中發現一些規律, 從這些規律中, 或許就可以找到一些隱藏在這個複雜事物背後的理論、公式。
內文
假設玩家 $A$ 和玩家 $B$ 進行賭博, 玩家 $A$ 有 $m$ 元, 玩家 $B$ 有 $n$ 元, 然後投一個公正的硬幣, 如果出現正面就算玩家 $A$ 贏, 如果出現反面就算玩家 $B$ 贏, 每一次賭注都是 1 元, 如果 $A$ 贏則 $A$ 有 $m+1$ 元, 而 $B$ 有 $n-1$ 元, 並稱此為一回合, 雙方不斷的進行賭博, 直到某一方的錢歸零為止, 在這個賭博中, 以下有兩個問題令人感到興趣:
1. 玩家 $A$ 和玩家 $B$ 贏的機率各是多少?
2. 每投一次硬幣決勝負, 都稱為一回合, 平均要幾回合賭局才會結束? (某方錢輸光)
一開始思考這個問題的時候, 就會想到玩家的錢如果比對方的多, 贏的機率當然就比較大, 而且如果雙方的錢都很多的話, 就要賭很久, 自然地平均賭局結束的回合數就會變大, 為了模擬這個情況, 所以我們用電腦語言 C++ 寫一個程式, 並藉助電腦的強大計算力, 來觀察一些規律。 (程式碼放於文末的附錄 1)
這個程式在做什麼事情呢?首先程式會先要求輸入玩家 $A$ 和玩家 $B$ 的賭金, 然後還有輸入局數, 這裡的局數是指賭到某方沒錢了算一局, 一局結束後又重新開始下一局, 雙方賭金又回到一開始的設定值, 在一局中, 玩家們每回合下注一塊錢進行賭博直到某方的錢輸光為止, 這個程式會紀錄每一局發生的回合數, 並算出回合數的平均值, 還有玩家 $A$ 和玩家 $B$ 贏的局數, 如果把程式碼中的第一個雙斜線 "//" 刪掉, 就可以看到每一局的每一回合賭博的情況, 如果把程式碼中第二個雙斜線 "//" 刪掉的話則可以看到每一局在第幾回結束。
用這個程式, 就輸入幾個數據來測試一下,
玩家 $A$: 1 元 玩家 $B$: 100 元 幾局: 1000000 局
在還沒有跑程式之前, 可以猜猜看, 玩家 $A$ 和玩家 $B$ 大概會各贏幾局? 而一局平均要幾回合才會結束 ?
跑完程式的結果如下:
玩家 $A$ 的賭金 1
玩家 $B$ 的賭金 100
玩家 $A$ 勝 9900 局
玩家 $B$ 勝 990100 局
玩家 $A$ 與 $B$ 的初始賭金比率 0.01
玩家 $A$ 與 $B$ 的勝局比率 0.009999
平均一局賭 108.144890 回
以下為中研院數學所電腦室設計 Embedded Sage Cells Code, 計算平台為免費 sagemath, 數字n 很大時, 可能耗時很久, 無法得到結果
進行的局數 10000 1000000 1000000 1000000 玩家A賭金 1 1 3 3 玩家B賭金 100 100 5 10 回合數的平均值 108.78 108.13 14.97 29.48
進行的局數 1000000 1000000 1000000 1000000 玩家A賭金 6 2 1 50 玩家B賭金 5 15 30 50 回合數的平均值 29.71 29.09 29.36 2621.43
如上表所示, 如果再多輸入不同的賭金, 並且局數都維持很大, 就會發現平均一局結束的回合數接近玩家 $A$ 和玩家 $B$ 的賭金相乘, 而且玩家 $A$ 與 $B$ 的賭金比率也接近玩家 $A$ 與 $B$ 的勝局比率, 平均一局的回合數接近雙方賭金相乘, 這件事情相當的有趣, 以雙方賭金 1 元對 100 元為例, 有一半的機率, 一回就結束了, 剩下的很多也是耐不住波動, 幾回合就結束了, 平均起來一局有個 $20\sim 30$ 回就不錯了, 到底剩下的 $70\sim 80$ 回是從哪裡生出來的?所以又想想會不會是賭金 1 元的玩家, 在少數幾次特別幸運, 然後一路幾乎一直贏, 把對方一半的錢都贏過來, 雙方握有大筆賭金 50 元左右, 然後開始打持久戰, 使回合數大大的增加, 如果雙方賭金都是 50, 那麼平均可以玩幾回呢? 輸入玩家 $A$: 50, 玩家 $B$: 50, 局數: 1000000 得到了平均一局 2621.43 回, 這說明發生機率小, 但是一旦發生可以讓這一局撐很久, 這是輸入一些數據、 觀察所做的一個解釋, 但是如果訴諸實際的計算呢? 我們是否可以確實證明出一局的平均回合數就是雙方的賭金相乘呢?
玩家 $A$ 和玩家 $B$ 贏的機率
我們先回答第一個問題, 玩家 $A$ 和玩家 $B$ 贏的機率各是多少?
設一開始玩家 $A$ 有 $i$ 元, 玩家 $B$ 有 $m+n-i$ 元, 其中 $i=0,1,2,\ldots,m+n$, 並假設玩家 $A$ 贏的機率是 $A_i$, 如果玩家 $A$ 一開始有 0 元, 則玩家 $A$ 贏的機率是 0, 如果玩家 $A$ 一開始有 $m+n$ 元, 則玩家 $A$ 贏的機率是 1, 所以 $A_0=0$, $A_{m+n}=1$, 我們要建立 $A_i$ 之間的關係式, 然後解方程式, 當玩家 $A$ 有 $i$ 元, 玩家 $B$ 有 $m+n-i$ 元, 賭完一回玩家 $A$ 有 $i-1$ 元或是 $i+1$ 元, 機率各是 $\dfrac 12$, 玩家 $A$ 從 $i-1$ 元或是 $i+1$ 元開始, 而贏了整局的機率分別是 $A_{i-1}$ 和 $A_{i+1}$, 所以可以建立方程式, $A_i=\dfrac{A_{i-1}+A_{i+1}}2$, 其中 $i=1,2,3,\ldots,m+n-1$,
將方程式改寫成 $A_i-A_{i-1}=A_{i+1}-A_i$, 經過簡單的遞迴可以得到 $A_{i+1}-A_i=A_1-A_0$, 進行加總 $\sum\limits_{i=1}^{m+n-1}(A_{i+1}-A_i)=\sum\limits_{i=1}^{m+n-1}(A_1-A_0)$, 可以解出 $A_1=\dfrac 1{m+n}$, 同樣地從式子 $\sum\limits_{i=1}^{m-1}(A_{i+1}-A_i)=\sum\limits_{i=1}^{m-1}(A_1-A_0)$ 出發, 可以得到 $A_m-A_1=(m-1)(A_1-A_0)$, 進而推出 $A_m=\dfrac m{m+n}$, 這個方程解告訴我們當玩家 $A$ 有 $m$ 元, 玩家 $B$ 有 $n$ 元, 玩家 $A$ 贏的機率是 $\dfrac m{m+n}$, 玩家 $B$ 贏的機率是 $1-\dfrac m{m+n}=\dfrac n{m+n}$, 所以玩家 $A$ 和玩家 $B$ 贏的機率的比值, 就是一開始的賭金的比值, 接下來我們要討論賭局平均回合數的問題, 先從一些簡單的特例切入。
玩家 $A$ 和 $B$ 各有 1 元的情況
先考慮雙方都只有一塊錢的情況, 不管誰贏誰輸, 第一回合就結束了, 所以平均的回合數是一回, 這個猜測在這個特殊的情況下成立。
玩家 $A$ 和 $B$ 各有 2 元的情況
初始條件 $P_0(2)=1$, 即一開始玩家 $A$ 有 2 元, 一開始的狀態是唯一的, 所以機率是 1, $P_k(n)$ 代表第 $k$ 回玩家 $A$ 有 $n$ 塊錢的機率, 其中 $n=0,1,2,3,4$ 第一回後玩家 $A$ 必定有 1 元或是 3 元, 其機率皆是 $\dfrac 12$, 但不會是 2 元, 故 $P_1(1)=\dfrac 12$, $P_1(2)=0$, $P_1(3)=\dfrac 12$, 第二回合後, 玩家 $A$ 有 0 元和 4 元的機率是 $\dfrac 14$, 不會發生 1 元和 3 元的狀況, 有 2 元的機率是 $\dfrac 12$, 故 $P_2(0)=\dfrac 14$, $P_2(1)=0$, $P_2(2)=\dfrac 12$, $P_2(3)=0$, $P_2(4)=\dfrac 14$ 根據這些計算可以觀察到, 每經過兩回合, 玩家有 2 元的機率會減半, 所以我可以得到 $P_{2k}(2)=\dfrac 1{2^k}$, $k=0,1,2,3,\ldots$, 在第 $2k$ 回有 2 塊錢再賭兩回變成 0 塊錢或是 4 塊錢的機率各是 $\dfrac 14$, 所以平均回合數 \begin{eqnarray*} &=&\sum_{k=0}^\infty \Big[(2k+2)\frac{P_{2k}(2)}4\times 2\Big]=\sum_{k=0}^\infty \frac{(k+1)}{2^k}=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n}^\infty \frac 1{2^k}\\ &=&\sum_{n=0}^\infty \frac 1{2^n}\Big(\frac 1{1-\frac 12}\Big)=2\sum_{n=0}^\infty \frac 1{2^n}=2\Big(\frac 1{1-\frac 12}\Big)=4 \end{eqnarray*} 所以玩家 $A$ 和 $B$ 各有兩元的情況也符合猜測。
玩家 $A$ 和 $B$ 各有 4 元的情況
初始條件 $P_0(4)=1$, 即一開始玩家 $A$ 有 4 元, 賭兩回之後, 連贏兩回或是連輸兩回, 此時玩家 $A$ 有 2 元或是 6 元的機率都是 $\dfrac 14$, 亦或一回贏一回輸, 此時玩家 $A$ 有 4 元的機率是$\dfrac 12$,
即 $P_2(2)=\dfrac 14$, $P_2(4)=\dfrac 12$, $P_2(6)=\dfrac 14$ 再賭兩回, $P_4(0)=\dfrac 1{16}$, $P_4(2)=\dfrac 4{16}$, $P_4(4)=\dfrac 6{16}$,
$P_4(6)=\dfrac 4{16}$, $P_4(8)=\dfrac 1{16}$, 觀察發現從 $2k-2$ 回到 $2k$ 回, 玩家 $A$ 有 2, 4, 6 元的機率存在著關係式, 亦即 $P_{2k-2}(2)$, $P_{2k-2}(4)$, $P_{2k-2}(6)$, 和 $P_{2k}(2)$, $P_{2k}(4)$, $P_{2k}(6)$, 存在著關係式。(關係式如下) $$\left\{\begin{array}{l} P_{2k}(2)=\dfrac 12P_{2k-2}(2)+\dfrac 14 P_{2k-2}(4)\\ P_{2k}(4)=\dfrac 14P_{2k-2}(2)+\dfrac 12 P_{2k-2}(4)+\dfrac 14 P_{2k-2}(6)\\ P_{2k}(6)=\dfrac 14P_{2k-2}(4)+\dfrac 12 P_{2k-2}(6) \end{array}\right.,\quad \hbox{其中}\ k=1,2,3,\ldots$$
關係式 %將這個關係是寫成矩陣的型式 $$\left(\begin{array}{c} P_{2k}(2)\\ P_{2k}(4)\\ P_{2k}(6) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} ~\dfrac 12~&~\dfrac 14~&0\\ \dfrac 14&\dfrac 12&~\dfrac 14~\\ 0&\dfrac 14&\dfrac 12 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} P_{2k-2}(2)\\ P_{2k-2}(4)\\ P_{2k-2}(6) \end{array}\right),\quad \hbox{其中}\ k=1,2,3,\ldots$$ 進行遞迴可以得到下面的式子 $$\left(\begin{array}{c} P_{2k}(2)\\ P_{2k}(4)\\ P_{2k}(6) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} ~\dfrac 12~&~\dfrac 14~&0\\ \dfrac 14&\dfrac 12&~\dfrac 14~\\ 0&\dfrac 14&\dfrac 12 \end{array}\right)^k\left(\begin{array}{c} P_{0}(2)\\ P_{0}(4)\\ P_{0}(6) \end{array}\right),\quad {(*)}$$ 對矩陣進行對角化 (對角化的介紹請看文章後面的附錄 2) $$\left(\begin{array}{ccc} ~\dfrac 12~&~\dfrac 14~&0\\ \dfrac 14&\dfrac 12&~\dfrac 14~\\ 0&\dfrac 14&\dfrac 12 \end{array}\right)=SDS,\quad \hbox{其中}\ S=\left(\begin{array}{ccc} ~\dfrac 12~&~-\dfrac 1{\sqrt{2}}~&\dfrac 12\\ ~-\dfrac 1{\sqrt{2}}~&0&~\dfrac 1{\sqrt{2}}~\\ \dfrac 12&~\dfrac 1{\sqrt{2}}~&\dfrac 12 \end{array}\right),$$ $$D=\left(\begin{array}{ccc} ~\dfrac {2-\sqrt{2}}4~&~0~&0\\ 0&\dfrac 24&~0~\\ 0&0&~\dfrac {2+\sqrt{2}}4~ \end{array}\right),\quad \hbox{其中}\ S^2=I=\left(\begin{array}{ccc} ~1~&~0~&~0~\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right)$$ 將式子 $(*)$ 中的矩陣用 $SDS$ 取代 $$\left(\begin{array}{c} P_{2k}(2)\\ P_{2k}(4)\\ P_{2k}(6) \end{array}\right)=(SDS)^k\left(\begin{array}{c} P_{0}(2)\\ P_{0}(4)\\ P_{0}(6) \end{array}\right)=SD^kS\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right)$$ 可以得到 \begin{eqnarray*} P_{2k}(2)&=&P_{2k}(6)=-\frac{\sqrt2}4\Big(\frac{2-\sqrt 2}4\Big)^k+\frac{\sqrt2}4\Big(\frac{2+\sqrt 2}4\Big)^k\\ P_{2k}(4)&=& \frac 12\Big(\frac{2-\sqrt 2}4\Big)^k+\frac 12\Big(\frac{2+\sqrt 2}4\Big)^k \end{eqnarray*} 此時我們可以藉此計算平均回合數, 在第 $2k$ 回有 2 塊錢或是 6 塊錢, 再賭兩回變成 0 塊錢或是 8 塊錢的機率各是 $\dfrac 14$, 所以平均回合數 \begin{eqnarray*} &&\hskip -30pt =\sum_{k=0}^\infty (2k+2)\frac{P_{2k}(2)}{4}+\sum_{k=0}^\infty (2k+2)\frac{P_{2k}(6)}{4}\\ &&\hskip -30pt =\sum_{k=0}^\infty (k+1) \Big[-\frac{\sqrt 2}4\Big(\frac{2-\sqrt 2}4\Big)^k+\frac{\sqrt 2}4\Big(\frac{2+\sqrt 2}4\Big)^k\Big]\\ \bigg(\hbox{此時使用公式}\quad &&\sum_{k=0}^\infty (k+1)r^k=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=n}^\infty r^k=\sum_{n=0}^\infty \Big(r^n\sum_{k=0}^\infty r^k\Big)\\ &&\hskip 70pt =\frac 1{1-r}\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac 1{(1-r)^2}\bigg)\\ &&\hskip -30pt =-\frac{\sqrt 2}4\bigg(\frac1{\Big(1-\frac{2-\sqrt 2}4\Big)^2}\bigg)+\frac{\sqrt 2}4\bigg(\frac1{\Big(1-\frac{2+\sqrt 2}4\Big)^2}\bigg)=16 \end{eqnarray*} 玩家 $A$ 和 $B$ 各有 4 元的情況亦符合我們的猜測。
玩家 $A$ 和 $B$ 分別有 2 元和 6 元的情況
跟前面的算式一樣, 但初始值要改成 $P_0(2)=1$, $P_0(4)=0$, $P_0(6)=0$ \begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} P_{2k}(2)\\ P_{2k}(4)\\ P_{2k}(6) \end{array}\right)&=&SD^kS\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)\\ P_{2k}(2)&=&\frac 14\Big(\frac{2-\sqrt 2}4\Big)^k+\frac 12\Big(\frac 12\Big)^k+\frac 14\Big(\frac{2+\sqrt 2}4\Big)^k\\ P_{2k}(4)&=&-\frac {\sqrt 2}4\Big(\frac{2-\sqrt 2}4\Big)^k+\frac {\sqrt 2}4\Big(\frac{2+\sqrt 2}4\Big)^k\\ P_{2k}(6)&=&\frac 14\Big(\frac{2-\sqrt 2}4\Big)^k-\frac 12\Big(\frac 12\Big)^k+\frac 14\Big(\frac{2+\sqrt 2}4\Big)^k\\ \hbox{平均回合數}&=&\sum_{k=0}^\infty (2k+2)\frac{P_{2k}(2)}{4}+\sum_{k=0}^\infty (2k+2)\frac{P_{2k}(6)}{4}=12 \end{eqnarray*} 這個情況也符合我們的猜測, 在計算完這些例子以後, 讓我們對這個猜測有更深的信心了。
玩家 $A$ 和 $B$ 共有 $m+n$ 元的情況
一開始我們用了跟前面一樣的方法, 寫成矩陣, 然後矩陣對角化, 但是發現在這個情況中矩陣對角化不是一件容易的事情, 是一個複雜的計算, 所以我們改用解線性方程組的方式來求平均回合數。
假設一開始玩家 $A$ 有 $i$ 元, 玩家 $B$ 有 $m+n-i$ 元, 平均一局的回合數為 $u_i$, $i=0,1,2,\ldots,m+n$ 且 $u_0=u_{m+n}=0$, 當賭完一回合, 玩家 $A$ 有 $i-1$ 元或是 $i+1$ 元, 機率各是 $\frac 12$, 如果玩家 $A$ 從 $i-1$ 元或是 $i+1$ 元開始, 直到整局結束, 平均回合數是 $u_{i-1}$ 和 $u_{i+1}$ , 因此有方程式 $$u_i=\frac{(u_{i-1}+1)}2+\frac{(u_{i+1}+1)}2,\qquad i=1,2,\ldots,m+n-1$$ 我們可以將方程式改寫成 $u_{i+1}-u_i=u_i-u_{i-1}-2$, for $i=1,2,\ldots,m+n-1$ 然後進行迭代 $u_{i+1}-u_i=u_i-u_{i-1}-2=u_{i-1}-u_{i-2}-4=\cdots=(u_1-u_0)-2i$, for $i=1,2,\ldots,m+n-1$ 把他們加總起來, $$\sum_{i=1}^{m+n-1}(u_{i+1}-u_i)=\sum_{i=1}^{m+n-1}((u_1-u_0)-2i),$$ 可以得到 $$u_{m+n}-u_1=(m+n-1)(u_1-u_0)-2\Big(\frac{(m+n-1)(m+n)}{2}\Big),$$ 其中 $u_0$ 和 $u_{m+n}=0$, 進而算出 $u_1=m+n-1$。
同樣地從方程式 $$\sum_{i=1}^{k-1}(u_{i+1}-u_i)=\sum_{i=1}^{k-1}((u_1-u_0)-2i),$$ 出發, 可以算出 $u_k=k(m+n-k)$, 這個解告訴我們當玩家 $A$ 有 $k$ 元, 玩家 $B$ 有 $m+n-k$ 元, 則賭局的平均回合數是 $k(m+n-k)$, 當 $k=m$ 時, 即是我們要回答的, 玩家 $A$ 有 $m$ 元, 玩家 $B$ 有 $n$ 元, 賭局的平均回合數是 $mn$, 也就是一開始雙方的賭金相乘, 這就回答了文章一開始問的第二個問題。
附錄 1:
To run Python code on sagemath
#include上面程式碼的解說: $r$ 和 $s$ 是玩家 $A$ 和玩家 $B$ 的初始金額, $n$ 是設定欲賭博的局數, $m$ 和 $p$ 紀錄了玩家 $A$ 和 $B$ 贏得的局數, $g$ 是每一局所發生的回合數, $q$ 是把每一局所發生的回合數全部加總起來, $v$ 在程式中代表著硬幣, 他會在每一回合隨機的出現 0 或 1, 如果 $v=0$ 則玩家 $A$ 贏, 如果 $v=1$ 則玩家 $B$ 贏, $a$ 和 $b$ 代表著玩家 $A$ 和玩家 $B$ 在每一回合當下所擁有的賭金, 所以隨著每一回合的進行, $a$ 和 $b$ 的數值是一直不斷地在變動的。#include #include"math.h" #include using namespace std; void main() { int i,a,b,v,g=0; double n; double r,s; double m=0,p=0; double q=0; printf("以一方輸完所有的錢為一局"); printf("請輸入玩家A的錢"); cin>>r; printf("請輸入玩家B的錢"); cin>>s; printf("幾局?"); cin>>n; srand((unsigned)time(NULL)); for(i=1;i<=n;i++) { a=r; b=s; g=0; while(a!=0&&b!=0) { v=rand()%2; if(v==0) { a=a+1; b=b-1; } else { a=a-1; b=b+1; } // printf("玩家A:%d 玩家B:%d",a,b); g++; q++; } // printf("%d回",g); if(a==0) { p=p+1; } else { m=m+1; } } printf("局數%f",n); printf("玩家A的賭金%f",r); printf("玩家B的賭金%f",s); printf("玩家A勝%f局",m); printf("玩家B勝%f局",p); printf("玩家A與B的初始賭金比率%f",r/s); printf("玩家A與B的勝局比率%f",m/p); printf("平均一局賭%f回",q/n); }
附錄 2:
矩陣對角化是大學線性代數課程中的內容, 對角化可以用來簡化矩陣的運算, 他將方陣 $A$ 化成 $PDP^{-1}$ 的樣子, 其中方陣 $D$ 只在對角線上有非 0 的值, 其餘都是 0, 所以 $D^n$ 相當容易計算, 此外方陣 $P$ 的每一行都是方陣 $A$ 的特徵向量, 且向量間彼此線性獨立, 那麼 $A^n=(PDP^{-1})^n=(PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots(PDP^{-1})=PD^nP^{-1}$, 用這個方法 $A^n$ 很容易的就被算出來了, 更詳盡的內容可以參考 [3]。
那麼給定方陣 $A$ 要如何做對角化呢? (以 $2\times 2$ 的方陣來說明)
先找到相異的兩非零向量 $\left(\begin{array}{c} x_1\\ y_1 \end{array}\right)$、$\left(\begin{array}{c} x_2\\ y_2 \end{array}\right)$ 使得 $A\!=\!\left(\begin{array}{c} x_1\\ y_1 \end{array}\right)\!=\!\lambda_1\left(\begin{array}{c} x_1\\ y_1 \end{array}\right)$, $A\left(\begin{array}{c} x_1\\ y_1 \end{array}\right)\!=\!\lambda_2\left(\begin{array}{c} x_2\\ y_2 \end{array}\right)$ 然後將其合併 $A\left(\begin{array}{cc} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \lambda_1x_1&\lambda_2x_2\\ \lambda_1y_1&\lambda_2y_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \lambda_1&0\\ 0&\lambda_2 \end{array}\right)$, 並同乘 $\left(\begin{array}{cc} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{array}\right)^{-1}$, 可以得到 $A\!=\!\left(\begin{array}{cc} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \lambda_1&0\\ 0&\lambda_2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{array}\right)^{-1}$, 其中 $\left(\begin{array}{cc} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{array}\right)$ 就是 $P$, $\left(\begin{array}{cc} \lambda_1&0\\ 0&\lambda_2 \end{array}\right)$ 就是 $D$。 舉個實際的例子, 若 $A\!=\!\left(\begin{array}{cc} 1~&~2~\\ 4~&3 \end{array}\right)$, 則有 $A\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)=5\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)$, $A\left(\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right)=-1\left(\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right)$, 將其合併並稍為改寫 $A\left(\begin{array}{cc} 1~&1\\ 2~&-1 \end{array}\right)\!=\!\left(\begin{array}{cc} 5&-1\\ 10&1 \end{array}\right)\!=\!\left(\begin{array}{cc} 1~&1\\ 2~&-1 \end{array}\right)\!\left(\begin{array}{cc} 5~&0\\ 0~&-1 \end{array}\right)$, 同乘$\left(\begin{array}{cc} 1~&1\\ 2~&-1 \end{array}\!\right)^{-1}$ 就可以得到 $A=\left(\begin{array}{cc} 1~&1\\ 2~&-1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 5&0\\ 0&-1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1~&1\\ 2~&-1 \end{array}\right)^{-1}$, 其中 $\left(\begin{array}{cc} 1&1\\ 2&-1 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \dfrac 13&\dfrac 13\\ ~\dfrac 23~&-\dfrac 13 \end{array}\right)$。
結語:
我們可以借由電腦的計算, 來為模型找到一些規律、趨勢, 雖然這並不是精確的數學證明, 可是當我們觀察到規律時, 這些規律就會給我們許多啟發, 指引我們一條道路, 也就是說, 電腦模擬可以幫助我們猜測結果, 再利用數學方法加以證明之。
參考資料
- 1.黃文璋。《機率論》。台北：華泰文化, 2010。
- 2.Feller, William, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume I and Volume II, John Wiley and Sons, New York, 1968 and 1971.
- 3.Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, Lawrence E. Spence, Diagonalization, Linear Algebra, Pearson Education, Inc, New Jersey, 2003, pp.245-279.
---本文作者就讀國立台灣大學數學研究所---